Capítulo 21

Óptica

1

Reflexión y refracción

Las leyes de la reflexión y de la refracción nos dicen lo siguiente:

• Los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en un mismoplano, perpendicular a la superficie de separación.

• Los ángulos incidente y reflejado son iguales:

θi = θr

• Los ángulos incidente y transmitido están relacionados por la ley deSnell:

n1 sen θi = n2 sen θt

Fibras ópticas

El ángulo crítico para la reflexión total es:

sen θc =n2

n1sen 90◦ =

n2

n1

La apertura numérica de una fibra óptica vale:

n0 senαmax =√nd

2 − nf2

Refracción en una superficie esférica

La distancia del objetop y de la imagenq a la lente están relacionadas através de:

n1

p+n2

q=n2 − n1

R

en dondeR es el radio de curvatura.

Criterio de signos:

• p es positivo si está antes que la superficie esférica según la direccióndel flujo luminoso.

• q es positivo si está situado detrás de la superficie esférica.

• R es positivo cuando el centro de la superficie esférica está más alláde la misma, es decir, cuando la superficie es convexa.

Parámetros de una superficie esférica

La potencia ópticaP es igual a:

P =n2 − n1

R

P se mide endioptrías, que poseen unidades de m−1.

La distancia focal primera se define como la distancia a la que hay quecolocar un objeto para que su imagen se forme en el infinito, y vale:

f1 =n1

P

La distancia focal segunda es aquella a la que se forma la imagen de unobjeto en el infinito:

f2 =n2

P

El aumento lateral es la relación entre el tamaño del objeto y el de laimagen:

M =h′

h= −n1q

n2p

Lentes

La ecuación que en general relacionap conq es:

n1

p+n2

q=nL − n1

R1+n2 − nLR2

Cuando los dos medios son el aire, los radios de curvatura se consideranpositivos para las superficies convexas, y negativos para las cóncavas.Entonces se verifica laecuación del constructor de lentes:

1

p+

1

q= (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)

Características de las lentes

La potencia ópticade una lente vale:

P = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

).

Cuandon1 = n2 = 1, las distancias focales son iguales:

f1 = f2 =1

P

El aumento lateral vale:

M =h′

h= −q

p

Tipos de lentes e imágenes

Si la potencia es positivaP > 0 se dice que la lente es convergente. Estoocurre cuando domina el carácter convexo de la lente. SiP < 0 la lentees divergente y domina el carácter cóncavo.

Si q > 0, la imagen está invertida y es real. Siq < 0, la imagen estáderecha y es virtual.

Potencia Carácter q Imagen Aumento

P > 0 p > f1 Convergente q > 0 Real M < 0

P > 0 p < f1 Convergente q < 0 Virtual M > 0

P < 0 Divergente q < 0 Virtual M > 0

Problema 21.1

¿Cuál es el ángulo crítico de reflexión total entre el agua yel aire? ¿Existe un ángulo de reflexión total entre el aire yel agua?

Problema 21.2

Un rayo luminoso incide sobre una superficie de agua for-mando un ángulo de 30◦ con la horizontal. ¿Qué ángulosforman con la horizontal los rayos reflejado y transmitido?

Problema 21.3

Un rayo luminoso incide oblicuamente sobre una piscinacon agua. Parte del rayo se refleja en la superficie delagua y otra parte, tras penetrar en el agua, se refleja en elsuelo de la piscina y luego sale al aire. Demuestra que losdos rayos emergentes son paralelos.

Problema 21.4

El ángulo de Brewster entre dos medios es el ángulo deincidencia tal que la suma de los ángulos de reflexión yde refracción es igual a 90◦. La luz reflejada de un rayoincidente con el ángulo de Brewster sale linealmente pola-rizada. Deduce el valor del ángulo de Brewster en funciónde los índices de refracción de los dos medios involucra-dos.

Problema 21.5

Los índices de refracción de los plásticos interior y exteriorde una fibra óptica son 1.7 y 1.1, respectivamente. Deter-mina el ángulo crítico y la apertura numérica de la fibra.

