Unidad 3 Respuesta Dinámica

3.1.-SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN

Un sistema lineal de primer orden con una variable de entrada, "x(t)", y una variable salida, " y(t)"se modela matemáticamente con una ecuación que en función de parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:

Siendo, τ una constante de tiempo y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico y la ganancia es el cambio último en la variable de salida con respecto al cambio último en la variable de entrada.

La ecuación (2.1) se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para análisis dinámico o de sistemas de control:

La ecuación (2.2) es diferencial lineal de primer orden cuya solución se puede hallar mediante un factor integrante que para este caso es igual a

exp∫ dtτ =exp ( tτ)

Al multiplicar la ecuación (2.2) por este factor, resulta fácilmente integrable y valuando la solución general obtenida para las condiciones iniciales de las variables de entrada y salida se encuentra la solución correspondiente.

A continuación se desarrollan las respuestas paso, rampa y seno de un sistema lineal de primer orden.

3.1.1.- RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDENAl considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio paso constante, es decir que X (t) = Δx , entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuación (2.3) se obtiene como solución la siguiente respuesta para Y(t):

La ecuación (2.4) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.3) y una integración indefinida da como solución general

Evaluando la ecuación (2.5) para la condición inicial Y(0) = 0 , se obtiene que el valor de la constante de integración es A = −KΔx 1 y, con ello, la solución dada por (2.4)

La Figura 2.1 muestra el perfil gráfico correspondiente a la respuesta (2.4). La expresión exponencial permite describir al comportamiento de un sistema de primer orden ante un cambio paso constante en su variable de entrada como una respuesta mono-tónica estable porque alcanza un valor último constante. A partir de las ecuaciones (2.3) y (2.4) se pueden deducir algunas características acerca de las propiedades dinámicas de un sistema de primer orden así:

Ganancia en estado estacionario, K: Expresa el cambio último en la variable de salida o respuesta del sistema para un determinado cambio paso en la variable de entrada, es decir que

En su último estado el sistema se ha estabilizado porque su respuesta se mantiene constante, es decir, la derivada de su variable de salida se hace igual a cero. Al considerar esto en la ecuación (2.3) se deduce la ecuación (2.6)

Figura 2.1 Respuesta Paso de un Sistema de Primer Orden (K = 3; τ = 1; Δx = 2)

Constante de Tiempo, τ: Esta constante expresa el tiempo definido por la relación entre la capacidad que tiene el sistema de transportar a una entidad (masa, energía, cantidad de movimiento, etc) con respecto a la rapidez de cambio o capacitancia de dicha entidad en la respuesta del sistema, es decir que:

Si la ecuación (2.4) se evalúa para un tiempo igual a la constante de tiempo, se deduce un significado muy importante señalado sobre la Figura 2.1 y que es el tiempo, en el período no estacionario del sistema, en que la respuesta del sistema ha alcanzado el 63.2 % de su respuesta última. Se escribe, por lo tanto, que

Si se evalúa la ecuación (2.4) para un tiempo igual a cinco veces la constante de tiempo, se obtiene una respuesta, aproximadamente, igual al 99.2% de la respuesta última, lo que para muchas situaciones es considerado como el tiempo transcurrido para alcanzar la estabilidad o el valor último.

3.1.2.- RESPUESTA RAMPA DE UN SISTEMA DE PRIMER ORDEN

Al considerar que en la ecuación diferencial (2.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio rampa, es decir que X (t) = rt , entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuación (2.9) se obtiene como solución la siguiente respuesta para Y(t):

La ecuación (2.10) se obtiene aplicando el factor integrante a (2.9) y una integración indefinida da como solución general

Evaluando la ecuación (2.11) para la condición inicial Y(0) = 0 , se obtiene que el valor de la constante de integración es A = Krτ 1 y, con ello, la solución dada por (2.10)

La Figura 2.2 muestra, gráficamente, el perfil de la respuesta rampa de un sistema lineal de primer orden. Se puede observar un comportamiento lineal y paralelo a la rampa de entrada después de un determinado tiempo, que aproximadamente es cinco veces la constante de tiempo

Figura 2.2 Respuesta Rampa de un Sistema de Primer Orden (K = 3, τ = 3, r = 2)

Se resalta en la Figura 2.2 el atraso de la respuesta con respecto a la rampa de entrada y se demuestra con la ecuación (2.10) que dicho atraso es igual al tiempo correspondiente a la constante de tiempo.

