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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química

Física 2º Bachillerato - Movimientos Oscilatorios. El oscilador armónico 1

MOVIMIENTOS OSCILATORIOS. EL OSCILADOR ARMÓNICO - RESUMEN

1. Movimientos Oscilatorios.

Un movimiento es periódico cuando se repiten cada cierto tiempo algunas de las magnitudes que lo caracterizan, tales como la posición del móvil y su velocidad. Dentro de este tipo de movimientos está el mov. circular uniforme. Hay otros movimientos periódicos que no son circulares como, por ejemplo, el de un péndulo o el de un cuerpo unido a un muelle. En estos casos, el movimiento de vaivén se produce sobre la misma trayectoria, oscilando el cuerpo de un lado a otro. A este tipo de mov. Periódicos se les llama “ oscilatorios o vibratorios “. Estos movimientos se caracterizan por las siguientes magnitudes: • Período ( T ) : Tiempo que tarda en producirse una oscilación completa (ida y vuelta). • Frecuencia ( f o < ) : Número de oscilaciones que se realizan en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I. es s-1 = Hertzio (Hz). Ambas magnitudes está relacionada de la forma:

f1T =

Este tipo de movimientos se producen cuando el cuerpo es separado de su posición de equilibrio estable, tendiendo a recuperar dicha posición oscilando alrededor de ella. Las oscilaciones son “ libres “ si sobre el cuerpo no actúan fuerzas disipativas y, por lo tanto, oscilará indefinidamente. Las oscilaciones son “ amortiguadas “ cuando actúan fuerzas disipativas, terminando el cuerpo por quedar en reposo en la posición de equilibrio.

2. Movimiento Armónico Simple. Cuando la fuerza restauradora que tiende a devolver al cuerpo a la posición de equilibrio es proporcional a la distancia respecto a la posición de equilibrio, el movimiento oscilatorio se le llama movimiento vibratorio armónico simple ( MVAS ). Estas fuerzas son del tipo F = - k x , como ocurre, por ejemplo, en cuerpos unidos a muelles y en péndulos para pequeñas amplitudes de oscilación, entre otros. Se les llama armónicos porque la posición del cuerpo es una función sinusoidal del tiempo y a las funciones sinusoidales se les suele llamar armónicas.

3. Ecuaciones del MVAS. Si se representa gráficamente la posición x, respecto a la posición de equilibrio, de un cuerpo con MVAS en función del tiempo nos aparece una gráfica que puede ser igual a la del coseno o del seno en función de cuando se comience a contar el tiempo.

Si el tiempo se empieza a contar ( t=0 ) desde el extremo positivo de la oscilación, la posición en función del tiempo es del tipo del coseno. En cambio, si comenzamos a contar el tiempo cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndose hacia posiciones positivas, la posición en función del tiempo es del tipo del seno. Ambas representaciones equivalen al mismo tipo de movimiento y elegir una u otra sólo depende de cuando empezamos a contar el tiempo.



En general, y si utilizamos la primera representación, la ecuación de un MVAS es de la forma:

( )δ+ω= tcsAx donde: • x : Representa la posición del móvil, con respecto a la posición de equilibrio, y se le llama “ elongación “. Sus valores son positivos hacia la derecha de la posición de equilibrio y negativos hacia la izquierda ( o positivos hacia arriba y negativos hacia abajo ). • A : Es el máximo o mínimo valor posible de la elongación y recibe el nombre de elongación máxima o “ amplitud “. • ω : Es la frecuencia angular o pulsación y está relacionada con el período y la frecuencia de la forma:

f2T

2π=

π=ω

Su unidad en el S.I. es el rad/s. • ( ω t + δ ) : Fase del movimiento. • δ : Fase inicial o constante de fase. Su valor se calcula de modo que, al hacer t = 0 , se obtiene la posición inicial del oscilador. Es decir:

Ax

coscosAx 00 =δ⇒δ=

¿Qué ecuación utilizar para el MVAS? Se puede utilizar tanto la función seno o coseno. Sin embargo, suele escribirse: • x = A cos ωt : cuando se empieza a contar el tiempo cuando el cuerpo está situado en el extremo de máxima elongación positiva. • x = A sen ωt : cuando se empieza a contar el tiempo cuando el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio moviéndose hacia la parte positiva de la elongación. • En cualquier otro caso puede utilizarse la función seno o coseno calculando previamente la fase inicial δ , teniendo en cuenta el valor de x para t = 0.

En el cuadro adjunto se representan algunas ecuaciones en función de la posición inicial del cuerpo. Posición Inicial

Ec. Función del seno

Ec. Función del coseno

P. Equilibrio hacia x > 0

x=A sen ωt x=A cos(ω t-π/2)

P. Equilibrio hacia x < 0

x=A sen( ωt-π ) x=Acos(ω t+π/2)

Extremo A > 0

x=Asen( ωt+π/2 ) x=A cos ω t

Extremo A < 0

x=A sen( ωt-π/2 ) x=A cos(ω t-π)

3. Velocidad y Aceleración en el MVAS La velocidad se obtendrá como la derivada de la posición con respecto al tiempo y la aceleración como derivada de la velocidad con respecto al tiempo. En función de si consideramos como ecuación de la posición una función coseno o seno así serán las expresiones de la velocidad y aceleración: • Si ( )δ+ω= tcosAx , entonces:

( )δ+ωω−= tsenAv

( )δ+ωω−= tcosAa 2 • Si ( )δ+ω= tsenAx , entonces:

( )δ+ωω= tcosAv

( )δ+ωω−= tsenAa 2 Sea cual sea la ecuación elegida para la posición, podemos observar que tanto la velocidad como la aceleración varían de forma sinusoidal con el tiempo. • Velocidad y aceleración en función de la posición Independientemente de la ecuación elegida para la posición (seno o coseno) la velocidad y la aceleración están relacionadas con la posición de la forma:

xaxAv 222 ω−=−ω±=



En el caso de la velocidad, dado el doble signo implícito en la raíz cuadrada se obtienen siempre dos soluciones de velocidad para cada valor de x, una positiva (de ida) y otra negativa (de vuelta), ambas con el mismo valor.