Problema 21.6

Una fibra óptica posee una apertura numérica de 0.9 y unángulo crítico de 52◦. Calcula los índices de refracción delos plásticos interior y exterior de la misma.

Problema 21.7

Situamos un objeto a 2 m de una superficie esférica de 2dioptrías de potencia que separa aire de agua. ¿Dóndese forma la imagen? ¿Y si la potencia óptica fuera de −2dioptrías?

Problema 21.8

Una superficie esférica de 40 cm de radio separa aire deun medio con un índice de refracción de 1.8. Situamos unobjeto de 2 mm de altura en el aire a una distancia de 2m de la superficie esférica, que es convexa vista desde elobjeto. Calcula:(a) la potencia óptica de la superficie esférica,(b) las dos distancias focales,(c) dónde se forma la imagen,(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.9

Una superficie esférica de 0.8 m de radio separa dos me-dios con índices de refracción de 1.2 y 1.8. Situamos unobjeto de 5 mm de altura en el medio con índice de re-fracción igual a 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superfi-cie esférica, que es cóncava vista desde el objeto. Calcu-la:(a) la potencia óptica de la superficie esférica,(b) las dos distancias focales,(c) dónde se forma la imagen,(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.10

Una superficie esférica separa dos medios con índices derefracción de 1.2 y 1.8. Un objeto situado en el medio conn1 = 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superficie esféricaproduce una imagen en el mismo medio a una distancia de0.3 m de la superficie. ¿Cuál es el radio de curvatura de lasuperficie esférica? ¿Cuál sería dicho radio si la imagense formara a 1 m de la superficie en el mismo medio queel objeto?

Problema 21.11

Una superficie esférica posee dos distancias focales igua-les a 0.6 m y 0.9 m. Determina el radio de curvatura dedicha superficie.

Problema 21.12

Demuestra que el rayo óptico que pasa por el centro de lalente que separa dos medios iguales no cambia su direc-ción. Encuentra el desplazamiento lateral que experimen-ta en función del grosor de la lente (sin utilizar la aproxima-ción de lente delgada) y del ángulo que forma con el ejeóptico.

Problema 21.13

Una lente biconvexa está hecha de un material con un ín-dice de refracción igual a 1.7. Sus radios de curvatura sonde 0.4 m y 0.6 m. Situamos un objeto de 2 mm de altura auna distancia de 2 m de la lente. Calcula:(a) la potencia óptica de la lente,(b) las dos distancias focales,(c) dónde se forma la imagen,(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.14

Una lente plano–cóncava está hecha de un material conun índice de refracción igual a 1.6. El radio de curvaturade la superficie curva es de 0.5 m. Situamos un objetode 1 cm de altura a una distancia de 0.3 m de la lente.Calcula:(a) la potencia óptica de la lente,(b) las dos distancias focales,(c) dónde se forma la imagen,(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.15

Una lente cóncavo–convexa posee una potencia óptica de4 dioptrías. Situamos un objeto de 1 cm de altura a unadistancia de 0.1 m de la lente. Calcula:(a) las dos distancias focales,(b) dónde se forma la imagen,(c) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.16

Dibuja los rayos ópticos que pasan por los dos focos enlos tres ejercicios anteriores.

Problema 21.17

Demuestra que la imagen virtual producida por una lenteconvergente es siempre mayor que el objeto, y que la ima-gen producida por una lente divergente es siempre menorque el objeto.

Problema 21.18

Encuentra a qué distancia de una lente hemos de situarun objeto para que los tamaños de la imagen y del objetosean iguales.

Problema 21.19

Una lente plano–cóncava posee una potencia de −2 diop-trías y está hecha de un material con un índice de refrac-ción igual a 1.6. ¿Cuál es el radio de curvatura de su su-perficie curva? ¿Cuánto valen las distancias focales?

Problema 21.20

Una lente bicóncava simétrica está hecha de un materialcon un índice de refracción igual a 1.7 y está inmersa enun líquido con un índice de refracción de 1.3. Sus radiosde curvatura son de 0.8 m. Situamos un objeto de 4 mmde altura a una distancia de 1 m de la lente. Calcula:(a) la potencia óptica de la lente,(b) las dos distancias focales,(c) dónde se forma la imagen,(d) el aumento lateral,(e) el tamaño y el tipo de la imagen.