3.2.- SISTEMAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

Un sistema lineal de segundo orden con una variable de entrada," x(t)", y una variable salida, " y(t)"se modela matemáticamente con una ecuación que en función de parámetros de significado dinámico se escribe en la siguiente forma:

Siendo, τ una constante de tiempo, ζ el factor de amortiguamiento y K la ganancia en estado estacionario del sistema. Estos tres parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas del sistema. La constante de tiempo expresa un atraso dinámico, el valor del factor de amortiguamiento determina el tipo de respuesta del sistema y la ganancia tiene el mismo significado definido para los sistemas de primer orden

La ecuación (4.1) se escribe, usualmente, en términos de las variables desviación con respecto a sus valores en el estado inicial, es decir en la forma estándar para análisis dinámico o de sistemas de control:

La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea como la (4.2) es la suma de una solución general y una solución particular. La solución general es la que se obtiene con la parte homogénea de la ecuación, es decir, con la expresión contenida en el miembro izquierdo igualado a cero y la solución particular depende de la expresión matemática que constituye al miembro derecho de la ecuación no homogénea. Para la solución general se plantea la denominada Ecuación característica o Ecuación auxiliar correspondiente a una ecuación algebraica.

polinómica del mismo grado de la parte homogénea de la ecuación diferencial. Para la ecuación (4.2), la ecuación característica es de segundo grado con la siguiente expresión, siendo "r" las raíces de la ecuación característica:

Las raíces de la ecuación (4.3) se obtienen con la siguiente fórmula:

La ecuación (4.4) muestra que la naturaleza de sus raíces depende del factor de amortiguamiento, lo que determina el tipo de respuesta que se obtiene para la ecuación diferencial (4.2) o el comportamiento del sistema, de la siguiente manera:

Si ζ > 1, las raíces son reales diferentes y negativas y la respuesta del sistema es una suma de términos exponenciales con signos negativos. Esto se define como un Comportamiento monotónico estable o Sobreamortiguado

Si ζ = 1, las raíces son reales iguales y negativas y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signo negativo. Esto muestra un Comportamiento monotónico estable crítico o Amortiguado crítico porque si se disminuye el valor del coeficiente de amortiguamiento la respuesta es de tipo subamortiguado y si, por lo contrario, se aumenta el sistema es más sobreamortiguado.

Si 0 <ζ < 1, las raíces son complejas conjugadas con parte real negativa y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal decreciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio estable o Subamortiguado estable

Si ζ = 0 , las raíces son cantidades imaginarias iguales de signo contrario y la respuesta del sistema es una expresión sinusoidal. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio sostenido

Si −1 <ζ < 0 , las raíces son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta del sistema es una expresión exponencial sinusoidal creciente. Esto muestra un Comportamiento oscilatorio inestable o Subamortiguado inestable, es decir con oscilaciones de amplitud creciente

Si ζ ≤ −1, las raíces son reales positivos y la respuesta del sistema es una expresión exponencial con signos positivos. Esto muestra un Comportamiento monotónico inestable o Sobreamortiguado inestable.

RESPUESTA PASO DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDENAl considerar que en la ecuación diferencial heterogénea (4.2), la variable de entrada es perturbada con un cambio paso constante, es decir que X (t) = Δx , entonces se puede escribir que:

Al resolver la ecuación (4.5) para cada uno de los casos se encuentran las siguientes Soluciones

3.2.1.- CLASIFICACIÍN DE LOS SISTEMAS

Respuesta Sobreamortiguada Si el factor de amortiguamiento es mayor que uno, las dos raíces de la ecuación característica de la ecuación (4.5) son reales diferentes y negativas y expresan dos atrasos dinámicos equivalentes, 1 2 τ ,τ , que permiten demostrar que la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es sobreamortiguado estable de la forma:

Siendo

Estas expresiones para los atrasos dinámicos se explican al considerar que para este caso la ecuación característica se puede escribir de la siguiente manera:

La solución homogénea o complementaria es de la forma

La solución particular es una expresión constante y, por lo tanto se puede escribir como que

Desarrollando la ecuación (4.9) en la (4.5) se encuentra que A = KΔx 3 , y la solución general de la ecuación diferencial (4.5) es:

Y t = A e− t + A e−(t / ) + KΔx

Evaluando la ecuación (4.10) para las condiciones Y(0) = 0 y dY (0)dt

=0 , se

obtienen las expresiones que calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden sobreamortiguado sea la ecuación (4.6).