• La velocidad es cero cuando x = A, es decir, en los extremos. • La velocidad es máxima cuando x = 0, este valor es teniendo en cuenta el doble signo de la raíz cuadrada.

Avmax ω±=

• La aceleración es nula en la posición de equilibrio (x=0) ya que lo es también la fuerza restauradora. • La aceleración es máxima en los extremos, ya que también lo es la fuerza restauradora, y su valor es . Aa 2

max ω−=

• el sentido de la aceleración es siempre opuesto al de la posición x. La representación gráfica de las variaciones de posición, velocidad y aceleración, suponiendo que consideramos

son: ( δ+ω= tcosAx )

Se puede ver que las tres varían de forma armónica aunque van desfasadas unas con respecto a otras. 4. Dinámica del MVAS. La fuerza recuperadora es de la forma F = - K x , que producirá una aceleración al cuerpo de masa m dada por:

xmkakxma −=⇒−=

y como a = - ω2 x , tendremos que:

mk

mk2 =ω⇒=ω

por lo tanto, la frecuencia angular ω será una característica del oscilador ya que depende de k y m, magnitudes físicas que dependen del oscilador. El período y la frecuencia del oscilador se pueden expresar también en función de las características del oscilador k y m de la forma:

mk2f

km2T π=π=

Por lo tanto, el período y la frecuencia de un oscilador armónico dependen de la masa del oscilador y de la constante restauradora del sistema pero es independiente de la amplitud.

5. Energía en el MVAS. Las fuerzas restauradoras que obedecen a la ley de Hooke son “ conservativas “, por lo tanto, podemos definir una función de Energía potencial que es de la forma Ep = ½ k x2 considerando que el nivel cero de Ep está en la posición de equilibrio ( x=0 ). Un cuerpo con MVAS tendrá en determinado instante una Ep y una Ec que, si tenemos en cuenta que y que ω

( )δ+ω= tcosAx2 = k/m vendrá dada por:

( )

( )δ+ω=

δ+ω=

tsenkA21E

tcoskA21E

22c

22p



6. El péndulo simple. Ambas energías varían de forma periódica siendo:

En un péndulo simple la fuerza restauradora que hace que oscile es la componente tangencial del peso de valor: θ= senmgF

Energía Potencial • Valor mínimo Ep = 0 para la posición de equilibrio x = 0.

Para ángulos pequeños, el arco de circunferencia descrito por el cuerpo es casi una recta, y la fuerza restauradora se puede expresar como:

• Valor máximo Epmax = ½ kA2 en los extremos- Energía Cinética • Valor mínimo Ec = 0 en los extremos.

Lx

• Valor máximo Ecmax = ½ kA2 en la posición de equilibrio x= 0.

mgF −=

donde x es la separación horizontal con respecto a la posición de equilibrio y L la longitud del péndulo.

Por lo tanto, un oscilador armónico ( si sólo existe la fuerza restauradora y no hay fuerzas disipativas ) irá transformando la Ep en Ec y viceversa, permaneciendo constante su energía mecánica cuyo valor será:

Por lo tanto, la fuerza restauradora es

directamente proporcional a la separación de la posición de equilibrio y de signo contrario a ella, luego un péndulo, para pequeños ángulos, llevará un MVAS.

Em = ½ kA2

Las variaciones de Ep y Ec con respecto a la posición serán:

La aceleración será:

x

Lx

⇒

Lga

mgma

−=

−=

y como a = - ω2 x , tendremos que:

En la gráfica siguiente se representan las variaciones de la Ec y Ep y posición en función del tiempo.

gL2Ty π=

Lg

=ω

Luego, el período de oscilación de un péndulo simple, para pequeños ángulos de separación, depende de la longitud del péndulo y del valor de la aceleración de la gravedad, pero es independiente de la masa que tenga.



MOVIMIENTOS OSCILATORIOS. EL OSCILADOR ARMÓNICO - CUESTIONES Y EJERCICIOS

CUESTIONES 1. En la primera de las dos gráficas se representa la variación con el tiempo del desplazamiento (elongación) que experimenta una partícula que se mueve con un movimiento armónico simple.

a) ¿Cuál de las curvas numeradas, en la segunda gráfica, puede representar la variación de la aceleración con el tiempo del citado m.a.s.?. b) Representa gráficamente las energías cinética, potencial y total del anterior m.a.s. en función del tiempo utilizando los mismos ejes para las tres curvas. Nota: Las respuestas deberán ser razonadas. PAU - Cantabria. a) La ecuación de la elongación correspondiente a la gráfica es del tipo:

( )tsenAx ω= Por lo tanto, la velocidad y la aceleración en función del tiempo vendrán dadas por:

( ) ( )tsenAdtdvatcosA

dtdxv 2 ωω−==⇒ωω==

Por lo tanto, la aceleración es una función seno negativa luego su representación gráfica corresponderá a la curva número 4. b) Ver libro de texto.

