kontinu X jika,)(

diskret X jika , )()()()(

kontinu X jika,

diskret X jika , )()(

2

2

22

f(x)dxx

xfxXEXVarVariansi

xf(x)dx

xXfXEMean

EKSPEKTASI DAN VARIANSI

11

)(2

1

22

12

1

n

XnX

n

XXs

n

XX

n

ii

n

ii

n

ii

DISTRIBUSI SAMPLING STATISTIKDISTRIBUSI SAMPLING STATISTIK

Distribusi Satu Nilai Rata-RataDistribusi Satu Nilai Rata-Rata Distribusi Selisih Dua Nilai Rata-RataDistribusi Selisih Dua Nilai Rata-Rata Distribusi Satu Nilai ProporsiDistribusi Satu Nilai Proporsi Distribusi Selisih Dua ProporsiDistribusi Selisih Dua Proporsi Distribusi VariansiDistribusi Variansi

Distribusi Satu Nilai Rata-RataDistribusi Satu Nilai Rata-Rata

Misalkan terdapat sebuah populasi bilangan Misalkan terdapat sebuah populasi bilangan yang terdiri dari bilangan-bilangan, 0, 1, 2, dan yang terdiri dari bilangan-bilangan, 0, 1, 2, dan 3. Jika X menyatakan bilangan-bilangan 3. Jika X menyatakan bilangan-bilangan tersebut, maka Xtersebut, maka X11=0, X=0, X22=1, X=1, X33=2, X=2, X44=3, dan =3, dan

P(XP(X11=0)=¼, P(X=0)=¼, P(X22=1)=¼, P(X=1)=¼, P(X33=2)=¼, P(X=2)=¼, P(X44=3)=¼ =3)=¼

sehingga distribusi probabilitasnya:sehingga distribusi probabilitasnya:

XX 00 11 22 33

P(X=x)P(X=x) ¼¼ ¼¼ ¼¼ ¼¼

MEAN DAN VARIANSI POPULASIMEAN DAN VARIANSI POPULASI

Mean (Mean () =E(X)=) =E(X)=xxiif(xf(xii))

E(X)=(0)(¼)+(1)(¼)+(2)(¼)+(3)(¼)E(X)=(0)(¼)+(1)(¼)+(2)(¼)+(3)(¼)

= = 3/23/2

Variansi (Variansi (22)=Var(X)= E(X)=Var(X)= E(X22)–[E(X)])–[E(X)]22 E (XE (X22)= )= xxii

2 2 f(xf(xii))

=0=022(¼)+1(¼)+122(¼)+2(¼)+222(¼)+3(¼)+322(¼)=14/4(¼)=14/4 Var(X) = E(XVar(X) = E(X22)-[E(X)])-[E(X)]2 2 =14/4 – [3/2]=14/4 – [3/2]2 2 ==5/45/4

POPULASI 0,1, 2, 3 SAMPEL

jika dari populasi bilangan 0, 1, 2, 3 diambil jika dari populasi bilangan 0, 1, 2, 3 diambil sampel berukuran 2 (n=2) dengan sampel berukuran 2 (n=2) dengan pengembalian maka terdapat 16 hasil yang pengembalian maka terdapat 16 hasil yang mungkinmungkin

sampling

ke-16 kemungkinan sampel ke-16 kemungkinan sampel yang terambil adalahyang terambil adalah

nono ambilan 1ambilan 1 ambilan 2ambilan 2

11 00 00

22 00 11

33 00 22

44 00 33

55 11 00

66 11 11

77 11 22

88 11 33

nono ambilan 1ambilan 1 ambilan 2ambilan 2

99 22 00

1010 22 11

1111 22 22

1212 22 33

1313 33 00

1414 33 11

1515 33 22

1616 33 33

DISTRIBUSI NILAI RATA-RATADISTRIBUSI NILAI RATA-RATA

XXNo sampel No sampel

1 0,0 0 9 2,0 1

2 0,1 0.5 10 2,1 1.5

3 0,2 1 11 2,2 2

4 0,3 1.5 12 2,3 2.5

5 1,0 0.5 13 3,0 1.5

6 1,1 1 14 3,1 2

7 1,2 1.5 15 3,2 2.5

8 1,3 2 16 3,3 3

Distribusi samplingDistribusi sampling

X )xX(P ifrekuensifrekuensi

0 1 1/161/16

0.5 2 2/162/16

1.0 3 3/163/16

1.5 4 4/164/16

2.0 3 3/163/16

2.5 2 2/162/16

3.0 1 1/161/16

MEAN DAN VARIANSI MEAN DAN VARIANSI SAMPELSAMPEL

jadi x

7

1iiix 2

3

16

1)0,3(...

16

1)5,0(

16

1/)0()x(fx

222x )]X(E[)X(E

8

23

16

4616

13

16

25,2

16

32

16

45,1

16

31

16

25,0

16

10

)xX(Px)X(E

2222222

7

1ii

2i

2

MEAN DAN VARIANSI MEAN DAN VARIANSI SAMPELSAMPEL

n28

5 245

2x

8

5

2

3

8

23

)]X(E[)X(E2

222x

Dalil Limit PusatDalil Limit Pusat.. Bila sampel random/acak berukuran n ditarik Bila sampel random/acak berukuran n ditarik

dari suatu populasi yang besar atau tak hingga dari suatu populasi yang besar atau tak hingga dengan mean dengan mean dan variansi dan variansi 22, maka mean , maka mean sampel akan berdistribusi menghampiri sampel akan berdistribusi menghampiri distribusi normal dengan mean dan distribusi normal dengan mean dan simpangan baku simpangan baku

dengan demikian merupakan dengan demikian merupakan

sebuah nilai bagi variabel acak normal baku Z. sebuah nilai bagi variabel acak normal baku Z.

x

x

n

xxz

x

x

Estimasi bagi mean dan varuansi Estimasi bagi mean dan varuansi populasipopulasi

Kenyataan di lapang, variansi populasi Kenyataan di lapang, variansi populasi biasanya tidak diketahui biasanya tidak diketahui estimasi oleh sestimasi oleh s2 2 untuk sampel n untuk sampel n ≥30 ≥30 dalil limit pusat berlakudalil limit pusat berlaku..