Cuando el factor de amortiguamiento es menor o igual que -1, las dos raíces son reales positivas, los atrasos dinámicos correspondientes son negativos y los términos exponenciales de la ecuación (4.6) aumentan con el tiempo y, por lo tanto, la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es sobreamortiguada pero inestable.

Respuesta Amortiguada CríticaCuando el factor de amortiguamiento es igual a 1, las dos raíces son iguales y negativas, los atrasos dinámicos son iguales y puede demostrarse que la paso de un sistema lineal de segundo orden es de la forma:

Cuando las raíces de la ecuación característica de la ecuación diferencial (4.5) sean reales iguales negativas la solución general es de la forma:

Evaluando la ecuación (4.12) para las condiciones Y(0) = 0 y dY (0)dt

=0, se

obtienen las expresiones que calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden amortiguado crítico sea la ecuación (4.11)

Respuesta Paso de un sistema de segundo orden (a) Amortiguada Crítica, (b) Sobreamortiguada

La Figura 4.1 muestra los perfiles típicos de la respuesta paso sobreamortiguada y amortiguada crítica de un sistema lineal de segundo orden. Se observa que la rapidez inicial de cambio de la respuesta es cero y que entonces incrementa a un máximo y finalmente disminuye para aproximarse exponencialmente a su cambio final en el estado estacionario. Este comportamiento diferencia a un sistema de segundo orden con respecto a uno de primer orden en el que la máxima rapidez de cambio en la respuesta ocurre exactamente en el momento en que se aplica el cambio paso

Respuesta SubamortiguadaSi el factor de amortiguamiento es mayor que cero y menor que 1, las dos raíces son complejas conjugadas con parte real negativa, las transformaciones de los términos exponenciales incluidos en la solución permiten demostrar que la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es subamortiguada estable porque la solución de la ecuación diferencial (4.5) es una expresión exponencial sinusoidal decreciente de la forma:

En este caso las raíces en forma de variable compleja se expresan de la siguiente manera:

Aplicando las equivalencias de los exponenciales complejos en términos de variable compleja y funciones trigonométricas, es decir que e jbt = Cos(bt) + jSen(bt) y que e− jbt = Cos(bt) − jSen(bt) y evaluando la solución de la ecuación

diferencial (4.5) para las condiciones iniciales Y(0) = 0 y dY (0)dt

=0 , se obtienen

las expresiones que calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden subamortiguado sea la ecuación (4.13)

calculan a los coeficientes y que finalmente hacen que la respuesta paso de un sistema de segundo orden subamortiguado sea la ecuación (4.13) Cuando el factor de amortiguamiento es mayor que -1 y menor que cero, las dos raíces de la ecuación característica de la ecuación (4.5) son complejas conjugadas con parte real positiva y la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden es

exponencial sinusoidal pero creciente, es decir, subamortiguada pero inestable La Figura 4.2 muestra el perfil característico de la respuesta paso subamortiguada estable de un sistema lineal de segundo orden. Algunas definiciones introducidas en dicho comportamiento son

Figura 4.2 Respuesta Paso Subamortiguada de un Sistema Lineal de Segundo Orden

Tiempo de Levantamiento: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance por primera vez el valor último.

Sobrepaso máximo: Es el valor del pico máximo de la curva. Su valor se expresa en porcentaje como la diferencia entre el valor del pico máximo y el valor último de la respuesta con respecto a este valor último. Se puede demostrar que el valor del sobrepaso máximo se calcula con la siguiente ecuación:

Tiempo de pico: Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer picodel sobrepaso

Tiempo de asentamiento: Es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5 %) y permanezca dentro de él.

