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todo empezo con la le Ley de Coulomb... receta para calcular E:dada la densidad de carga ρ, sepuede (en principio) integrar yobtener E

Reflexiones sobre lasLeyes de la

ELECTROSTÁTICAELECTROSTÁTICA

Luego, desarrollamos dos ideas más“refinadas”:

la Ley de GAUSS:0

ˆε

S

S

QdanE =⋅∫r

Circulación CEROdel E:

0=⋅∫γ

ldErr

usamos estas leyes para deducir cosasacerca de conductores en equilibrioelectrostático(i.e. Eint=0, cond=superf.equipot.,…) Fìsica II, 2004 2

& forman una nueva formulaciónde la electrostática (casi) equivalente ala ley de Coulomb y a menudo más útil

& NO son una receta paracalcular E, son requisitos

cualquier pareja (E(r), ρ(r)) quesatisfagan & son físicamenteposible -Y SÓLO ESTAS LOSON-

& se llaman «Ecuaciones de«Ecuaciones deCampo»Campo» y (E,ρ) que las satisfacen sellaman "soluciones" a las Ecuacionesde Campo

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el campo coulombianode una sola carga puntual, es unasolución a &

el Principio de Superposición valeporque son lineales en E y ρ(si (E1, ρ1) y (E2, ρ2) son soluciones

⇒ (E1+E2, ρ1+ρ2) también lo es)

(casi) equivalencia con laLey de Coulomb

rrqkE ˆ

2ε=

r

todos los campos E obtenidos apartir de la ley de Coulomb sonsoluciones a &

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la Ley de Gaussdefine la distribución de carga eléctricaque corresponde a un campo E dado

es equivalente alrequisito de que EXISTE un potencialV(r) y las componentes de E son (-) lasderivadas parciales de V

tiene que ser satisfecha la ley de Gauss, para cada superficie cerrada S

tiene que ser satisfecha la cerocirculación , para cada curva (laso)cerrado γ

¿Cómo usar las «Ecuacionesde Campo» & ?

0=⋅∫γ ldErr

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=zV

yV

xVE ,,

r

¡cualquier potencial V(r) define unasolución! para la distribución decarga que da la ley de Gauss

0ˆ εSSQdanE =⋅∫

r

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Un ejemplo

de hecho este efecto es responsablepor el hecho que las cargas móviles depermanezcan en el conductor (almenos para metales) aún si esteestubiese rodeado de vacío

Hay una fuerza de atracción porquecargas de signo opuesto “seacumulan” en el conductor cerca dela carga dada

Una carga fuera de unconductor planoinfinito.

¿Qué pasa?

+q

también funcionapara dipolos comomoléculas de agua

+q

- - - - -

esta fuerza también participa en la adhesiónde substancias a metales (aunque existenotros efectos que contribuyen, y en realidades mucho más complicado)

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si podemos encontrar un potencial conuna equipotencial plana y una sola cargaq a uno de los lados de esta potencial, lopodremos pensar como el potencial fueradel conductor

Entonces, la idea será buscar un potencialV(r) que es constante en el conductor(digamos cero), tenga una sola carga puntualq fuera del conductor, sea continuo sobre lasuperficie del conductor

parece bastante dificil de calcularcon la ley de Coulomb, ya que nosabemos la distribución de carga

Pero, ¿cuán fuerte es esta fuerza parauna carga q a una distancia d delconductor?

sirve el potencial de un dipolode cargas +q, -q separadas una

distancia 2d

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pero el campo fuera del conductores realmente campo debido a q másel campo que generan las cargas“aglomeradas” cerca de lasuperficies del conductor (Econd)

es un potencial quees nulo (cero) dentrodel conductor ycontinuo en lasuperficie

E fuera del conductores como el Edipolo

=conductordeldentro;0

conductordelfuera;)(

rVrV dipolo

rr

qq EEE −+ +=rrr

+q

-q

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este método de calcular se llama«Método de las Imágenes», y la“ficticia” carga -q dentro delconductor se llama “cargaimagen”

la fuerza eléctrica sobre qes

rrkqEE qCOND ˆ

2−== −

rr

( )22dkq

hacia el conductor

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Si la circulación de E en torno de los bordesde dos cuadrados vecinos es cero entonceses cero en torno de la superficie conjunta.

Una visión LOCAL denuestras “nuevas” leyes decampo...

=

Si Gauss vale para dos cubos vecinosentonces vale para la región conjunta.

=

Flujo aquí cancela

flujototal = flujo1 + flujo2

= Q1 /ε0 + Q2 /ε0 = Qtotal /ε0

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Si dividimos el espacio en pequeños cubitosy Gauss vale para cada uno entonces Gaussvale para cada región hecho de estos cubitos.

