AUTOEVALUACION 6.1

Indique si las siguientes aseveraciones son falsas o verdaderas

I) El conjunto {(𝟏, 𝟏), (𝟏,−𝟏)} es un conjunto ortogonal en ℝ𝟐.

(𝒱1, 𝒱2) = {(11) , (

1-1

) }

|𝒱1| = √12 + 12 = √2 (μ1) = (𝑣1

|𝑣1|) =

1

√2(11)

(μ1) =

(

1

√21

√2)

𝒱′2 = 𝒱2 − (𝒱2 ∙ μ1)μ1 = (

1−1

) − [( 1−1

) ∙ (

1

√21

√2

)] (

1

√21

√2

)

=( 1−1

) − [1

√2−

1

√2] (

1

√21

√2

)

=( 1−1

)

μ2 =𝒱′

2

|𝒱′2|

= 1 ∙ ( 1−1

) = ( 1−1

) |𝒱′2| = √12 + 12 = 1

ℝ2 ⇒

(

1

√21

√2)

, ( 1−1

)

Definición:

μi ∙ μj = 0

μi ∙ μ𝑖 = 1

(1

√2,1

√2) ∙ (1, −1) =

1

√2−

1

√2= 0

(1

√2,

1

√2) ∙ (

1

√2,

1

√2) = 1 + 1 = 2 ≠ 1 (F)

II) El conjunto {(𝟏

√𝟐,

𝟏

√𝟐) , (

𝟏

√𝟐,

𝟏

√𝟐)} es un conjunto ortogonal en ℝ𝟐.

μ1 =𝒱1

|𝒱1|=

1

√(𝟏

√𝟐)2

+ (𝟏

√𝟐)2

∙

(

1

√21

√2)

= 1

√12

+12

∙

(

1

√21

√2)

=

(

1

√21

√2)

𝒱′2 = 𝒱2 − (𝒱2 ∙ μ1)μ1

=

(

1

√21

√2)

−

(

(

1

√21

√2)

∙

(

1

√21

√2)

)

(

1

√21

√2)

=

(

1

√21

√2)

− (1

2+

1

2)

(

1

√21

√2)

=

(

1

√21

√2)

−

(

1

√21

√2)

= 0

μ2 =𝒱′

2

|𝒱′2|

= 0

Vector ⇒ {(

1

√21

√2

) , (00)}

μ1 ∙ μ2 = 0 = 0 + 0 = 0

μ1 ∙ μ1 = 1

Entonces 1

2+

1

2= 1 (V)

III) Toda base en ℝ𝐧 se puede convertir en una base ortogonal utilizando el proceso de

ortonormalización de Gram-Schmidt.

Verdadero

IV) La matriz (𝟏 𝟏𝟏 −𝟏

) es ortogonal.

Si 𝒬−1 = 𝒬𝑇 entonces 𝒬−1 ∙ 𝒬 = 1

𝒬𝑇 = (1 11 −1

)

(1 11 −1

) (1 11 −1

) = (1 + 1 1 − 11 − 1 1 + 1

) = (2 00 2

) (F)

V) La matriz (

𝟏

√𝟐

𝟏

√𝟐𝟏

√𝟐

−𝟏

√𝟐

) es ortogonal.

𝒬 =

(

1

√2

1

√21

√2

−1

√2)

=

(

1

√2

1

√21

√2

−1

√2)

(

1

√2

1

√21

√2

−1

√2)

= (

1

2+

1

2

1

2−

1

21

2−

1

2

1

2+

1

2

) = (1 00 1

) (𝑽)

Elija el inciso que corresponda la siguiente pregunta

VI) ¿ Para cuáles de las siguientes matrices 𝓠−𝟏 es igual a 𝓠𝑻

𝒂) (𝟏 𝟔𝟑 −𝟐

)

(1 63 −2

) ⇒ 𝒬𝑇 = (1 36 −2

)

