Dynamika hmotného bodu

Dynamika

• Dynamika – odvozeno od řeckého δύναμις – síla

• Část mechaniky, která se zabývá příčinami změnypohybového stavu tělesa

• Je založena na třech Newtonových zákonech pohybu

• Dynamika hmotného bodu

• Čím se budeme zabývat– Zavedeme pojem síly

– Definujeme pojem setrvačné hmotnosti

– Zformulujeme zákony pohybu (Newtonovy pohybové zákony)

Dynamika

• Příčinou pohybu je vzájemné působení (interakce) mezi

tělesy

• V přírodě známe čtyři základní druhy interakcí

Fyzikální interakce

Síla a setrvačná hmotnost

• Síla – vyjadřuje míruvzájemného působení

mezi dvěma tělesy

• Jednotkou síly je N = kg.m.s-2

• Tatáž síla F která působí na různá tělesa vyvolává u

těchto těles za stejných podmínek různá zrychlení

• Tato vlastnost se nazývá setrvačnost a mírou

setrvačnosti je tzv. setrvačná hmotnost

Setrvačná hmotnost, hmotnost

• Setrvačná hmotnost tedy vyjadřuje schopnost tělesasetrvávat v daném pohybovém stavu, tedy schopnosttělesa neměnit svůj pohybový stav

• Zjišťuje se za pomoci síly, kterou je třeba vynaložit nazměnu pohybového stavu tělesa

• Hmotnost tělesa – zjišťujeme ji vážením, tedy nazákladě přitažlivosti Země a daného tělesa, hmotnostbychom tedy měli nazývat gravitační hmotností

• Můžeme tedy říci, že gravitační hmotnost (hmotnost) jemírou schopnosti vzájemně se přitahovat s jinými tělesy

Newtonovy pohybové zákony

• Newtonovy pohybové zákony jsou základnímipohybovými zákony klasické mechaniky

• Udávají vztah mezi pojmy hmoty a síly

Newtonovy pohybové zákony

• 1. pohybový zákon

– Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendiuniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressiscogitur statum suum mutare

• 2. pohybový zákon

– Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae etfieri secundam lineam rectam qua vis illa imprimitur

• 3. pohybový zákon

– Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem; sive:corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequaleset in partes contrarias dirigi

1. NZ – zákon setrvačnosti

• Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém

pohybu, pokud není působením vnější síly nuceno tento

stav změnit

• Souřadnicové soustavy, ve kterých platí 1. NZ

nazýváme soustavami inerciálními (setrvačnými), viz.další výklad (např. heliocentrická soustava)

• Nepůsobí-li na hmotný bod vnější fyzikální vlivy, je

souřadná soustava, vůči které se hmotný bod pohybuje

rovnoměrně přímočaře nebo vůči které je v klidu,

soustavou inerciální

2. NZ – zákon síly

• Síla působící na těleso je přímo úměrná jeho hmotnosti a

zrychlení, které mu uděluje

• 2. NZ je možné vyjádřit i dalšími způsoby. Zavedeme-li

novou fyzikální veličinu hybnost, pak můžeme psát:

2. NZ – zákon síly

• Další ekvivalentní zápis 2.NZ dostaneme úpravou

předchozího vztahu a následnou integrací

• Změna hybnosti hmotného bodu je rovna impulzusíly, který změnu vyvolal

3. NZ – zákon akce a reakce

• Každá akce vyvolává stejně velkou reakci opačného

směru, aneb vzájemné silové působení dvou těles je

stejně veliké a opačně orientované

Některé síly v přírodě

• Tíhová síla (FG)

– Při studiu volného pádu těles zjistíme, že pohyb se děje skonstantním zrychlením, které se označuje jako tíhové zrychlení

• Tíha (G)

– Je síla která v důsledku tíhové síly tlačí např. těleso naklidnou podložku nebo táhne za klidný závěs

Některé síly v přírodě

• Normálová síla

• Třecí síly

– Statické tření

– Dynamické tření

Pohybové rovnice hmotného bodu

• Známe-li trajektorii pohybu hmotného bodu v inerciální

soustavě souřadné, můžeme z druhého Newtonova

zákona stanovit sílu, která na hmotný bod působí

• Známe-li silové pole v nějakém prostoru, můžeme

v tomto prostoru stanovit typ pohybu hmotného bodu.

Známe-li též počáteční podmínky pohybu (případně jiné

ekvivalentní údaje o pohybu), můžeme trajektorii

hmotného bodu určit jednoznačně

Pohybová rovnice pro pohyb

hmotného bodu v tíhovém poli

Síly působící na HB při různých

druzích pohybu

• Rovnoměrný přímočarý pohyb – pohyb se děje bezpůsobení síly

• Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb – síla působícína HB je konstantní

• Harmonický pohyb – na HB působí síla, jejíž velikost jeúměrná výchylce HB z rovnovážné polohy

• Obecný přímočarý pohyb – v tomto případě je zrychlenía tedy i síla obecnou funkcí času; síla je výslednicí všechsil, které na HB působí, tj. sil vazbových a tzv. silvtištěných (hybných)