--------------- 000 --------------- 2. La ecuación de un MAS cualquiera cumple la expresión . Determinar el valor de la fase inicial φ

( )0tsenAx ϕ+ω=

0 si el movimiento comienza: a) en el centro de la oscilación, b) en el punto extremo de las elongaciones positivas, c) en el punto extremo de las elongaciones negativas. a) En este caso para t = 0 x = 0, luego:

( ) ( ) rad00sensenA0 000 =ϕ⇒=ϕ⇒ϕ=

b) En este caso para t = 0 x = A, luego:

( ) ( ) rad2

1sensenAA 000π

=ϕ⇒=ϕ⇒ϕ=

c) En este caso para t = 0 x = -A, luego:

( ) ( )

rad2

1sensenAA

0

00

π−=ϕ

⇒−=ϕ⇒ϕ=−

--------------- 000 --------------- 3. Tenemos un sistema formado por un resorte del que cuelga una masa m. Si estiramos de la masa y, a continuación, la soltamos, el sistema comienza a oscilar. Explica si, al cambiar la masa que cuelga del resorte cambia el período. El período del movimiento viene dado por la expresión:

km2T π=

Donde se puede observar que depende de la masa que oscila, luego si se aumenta la masa



el período aumenta y viceversa, variando con la raíz cuadrada de la masa.

--------------- 000 --------------- 4. Determinar los puntos de la trayectoria de un oscilador con MAS en el que son iguales la energía cinética y la energía potencial. Las energías potencial y cinética vienen dadas por:

2c

2p mv

21E;kx

21E ==

Ahora bien teniendo en cuenta que la velocidad se puede expresar en función de la posición de la forma:

mkconxAv 22 =ω−ω=

Tendremos que la energía cinética se puede expresar como:

( ) ( ) 222222c xAk

21xAm

21mv

21E −=−ω==

Si la energía potencial y cinética son iguales tendremos que:

( )A707,0

2Ax

xAxxAk21kx

21 222222

±=±=⇒

⇒−=⇒−=

Luego los puntos x = 0,707 A y x = -0,707 A son aquellos en los que la energía potencia y cinética toman valores iguales.

--------------- 000 --------------- 5. Determina el valor de la elongación de un MAS en el instante en que su velocidad tiene la mitad de su valor máximo. Expresa el resultado en función de la amplitud, A. El valor de la velocidad en cualquier instante viene dado en función de la posición de la forma:

( )22 xAv −ω= El valor máximo de esta velocidad corresponde a x=0, luego:

Avmax ω= En el instante en que la velocidad toma un valor mitad de su valor máximo, se deberá cumplir que:

( )A866,0x

4AxA

2AxA

22222

=

⇒=−⇒ω

=−ω

--------------- 000 --------------- 6. Determina la relación entre los períodos de dos péndulos con la misma masa y que oscilan en el mismo sitio, si uno de ellos tiene el doble de longitud que el segundo. El período de oscilación de un péndulo viene dado por:

gL2T π=

La masa no influye en el período y si oscilan en el mismo sitio significa que “ g “ es igual para los dos, por lo tanto:

1

21

T2

2gL2

gL22T;

gL2T

⋅=

=⋅π=π=π=

--------------- 000 ---------------

PROBLEMAS 1. Una masa de 0,05 kg realiza un m.a.s. según la ecuación ( )ϕ+ω= tcosAx . Sus velocidades son 1 y 2 m/s cuando sus elongaciones son, respectivamente, 0,04 y 0,02 metros. Calcula: a) El período y la amplitud del movimiento.



b) La energía del movimiento oscilatorio y las energías cinética y potencial cuando x=0,03 m. PAU - Galicia a) La velocidad en función de la posición viene dada por la ecuación:

22 xAv −ω= Por lo tanto, a partir de los datos tendremos las dos ecuaciones siguientes:

2222 02,0A2;04,0A1 −ω=−ω= Dividiendo miembro a miembro la segunda ecuación entre la primera tendremos:

m044,0A

0016,0A0004,0A4

04,0A

02,0A22

2

22

22

=

⇒−

−=⇒

−

−=

Y sustituyendo este valor en, por ejemplo, la primera de las ecuaciones anteriores tendremos que:

( ) 1222 srad55,5404,0044,01 −⋅=ω⇒−ω=

s115,0srad55,54

22T 1 =⋅

π=

ωπ

= −

b) La energía mecánica del movimiento viene dada por:

2m kA

21E =

Donde la constante k vale:

( )2

212

skg78,148

srad55,54kg05,0mk−

−

⋅=

=⋅⋅=ω=

Luego:

( )J144,0

m044,0skg78,14821kA

21E 222

m

=

=⋅⋅== −

La energía potencial cuando x = 0,03 m será:

( )J067,0

m03,0skg78,14821kx

21E 222

p

=

=⋅⋅== −

Y la energía cinética será:

J077,0J067,0J144,0EEE pmc =−=−=

--------------- 000 --------------- 2. Una partícula de masa m=10 g oscila armónicamente en torno al origen de un eje OX, con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm. Calcula la velocidad y la energía cinética de la partícula cuando pasa por el origen. La velocidad en función de la posición viene dada por la ecuación:

22 xAv −ω= Donde:

1srad41,31

Hz52f2;0x;m05,0A−⋅=

=⋅π=π=ω==

Luego:

( )1

22122

ms57,1

0m05,0srad41,31xAv−

−

=

=−⋅=−ω=

( ) J0123,0ms57,1kg01,021mv

21E

212c =⋅== −

--------------- 000 --------------- 3. Una partícula describe un movimiento armónico simple, entre dos puntos A y B que distan 20 cm, con un período de 2 s. a) Escriba la ecuación de dicho movimiento armónico simple, sabiendo que para t=0 la partícula se encuentra en el punto medio del segmento AB. b) Explique cómo varían las energías cinética y potencial durante una oscilación completa. PAU - Universidades Andaluzas.



a) Como para t = 0 , x = 0, la ecuación más simple que representa dicho movimiento es:

( )tsenAx ω⋅= Donde:

1srads2

2T2;m1,0A −⋅π=

π=

π=ω=

Luego la ecuación sería:

( ) .I.Stsen1,0x π⋅= b) Ver libro de texto.

