Econometra IRelacin de Ejercicios

Octubre de 2004

1 Ejercicios de introduccin al MCO

Ejercicio 1.1. Dado el modelo de regresin

yi = 0 + 1xi + i,

demuestra, sin utilizar el lgebra matricial, que

b1 = SxyS2x , b0 = y b1x,donde Sxy y S2x son la covarianza y varianza muestrales, y donde y y x sonlas medias muestrales.

Ejercicio 1.2. Un alumno utiliza una muestra de N observaciones paraestimar por MCO el modelo

yi = 0 + 1xi + i,

obteniendo los siguientes resultados

NPi=1

xiyi

N = 20,

NPi=1

x2i

N = 10, y = 8, x = 3,b1 = 4, b0 = 1. Te parecen coherentes sus resultados?Ejercicio 1.3. La curva de Engel de gastos relaciona los gastos de un con-sumidor en un bien y su ingreso total. Sea Y el gasto en un bien, y X elingreso del consumidor; considere los siguientes modelos:

Yt = 1 + 2Xt + t

Yt = 1 + 2(1/Xt) + t

lnYt = 1 + 2 lnXt + t

lnYt = 1 + 2(1/Xt) + t

Yt = 1 + 2 lnXt + t

Interprete los coeficientes de cada modelo, averiguando en cada modelocul es la pendiente y cul la elasticidad.

1

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 2

Ejercicio 1.4. Demuestra que en el modelo de regresin

yi = 0 + 1xi + i,

se cumple que la recta de regresin MCO pasa siempre por el punto (x, y).

Ejercicio 1.5. Considera el modelo de regresin

yi = 0 + 1xi + i,

donde yi = yi y y xi = xi x. Demuestra que la recta de regresin MCOpasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 1.6. Demuestra que en el modelo de regresin con N observa-ciones

yi = 1x1i + 1x2i + i,

se cumple queNPi=1

x2iei = 0, donde ei son los residuos de la regresin MCO.

Ser cierto queNPi=1

ei = 0?

Ejercicio 1.7. Se ha estimado, mediante MCO y usando datos del ao 2001,el siguiente modelo economtrico que relaciona los gastos de 200 familias envivienda (Y , medida en miles de euros) con el ingreso familiar (X, medidaen miles de euros)

yi = 0 + 1xi + i,

obteniendo las estimaciones b0 = 30 y b1 = 2. Para el ao 2002 el gobiernoha dado una subvencin de 1000 euros a todas las familias. Cmo afectaresta medida a b0 y b1? Justifique detalladamente su respuesta.Ejercicio 1.8. Se intentan estimar los gastos en vivienda (variable Y , me-dida en miles de euros) de 200 familias. Para ello se proponen dos modelosalternativos: en el primer modelo se relacionan los gastos en vivienda con elingreso familiar (variable X, medida en miles de euros)

yi = 0 + 1xi + i,

obteniendo las estimaciones MCO b0 = 30 y b1 = 0.5. En el segundo mod-elo se relacionan los gastos en vivienda con el ingreso familiar disponible(variable z, medida en miles de euros) que se define como el ingreso familiarmenos un 10% que se dedica al pago de impuestos

yi = 0 + 1zi + i.

Conteste a las siguientes preguntas:

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 3

1. Cul ser el valor de la estimacin MCO de b0 y b1? Justifiquedetalladamente su respuesta.

2. Si el ingreso de una familia es de 10000 euros, para qu modelo laprediccin puntual del gasto en vivienda es mayor? Por qu?

Ejercicio 1.9. Utilizando datos anuales del perodo 1970-2002 se ha esti-mado la siguiente regresin lineal que explica el precio de la vivienda enEspaa (variable yt, en euros) en funcin del suelo urbanizable (variable xt,en m2): byt = 23000 0.005xt; R2 = 0.35.Si hubisemos estimado la ecuacin en dlares, es decir, multiplicando losprecios de la vivienda (Yt) por 1.2, cmo habran cambiado la constante,la pendiente, y el R2 del modelo?

Ejercicio 1.10. Sea el modelo

yi = 0 + 1xi + i,

donde el coeficiente de determinacin es R2. Ahora se propone el modeloalternativo

yi = 0 + 1xi +

i ,

donde yi y xi son una transformacin lineal de las variables originales, es

decir yi = a1 + a2yi y xi = b1 + b2xi. Para este segundo modelo, se obtiene

el coeficiente de determinacin R2 Qu relacin existe entre R2 y R2? yentre los coeficientes de regresin de los dos modelos?

Ejercicio 1.11. Considere la regresin por MCO de las N observaciones dela variable Y sobre las N observaciones de las k variables explicativas rep-resentadas en la matriz X. Considere ahora una transformacin de las vari-ables explicativas originales Z = XP donde P es una matriz (k x k) deter-minista y no singular (por tanto, existe inversa de ella y de su transpuesta).Se pide:

1. Demuestre que los residuos de la regresin de Y sobre X y los de laregresin de Y sobre Z son iguales.

2. Qu consecuencias tiene la aplicacin del resultado anterior para loscambios de unidades en las variables explicativas?

Ejercicio 1.12. Para estimar el coeficiente del modelo

yi = xi + i,

se propone un estimador b = yx . Suponiendo que las perturbaciones i siguenuna distribucin normal y cumplen los supuestos del modelo lineal clsico,calcule la esperanza y la varianza del estimador propuesto.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 4

Ejercicio 1.13. Para estimar el coeficiente 1 del modelo

yi = 0 + 1xi + i,

se propone un estimador

b = P (xi x) yiP(xi x)2

.