𝒬−1 =1

|𝒬|∙ (𝒬∗)𝑇

𝒬1 = 1

(1)(−2) − (3 ∙ 6)∙ (

−2 −3−6 1

)𝑇

𝒬−1 =1

−20(−2 −6−3 1

) =1

20(2 63 −1

)

𝒬−1 ≠ 𝒬𝑇

𝐜)

(

𝟏

√𝟏𝟎

𝟔

√𝟒𝟎𝟑

√𝟏𝟎

−𝟐

√𝟒𝟎 )

𝒬𝑇 = (

1

√10

3

√106

√40

−2

√40

)

𝒬−1 =1

− 2

√400 −

18

√400

(

−2

√40

−6

√40−3

√10

1

√10

)

𝑇

= −√400

20(

−2

√40

−3

√10−6

√40

1

√10

) 1

√10

=

(

√10

10 3√40

206 ∙ √10

20−

1√40

20 )

=

(

1

√10

3

√106

√40

−2

√40 )

𝒬𝑇 = 𝒬−1

PROBLEMA 6.1

19. Encuentre una base ortogonal en ℝ𝟐 que incluya al vector 𝐯 = (𝟓𝟐).

μi ∙ μj = 0

μi ∙ μ𝑖 = 1 𝒱2 = (11)

μ1 =𝒱1

|𝒱1|=

1

√52 + 22 ∙ (

52) =

1

√29(52) =

(

5

√292

√29)

(5

√29 ,

2

√29) ∙ (

5

√29 ,

2

√29) =

25

29+

4

29=

29

29= 1

(5

√29 ,

2

√29) ∙ (𝑥1 , 𝑥2) = 0

5

√29∙ 𝑥1 +

2

√29∙ 𝑥2 = 0

𝑥1 = −2

√29𝑥2

√29

5= −

2

5𝑥2

μ2 =𝒱′

2

|𝒱′2|

𝒱′2 = 𝒱2 − (𝒱2 ∙ μ1)μ1

(

−

2√29

295√29

29 )

𝒱′2 = 𝒱2 − (𝒱2 ∙ (

5

√292

√29

))(

5

√292

√29

)

𝒱′2 = (

11) −

[

(11)

(

5

√292

√29)

]

∙

(

5

√292

√29)

=

= (11) − [

5

√29+

2

√29] ∙ (

5

√292

√29

)

= (11) −

7

√29(

5

√292

√29

) μ2 =1

√(6

29)2+(

15

29)2(

−6

2915

29

)

= (11) − (

35

√2914

√29

) =

−6

√2915

√29

=1

√36

841+

225

841

=1

√261

841

(

−6

2915

29

) 29

√261=

1

√261

841

(5

√29

2

√29 ) ∙ (𝑥1, 𝑥2) = 0

(𝑥1

𝑥2) = (

00) (

5

√292

√29

)

−1

(

5

√292

√29)

∙ (𝑥1

𝑥2) = 0

5

√29𝑥1 +

2

√29𝑥2 = 0

−6

3√29= −

2

√29 ///

15

3√29=

5

√29 ///

(

5

√292

√29)

(

−2

√295

√29)

=−10

29+

10

29= 0

PROBLEMA 6.3

5. En ℂ𝟐 encuentre una base ortogonal comenzando con la base (𝒍, 𝒊), (𝟐 − 𝒊, 𝟑 + 𝟐𝒊 ).

Sea E𝑖 en la matriz h × h con 1 en la posición 𝑖, 𝑖 y 0 en otra parte.