--------------- 000 --------------- 4. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2,0 kg en su extremo libre y se requiere de 8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al soltarlo, halla: a) la constante recuperadora del resorte. b) el período de su oscilación. a) Aplicando la ley de Hooke y teniendo en cuenta que es necesaria una fuerza de 8 N para producirle un alargamiento de 0,2 m, tendremos:

1Nm40m2,0

N8L

Fk −==Δ

=

b) El período de oscilación viene dado por:

s4,1Nm40kg22

km2T 1 =π=π= −

--------------- 000 --------------- 5. Un cuerpo de 2 kg colocado en el extremo de un muelle de constante recuperadora 65 N/m se estira 0,3 m desde suposición de equilibrio y se suelta desde el reposo. a) ¿cuánto vale la energía potencial inicial del cuerpo?. b) ¿Qué velocidad máxima alcanzará éste?.

a) La energía potencial será:

( ) J92,2m3,0Nm6521kx

21E 212

p === −

b) La energía potencial inicial corresponde a su valor máximo ya que está situado en uno de los extremos. Al soltarlo va perdiendo esta energía potencial que se va convirtiendo en cinética. Cuando pase por la posición de equilibrio toda la energía potencial se habrá transformado en cinética, alcanzando ésta su valor máximo. Luego, la energía cinética máxima será también de 2,92 J y la velocidad máxima correspondiente será:

1maxcmax ms7,1

kg2J92,22

mE2v −=

⋅==

--------------- 000 --------------- 6. Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg. Colocamos este muelle unido a una masa de 500 g sobre una mesa horizontal sin rozamiento. La masa se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte. b) la energía potencial en el punto de máxima deformación. c) la energía potencial y la cinética cuando x=2 cm. d) la velocidad en este punto. a) Aplicando la ley de Hooke tendremos:

12

Nm196m05,0ms8,9kg1

Lmg

LFk −

−

=⋅

=Δ

=Δ

=

b) La energía potencial máxima será:

( ) J088,0m03,0Nm19621kx

21E 212

maxp === −

c) La energía potencial será:

( ) J0392,0m02,0Nm19621kx

21E 212

p === −

La energía mecánica total del cuerpo es igual a 0,088 J, por lo tanto:



J0488,0J0392,0J088,0EEE pmc =−=−= d) La velocidad cuado x=2 cm será:

1c ms44,0kg5,0

J0488,02mE2v −=

⋅==

--------------- 000 --------------- 7. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza elástica F = -kx. Cuando t=2 s, la partícula pasa por el punto de equilibrio con velocidad positiva y cuando t=4 s, su velocidad es de +4 m/s. Si el período de la oscilación es de 16 s, calcula: a) la amplitud del movimiento. b) su aceleración en t= 2 s. c) su velocidad máxima d) escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. a) El movimiento de la partícula es armónico simple ya que está sometida a una fuerza del tipo F=-kx. A partir del período podemos calcular ω de la forma:

1srad8s16

2T2 −⋅

π=

π=

π=ω

La ecuación del movimiento de forma general sería:

( )δ+ω= tsenAx Para calcular la fase inicial δ aplicamos la condición de que cuando t = 2 s, x = 0, luego:

40

4

4sen02

8senA0

π−=δ⇒=δ+

π

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+π

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+π

=

Por lo tanto la ecuación del movimiento será:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π=

4t

8senAx

Si aplicamos la segunda condición, v = 4 ms-1 cuando t = 4 s, tendremos que:

m4,14A4

cos8

A4

44

8cos

8A4

4t

8cos

8Av

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

⋅=⇒

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ππ

⋅=

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

−ππ

⋅=

Por lo tanto, la ecuación del movimiento nos quedará de la forma:

.I.S4

t8

sen4,14x ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π⋅=

Y su velocidad será:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

ππ⋅=

4t

8cos65,5

4t

8cos

84,14v

b) La aceleración la obtendremos derivando la velocidad con respecto al tiempo, luego:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

ππ⋅−=

4t

8sen21,2

4t

8sen

865,5a

Y en el instante en que t = 2 s valdrá

( ) 00sen21,24

28

sen21,2a =−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π−=

Lo cual es lógico ya que cunado t = 2 s la partícula está en la posición de equilibrio en la cual la fuerza es nula y, consiguientemente, la aceleración también lo será. c) la velocidad máxima corresponderá a una valor del coseno igual a uno, por lo tanto, su valor será de 5,65 ms-1. d) Estas ecuaciones serán:

.I.S4

t8

sen4,14x ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π⋅=

.I.S4

t8

cos65,5v ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π=

.I.S4

t8

sen21,2a ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−

π−=

--------------- 000 ---------------



8. Un oscilador armónico simple se encuentra en x=3,36 m con una velocidad de 0,216 m/s cuando t=5 s. Si su pulsación es ω=0,1 rad/s, determinar: a) su frecuencia, b) su amplitud, c) la fase inicial, d) la aceleración en t=5 s, e) la posición, la velocidad y la aceleración en t=0 s, f) escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. a) La frecuencia será:

Hz0159,02

srad1,02

f1=

π⋅

=πω

=−

b) y c) Supongamos que su ecuación general sea de la forma:

( ) ( δ+=δ+ω= t1,0senAtsenAx ) Su velocidad será:

( )δ+= t1,0cosA1,0v Si aplicamos las condiciones iniciales tendremos dos ecuaciones:

( ) ( )δ+=δ+= 5,0cosA1,0216,05,0senA36,3 Resolviendo el sistema de ecuaciones tendremos que:

m4Ayrad5,0 ==δ d) La aceleración la obtendremos derivando la velocidad luego:

