DISTRIBUSI NORMALEuphrasia Susy Suhendra

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMALKurva berbentuk genta (= Md= Mo)Kurva berbentuk simetrisKurva normal berbentuk asimptotisKurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1; di sisi kanan nilai tengah dan di sisi kiri.

SEBARAN NORMALKurva Normal : Bila X adalah suatu peubah acak normal dengan nilai tengah dan ragam 2, maka persamaan kurva normalnya adalah :

Gambar Kurva Normal

SEBARAN NORMAL Dua kurva normal dengan 1 < 2 dan 1=2 Dua kurva normal dengan 1 = 2 dan 1 2

SEBARAN NORMAL

Dua kurva normal dengan 1 < 2 dan 1< 2

Luas Daerah di Bawah Kurva NormalDibatasi oleh x = x1 dan x = x2P(x1 < X < x2) dinyatakan oleh luas daerah gelap.

gambar luas daerah di bawah kurva normal :

Peubah acak Z akan berada diantara nilai padanannya.

Tabel Z

Tabel Z

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMALDistribusi kurva normal dengan sama dan berbeda

Chart2

0.510

1.51.51

5.532.5

74.59

5.532.5

1.51.51

0.510

Mesokurtic

Platykurtic

Leptokurtic

Sheet1

m-3s0.5

m-2s1.5

m-1s5.5

m70.5

m+1s5.51.5

m+2s1.55.5

m+3s0.507

5.5

1.911.5

z0.5

0.510

1.51.51

5.532.5

m74.59

5.532.5

1.51.51

0.510

Sheet1

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

Sheet2

000

000

000

000

000

000

000

&A

Page &P

Mesokurtic

Platykurtic

Leptokurtic

Sheet3

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE ZTransformasi dari X ke ZxzDi mana nilai Z:Z = X - Distribusi Normal Baku yaitu distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran= Nilai rata-rata hitung suatu distribusi= Standar deviasi

TRANSFORMASI DARI X KE ZContoh Soal:Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600?

Jawab:Diketahui: Nilai = 490,7 dan = 144,7

Maka nilai Z =( X - ) / Z= (600 490,7)/144,7Z= 0,76

Contoh Soal:

Misalkan kita memilih 20 saham pada bulan Mei 2007. Harga saham ke-20 perusahaan tersebut berkisar antara Rp. 2.000 2.805 per lembarnya. Berapa probabilitas harga saham antara Rp. 2.500 sampai 2.805 per lembarnya. Diketahui = 2.500 sebagai nilai rata-rata hitung dan standar deviasinya 400. TRANSFORMASI DARI X KE ZZ = (X - ) / Z1 = (2.500 2500) / 400Z1 = 0 / 400 = 0

Z2 = (2.805 2.805) / 400 Z2 = 0.76

LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL-3-3=xZ=0+1+1+2+2+3+3-2-2-1-168,26%99,74%95,44%Luas antara nilai Z (-1

Buah durian di Kebun Montong Sukabumi, Jawa Barat mempunyai berat rata-rata 5 kg dengan standar deviasi 1,5 kg. Berapakah nilai Z, apabila ada buah durian yang mempunyai berat 8,5 kg dan 2,5 kg.SOAL DAN JAWABAN

Z = (X - )/Z untuk 8,5 = (8,5 5)/1,5 = 2,33Z untuk 2,5 = (2,5 5)/1,5 = -1,67

PENERAPAN KURVA NORMALContoh Soal:PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga B adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.

Jawab:Transformasi ke nilai zAP(x< 250); P(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x

PENERAPAN KURVA NORMALContoh Soal:PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!

Jawab:P(800

CONTOH SOAL PT. Gunung Sari ingin membuat kelas mutu baru untuk mangga yaitu mutu Super. Mutu ini merupakan 12.5 % dari mutu buah mangga terbaik. Rata-rata berat buah mangga pada saat ini adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Berapa berat mangga minimal untuk bisa masuk ke dalam kelas mutu Super tersebut ?Jawab: Maksud 12.5% terbaik, daerah dibawah kurva normal dengan luas 0.125. Ingat luas daerah diatas X = 350 adalah 0.5. Sehingga daerah X X1 adalah 0.5 0.125 = 0.375. Jadi nilai P(0 < Z < .....) = 0.375. Untuk mencari nilai Z dari 0.375 dapat dicari di tabel kurva normal. Nilai Z untuk 0.375 adalah 1.15 (dalam tabel dinyatakan 0.3749, diambil yang mendekati). Apabila diketahui Z, dan , maka nilai X1 dapat dicari:

Z =( X - ) / X1 = (Z x ) + X1 = (1.15 x 50) + 350X1 = 57.5 + 350 X1 = 407.5

Jadi berat buah mangga minimal yang termasuk kelas Super adalah 407.5 gram

PT Hari Jaya memproduksi barang pecah belah seperti gelas, piring, dan lain-lain. Perusahaan memberikan kesempatan kepada konsumen untuk menukar barang yang telah dibeli dalam hari itu apabila ditemui barang cacat. Selama pelaksanaan program ini, ada 10 orang rata-rata yang menukarkan barang karena cacat dengan standar deviasi 4 orang per hari. Berapa peluang ada 20 orang yang melakukan penukaran barang pada suatu hari?

