**** MLADEN SRAGA ****

2010.

UNIVERZALNA ZBIRKA

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

1

UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA

JEDNADŽBE

NEJEDNADŽBE

APSOLUTNE JEDNADŽBE

APSOLUTNE NEJEDNADŽBE

α

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga BESPLATNA - WEB-VARIJANTA

Dodatne upute i VIDEO objašnjenja uz sve zadatke iz ove web-varijante biti će objavljene na ovoj našoj web-stranici: http://mim-sraga.com/Zbirka-potpuno-rijesenih-zad-Mat-1-uredjaj.htm dovoljno je da dvokliknete na ovaj plavi dio teksta i stranica bi se trebala otvoriti …

Tisak: M.I.M.-SRAGA d.o.o. CIP-Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i sveučilišna knjižnica, Zagreb © M.I.M-Sraga d.o.o. 2010.

Potpunu garanciju na kompletnu zbirku daje: centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA -dakle sve što vam se čini nejasno krivo ili sumnjivo - zovite 01-4578-431 ili 01-4579-123 i tražite dodatne upute i objašnjenja ... Dodatne upute i objašnjenja možete zatražiti i na mail: mim-sraga@zg.htnet.hr

M.I.M.-SRAGA d.o.o. zadržava sva prava na reproduciranje , umnažanje , prodaju ove zbirke potpuno riješenih zadataka isključivo u okviru svog programa poduke i dopisne poduke. Nikakva komercijalna upotreba ove zbirke nije dozvoljena bez pismene dozvole nakladnika!

2 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

Linearne JEDNADŽBE

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

kvadriramo po pravilima4) 1 2 2 1 2

2 1 4 4 2 2 1

2 4 1 4 2 4 22 2 2 4 2 1 4

6 3 : 6

3612

301.x x x a b a a

x x x x x x

x x x x x xx x x x

x

x

x

− + + = ⋅ − → ± = ± +

− + + + + = − +

+ − + + + = − +

− + + = − −

= −

= −

= −Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak http://mim-sraga.com/Zbirka-potpuno-rijesenih-zad-Mat-1-uredjaj.htm ili direktni link na : video uputu …uz 301. 4)

b b

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )2

3 114) 2 3 3 uvjet: 3 0 , 3 03 3 3 33 3 1 3 2 3 3

3

x x x x x xx x x xx x x x x x

x

− ++ = − + + ≠ − ≠

+ −≠ − ≠

− − + + + = − +

− + ( )

( )

2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 2 9

6 9 4 3 2 182 6 4 9 3 18

2 30 : 2

15

x x x x

x x x x xx x x x x

x

x

+ + + = −

− + + + + = −

+ − − + = − − −

− = − −

=

Ovo nisu svi zadaci iz ove zbirke , Ovo je samo manji dio od oko 10% zadataka iz kompletne zbirke … i ovdje su postavljeni samo kao ogledni primjerci …. Ali vam mogu poslužiti kao solidna vježba pred testove ili ispitivanja u školi

3 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

4 autor: Mladen Sraga

1136.

NEJEDNADŽBE

Tehnika rješavanja linearnih nejednadžbi slična je rješavanju linearnih jednadžbi nepoznanice idu lijevo a brojevi desno. Kada nejednadžbu množimo ili dijelimo negativnim brojem mijenjamo joj smisao: Primjer: ( )

dakle samo okrenemo znak nejednakosti !

2 4 / : 22

xx

− < −

> − Nekoliko primjera:

+2 1 4 32 3 4 1

5 / : ( 1)5

x xx xx

x

− > +− > +

− > −< −

Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak direktni link na uputu: zadatak: 1136. – 1) do 4)

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1136.

( )

1 1 2 15) 62 3 3 2

3 2 2 2 3

3 2 4 3

3 4 3 2

1 / : 11

x x

x x

x x

x x

xx

+ < + ⋅

+ < ⋅ ⋅ +

+ < +

− < −

− < −

> −

Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak na YouTube direktni link na uputu: zadatak: 1136. – 1) do 5)

+∞1− 1,x∈ − +∞

( ) ( ) ( )

( )

1 1 26) 62 3 2

3 1 2 1 3 2

3 3 2 2 3 6

3 2 3 6 3 2

2 11 / : 2112

x x x

x x x

x x x

x x x

x

x

+ − −− ≤ ⋅

+ − − ≤ −

+ − + ≤ −

− − ≤ − − −

− ≤ − −

≥

još jedan zadatk na tu temu:6.a

11 +∞12

11 ,12

x ⎡∈ +∞⎢⎣

5 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1137. Sustav linearnih nejednadžbi