( )( )5,0t1,0sen04,0a

5,0t1,0cos4,0v+−=

⇒+=

Y para t = 5 s valdrá:

( ) 2ms033,05,051,0sen04,0a −−=+⋅−= e) Para t = 0 s, tendremos:

( ) ( ) m91,15,0sen45,0t1,0sen4x ==+=

( ) ( ) 1ms35,05,0cos4,05,0t1,0cos4,0v −==+=

( ) (2ms019,0

5,0sen04,05,0t1,0sen04,0a−−=

=−=+−=

f) Serían:

( )5,0t1,0sen4x += ( )5,0t1,0cos4,0v += ( )5,0t1,0sen04,0a +−=

--------------- 000 --------------- 9. Conectamos un cuerpo de 0,6 kg de masa a un resorte de constante recuperadora k=10 N/m. El sistema oscila sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, calcula: a) la energía mecánica total del sistema, b) la velocidad máxima del cuerpo, c) la energía cinética y potencial del cuerpo si x=2 cm. a) La energía mecánica será:

( ) J0125,0m05,0Nm1021kA

21E 212

m =⋅== −

b) La velocidad máxima del cuerpo corresponde a la posición de equilibrio, donde la energía potencial es nula y la energía cinética es máxima cuyo valor corresponde a la energía mecánica. Luego:

1maxcmax ms2,0

kg6,0J0125,02

mE2

v −=⋅

==

c) Cuando x = 0,02 m, la energía potencial valdrá:

( ) J002,0m02,0Nm1021kx

21E 212

p =⋅== −

En esa posición, la energía cinética será:

J0105,0J002,0J0125,0EEE pmc =−=−=

--------------- 000 --------------- 10. A un muelle, fijo por uno de sus extremos y situado en una superficie horizontal sin rozamiento, se le sujeta por el otro extremo un cuerpo de m=0,5 kg. Al tirar del cuerpo, alargar el muelle 10 cm y soltarlo, el sistema empieza a oscilar con un período de 2 s. Determinar:

)



a) la energía cinética y la potencial máximas, b) la velocidad máxima del cuerpo, c) explica cómo cambiarían las energías si m=2 kg. a) A partir del período de oscilación podemos calcular la constante K del movimiento.

( )1

2

2

2

2

Nm93,4

s2kg5,04

Tm4k

km2T

−=

=⋅π

=π

=⇒π=

La energía potencial máxima y la cinética máximas corresponden a la energía mecánica, luego:

( )J024,0

m1,0Nm93,421kA

21EE 212

maxpmaxc

=

=⋅⋅=== −

b) La velocidad máxima será:

1maxcmax ms3,0

kg5,0J024,02

mE2

v −=⋅

==

c) Si la masa es de 2 kg, la constante k sería cuatro veces mayor ya que depende directamente proporcional a la masa y, por lo tanto, las energías cinética y potencial máximas serían también cuatro veces mayor.

--------------- 000 --------------- 11. Un péndulo simple consta de una esfera puntual de 0,1 kg de masa suspendida de un hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 10º en un lugar con g=9,8 m/s2, determinar: a) su energía potencial máxima, b) su velocidad máxima.

a) La energía

potencial máxima será la correspondient

e a la altura h. Esta altura

podemos calcular la como:

aLh −=

Donde a podemos obtenerla como:

m984,0º10cosLaLaº10cos =⋅=⇒=

m016,0m984,0m1aLh =−=−=

J015,0

m016,0ms8,9kg1,0mghE 2maxp

=

=⋅⋅== −

b) La velocidad máxima será cuando pasa por la posición de equilibrio con energía cinética máxima e igual a la potencial máxima, por lo tanto:

1maxcmax ms54,0

kg1,0J015,02

mE2

v −=⋅

==

--------------- 000 --------------- 12. La longitud de un péndulo simple es de 0,248 m y tarda 1 s en efectuar una oscilación completa de 18º. Determina: a) g en ese punto, b) la velocidad máxima, c) la fuerza máxima que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio si m=5 g. a) A partir del período podemos obtener g de la forma:

( )2

2

2

2

2

ms79,9

s1m248,04

TL4g

gL2T

−=

=⋅π

=π

=⇒π=

b) Para calcular la velocidad máxima obtendremos primero la energía cinética máxima a partir de la energía potencial máxima de igual forma que en el ejercicio anterior. Es

decir:

L

18º

x

m235,0º18cosLa

=

⇒=

h

L 10º a

L La

º18cos

⋅=

013,0Lh

=

mm235,0m248,0a =−=−=

maxc

2maxp

EJm127,0

m013,0ms79,9mmghE

=⋅=

=⋅⋅== −



( )1

max

2maxcmx

ms5,0127,02v

vm21m127,0E

−=⋅=⇒

⇒=⋅=

c) La fuerza restauradora que tiende a llevar al péndulo a la posición de equilibrio viene dada por:

LxmgF −=

Donde x es la separación horizontal con respecto a la posición de equilibrio (ver figura) Para ángulos pequeños, tal como el de 18º, podemos poner que:

m076,0º18senm248,0

º18senLxLxº18sen

=⋅=

=⋅=⇒=

Por lo tanto, el valor máximo de la fuerza restauradora, que corresponde al valor máximo de x, cuando el ángulo es de 18º, será:

N015,0m248,0m076,0ms79,9kg005,0

LxmgF 2

=

=⋅== −

--------------- 000 --------------- 13. Lee las características de los siguientes MAS y determina lo que se pide: a) la pulsación y el período si a=-90 m/s2 cuando x=0,1 m b) la aceleración cuando x=-0,01 m si su frecuencia es de 5 Hz c) el período y la ecuación de la elongación si la expresión de la aceleración es a=-2x y la amplitud vale 0,01 m. a) La aceleración en función de la posición viene dada por:

xa 2ω−= Por lo tanto, la pulsación ω será:

12

222

srad30m1,0

ms90

m1,0ms90xa

−−

−

⋅==ω⇒

⇒⋅ω−=−⇒ω−=

b) A partir de la frecuencia se puede calcular la pulsación:

1srad41,31Hz52f2 −⋅=⋅π=π=ω Y la aceleración será:

( ) ( )2

212

ms86,9

m01,0srad41,31xa−

−

=

=−⋅⋅−=ω−=

c) A partir de la ecuación de la aceleración se deduce que ω = 1,41 rad·s-2, por lo tanto el período será:

s45,4srad41,1

22T 1 =⋅

π=

ωπ

= −

La ecuación del movimiento podría ser:

( ) ( δ+⋅=δ+ω⋅= t41,1sen01,0tsenAx )

--------------- 000 --------------- 14. La aceleración de un MAS vale a=-16 π2x. Si la la máxima elongación es de 0,04 m y se ha comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración tiene su máximo valor absoluto en el sentido de los desplazamientos positivos, calcula los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración. De la ecuación de la aceleración deducimos que ω=4π rad·s-1. La amplitud vale A = 0,04 m. Por lo tanto, la ecuación del movimiento podría ser de la forma:

( )δ+π⋅= t4cos04,0x Para calcular la fase inicial δ tenemos en cuenta que cuando t = 0 x = 0,04 m, ya que el punto de máxima aceleración corresponde a los extremos del movimiento. Por lo tanto:

( ) 01coscos04,004,0 =δ⇒=δ⇒δ⋅= Luego la ecuación del movimiento quedaría de la forma:

( )t4cos04,0x π⋅= La velocidad en cada instante sería:



( )t4sen404,0dtdxv π⋅π⋅−==

Cuyo valor máximo absoluto correspondería a un valor del seno igual a 1, es decir:

1max ms16,0v −π=

La aceleración en cada instante será:

( ) ( t4cos404,0dtdva 2 π⋅π⋅−== )

Cuyo valor máximo absoluto corresponde a un valor del coseno igual a uno, es decir:

( ) 222max ms64,0404,0a −π=π⋅=

--------------- 000 --------------- 15. Un resorte cuya constante recuperadora vale k=20 N/m está fijo por su extremo superior. Si le colgamos un cuerpo de 300 g de su extremo libre y lo dejamos oscilar: a) ¿cuál es la posición más baja que alcanza, b) ¿cuánto vale el período del movimiento?. Sol: a) -0,15 m, b) 0,77 s. Aplicando la ley de Hooke tendremos que:

m147,0Nm20

ms8,9kg3,0K

mgkFx 1

2=

⋅=== −

−

El periodo del movimiento viene dado por:

s769,0Nm20

kg3,02km2T 1 =π=π= −

--------------- 000 --------------- 16. Se fija un cuerpo de 1,8 kg al extremo libre de un muelle de constante k=20 N/m, se alarga el muelle hasta una distancia de 30 cm de su posición de equilibrio y se deja libre. Determina la Ec y la velocidad en la posición de equilibrio.

La ecuación de la velocidad en función de la posición viene dada por:

22 xAv −ω= La pulsación podemos obtenerla mediante:

11

srad33,3kg8,1

Nm20mk −

−

⋅===ω

Por lo tanto, como A = 0,3 m, la velocidad en la posición de equilibrio ( x = 0 ) será:

( )1

2122

ms1

0m3,0srad33,3xAv−

−

=

=−⋅=−ω=

La energía cinética en la posición de equilibrio será:

( ) J9,0ms1kg8,121mv

21E

212c =⋅== −

--------------- 000 --------------- 17. Una partícula de masa m se mueve con MAS. Cuando t=0,75 s, la partícula pasa por x=2 m y cuando t=3,75 s, su velocidad se anula. Si el período de la oscilación es de 6 s, calcula: a) la amplitud del movimiento, b) su aceleración en t=3,75 s, c) su velocidad máxima, d) escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. a) La pulsación será:

1srad3s6

2T2 −⋅

π=

π=

π=ω

La ecuación de la posición sería:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+π

⋅= t3

senAx

Y su velocidad será:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+π

⋅π

⋅== t3

cos3

Adtdxv



Si aplicamos las dos condiciones que nos dan tendremos que:

( )δ+π⋅=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+π

⋅= 25,0senA75,03

senA2

( )δ+ππ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+π

⋅π

⋅= 25,1cos3

A75,33

cos3

A0

La resolución de este sistema de ecuaciones nos da como soluciones δ = -0,75 π rad y A = 2 m. b) La ecuación de la velocidad sería:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−π

⋅π

⋅= 75,0t3

cos3

2v

Luego la aceleración en cada instante valdrá:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ π−ππ

⋅−== 75,0t3

sen9

2dtdva

2

Cuyo valor para t = 3,75 s será:

2

22

ms19,2

9275,075,0

3sen

92a

−=

=π

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−ππ

⋅−=

c) La velocidad máxima será:

1max ms09,2

32v −=π

=

d) Estas ecuaciones están representadas en los apartados anteriores.