Problema 21.21

Una lente biconvexa simétrica posee unos radios de cur-vatura de 0.4 m. Si sus distancias focales son iguales a0.6 m, ¿cuál es el índice de refracción del material con elque está construida la lente?

21.1 ¿Cuál es el ángulo crítico de reflexión total entre el agua y el aire? ¿Existeun ángulo de reflexión total entre el aire y el agua?

El ángulo crítico entre el agua y el aire es:

θc = arcsinn2

n1= arcsin

1

1.33= 48.7◦.

No hay reflexión total desde el aire al agua, ya que el índice de refracciónde ésta es mayor que el de aquel.

21.2 Un rayo luminoso incide sobre una superficie de agua formando un án-gulo de 30◦ con la horizontal. ¿Qué ángulos forman con la horizontal los rayosreflejado y transmitido?

El ángulo de incidencia valeθi = 90 − 30 = 60◦. El de reflexión estambién60◦, por lo que el rayo reflejado forma un ángulo de30◦ conla horizontal. El ángulo de transmisión viene dado por la ley de Snell,n1 sen θi = n2 sen θt, y despejando tenemos:

θt = arcsin

(1

1.33sen 60◦

)= 40.6◦.

El rayo transmitido forma un ángulo de90 − 40.6 = 49.4◦ con la hori-zontal.

21.3 Un rayo luminoso incide oblicuamente sobre una piscina con agua. Partedel rayo se refleja en la superficie del agua y otra parte, tras penetrar en elagua, se refleja en el suelo de la piscina y luego sale al aire. Demuestra quelos dos rayos emergentes son paralelos.

Deseamos demostrar queθ1 = θ6. Porla ley la de reflexión sabemos queθi =θ1. Por la ley de Snell:

θ2 = arcsin

(n1

n2sen θi

).

Por ser las dos superficies paralelas,θ3 = θ2 y θ5 = θ4. Por la ley dela reflexión,θ4 = θ3. O sea, queθ5 = θ2. Finalmente, la ley de Snellaplicada al rayo de salida nos dice:

θ6 = arcsin

(n2

n1sen θ5

)= arcsin

(n2

n1sen θ2

)

= arcsin

(n2

n1

n1

n2sen θi

)= θi = θ1.

21.4 El ángulo de Brewster entre dos medios es el ángulo de incidencia talque la suma de los ángulos de reflexión y de refracción es igual a 90◦. Laluz reflejada de un rayo incidente con el ángulo de Brewster sale linealmentepolarizada. Deduce el valor del ángulo de Brewster en función de los índicesde refracción de los dos medios involucrados.

Para el ángulo de Brewster tenemosθr + θt = 90◦. La ley de la reflexiónnos diceθr = θi = θB, y la de la refracción:

n1 sen θB = n2 sen θt.

Por tanto:

n1 sen θB = n2 sen(90− θB) =⇒ tan θB =n2

n1.

21.5 Los índices de refracción de los plásticos interior y exterior de una fibraóptica son 1.7 y 1.1, respectivamente. Determina el ángulo crítico y la aperturanumérica de la fibra.

El ángulo crítico viene dado por:

θc = arcsinnf

nd= arcsin

1.1

1.7= 40.3◦.

La apertura numérica de la fibra óptica es igual a:

n0 senα =√n2

d − n2f =√

1.72 − 1.12 = 1.30.

21.6 Una fibra óptica posee una apertura numérica de 0.9 y un ángulo críticode 52◦. Calcula los índices de refracción de los plásticos interior y exterior de lamisma.

Sabemos las siguientes relaciones:

sen 52◦ =nf

nd= 0.79

0.9 =√n2

d − n2f =⇒ 0.81 = n2

d − n2f .

De aquí deducimos:0.81 = n2

d(1− 0.792).