μ1 = (1

√2,

𝑖

√2) 𝑦 𝒱′

2 = ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [(2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) ∙ 𝑢1]

μ1 = (𝑖, 1) 𝐴𝑠𝑖 𝑞𝑢𝑒 μ2 = (𝑖

√2,1

√2)

μ1 =𝒱1

|𝒱1| |𝒱1| = √(1 ∙ 1) + (+𝑖)(𝑖)̅ = √1 + (𝑖)(−𝑖) = √2

μ1 =(1, 𝑖)

√2= (

1

√2,

𝑖

√2)

𝒱′2 = 𝒱2 − (𝒱2 ∙ μ1)μ1

= (2 − 𝑖3 + 2𝑖

) − ((2 − 𝑖3 + 2𝑖

) ∙ (1 √2⁄

𝑖 √2⁄)) ∙ (

1 √2⁄

𝑖 √2⁄)

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [(2 − 𝑖) − (1 √2⁄ )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + (3 + 2𝑖) ∙ (𝑖 √2⁄ )̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅] ∙ [(1 √2⁄ , 𝑖 √2⁄ )]

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [√2 − 𝑖 √2⁄ − 3𝑖 √2 ⁄ + √2] ∙ [(1 √2⁄ , 𝑖 √2⁄ )]

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [2√2 − 2√2 𝑖] ∙ [1 √2⁄ , 𝑖 √2⁄ ]

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [(2√2 − 2√2 𝑖)(1 √2⁄ ), 2√2(1 − 𝑖) 𝑖 √2⁄ ]

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − [2√2

√2(1 − 𝑖), 2𝑖(1 − 𝑖) ]

= ( 2 − 𝑖, 3 + 2𝑖) − (2 − 2𝑖, + 2𝑖 + 2)

= (𝑖, 3 + 2𝑖 − 2 − 2𝑖)

= (𝑖, 1)

μ2 =𝒱′

2

|𝒱′2|

= |𝒱′2| = √< (𝑖, 1) > = √𝑖𝑖̅ + (1)(1) = √2

μ2 =(𝑖, 1)

√2= (𝑖 √2⁄ , 1 √2⁄ )

PROBLEMAS 7.2

De los problemas 1 al 14 encuentre núcleo, imagen, rango y nulidad de la

transformación lineal dada.

5. 𝐓:ℝ𝟐 → ℝ;𝐓(𝐱𝐲) = 𝐱 + 𝐲

𝑛𝑢 𝑇 = {v ∈ v: 𝑇v = 0} Sol: NuT: {(𝑥, 𝑦); 𝑥 = −𝑦}

𝑛𝑢 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/𝑇(𝑥, 𝑦) = 0} 𝑣(𝑇) = 1

𝑛𝑢 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) = 0} 𝐼𝑚(𝑇) = ℝ𝟐

𝑛𝑢 𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 = −𝑦} 𝜌(𝑇) = 𝟐

𝑛𝑢 𝑇 = {(−𝑦, 𝑦)/𝑦 ∈ ℝ}

𝑛𝑢 𝑇 =< {(−1,1)} >

𝐼𝑚𝑇 = {W ∈ W:W = 𝑇v para alguna v ∈ v}

𝐼𝑚𝑇 = {𝑇(𝑥, 𝑦)/(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ𝟐}

𝐼𝑚𝑇 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥, 𝑦 ∈ ℝ}

𝐼𝑚𝑇 = {(1,0), (0,1)}

𝐼𝑚𝑇 = ℝ𝟐

𝑣(𝑇) + 𝜌(𝑇) = dim𝑉

𝑣(𝑇) = 1

𝜌(𝑇) = 2

7. 𝑻:𝐌𝟐𝟐 → 𝐌𝟐𝟐; 𝑻(𝑨) = 𝐁𝑨, 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑩 = (𝟏 𝟎𝟑 𝟏

)

Nu𝑇 = {(0 00 0

)} , 𝑖𝑚 𝑇 = 𝐌𝟐𝟐 , 𝜌(𝑇) = 4, 𝑣(𝑇) = 0

Si A es la inversa de B entonces BA=Ι

Entonces sea 𝑉 = M22 definida M22 ⟶ M22

por 𝑇(𝐴) = (𝐵𝐴) = 0 entonces

Nu𝑇 = {(0 00 0

)}

La imagen 𝑇 = M22

𝑣(𝑇) = 0 y 𝜌(𝑇) = 𝑚 × 𝑛 = 2 × 2 = 4

(1 03 1

) (𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22) = (

0 00 0

)

21. Encuentre una transformación lineal 𝑻:ℝ𝟑 → ℝ𝟑 tal que

𝒏𝒖 𝑻 = {(𝒙,𝒚, 𝒛): 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎}.