Razón de decaimiento: Es la relación entre los tamaños de dos picos sucesivos y se puede demostrar que se puede calcular con la siguiente ecuación

Respuesta Oscilatoria SostenidaLas raíces de la ecuación característica (4.5) son imaginarias iguales con signos contrarios cuando el factor de amortiguamiento del sistema es igual a cero. Al tener en cuenta este valor para utilizarlo en la solución dada por la ecuación (4.13) se obtiene una simplificación que muestra una expresión sinusoidal en la siguiente forma:

La Figura 4.3 muestra el perfil de la respuesta paso de un sistema lineal de segundo orden para un coeficiente de amortiguamiento de cero. Se observa un comportamiento oscilatorio de amplitud constante

Figura 4.3 Respuesta Paso Oscilatoria de un Sistema Lineal de Segundo Orden

3.3.- SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR

EFECTOS DE AÑADIR POLOS Y CEROS A LAS FUNCIONES DETRANSFERENCIA

Cuando se dice que se añade un polo o un cero en la cadena abierta, se está haciendo referencia a que se tiene una estructura de realimentación negativa y se está agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de la planta o en la realimentación, esto es, en G(s) o en H(s). Por eso, se dice que es en la cadena abierta, por que es la adición del efecto del polo o del cero cómo si se abriera el lazo de realimentación.

En cambio, si el procesamiento del efecto añadido se hace en cascada con el sistema total, se dice que se ha añadido un cero o un polo al conjunto total. Obsérvese los diagramas de la figura 7.1 para diferenciar en la adición en cadena abierta y en serie.

Figura 7. 1. a) Añadir un polo en la cadena abierta b) Añadir un cero en serie

Adición de un polo en la cadena abiertaLa adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el sistema en su conjunto sea más lento y pierda estabilidad.

Una de las formas, para llegar a esta conclusión, es a través de las técnicas del lugar de las raíces, LDR (ver capítulo 10). Estas técnicas describen, mediante criterios gráficos, las raíces del polinomio característico, 1+G(s)H(s)=0, a partir de la información de la cadena abierta. Los resultados son los polos de la cadena cerrada y por lo tanto definirán la estabilidad y el tipo de respuesta temporal.

Si a un sistema subamortiguado, por ejemplo el indicado en la figura 7.2, se le añade un polo en la cadena abierta, las ramas del LDR (soluciones del conjunto cerrado dependiente de la ganancia estática) se orientan hacia el semiplano

positivo. De este efecto se concluye que el sistema se hace más inestable y más lento.

Con el fin de tener un marco de referencia idéntico se va a utilizar la misma planta piloto, facilitando la explicación de los efectos de añadir los polos y ceros, tanto en la cadena abierta como cerrada. Se ha elegido un modelo de segundo orden simple y subamortiguado, con una frecuencia natural de 1 [rad/s], un factor de amortiguamiento de 0.5 y una ganancia estática unitaria.

Efecto de añadir un polo en la cadena abierta. a) Diagrama a bloques, b)LDR sin polo y con un polo con una constante de tiempo de 0.5s

Comparando los dos LDR sin y con polo añadido, figura 7.2b, se observa que a medida de que se aumente la ganancia estática, k, los polos dominantes del sistema con polo añadido en la cadena abierta, se aproximan al eje imaginario, perdiendo estabilidad. Además, la frecuencia de amortiguamiento aumenta y disminuye la constante de amortiguamiento de los polos dominantes. El efecto supone que el ángulo de apertura de estos polos complejos y conjugados, se dirija hacia el semiplano positivo, haciendo que el sistema tenga mayor sobreoscilación hasta alcanzar la inestabilidad.

En la figura 7.3 se contempla la respuesta ante la entrada en escalón del conjunto realimentado, utilizando la planta referencia (wn= 1,x=0.5 y k=1), y variando la constante del polo añadido. Se observa que la evolución más rápida se da cuando no hay polo añadido, TP = 0s. Por otro lado, mientras la constante del polo añadido esté más alejado del eje imaginario que los polos complejos, los polos dominantes será complejos conjugados y con mayor sobreoscilación. Si se hace elevada la constante de tiempo del polo añadido, por ejemplo TP = 5s, la respuesta dominante es vuelve sobreamortiguada

Adición de un polo en serieSi se añade un polo en cascada, a medida de que aumente su constante de tiempo asociada, Tp, el conjunto total se volverá más lento y sobreamortiguado.