Síly působící na HB při různých

druzích pohybu

• Rovnoměrný kruhový pohyb – síla působící na HB je sílamířící do středu kruhu – tzv. dostředivá síla

• Nerovnoměrný pohyb – máme zde nenulovou složkutečného zrychlení, proto síla nemíří do středu kruhu,proto se zrychlení a tím pádem i síla rozkládá na tečnoua normálovou složku

Inerciální vztažné soustavy

• Víme, že inerciální souřadná soustava je ta význačnásoustava, v které platí Newtonovy zákony

• Prvním zákonem je tato souřadná soustava definována,druhý a třetí zákon platí pouze, je-li jeho vztažnousoustavou soustava inerciální

• Pro většinu pohybů na povrchu Země je možnov dobrém přiblížení pokládat za inerciální i soustavusouřadnou spjatou se Zemí

• Přesná měření však ukazují, že soustava souřadnáspjatá se Zemí inerciální není – např. pokus s tzv.Foucaltovým kyvadlem

Neinerciální vztažné soustavy

• Vyšetřujeme-li pohyb hmotného bodu vůči neinerciální

soustavě souřadné takovou soustavou je přísně vzato i

soustava spjatá s naší Zemí, máme dvě možnosti:

– Vyšetřování provést v inerciální souřadné soustavě, tj.v soustavě souřadné spjaté s hvězdami a výsledky převést(transformovat) do uvažované neinerciální soustavy

– Formálně zachovat tvar rovnice 2. NZ a přidat síly, kterévykompenzují zrychlený pohyb neinerciální souřadné soustavyvůči soustavě inerciální

Neinerciální vztažné soustavy

• Druhý postup vyžaduje zavedení veličin, které

kompenzují zrychlený pohyb neinerciální soustavy vůči

soustavě inerciální. Tyto veličiny zavedeme do rovnice

• Velikost zdánlivých sil závisí na vzájemném pohybuvztažných soustav

– neinerciální soustava se vůči inerciální pohybuje se stálýmzrychlením (setrvačné síly)

– neinerciální soustava se vůči inerciální soustavě otáčí stálourychlostí (síla setrvačná a síla Coriolisova)

Zdánlivé síly

• V předchozí rovnici jsme zavedli sílu, jejíž původ nenímožné vysvětlit fyzikálně – tedy síly, které pouzekompenzují vliv zrychleného pohybu neinerciálnísoustavy vůči inerciální

• Takové síly se nazývají zdánlivé nebo setrvačné –zjednodušeně řečeno tyto síly nemají materiálníhonositele

• Mezi takové síly patří např. síla odstředivá nebo tzv. sílaCoriolisova, projevující se na rotujících tělesech, např.na zemském povrchu

Neinerciální soustava pohybující se

vůči inerciální se stálým zrychlením

Zdánlivé síly – vysvětlení

Soustava otáčející se vůči

inerciální s konstantní úhlovou

rychlostí

Coriolisova síla

Neinerciální vztažné soustavy

• V neinerciálních soustavách tedy neplatí 1. a 3. NZ, tzn.

platí, že těleso mění svůj pohybový stav i přesto, že na

něj nepůsobí žádná síla

• 2. NZ použít lze, ale musíme vzít v úvahu síly setrvačné

• Setrvačné síly jsou tedy síly neskutečné (fiktivní),

nicméně i tyto síly subjektivně pociťujeme

Je Země inerciální vztažnou

soustavou?• V běžné praxi (výpočtech) zdánlivé síly vůbec

neuvažujeme – jsou poměrně malé a jejich vlivy nazkoumané problémy můžeme zanedbat

• Při většině praktických aplikací Newtonovy mechanikytedy můžeme pokládat soustavu souřadnou spjatou seZemí za soustavu inerciální

• Ve skutečnosti ovšem Země inerciální soustavou není –jelikož Země společně s námi rotuje a pohybuje sekolem Slunce, existují zde síly setrvačné (odstředivé aCoriolisova)

• Důkazem toho, že soustava spjatá se Zemí jeneinerciální, je příklad tzv. Foucaltova kyvadla

Foucaltovo kyvadlo

• Foucoultovo kyvadlo je těžká koule zavěšená na

dlouhém závěsu, kterou necháme kývat s poměrně

velkou amplitudou

• Původní pokus konal Foucault roku 1851 v pařížském

Pantheonu s koulí hmotnosti 30 kg, kterou měl

zavěšenu na závěsu délky 67 m

Závěrečné poznámky• Dynamika hmotného bodu, kdy platí Newtonovy zákony a

kinematika, kdy platí Galileova transformace se označujíjako klasická mechanika

• Klasická mechanika dobře popisuje a vysvětluje pohybytěles, jejichž rozměry jsou podstatně větší než jsou rozměryatomů a rychlosti podstatně menší než je rychlost světla

• Pro popis objektů na atomární úrovni nahrazujemeklasickou mechaniku kvantovou mechanikou, objektypohybující se velkými rychlostmi popisujeme Einsteinovouspeciální teorií relativity

• Teorie relativity a kvantová mechanika nepopírají klasickoumechaniku – jsou pouze zvláštním případem, kdypopisujeme děje při malých rychlostech a v běžnýchrozměrech