U ovom zadatku rješavamo sustav dvije linearne nejednadžbe. Tehnika rješavanja je takva da svaku nejednadžbu riješimo za sebe isto kao što smo to radili u zadatku 1.136 Rješenje sustava je presjek rješenja prve i druge nejednadžbe. Dakle na istom brojevnom pravcu nacrtamo rješenja obadvije nejednadžbe tako da svako rješenje ima svoj nagib ( šrafuru )

rješenje ove jed. je: rješenje ove jed. je:

pokažimo to na 1. zadatku:

prvo rješimo svaku nejednadžbu za sebe:

1) 3 0 , 5 03 5

x xx x+ ≥ − <≥ − <

−∞ 5 ∞3− Sada na istoj slici nacrtamo obadva rješenja: Područje u kojem se sijeku ta rješenja je rješenje sustava

3− 5 3,5x∈⎡−⎣ Uobičajeno je da se ovaj zadatak rješava na kraći način: 1) 3 0 , 5 0

3 5x xx x+ ≥ − <≥ − <

3− 5 ∞−∞ Područje u kojem se sijeku ta rješenja je rješenje sustava

ili drugačije zapisano isto rješenje:3,5

3 5

x

x

∈⎡−⎣− ≤ <

Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak na YouTube direktni link na uputu uz: zadatak: 1137. – 1) do 6)

6 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

7 www.mim-sraga.com

( ) ( ) ( ) (

1 2 2 1

)

1 12 , 2 63 4 2 3

4 1 3 2 12 3 2 12 2 14 4 3 6 12 3 6 12 2 24 3 12 4 6 3 2 12 6 27 10 4

107

x x x x

x x x xx x x xx x x xx x

x

− + + −+ > ⋅ − ≤ ⋅

− + + > + − ≤ −

− + + > + − ≤ −+ > + − − ≤ − −> ≤

>

5)

10 47

10 , 47

x ⎤∈ ⎥

⎦ YouTube direktni link na uputu uz: zadatak: 1137. – 5) do 6)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3 1 1 4 3 11 6 , 2 62 3 2 3

3 3 2 1 6 3 1 4 2 3 1 123 9 2 2 6 3 12 6 2 123 2 2 6 9 12 6 2 12 3

5 18 11 / : 181118

x x x x

x x x xx x x xx x x x

x x

x

+ − − +≤ + ⋅ > + ⋅

+ ≤ − + − > + +

+ ≤ − + − > + +− ≤ − + − − − > + −

≤ − − > −

< −

6)

1118−5−−∞

, 5x∈ −∞ − ⎤⎦

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

( )( )2) 2 3 0I I

2 0 , 3 0 2 0 , 3 02 3 2

x x

x x x xx x x x

− + <

− > + < − < + >> < − <

I

3> −

I

1≤ −

YouTube direktni link na uputu uz: zadatak: 1138.a. pod - 1)

, 1x∈ −∞ −

[, 1 1,x∈ −∞ − ⎤∪ +∞⎦

+∞11−−∞

ukupno rješenje je: I. II. ⇓

∪

( )( )

1138. a)1) 1 1 0

I I1 0 , 1 0 1 0 , 1 01 1 1

x x

x x x xx x x x

− + ≥

− ≥ + ≥ − ≤ + ≤≥ ≥ − ≤

1− 1 +∞ −∞ 1− 1

[1,x∈ +∞

3− 2 3− 2 x∈∅ 3, 2x∈ − ukupno rješenje je: I. II.

⇓

∪

3, 2x∈ −

8 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

28) 0

2I I

2 0 , 2 0 2 0 , 2 02 2 2

xx

x x x xx x x x

−>

+

− > + > − < + <> > − <

I

2< −

−∞ 22− +∞22− 2,x∈ +∞ , 2x∈ −∞ −

ukupno rješenje je: I. II. ⇓

∪

2− +∞2−∞ , 2 2,x∈ −∞ − ∪ +∞

2 416) 03 5

:

xx

rješenje

−<

+

YouTube video uputa i objašnjenje zadatak: 1138. pod - 16)

YouTube direktni link na uputu uz: zadatak: 1138.a. pod - 8)

9 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1138. b) 27) 0

3I I

2 0 , 3 0 2 0 , 3 03

x

x xx

−<

+

− > + < − < + >> −

točno

svi

su rj.

x R

↓

∈

netočno

pa I otpada

↓

I

3− +∞ 3,x∈ − +∞ ukupno rješenje je: I. II.