Figura 7. 4. Efecto de añadir un polo en serie

En general, los polos en serie o en cascada hacen que el sistema sea más lento, ya que suponen un filtro paso bajo, atenuando la respuesta del espectro de alta frecuencia. Estas componentes frecuenciales están relacionados con la rapidez del sistema aunque también con el ruido. Por tanto, el sistema será más lento pero también será más inmune a las perturbaciones.

Empleando la planta referencia (wn= 1,x=0.5 y k=1) y al añadirle en cascada un polo, se observa que el sistema es más rápido cuando no se le agrega, Tp=0. Si la constante de tiempodel polo añadido aumenta, disminuirá la frecuencia de corte del filtro paso bajo, permitiendo sólo un procesamiento de la señal de las componentes más bajas de la frecuencia. En el análisis temporal significará que tenderá a ser más sobreamortiguado y más lento.

Figura 7. 5. Respuesta al escalón de la planta referencia con un polo añadido en cascada

Adición de un cero en la cadena abiertaLos ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más estable y más rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son atraídas hacia la ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano negativo, las ramas se alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el sistema se volverá más estable y también más rápido.

Efecto de añadir un cero en la cadena abierta. a) Diagrama a bloques,b)LDR sin polo y con un cero con una constante de tiempo de 0.5s

No obstante, un aumento desmedido de la constante de tiempo del cero, TZ, provocará un aumento de la sobreoscilación. En la figura 7.6 se le ha añadido un cero en la cadena abierta a la planta de referencia. La salida del sistema sin el cero es más lenta que cuando se le ha añadido un cero con una constante de

tiempo de 0.5 s y de 1s. Al aumentar excesivamente la constante de tiempo su comportamiento deja de ser adecuado. Figura 7. 7. Respuesta al escalón unitario de la planta referencia al que se le ha añadido un cero en la cadena abierta.

Adición de un cero en serie

Los ceros en serie tienen una componente predictiva o anticipadora como consecuencia de su efecto derivativo. En el dominio frecuencial, los ceros suponen una amplificación del espectro de la alta frecuencia. Por lo tanto es fácil de entender que ante una excitación el sistema al que se le ha agregado el cero, la respuesta será con mayor sobreoscilación y con una disminución del tiempo de pico.

Para su verificación considérese un sistema de segundo orden al que se le añade un cero de primer orden. Al conjunto se le aplica una entrada en escalón. En transformada de Laplace permitirá una descomposición en dos fracciones:

Si se llama y*(t) a la respuesta del sistema sin el cero, la salida del conjunto ante una entrada en escalón será:

La respuesta es una combinación lineal entre la respuesta del sistema sin el cero más la derivada de la respuesta.Nótese por el teorema de la diferenciación que s es el operador derivador respecto del tiempo. Suponiendo que el modelo sea el de referencia (wn= 1,x=0.5 y k=1), la salida ante una entrada en escalón será dada por la suma de sus dos parte. En la figura 7.8 queda reflejada la respuesta delsistema con el cero añadido en cascada. El tiempo de pico disminuye cuando se añade el cero, véase la evolución de y(t) y de y*(t). También se aprecia el carácter típico de la derivada de una señal, la Figura 7. 8. Respuesta de la planta referencia al que se le ha añadido un cero con una constante de tiempo de 0.5s

anticipación. La derivada de la señal de salida, sin el cero (Tz y_ *(t)), es predictivarespecto a y*(t).

A la planta referencia se le ha añadido varios ceros en serie, cuyas constantes de tiempo de los ceros se han hecho variar y se le han aplicado una entrada en escalón. En la figura 7.9 se nota que un aumento de la constante de tiempo, por aplicación de la ec. 7.2, supone un incremento de la influencia de la componente derivativa.El conjunto presenta mayor sobreoscilación yuna disminución del tiempo de pico.

Figura 7. 9 Evolución de la planta con la adicción de un cero en la cadena cerrada