Y los índices de refracción valen:

nd = 1.47 y nf = 1.47 · 0.79 = 1.16.

21.7 Situamos un objeto a 2 m de una superficie esférica de 2 dioptrías depotencia que separa aire de agua. ¿Dónde se forma la imagen? ¿Y si lapotencia óptica fuera de −2 dioptrías?

La ecuación que gobierna dónde se forma la imagen para una superficieesférica es:

n1

p+n2

q= P =⇒ 1

2+

1.33

q= 2.

Luego la imagen se forma en:

q =1.33

2− (1/2)= 0.89 m.

Si la potencia óptica es de−2 dioptrías tenemos:

1

2+

1.33

q= −2 =⇒ q =

1.33

−2− (1/2)= −0.53 m.

En este caso, la imagen se forma delante de la superficie esférica.

21.8 Una superficie esférica de 40 cm de radio separa aire de un medio conun índice de refracción de 1.8. Situamos un objeto de 2 mm de altura en el airea una distancia de 2 m de la superficie esférica, que es convexa vista desde elobjeto. Calcula:

(a) la potencia óptica de la superficie esférica,

(b) las dos distancias focales,

(c) dónde se forma la imagen,

(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) La potencia óptica de la superficie esférica vale:

P =n2 − n1

R=

1.8− 1

0.4= 2 dioptrías.

(b) La distancia focal primera es:

f1 =n1

P=

1

2= 0.5 m.

Y la segunda vale:

f2 =n2

P=

1.8

2= 0.9 m.

(c) La imagen se forma enq dado por la ecuación:

n1

p+n2

q= P =⇒ q =

1.8

2− (1/2)= 1.2 m.

(d) La imagen es real e invertida (por serq > 0) y su tamaño es:

h′ = −hn1q

n2p= −0.002

1 · 1.21.8 · 2

= −0.00067 m.

21.9 Una superficie esférica de 0.8 m de radio separa dos medios con índicesde refracción de 1.2 y 1.8. Situamos un objeto de 5 mm de altura en el mediocon índice de refracción igual a 1.2 a una distancia de 0.6 m de la superficieesférica, que es cóncava vista desde el objeto. Calcula:

(a) la potencia óptica de la superficie esférica,

(b) las dos distancias focales,

(c) dónde se forma la imagen,

(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) La potencia óptica de la superficie esférica viene dada por:

P =n2 − n1

R=

1.8− 1.2

−0.8= −0.75 dioptrías.

(b) La distancia focal primera vale:

f1 =n1

P=

1.2

−0.75= −1.6 m,

y la segunda:

f2 =n2

P=

1.8

−0.75= −2.4 m.

(c) La imagen se forma a una distanciaq dada por:n1

p+n2

q= P

y despejando tenemos:

q =1.8

−0.75− (1.2/0.6)= −0.65 m.

(d) La imagen es virtual y derecha (por serq < 0) y su tamaño es:

h′ = −hn1q

n2p= 0.005

1.2 · 0.65

1.8 · 0.6= 0.0036 m.

21.10 Una superficie esférica separa dos medios con índices de refracción de1.2 y 1.8. Un objeto situado en el medio con n1 = 1.2 a una distancia de 0.6m de la superficie esférica produce una imagen en el mismo medio a una dis-tancia de 0.3 m de la superficie. ¿Cuál es el radio de curvatura de la superficieesférica? ¿Cuál sería dicho radio si la imagen se formara a 1 m de la superficieen el mismo medio que el objeto?

La ecuación que gobierna el comportamiento óptico de una superficieesférica es:

n1

p+n2

q= P =⇒ 1.2

0.6+

1.8

−0.3=

1.8− 1.2

R.

De aquí deducimos el radio de curvatura:

2− 6 =0.6

R=⇒ R = −0.15 m.

Cuando la imagen se forma 1 m delante de la superficie esférica, tenemos:

1.2

0.6+

1.8

−1=

1.8− 1.2

R=⇒ 2− 1.8 =

0.6

R

y el radio de curvatura valeR = 0.33 m.