𝑇 = (2 −1 12 −1 12 −1 1

)

𝑇 (𝑥𝑦𝑧) = (

2𝑥 −𝑦 +𝑧2𝑥 −𝑦 +𝑧2𝑥 −𝑦 +𝑧

) = B𝐴

Si 𝐴 = (𝑥𝑦𝑧)

Entonces B= (2 −1 12 −1 12 −1 1

)

PROBLEMA 7.3

De los problemas 1 al 39 encuentre la representación matricial 𝑨𝑻 de la

transformación lineal 𝐓, 𝐧𝐮 𝐓, 𝐢𝐦 𝐓, 𝐯(𝐓)𝐲 𝛒(𝐓). A menos que se especifique otra

cosa, suponga que 𝑩𝟏 y 𝑩𝟐 son bases canónicas.

7. 𝐓:ℝ𝟐 → ℝ𝟑; 𝐓 (𝐱𝐲) = (

𝐱 + 𝐲𝟑𝐱 − 𝟐𝐲𝐲 − 𝐱

)

𝑆𝑜𝑙 = 𝐴𝑇 = ( 1 3−1

1−2 1

) 𝑛𝑢 𝑇 = {(00)} 𝑖𝑚𝑔 𝑇 = 𝑔𝑒𝑛 {(

1 3−1

1−2 1

)}

𝜌(𝑇) = 2, 𝑣(𝑇) = 0

𝑇 (13) = (

1 3−1

) 𝑇 (01) = (

1−2 1

)

𝐴𝑇 = ( 1 3−1

1−2 1

)

( 1 3−1

1−2 1

)

3𝐹1 − 𝐹2

𝐹1 + 𝐹3

( 1 0 0

152) → (

1 0 0

110)

𝜌(𝑇) + 𝑣(𝑇) = 2 ⇒ 𝜌(𝑇) = 2

𝑣(𝑇) = 2 − 2 = 0

𝑛𝑢 𝑇 = {(00)}

𝑖𝑚𝑔 𝑇 = ( 1 3−1

1−2 1

)

15. 𝐓:ℝ𝟐 → ℝ𝟑; 𝐓(𝐱𝐲𝐳) = (

𝟐𝐱 + 𝐲 + 𝐳 𝐲 − 𝟑𝐳

) ;𝐁𝟏 {(𝟏𝟎𝟏) , (

𝟏𝟏𝟎) , (

𝟏𝟏𝟏)} ; 𝐁𝟐 {(

𝟏−𝟏

) , (𝟐𝟑)}

𝑆𝑜𝑙: 𝐴𝑇 = (30

7 5⁄

4 5⁄

16 5⁄

2 5⁄) , 𝜌(𝑇) = 2 𝑣(𝑇) = 𝑖𝑚 𝑇 ℝ2 y

(𝑛𝑢 𝑇)𝐵1= 𝑔𝑒𝑛 {(

5 3−6

)}

𝑇 (101) = (

3−3

) = 𝑎11 ( 1−1

) + 𝑎21 ( 2 3

)

𝑎11 + 2𝑎21 = 3 −𝑎11 + 3𝑎21 = − 3

5𝑎21 = 0

𝑎21 = 0

𝑎11 = 3

𝑇 (110) = (

31) = 𝑎12 (

1−1

) + 𝑎22 (23)

𝑎12 + 2𝑎22 = 3 −𝑎12 + 3𝑎22 = 1

5𝑎22 = 4

𝑎22 = 4 5⁄

𝑎12 + 8 5⁄ = 3

𝑎12 = 3 − 8 5⁄ = 7 5⁄

𝑇 (111) = (

4−2

) = 𝑎13 ( 1−1

) + 𝑎23 (23)