--------------- 000 --------------- 18. Colgamos una masa puntual de 5 kg de un resorte elástico cuya constante elástica tiene un valor k=500 N/m. Una vez el conjunto está en equilibrio, desplazamos la masa 10 cm y la dejamos oscilar libremente. Determinar: a) la ecuación del MAS que describe el movimiento de la masa puntual, b) las posiciones de la masa en las que su aceleración es nula, a) La amplitud será A = 0,1 m y la pulsación:

11

srad10kg5Nm500

mk −

−

⋅===ω

La ecuación de la posición en función del coseno sería:

( )δ+⋅= t10cos1,0x Ahora bien, como cuando t = 0 s, x = A = 0,1 m tendremos que:

( ) ( ) 01coscos1,01,0 =δ⇒=δ⇒δ⋅= Por lo tanto, la ecuación de la posición sería:

( )t10cos1,0x ⋅= b) La aceleración es nula cuando lo es la fuerza recuperadora y esto ocurre en la posición de equilibrio, es decir, para x = 0.

--------------- 000 --------------- 19. Una partícula vibra en el instante inicial con su máxima velocidad de 20 m/s y con una amplitud de 0,1 m. a) determina las constantes del movimiento, b) escribe las expresiones generales de la elongación, velocidad y aceleración, c) calcula la aceleración máxima de la partícula, d) determina la posición, velocidad y aceleración en el instante 1 s. a) Si vibra con la máxima velocidad cuando t = 0 s en porque está en la posición de equilibrio, x = 0, ya que en esta posición es cuando la velocidad es máxima. Como la velocidad en función de la posición viene dada por:

1

122

srad200

m1,0ms20xAv−

−

⋅=ω⇒

⇒⋅ω=⇒−ω=

La ecuación de la posición sería:

( )δ+ω⋅= tsenAx Y como cuando t = 0 s, x = 0 m, tendremos que:

( ) ( ) 00sensen1,00 =δ⇒=δ⇒δ⋅=



Por lo tanto la ecuación de la posición quedará de la forma:

( ) .I.St200sen1,0x ⋅= El período del movimiento sería:

s100srad200

22T 1π

=⋅

π=

ωπ

= −

Y la frecuencia:

Hz100T1f

π==

b) La ecuación de la elongación hemos visto ya que sería:

( ) .I.St200sen1,0x ⋅= La velocidad será:

( ) .I.St200cos20dtdxv ⋅==

Y la aceleración:

( ) .I.St200sen4000dtdva ⋅−==

d) Para t = 1 s, tendremos:

( ) m087,0200sen1,0x −=⋅=

( ) 1ms74,9200cos20v −=⋅=

( ) 2ms18,3493200sen4000a −=⋅−=

--------------- 000 --------------- 20. A un resorte cuando se le cuelga un cuerpo de 10 kg de masa alarga 2 cm. A continuación se le añade una masa de otros 10 kg y se le da al conjunto un tirón hacia abajo, de forma que el sistema se pone a oscilar con una amplitud de 3 cm. Determina: a) el período y la frecuencia del movimiento, b) la posición, velocidad, aceleración y fuerza recuperadora a los 0,5 s de iniciado el mismo,

a) Si aplicamos la ley de Hooke tendremos que:

12

Nm4900m02,0ms8,9kg10

xmg

xFk −

−

=⋅

=Δ

=Δ

=

La pulsación sería:

11

srad65,15kg20Nm4900

mk −

−

⋅===ω

Y, por lo tanto, el período y la frecuencia serían:

Hz5,2T1f

;s4,0srad65,15

22T 1

==

=⋅

π=

ωπ

=−

b) Si el sistema comienza a oscilar desde abajo la ecuación más simple de su elongación es:

( ) ( .I.St65,15cos03,0xtcosAx =⇒ω= ) Y a los 0,5 s su posición será:

( ) (m1069,8

5,065,15cos03,0s5,0x4−⋅=

=⋅= )

La velocidad será:

( ) ( )1ms47,0

s5,0vt65,15sen47,0dtdxv

−−=

=⇒⋅−==

La aceleración será:

( ) (2ms21,0

s5,0at65,15cos35,7dtdva

−−=

=⇒⋅−== )

La fuerza recuperadora será:

N25,4m1069,8Nm4900FkxF 41

−==⋅⋅−=⇒−= −−

--------------- 000 ---------------

21. Una masa puntual de 10 g está sujeta a un muelle que vibra con una frecuencia de 3 Hz. En el instante inicial pasa por el centro de la vibración con una velocidad de 5 cm/s en sentido negativo. Determina:



a) el tiempo que debe transcurrir hasta que alcance la velocidad cero, b) la ecuación del movimiento, c) la expresión de la energía cinética en función del tiempo, d) la aceleración en el instante en el que se anula la velocidad. a) La velocidad cero se produce cuando el cuerpo está en uno de los extremos. Luego, si al inicio está en la posición de equilibrio tardará un cuarto de período en alcanzar el extremo. Ahora bien:

s31

f1T ==

Por lo tanto, el tiempo pedido será:

s121

4Tt ==

b) La ecuación en función del seno debe ser de la forma:

( )δ+ω⋅= tsenAx A partir de la frecuencia tendremos que:

1srad6f2 −⋅π=π=ω Y como la velocidad en función de la posición viene dada por:

22 xAv −ω= Y teniendo en cuenta que cuando x = 0 , v = 0,05 m/s, tendremos que:

m00265,0605,0AA605,0 =π

=⇒π=

La fase inicial δ la calcularemos con las condiciones iniciales, es decir: t = 0 , x = 0 moviéndose hacia la izquierda. Por lo tanto:

( ) ( ) rad,00sensenA0 π=δ⇒=δ⇒δ⋅=

Ahora bien, como se mueve hacia la izquierda debe de ser δ = π rad. Por lo tanto, la ecuación del movimiento será:

( ) .I.St6sen00265,0x π+π⋅= b) La energía cinética viene dada en función de la velocidad, luego obtendremos primero esta derivando la posición, es decir:

( )( )π+π⋅=

=π+π⋅π⋅==

t6cos05,0

t6cos600265,0dtdxv

Y la expresión de la energía cinética en función del tiempo será:

( )[ ]

( ) Jt6cos1025,1

t6cos05,0kg01,021mv

21E

25

22c

π+π⋅⋅=

=π+π⋅⋅==

−

d) La aceleración en función de la posición viene dada por:

xa 2ω−= La velocidad se anula en los extremos, tanto en +A como en –A. Por lo tanto, el valor absoluto de la aceleración en estas posiciones será:

( ) 2212 ms94,0m00265,0srad6Aa −− =⋅⋅π=ω=

--------------- 000 ---------------

Ep0,045

0,005

0,01 0,03X

22. Un cuerpo de 1 kg realiza un m.a.s. de amplitud 0,03 m. La gráfica Ep es la de la figura (las unidades están el el S.I.). a) Hallar la energía total del cuerpo y calcular tanto la constante recuperadora del movimiento como el período del mismo, b) hallar el valor de la energía cinética en la posición x=0,01 m, así como la velocidad que alcanza en esta posición.



a) Como puede observarse en la figura la energía potencial máxima que adquiere el cuerpo es de 0,045 J que corresponde a los extremos de la oscilación donde la energía cinética es nula. Por lo tanto, la energía mecánica del cuerpo será también de 0,045 J. Como la energía mecánica tiene la expresión:

( )1

22m2

m

Nm100

m03,0J045,02

AE2kkA

21E

−=

=⋅

==⇒=

El período sería:

s628,0Nm100kg12

km2T 1 =π=π= −

b) La energía potencial en x = 0,01 m será:

( ) J005,0m01,0Nm10021kx

21E 212

p =⋅== −

Tal y como se puede observar en la gráfica. Luego la energía cinética en esa posición será:

J04,0J005,0J045,0EEE pmc =−=−= Y la velocidad correspondiente a esa posición será:

1c ms28,0kg1

J04,02mE2v −=

⋅==

--------------- 000 --------------- 23. De un muelle se ha colgado un bloque de 5 kg, produciendo un alargamiento de 18 cm. Mas tarde el bloque se estira 7,5 cm más y se suelta. Calcular: a) la constante elástica del muelle, b) la amplitud del movimiento, c) el período, d) la energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. a) Aplicando la ley de Hooke tendremos que:

12

Nm22,272m18,0ms8,9kg5

LFK −

−

=⋅

=Δ

=

b) La amplitud será 0,075 m. c) El período viene dado por:

s85,0Nm22,272

kg52km2T 1 =π=π= −

d) La energía potencial en la máxima elongación será:

( ) J765,0m075,0Nm22,27221kA

21E 212

p =⋅== −

--------------- 000 --------------- 24. Un cuerpo vibra con MAS. Cuando se encuentra en la mitad de la amplitud, ¿qué porcentaje de energía es cinética y qué potencial? ¿en qué punto las dos energías son iguales?. La energía potencial en esa posición será:

22

2p kA

81

2Ak

21kx

21E =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛==

Y como la energía total es:

25,082

EE

kA21E

m

p2m ==⇒=

Luego el porcentaje de energía potencial será del 25 % y, por lo tanto, el de energía cinética será del 75 %. Serán iguales cuando el porcentaje de potencial y cinética sea del 50 %, luego:

A707,0A5,0xkA215,0

kx21E5,0E5,0

EE

2

2mp

m

p

==⇒=

=⇒=⇒=

--------------- 000 ---------------



25. Cuando una masa de 1 kg se cuelga de un muelle vertical de masa despreciable, el período de las oscilaciones es de 1,43 s. Cuando una masa desconocida reemplaza a la masa de 1 kg, el período es de 1,85 s. Calcular: a) la masa desconocida, b) la constante elástica del muelle. a) El período de oscilación del muelle viene dado por:

km2T π=

Donde m es la masa del cuerpo y k la constante elástica del muelle característica del mismo. Si aplicamos esta expresión a las dos situaciones tendremos que:

km285,1;

k1243,1 π=π=

Dividiendo miembro a miembro las dos expresiones tendremos:

kg67,143,185,1m

m1

85,143,1 2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⇒=

b) La constante elástica k será:

( )1

2

2

2

2Nm3,19

s43,1kg14

Tm4k −=

⋅π=

π=

--------------- 000 --------------- 26. Un oscilador está formado por una masa de 2,4 kg colgada de un resorte de masa despreciable y k=200 N/m. Las condiciones iniciales son x0 = 0,15 m y Vx0 = 0,45 m/s. Calcular la posición del bloque para t=3 s. La ecuación de la posición podemos expresarla como:

( )δ+ω⋅= tsenAx Donde:

11

srad12,9kg4,2

Nm200mk −

−

⋅===ω

La expresión de la velocidad será:

( )δ+ω⋅ω= tcosAv Si aplicamos las condiciones iniciales, es decir, cuando t = 0 s , x = 0,15 m y v =0,45 m/s tendremos que:

( ) ( )δ⋅⋅=δ⋅= cos12,9A45,0;senA15,0 Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones tendremos que:

( )( ) ( )

rad25,104,345,0

12,915,0tagcos12,9

sen45,015,0

=δ⇒=

=⋅

=δ⇒δ⋅

δ=

Y sustituyendo en una de las ecuaciones anteriores tendremos que:

( ) m15,025,1sen

15,0A ==

Luego la ecuación de la posición en función del tiempo quedará de la forma:

( ) .I.S25,1t12,9sen15,0x +⋅⋅= Y la posición para t = 3 s será:

( ) ( ) m049,025,1312,9sen15,0s3x −=+⋅⋅=

--------------- 000 ---------------

I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química y Quimica...una función de Energía potencial que...

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