21.11 Una superficie esférica posee dos distancias focales iguales a 0.6 m y0.9 m. Determina el radio de curvatura de dicha superficie.

Las distancias focales están dadas por:

f1 =n1

P= 0.6 y f2 =

n2

P= 0.9.

Dividiendo ambas expresiones obtenemos:

n1

n2=

0.6

0.9=

2

3

y la potencia óptica vale:

P =n2 − n1

R=n1((3/2)− 1)

R=n1

2R.

Sustituimos este resultado en el valor de la distancia focal primera:

f1 =n1

n1/(2R)= 2R = 0.6 =⇒ R = 0.3 m.

21.12 Demuestra que el rayo óptico que pasa por el centro de la lente que se-para dos medios iguales no cambia su dirección. Encuentra el desplazamientolateral que experimenta en función del grosor de la lente (sin utilizar la aproxi-mación de lente delgada) y del ángulo que forma con el eje óptico.

Cerca del eje óptico podemos supo-ner que las dos superficies de una lenteson paralelas entre sí y perpendicula-res al eje óptico. Entonces,β = β1,por ser las superficies paralelas, sien-doβ1 el ángulo que forma el rayo inci-dente con la segunda superficie de se-paración. Además la ley de Snell nosdice:

n1 senα = n2 sen βn2 sen β = n1 senα1

=⇒ α = α1.

Pasamos a calcular la separación entre el rayo real y uno que siemprefuera en línea recta. La distancia entre ambos a lo largo de la segundasuperficie de separación vale:

d′ = L tanα− L tan β,

en dondeL es la anchura de la lente. Recordemos queα y β están rela-cionados por la ley de Snell. Finalmente tenemos que la separación entrelos rayos es:

d = d′ cosα = L cosα(tanα− tan β).

21.13 Una lente biconvexa está hecha de un material con un índice de refrac-ción igual a 1.7. Sus radios de curvatura son de 0.4 m y 0.6 m. Situamos unobjeto de 2 mm de altura a una distancia de 2 m de la lente. Calcula:

(a) la potencia óptica de la lente,

(b) las dos distancias focales,

(c) dónde se forma la imagen,

(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) La potencia óptica de la lente viene dada por:

P = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)

= (1.7− 1)

(1

0.4+

1

0.6

)= 2.92 dioptrías.

(b) Las distancias focales son iguales a:

f1 = f2 =1

P=

1

2.92= 0.34 m.

(c) La imagen se forma a una distanciaq dada por:

1

p+

1

q= P =⇒

q =

(P − 1

p

)−1=

(2.92− 1

2

)−1= 0.41 m.

(d) La imagen es real e invertida (por serq > 0) y su tamaño es:

h′ = −hqp

= −0.0020.41

2= −0.00041 m.

21.14 Una lente plano–cóncava está hecha de un material con un índice derefracción igual a 1.6. El radio de curvatura de la superficie curva es de 0.5m. Situamos un objeto de 1 cm de altura a una distancia de 0.3 m de la lente.Calcula:

(a) la potencia óptica de la lente,

(b) las dos distancias focales,

(c) dónde se forma la imagen,

(d) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) La potencia óptica de la lente viene dada por:

P = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)

= (1.6− 1)

(1

∞+

1

−0.5

)= −1.2 dioptrías.

(b) Las distancias focales son iguales a:

f1 = f2 =1

P=

1

−1.2= −0.83 m.

(c) La imagen se forma a una distanciaq dada por:

1

p+

1

q= P =⇒

q =

(P − 1

p

)−1=

(−1.2− 1

0.3

)−1= −0.22 m.

(d) La imagen es virtual y derecha (por serq < 0) y su tamaño es:

h′ = −hqp

= −0.01−0.22

0.3= 0.00735 m.

21.15 Una lente cóncavo–convexa posee una potencia óptica de 4 dioptrías.Situamos un objeto de 1 cm de altura a una distancia de 0.1 m de la lente.Calcula:

(a) las dos distancias focales,

(b) dónde se forma la imagen,

(c) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) Las distancias focales son iguales a:

f1 = f2 =1

P=

1

4= 0.25 m.