𝑎13 + 2𝑎23 = 4 −𝑎13 + 3𝑎23 = −2

5𝑎23 = 2

𝑎23 = 2 5⁄

𝑎13 = 4 − 4 5⁄ = 16 5⁄

𝐴𝑇 = (30

7 5⁄

4 5⁄

16 5⁄

2 5⁄)

𝜌(𝑇) = 2 𝑣(𝑇) = dim 𝑣 −𝜌(𝑇) = 3 − 2 = 1

(150

74

162

⋮⋮ 00)

4𝑦 + 2𝑧 = 0 5 3⁄ 𝑦

𝑦−2𝑦

𝑧 = −2𝑦

15𝑥 + 7𝑦 − 32𝑦 = 0

15𝑥 = 25𝑦

𝑥 = 5 3⁄ 𝑦

𝑛𝑢 𝐴𝑇 = 𝑔𝑒𝑛 {( 5 3⁄1

−2

)}

AUTOEVALUACIÓN 8.1

Indique si los enunciados siguientes son falsos o verdaderos

I) Los valores de una matriz triangular son los números en la diagonal de la matriz.

(VERDADERO)

Los valores característicos de una matriz triangular son las componentes diagonales de

la matriz.

𝑆𝑖 𝐴 = (

𝑎11 𝑎12

0 𝑎22

⋯ 𝑎1𝑛

⋯ 𝑎2𝑛

⋮ ⋮0 0

⋱ ⋮⋯ 𝑎𝑛𝑛

) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

𝐴 − 𝜆𝐼 = (

𝑎11 − 𝜆 𝑎12

0 𝑎22 − 𝜆 ⋯ 𝑎1𝑛

⋯ 𝑎2𝑛

⋮ ⋮0 0

⋱ ⋮ ⋯ 𝑎𝑛𝑛 − 𝜆

)

II) Si la matriz real a de 3 X 3 tiene valores característicos distintos, entonces los vectores

característicos correspondientes a esos valores característicos distintos constituyen

una base para ℝ𝟑.

(VERDADERO)

Sea 𝜆 un valor característico de la matriz 𝐴 de 3 X 3 y sea 𝐸𝜆 = {v: 𝐴v = λv}. Entonces

𝐸𝜆 es un subespacio de ℝ3.

III) Si la matriz A de 3 X 3 tiene dos valores característicos distintos, entonces A tiene a lo

más dos vectores característicos linealmente independientes.

(FALSO)

Todos los vectores son distintos y linealmente independientes.

IV) Si A tiene elementos reales, entonces A puede tener exactamente un valor

característico complejo (es decir, un valor característico a+ ib con b≠0).

(FALSO)

ℝ →esta dentro del conjunto de las ℂ

V) Si det A=0, entonces 0 es un valor característico de A.

(VERDADERO)

det A = det(𝐴 − 0𝐼) = 0

Sea A una matriz de n x n. Entonces λ es un valor característico de A si y solo si

𝜌(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

Elija la opción que corresponda acertadamente al enunciado propuesto.

VI) 1 es un valor característico de la matriz identidad 3 X 3. Su multiplicidad geométrica

es___________.

a) 1

b) 2

c) 3

𝜆 = dim𝐸𝜆 = 𝜇(𝐴 − 𝜆𝐼) = 3

VII) 1 es el único valor característico de 𝐀 = (𝟏𝟎𝟎

𝟐𝟏𝟎

𝟎𝟎𝟏).Su multiplicidad geométrica es

__________.

a) 1

b) 2

c) 3

PROBLEMA 8.1

De los problemas 1 al 29 calcule los valores característicos y los espacios

característicos de la matriz dada. Si la multiplicidad algebraica de un valor

característico es mayor que 1, calcule su multiplicidad geométrica.