En el limite de cubitos infinitesimalesGauss equivale a una ecuacion diferencial:“∇⋅ E = ρ/ε0”

De la misma manera cuando cuadraditosson infinitesimales “circulación E cero”equivale otra ecuacion diferencial:“∇× E = 0”

Validez de Gauss para todas superficies ycirculación E cero por todos contornos

⇔ validez de estas ecuaciones en cadapunto del espacio.

Estas son la formas diferenciales de dosde las ecuaciones de Maxwell ← Laforma de los leyes de electromagnetismoque mas se usa en la práctica.

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Reticulado tridimensionalReticulado tridimensional...

En lugar de desarollar formalismo de ecaucionesdiferenciales vamos hacer algo mas sencillo ycasi equivalente:

Supongamos que representamos al mundopor un reticulado tridimensional de ladopequeño a. Esta idea de modelar al espaciocomo un conjunto de cubitos y sus puntosde intersección -los vértices de los cubitos-los espacios disponibles donde las cosaspueden ubicarse, se lo denomina«discretización del espacio»

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Existen determinados puntos delreticulado donde pueden “vivir” (estoes existir ó habitar) las cargas eléctricas,estos puntos están conectados mediantesegmentos ó tramos que determinanjustamente la estructura del reticulado(grilla).

Construyendo el«Reticulado«Reticulado

tridimensionaltridimensional»…poniendo “cubitos”

(Esta técnica es muy empleada en simulacionescomputacionales, para estudiar distintos fenómenos)

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Bajo esta concepción del espacio, sepueden dar una versión aproximada(“discretizada”) de las leyes & que involucran las componentes delcampo eléctrico E tangentes a lostramos

En esta “visión” nuestras leyes quedan:

Circulación de E = 0: al recorrer un camino cerradodeterminado a través de los segmentosó tramos de la grilla del reticulado lasuma de las componentes tangentesdel E a cada segmento = 0

||E

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la Ley de GAUSS,Para cada punto del reticulado el flujoeléctrico a través la superficie de uncubo de lado a centrado en el punto es

a2 (E1 + E2 + E3 + E4 + E5 + E6), y debe ser igual a

q/ε0 con q la carga en el punto.

||E

||E

1

2

3

4

5

6

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Circulación E = 0 ⇒ podemos definir potencial φen cada punto del reticulado de la misma maneracomo en espacio continuo.

Para cada segmento φfin - φorigen ≡ ∆φ = -a Eo

E = -∆φ/a ← versión discreta de Ex = -∂φ/∂x

Conversamente, si hay φ automáticamente lacirculación de E = 0.

1

2

3

4a (E1 + E2 + E3 + E4 ) = sumade cambios de φ por el contorno

¿y Gauss? - calculamos q en cada punto delreticulado a partir de E usando Gauss. Paraestos q Gauss vale.

q = 6aε0 (φ - <φ>vecinos)

← versión discreta de ecuación deLaplace: “∇ 2φ = -ρ/ε0”

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La diferencia entre dos puntos delreticulado determina el valor del campoeléctrico; de forma tal que:

Un último vistazo alpotencial...

Pensemos en nuestro reticulado peroahora, para simplificar ideas, en el casobi-dimensional, es decir, en el plano

)1()2( VVaE −=−

esto permite pensar en una analogíaentre esta “estructura reticular” y unatela donde en cada punto del tejidorepresenta los puntos del retículo dondepueden vivir las cargas y los tramos queunen los puntos del retículo serían loshilos que conforman el tejido y seinterceptan en los nudos del tejido

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De esta manera, se puede pensar alpotencial como una representación de laaltura a la cual se encuentra cada “nudo”del tejido, la tensión en los hilos deltejido entre los distintos “nudos”representaría -en este modelo- el campoeléctrico.

Uno podría pensar en cierta manera, enque el efecto de poner cargas sobre elretículo es como poner cada punto deltejido a distintas altura de forma tal quela forma que el tejido tomase sería laforma del potencial

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Las leyes físicas que gobiernan estosfenómenos no son exclusivas delelectromagnetismo, aparecen en muchasotras áreas; como por ejemplo, procesosdifusivos, tales como, disipación de calor,procesos de morfogénesis (patrones deformación de manchas ó pelajes), etc...

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formulamos dos leyes quedescriben los fenómenoseléctricos (junto con otras dosleyes más, estas 4 ecuaciones rigenel electromagnetismo -ecuacionesde Maxwell-)

vimos un método para determinarel potencial eléctrico: «Métodode las Imágenes»

vimos una técnica para discretizarel espacio: no sólo útil paradeterminar potenciales eléctricos,sino para otras aplicaciones(simulaciones computacionales,etc...)

RESUMEN