(b) La imagen se forma a una distanciaq dada por:

1

p+

1

q= P =⇒

q =

(P − 1

p

)−1=

(4− 1

0.1

)−1= −0.17 m.

(c) La imagen es virtual y derecha (por serq < 0) y su tamaño es:

h′ = −hqp

= −0.01−0.17

0.1= 0.017 m.

21.16 Dibuja los rayos ópticos que pasan por los dos focos en los tres ejerciciosanteriores.

Rayos ópticos del problema 21.13:

Rayos ópticos del problema 21.14:

Rayos ópticos del problema 21.15:

21.17 Demuestra que la imagen virtual producida por una lente convergentees siempre mayor que el objeto, y que la imagen producida por una lente diver-gente es siempre menor que el objeto.

Como el tamaño de la imagen es|h′| = h|q|/p, ella será mayor que elobjeto siempre que|q| > p y viceversa. Una lente convergente produceuna imagen virtual cuandop < P−1 y entonces tenemos:

1

p+

1

q= P =⇒ 1

|q|=

∣∣∣∣∣P − 1

p

∣∣∣∣∣ < 1

p=⇒ |q| > p.

Si la lente es divergenteP < 0 y se verifica:

1

|q|=

∣∣∣∣∣P − 1

p

∣∣∣∣∣ > 1

p=⇒ |q| < p.

21.18 Encuentra a qué distancia de una lente hemos de situar un objeto paraque los tamaños de la imagen y del objeto sean iguales.

De acuerdo con el problema anterior vemos que habrá de ser una lenteconvergente. Queremos que se verifiquep = q luego:

1

p+

1

p= P =⇒ 2

p= P =⇒ p =

2

P= 2f1.

21.19 Una lente plano–cóncava posee una potencia de −2 dioptrías y estáhecha de un material con un índice de refracción igual a 1.6. ¿Cuál es el radiode curvatura de su superficie curva? ¿Cuánto valen las distancias focales?

La potencia óptica de la lente viene dada por:

P = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)=⇒ − 2 = (1.6− 1)

(1

∞+

1

R

)

De aquí despejamos el radio de curvatura:

R =0.6

−2= −0.3 m.

Las distancias focales son iguales a:

f1 = f2 =1

P=

1

−2= −0.5 m.

21.20 Una lente bicóncava simétrica está hecha de un material con un índicede refracción igual a 1.7 y está inmersa en un líquido con un índice de refracciónde 1.3. Sus radios de curvatura son de 0.8 m. Situamos un objeto de 4 mm dealtura a una distancia de 1 m de la lente. Calcula:

(a) la potencia óptica de la lente,

(b) las dos distancias focales,

(c) dónde se forma la imagen,

(d) el aumento lateral,

(e) el tamaño y el tipo de la imagen.

(a) La potencia óptica de la lente vale:

P = (nL − n1)

(1

R1+

1

R2

)

= (1.7− 1.3)2

−0.8= −1 dioptrías.

(b) Las distancias focales son:

f1 = f2 =1

P=

1.3

−1= −1.3 m.

(c) La imagen se forma a una distanciaq dada por:n1

p+n1

q= P.

Despejandoq obtenemos:

q = n1

(P − n1

p

)−1= 1.3

(−1− 1.3

1

)−1= −0.57 m.

(d) El aumento lateral de la lente es:

M =h′

h= −q

p=

0.57

1= 0.57.

(e) La imagen es virtual y derecha (por serq < 0) y su tamaño es:

h′ = Mh = 0.57 · 0.004 = 0.0023 m.

21.21 Una lente biconvexa simétrica posee unos radios de curvatura de 0.4 m.Si sus distancias focales son iguales a 0.6 m, ¿cuál es el índice de refraccióndel material con el que está construida la lente?

La potencia de la lente vale:

P =1

f=

1

0.6= 1.67 dioptrías,

y su expresión es:

P = 1.67 = (nL − 1)

(1

R1+

1

R2

)= (nL − 1)

2

0.4.

De aquí despejamosnL:

nL = 1 +1.67

5= 1.33.