⇓

∪

3,x∈ − +∞

YouTube direktni link na uputu uz : zadatak: 1138.b. pod - 7)

10 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

( )

( ) ( )

" jedinicu prebaci na ljevu stranu "

1138.c)

11) 11

1 1 01

1 1 10

11 1 0

12 0

1

I II2 0 , 1 0 2 0 , 1

2 / : 1 1 2 / : 1 12 2

x

xx

xx

xx

x

x x xx x x

x x

→>−

− >−− ⋅ −

>−

− +>

−−

>−

− > − > − < − <

− > − − > − < − − <

< >

YouTube direktni link na uputu uz: zadatak: 1138.c. pod - 1)

0xx

1 22 1 x∈∅1, 2x∈ ukupno rješenje je: I. II.

⇓

∪

1, 2x∈

( ) ( )( )( )

1 41138. ) 18) 0

1 2x x

dx x− −

≥+ −

video uputa i objašnjenje uz ovaj: zadatak: 1138.d) pod - 18) na YouTube

11 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1138. d) ( )( )1 4

3) 03

1 0 4 0 3 01 4

x xx

x x xx x x

− +≥

−

− = + = − == = −

uvjet:3 03

xx− ≠≠

3=

4 1 3

4 01 0

030

xxx

−∞ − +∞

+ − + + +− − − + +− − − − +≥ − + − +

[ ]4,1 3,x∈ − ∪ +∞

( )( )

( )

2 34) 0

1

2 0 3 0 1 02 3 / : 1

3

x xx

x xx x

x

+ −≥

+

+ = − = + =

= − − = − − = −

=

uvjet:1 0

1xx+ ≠≠ −

1xx

2 1 3

2 01 0

3 00

xx

x

−∞ − − +∞

+ − + + ++ − − + +− + + + −≥ + − + −

, 2 1,3x∈ −∞ ⎤∪ − ⎤⎦ ⎦

( )( )( )( )

1 41138. ) 18) 0

1 2x x

dx x− −

≥ →+ −

video uputa i objašnjenje uz ovaj: zadatak: 1138.d) pod - 18) na YouTube

12 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

13 www.mim-sraga.com

1170.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

2 2

2 2

Izračunaj

) 2 1 2 3 2 1 2 3

2 1 2 3

2 1 2 3

2 1 2 3

2 1 2 3 2 2 1 3

2 2 4

3 2 3 2 2 3 2 3 2 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2 2

3 2 3 2 2 3 3 2 2 2

2 3 3 2

+ −

+ −

− − − = − − − =

= − − − =

= + − − − −

= − + − =

= − + − = + − −

= −

− − − = − − −

= − − − =

= − − − −

= − + − =

= − + − = + − − =

= −

1

2) Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak

http://mim-sraga.com/Zbirka-potpuno-rijesenih-zad-Mat-1-uredjaj.htm ili direktni link na YouTube-

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1184. 1) 5x =

5x = − 5x = + 2) 1 2x − = 1 2

1 21

xxx

− = −= −= −

1 21 23

xxx

− = += +=

3) 2 5 3x − = 2 5

2 5 32 8 / : 2

4

xxx

x

3− = += +==

2 52 5 32 2 / :

1

3

2

xxx

x

− = −= −==

YouTube direktni link na uputu uz: zadatke: 1184. od - 1) do 4) 4) 3 4 2x− =

( )

3 4 24 3 24 5 / : 4

54

xxx

x

− = −− = − −

− = − −

=

( )

3 4 24 2 34 1 / : 4

14

xxx

x

− = +− = −

− = − −

=

14 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1185. 3) 2 5 3 1x x− = +

( )

( )

za: 2 5 02 5 / : 2

52

2 5 32 5 3 12 3 1 5

6 / : 16

xx

x

1x xx xx xx

x

− ≥≥

≥

+ − = +

− = +− − = +

− = −

= −

( )

( )

za: 2 5 02 5 / : 2

52

2 5 3 12 5 3 12 3 1 55 4 / :

45

xx

x

5

x xx xx xx

x

− <<

<

− − = +

− + = +− − − = −

− = − −

=

5uvjet:

2x < 5uvjet:

2x ≥

52

45 6−

5

2

4

5x

⇓

=

6 ne zadovoljava

5uvjet i to nije

2rješenje jednadžbe

x

x

= −

≥ 4dakle, jedino rješenje jednadžbe je

3x =

Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak

http://mim-sraga.com/Zbirka-potpuno-rijesenih-zad-Mat-1-uredjaj.htm ili direktni link na YouTube-

15 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1186.