7) (−𝟔𝟐 −𝟐𝟎𝟏𝟗𝟐 𝟔𝟐

)

λ = −2,2 𝐸−2 = 𝑔𝑒𝑛 {( 1−3

)}

𝐸2 = 𝑔𝑒𝑛 {(−5 16

)}

(𝐴 − 𝜆𝐼) = |−62 − 𝜆 −20192 62 − 𝜆

| = (−62 − 𝜆)(62 − 𝜆) + (20)(192)

= −622 + 62𝜆 − 62𝜆 + 𝜆2 + 2(1920)

= −3844 + 3840 + 𝜆2 = 𝜆2 − 4 ⇒ 𝜆1 = −2 𝜆2 = +2

(𝐴 − 𝐼)𝑣 = 0 (−60 −20192 64

) (𝑥1

𝑥2) = (

00)

−60𝑥1 − 20𝑥2 = 0 −3𝑥1 − 𝑥2 = 0

192𝑥1 + 64𝑥2 = 0 3𝑥1 + 𝑥2 = 0

𝐸−2 = 𝑔𝑒𝑛 {( 1−3

)}

−64𝑥1 − 20𝑥2 = 0 ⇒ −16𝑥1 − 5𝑥2 = 0

192𝑥1 + 60𝑥2 = 0 16𝑥1 + 5𝑥2 = 0

𝐸2 = 𝑔𝑒𝑛 {(−5 16

)}

11) ( 𝟏 −𝟏 𝟎−𝟏 𝟐 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟏

)

det(A − λI) = |1 − λ −1 0−1 2 − λ −10 −1 1 − λ

|

(1 − λ)(2 − λ)(1 − λ) − (1 − λ) − (1 − λ) = 0

(1 − 2λ + 2λ2)(2 − λ) − (2 − 2λ) = 0

2 − 2𝜆 + 2λ2 − 𝜆 + 2λ2 − λ3 − 2 + 2𝜆 = 0

−3λ + 4λ2 − λ3 = 0

−λ(1 − 𝜆)(3 − 𝜆) = 0

λ1 = 0 λ2 = 1 λ3 = 3

λ1 = 0

(A − I)v = 0 ( 1 −1 0−1 2 −1 0 −1 1

) (

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (000)

( 1 −1 0−1 2 −1 0 −1 1

⋮⋮⋮ 000) ⇒ 𝐹1 + 𝐹2 (

1 −1 0 0 1 −1 0 −1 1

⋮⋮⋮ 000)

𝐹1 + 𝐹2 ( 1 −1 0 0 1 −1 0 0 0

⋮⋮⋮ 000) 𝑥1 − 𝑥2 = 0

𝑥2 − 𝑥3 = 0

𝐸0 = 𝑔𝑒𝑛 {(111)}

λ2 = 1

( 0 −1 0−1 1 −1 0 −1 0

)(

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (000)

( 0 −1 0−1 1 −1 0 −1 0

⋮⋮⋮ 000) ⇒ 𝐹1 + 𝐹2 (

1 −2 1 −1 1 −1 0 −1 0

⋮⋮⋮ 000)

𝐹1 + 𝐹2 ( 1 −2 1 0 −1 0 0 −1 0

⋮⋮⋮ 000) ⇒ 𝐹2 + 𝐹3 (

1 −2 1 0 −1 0 0 0 0

⋮⋮⋮ 000) ⇒ 𝐹2

𝑥2 = 0

𝑥1 − 2𝑥2 + 𝑥3 = 0

𝐸1 = 𝑔𝑒𝑛 {( 1 0−1

)}

λ3 = 3

( −2 −1 0−1 −1 −1 0 −1 −2

)(

𝑥1

𝑥2

𝑥3

) = (000)

( −2 −1 0−1 −1 −1 0 −1 −2

⋮⋮⋮ 000) ⇒ 𝐹1 − 2𝐹2 (

−2 1 0 0 1 2 0 −1 −2

⋮⋮⋮ 000)

𝐹2 + 𝐹3 ( −2 1 0 0 1 2 0 0 0

⋮⋮⋮ 000) −2𝑥1 + 𝑥2 = 0

𝑥2 + 2𝑥3 = 0

𝐸3 = 𝑔𝑒𝑛 {( 1−2 1

)}