Suponiendo que las perturbaciones i siguen una distribucin normal ycumplen los supuestos del modelo lineal clsico, calcule la distribucin, laesperanza y la varianza del estimador propuesto.

Ejercicio 1.14. Propn un estimador mnimo cuadrtico para 1en el sigu-iente modelo:

yi = 1x2i + i

Comprueba si es insesgado y el valor de su varianza, sabiendo que la per-turbacin aleatoria sigue los supuestos del modelo lineal clsico.

Ejercicio 1.15. Para estimar el valor de 1 en el modelo economtrico sintrmino constante

yi = 1xi + i,

se emplea el estimador b, definido comob = Px2i yiP

x3i.

Si suponemos que las perturbaciones aleatorias (i) verifican los supuestosdel modelo lineal clsico, se desea saber:

1. Es el estimador b un estimador insesgado de 1?2. Cul ser la varianza del estimador b? Ser ptima?3. Suponga que le comunican que la varianza de las perturbaciones (var(i))es igual a 10 para todas las observaciones. Piensa que dejaran de ver-ificarse los supuestos del modelo lineal clsico? Cunto valdra ahorala esperanza de b? Y su varianza?

Ejercicio 1.16. En un modelo de regresin

yi = 0 + 1xi + i,

donde i N(0, 2), cul es la varianza muestral de los residuos MCO ei?Es insesgada? Propn un estimador insesgado de la varianza basado en lavarianza muestral.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 5

Ejercicio 1.17. Sea el modelo lineal clsico, expresado matricialmente como

Y = X + ,

donde N0, 2I

. Se sabe que Y y bY se distribuyen como una normal.

1. Encuentra las expresiones de la esperanza y la varianza de Y .

2. Encuentra las expresiones de la esperanza y la varianza de bY .Ejercicio 1.18. Supongamos un sencillo ejercicio terico: estimar el mod-elo yi = 0 + 1xi + i con slo dos observaciones. Demuestra que losresiduos MCO son cero. Qu implica este resultado para el coeficiente dedeterminacin? Comenta detalladamente los resultados obtenidos.

Ejercicio 1.19. Dado el siguiente modelo de regresin mltiple:

Yi = 0 + 1X1i + ...+ kXki + i

si se rompe uno de los supuestos del modelo lineal clsico: E(i) = K,siendo K una constante distinta de cero Qu consecuencias tiene sobre laestimacin MCO de los parmetros del modelo?

Ejercicio 1.20. Sea el modelo:

Yi = 0 + 1Xi + i; i = 1, 2, ...N

donde E(i) = 2+2Xi, cumplindose el resto de hiptesis clsicas del modelode regresin. Calcular el sesgo de los estimadores MCO de 0 y 1.

Ejercicio 1.21. Dado el siguiente modelo de regresin simple con n obser-vaciones

yi = 0 + 1xi + i

conteste a las siguientes preguntas:

1. Si se incumple uno de los supuestos del modelo lineal clsico, E (i) =2, qu consecuencias tendr sobre la sesgadez de los estimadores MCOde 0 y 1?

2. Cmo cambiara su respuesta si E (i) = 2xi?

Ejercicio 1.22. Dado el siguiente modelo:

yi = 0 + 1x1i + ...+ kxki + i,

donde las perturbaciones i siguen una distribucin normal y cumplen lossupuestos del modelo lineal clsico. Demuestre que en el contraste de signi-ficatividad conjunta, la estimacin byi del modelo restringido coincide con lamedia aritmtica de las observaciones de la variable y.

1 EJERCICIOS DE INTRODUCCIN AL MCO 6

Ejercicio 1.23. Un estadstico que permite realizar el contraste de sig-nificatividad conjunta en un modelo con trmino constante y k variablesexplicativas es:

F =(SCER SCE)/k

SCEn(k+1)

,

donde SCE es la suma de los cuadrados de los errores.

1. Encuentra la relacin matemtica que liga el coeficiente R2 con dichoestadstico.

2. Sabiendo que hemos obtenido, del contraste global de significatividad,que el estadstico F = 43, 25, que el modelo tiene 2 variables explica-tivas, y que se emplearon en la estimacin 20 observaciones, cuntovaldr el R2?

Ejercicio 1.24. Un grupo de alumnos de 4o de ADE propone el siguientemodelo para estudiar la demanda regional de CDs:

yt = 0 + 1x1t + 2x2t + t

siendo y la demanda en miles de unidades, x1 la renta, x2 el precio mediode un CD y t N(0, 2). Con los 23 datos de una muestra trimestral(1998.1-2003.3) los alumnos obtienen:

(X 0X)1 =

17.49 1.73 7.581.73 0.79 1.847.58 1.84 5.21

(X 0Y ) = 132.19901.09510.03

SCE =

Xe2i = 3.35 STC =

X(yt y)2 = 362.48

Utilizando la informacin proporcionada, se pide:

1. Estimar por MCO los parmetros del modelo, e interpretar los resul-tados obtenidos.

2. Contrastar la significatividad global del modelo

3. Contrastar la significatividad individual de todas las variables explica-tivas Est de acuerdo con la especificacin del modelo?

4. A partir del primer trimestre de 2001 se increment notablemente elgasto en pu