Jawab:

Nilai Z = (20-10)/4 = 2,50P(X>20) = P(Z>2,50) = 0,5 0,4938 = 0,0062

Jadi peluang ada 20 orang yang menukarkan barang dalam 1 hari adalah 0,0062 atau 0,62%.

PT Arthakita Jagaselama memproduksi buah melon, di mana setiap melon mempunyai berat sebesar 750 gram dengan standar deviasi 80 gram. Buah yang termasuk dalam 10% terberat dimasukkan ke dalam kelas atau mutu A. Berapa berat minimal dari buah melon supaya dapat masuk ke dalam mutu A?

Sepuluh persen terbaik, berarti pada kisaran nilai tertinggi sampai terendah dalam kelompok tersebut mempunyai luas 0,1 atau 10%. Ingat bahwa luas daerah normal kalau dibagi 2 adalah 0,5, maka luas sisa dari daerahnya adalah 0,4 yang diperoleh dari 0,5 0,1.Untuk memperoleh nilai Z, maka anda dapat melihat berapa nilai Z untuk luas dibawah kurva normal sebesar 0,4000. Apabila Anda lihat pada tabel luas di bawah kurva normal, maka yang mendekati 0,4000 adalah angka 0,3997 dan mempunyai nilai Z = 1,28. Dari nilai Z, maka dapat diperoleh nilai X yang merupakan nilai terendah dari interval 10% tertinggi.

Z= (X - ) / S1,28= (X 750) / 8X= (1,28 X 8) +750= 760,24Jadi berat minimal dari buah melon untuk kelas atau mutu A adalah 760,24 gram.

0,40,1

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar.

Chart4

0.5

0.5

r

0.1

0.4

0.4

0.1

r

0

0

0.01

0.04

0.12

0.18

0.12

0.04

0.01

0

0

r

Sheet1

m-3s0.5

m-2s1.5

m-1s5.5

m70.50.5

m+1s5.51.51.500.5

m+2s1.55.55.510.5

m+3s0.5077r

5.55.5

1.911.51.500.1

z0.50.510.4

020.4

130.1

2.5r

4109

2.500

120

040.01

60.04

80.12

100.18

120.12

0.510140.04

1.51.51160.01

5.532.5180

m74.59200

5.532.50.5r

1.51.511.5

0.5105.5

1507

5.5

1.50.1359

0.527.18

0.5

1.5gema100bni100mrei100

5.59595100

300710095100

5.510595110

1.595100100

0.510095100

3.76386326352.58198889754.0824829046

0.53.762.584.08

1.5

5.5

45071

5.53

1.585638

0.53

1

0.5

2

8509

2

0.5

0.375

57.5

407.5

Sheet1

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

Sheet2

000

000

000

000

000

000

000

&A

Page &P

Mesokurtic

Platykurtic

Leptokurtic

Sheet3

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

&A

Page &P

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIALBila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah:

di mana n dan nilai p mendekati 0,5 Z = X - np npqUntuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan. Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0.5

Adi merupakan pedagang buah di Tangerang. Setiap hari ia membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati, Jakarta Timur. Probabilitas buah tersebut laku dijual dalah 80% dan 20% kemungkinan tidak laku dan busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ?CONTOH:Penyelesaian: n = 300; probabilitas laku p = 0.8, dan q = 1 0.8 = 0.2

= np = 300 x 0.80 = 240

=

Npq = 300 x 0.80 x 0.20 = 6.93Diketahui X = 250, dan dikurangi faktor koreksi 0.5 sehingga X = 250 0.5 = 249.5.Dengan demikian nilai Z menjadi:Z = (249.5 240) / 6.93 = 1.37 dan P (Z

LATIHAN

Berikut adalah pendapatan per kapita rata-rata penduduk Indonesia tahun 2000 sampai 2006Hitunglah Probabilitas Pendapatan dibawah 3.000 !Hitunglah Probabilitas Pendapatan antara 4.000 6.000 !

TahunPendapatan Perkapita Rata-rata (ribuan)20002.75120013.18120024.95520035.91520046.22820057.16120068.140Rata-Rata5.476Standar Deviasi 1.986

******