( )

4) 2 1 3 2

2 1 0 3 02 1 / : 2 3 / :

1 32

x x

x xx x

x x

− − − =

− = − =

= − − = − −

= =

1

12 3

02 13 0

I II III

xx

−∞ +∞

− − + +− + + −

( )

( ) ( )( )( )

II ,

1 ,32

2 1 3

2 1 3 22 1 3 22 2 1 33 6 / : 3

2

x

x x

x xx xx xx

x

+ +

⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦

2+ − − + − =

− − − =

− − + =+ = + +==

( )

( ) ( )( )( )

( )

I ,

1,2

2 1 3 2

2 1 3 22 1 3 2

2 2 1 34 / : 14

x

x x

x xx x

x xx

x

− +

∈ −∞ −

− − − + − =

− + − − =

− + − + =− = − +

− = −

= −

( )[

( ) ( )( )( )

III ,

3,

2 1 3 2

2 1 3 22 1 3 22 1 3 2

0

x

x x

x xx xx x

x

+ −

∈ +∞

+ − − − − =

− + − =

− + − =− = − +=

4− 12

12 32 0 1

2 2 2x = 1 0 nije rješenje

jer ne zadovoljava uvjet

x =1 4x = −

16

Pogledaj dodatnu VIDEO uputu uz ovaj zadatak http://mim-sraga.com/Zbirka-potpuno-rijesenih-zad-Mat-1-uredjaj.htm ili direktni link na YouTube-

autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

1252.

po pravilu br.2

1. Pravila:

2. ili

1) 3

3

x a a x a

x a x a x a

x

x →

< ⇒ − < <

> ⇒ < − >

≥

≥

3x ≤ − 3x ≥ili

3− 3 , 3 3 ,x ∈ − ∞ − ⎤ ∪ ⎡ + ∞⎦ ⎣

primjenimo pravilo br. 1.

2) 1

1

1 1ili

1,1

x

x

x

x

⇓

<

< →

− < <

∈ −

⇓

1− 1

17 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

po pravilu br.2.

3) 1 2

1 2

x

x →

+ ≥

+ ≥ 1 2

2 11

xxx

+ ≥≥ −≥

1 22 13

xxx

+ ≤ −≤ − −≤ −

+ ∞13−− ∞ ] [

ili ili drugačije zapisano isto rješenje:

, 3 1,

3 ili 1

x

x x

∈ −∞ − ∪ +∞

≤ − ≥

Riješi sustav nejednadžbi

1) 1 1 2 1253.

x< + < I II

1 2

2 1 22 1 2 13 1

3,1

x

xx

x

x

+ <

⇓

− < + <− − < < −− < <

⇓

∈ −

( )1 1

1 1 / : 1

1 1

x

x

x

< +

− + < − −

+ >

1 1

1 12

xxx

+ < −< − −< −

1 11 10

xxx

+ >> −>

− ∞ + ∞ 02− , 2 0 ,x ∈ − ∞ − ⎤ ∪ + ∞⎦ ukupno rješenje je: I. II.

⇓

∩

2−3− 0 1 +∞−∞ 3 , 2 0 , 1x ∈ − − ∪

18 autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

Ovo su ogledni primjeri stranica iz ZBIRKE POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA -poglavlja: JEDNADŽBE NEJEDNADŽBE APSOLUTNE JEDNADŽBE APSOLUTNE NEJEDNADŽBE PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE Autor: Mladen Sraga izdavač: M.I.M.-Sraga kompletnu zbirku možete kupiti preko: www.mim-sraga.com ili narudžbom na 01-4578-431 ili na mail: mim-sraga@zg.htnet.hr Puna cijena kompletne zbirke UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA za PRVI razred srednje škole je 200 kn trenutno sa popustom od 50% prodaje se za 99 kn

19 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

Cijena kompletne zbirke UREĐAJU NA SKUPU REALNIH BROJEVA za PRVI razred srednje škole je 200 kn sa popustom = 99 kn Sve dodatne informacije i narudžbe na: 01-4578-431 ili 098-237-534 ili na mail: mim-sraga@zg.htnet.hr iz naše ponude izdvajamo:

20

Sve dodatne informacije o ovim zbirkama zatražite na mail: mim-sraga@zg.htnet.hr asasa ili na naše telefone 01-4578-431 , 4579-130

autor: Mladen Sraga

Rješenja Uređaj na skupu realnih brojeva

21 www.mim-sraga.com

M.I.M.-Sraga – centar za poduku