Ejercicios: Electrodinamica Clasica I (maestrıa)

Olivier Sarbach

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo

11 de septiembre de 2008

Problema 1 (identidades vectoriales algebraicas)

Sea εkij , i, j, k ∈ {1, 2, 3} el sımbolo de Levi-Civita en tres dimensionesdefinido por

ε123 = ε231 = ε312 = 1, ε213 = ε132 = ε321 = −1,

donde las otras componentes de εkij son cero.

(a) Demostrar que

3∑

k=1

εkijεklm = δilδjm − δimδjl , i, j, l, m ∈ {1, 2, 3},

3∑

k,l=1

εkliεklj = 2δij , i, j ∈ {1, 2, 3},

donde δij es el sımbolo Kronecker.

(b) El producto vectorial entre dos vectores a, b ∈ R3 esta definido por el

vector a ∧ b cuyas componentes son

(a ∧ b)k =

3∑

i,j=1

εkijaibj , k = 1, 2, 3.

Verifique las formulas

a ∧ (b ∧ c) = (a · c) b − (a · b) c ,

(a ∧ b) · (c ∧ d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c),

a · (b ∧ c) = det(a, b, c),

donde a, b, c, d son vectores en R3 y donde det(a, b, c) es el determinante

de la matriz 3 × 3 cuyas columnas son dadas por los vectores a, b y c.

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Problema 2 (calculo vectorial)

Sea U ⊂ R3 un subconjunto abierto, y sean f, g : U → R dos funciones

y X, Y : U → R3 dos campos vectoriales que son dos veces continuamente

diferenciable. Sea

∇ =

(

∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z

)

el operador nabla.

(a) Demuestre las siguientes identidades

∇ ∧∇f = 0,

∇ · (∇ ∧ X) = 0,

∇∧ (∇ ∧ X) = −∆X + ∇(∇ · X),

∇ · (fX) = f ∇ · X + X · ∇f,

∇∧ (fX) = f ∇∧ X − X ∧∇f,

∇ · (X ∧ Y ) = Y · (∇ ∧ X) − X · (∇ ∧ Y ).

(b) Sean U = R3 \ {0}, Q ∈ R y

E(x) :=Q

4π

x

|x|3, x ∈ U.

Calcule ∇ · E y ∇∧ E.

(c) Sea E como en el inciso (b). Calcule el flujo

F =

∫

SR

E · ndσ

de E a traves de la esfera SR con radio R > 0 centrada en 0.

¿Porque no se puede usar el teorema de Gauss y concluir que F = 0?

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