Jadi bila dan sJadi bila dan s2 2 adalah mean dan adalah mean dan variansi sampel berukuran n, variansi sampel berukuran n, berdistribusi t-student, dengan derajat berdistribusi t-student, dengan derajat kebebasan n-1kebebasan n-1

ns

x

/

X

Contoh soalContoh soal

1.1. Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila Sebuah perusahaan memproduksi bohlam. Bila umur bohlam itu berdistribusi normal dengan mean umur bohlam itu berdistribusi normal dengan mean 800 dan simpangan baku 40 jam, hitunglah peluang 800 dan simpangan baku 40 jam, hitunglah peluang bahwa suatu sampel acak 16 bohlam akan bahwa suatu sampel acak 16 bohlam akan mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam !mempunyai umur rata-rata kurang dari 775 jam !

2. Sebuah produsen bohlam menyatakan bahwa 2. Sebuah produsen bohlam menyatakan bahwa produksinya mencapai umur rata-rata 500 jam. produksinya mencapai umur rata-rata 500 jam. Untuk menjaga nilai rata-rata ini, ia menguji 25 Untuk menjaga nilai rata-rata ini, ia menguji 25 bohlam setiap bulan. Bila nilai t yang diperolehnya bohlam setiap bulan. Bila nilai t yang diperolehnya jatuh antara –tjatuh antara –t0.050.05 dan t dan t0.050.05 ia puas. Kesimpulan apa ia puas. Kesimpulan apa yang ditariknya bila ia memperoleh sampel dengan yang ditariknya bila ia memperoleh sampel dengan mean =518 jam dan simpangan baku, s= 40 jam ? mean =518 jam dan simpangan baku, s= 40 jam ? asumsikan bahwa umur bohlam itu berdistribusi asumsikan bahwa umur bohlam itu berdistribusi normal.normal.

jawabjawab

1. Distribusi penarikan sampel bagi : Mean 1. Distribusi penarikan sampel bagi : Mean =800, simpang baku 40/=800, simpang baku 40/16 = 10. Peluang yang 16 = 10. Peluang yang dicari adalah :dicari adalah :

P( < 775) = P(Z < -2.5) = 0.0062P( < 775) = P(Z < -2.5) = 0.0062X

2. t2. t0.05, db=240.05, db=24= 1.711= 1.711 produsen puas jika sampel produsen puas jika sampel 25 bohlam mempunyai –1.711<t<1.711.25 bohlam mempunyai –1.711<t<1.711. Jika Jika =500, maka t=(518-500)/(40/=500, maka t=(518-500)/(40/25)=2.25. 25)=2.25.

produksi bohlam ternyata lebih baik dari yang produksi bohlam ternyata lebih baik dari yang disangkanya.disangkanya.

2

2

1

22

2121

21

21)21(

)21(

nnXXVar

XXE

xx

xx

Distribusi selisih dua meanDistribusi selisih dua mean

)1,0(~)()21(

2

2

1

2

21

21

N

nn

XXZ

contohcontoh Sebuah sampel berukuran n1=5 diambil secara acak dari Sebuah sampel berukuran n1=5 diambil secara acak dari

sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan mean 11=50 dan variansi =50 dan variansi 11

22=9 dan diperoleh mean sampel 1. =9 dan diperoleh mean sampel 1. Sebuah sampel acak kedua yang berukuran n1=4 diambil Sebuah sampel acak kedua yang berukuran n1=4 diambil bebas dari sampel pertama, dari populasi lain yang juga bebas dari sampel pertama, dari populasi lain yang juga berdistribusi normal tetapi dengan mean berdistribusi normal tetapi dengan mean 22=40 dan variansi =40 dan variansi 22

22=4 dan diperoleh mean sampel 2.. Berapa P((-) < 8.2) ?=4 dan diperoleh mean sampel 2.. Berapa P((-) < 8.2) ?

Jawab:Jawab:

11--22= 50-40 =10, dan =2.8.= 50-40 =10, dan =2.8.

P(( - ) < 8.2)=P(Z < -1.08)=0.1401P(( - ) < 8.2)=P(Z < -1.08)=0.1401

2

22

1

212

21 nnxx

1X 2X

DISTRIBUSI SAMPLING DISTRIBUSI SAMPLING PROPORSIPROPORSI

Misalkna ada sebuah populasi yang Misalkna ada sebuah populasi yang beranggotakan N. dari N anggota tersebut beranggotakan N. dari N anggota tersebut terdapat X buah yang mempunyai terdapat X buah yang mempunyai karakteristik tertentu. Sehingga setiap karakteristik tertentu. Sehingga setiap anggota individu akan mempunyai nilai anggota individu akan mempunyai nilai satu (1) jika ia mempunyai karakterisrik satu (1) jika ia mempunyai karakterisrik tertentu dan nol (0) jika tidak mempunyai tertentu dan nol (0) jika tidak mempunyai karakteristik tertentu. Jika karakteristik tertentu. Jika didefinisikan didefinisikan sebagai proporsi yg mempunyai sebagai proporsi yg mempunyai karakteristik tertentuj, maka karakteristik tertentuj, maka =X/N=X/N

POPULASI S,S, S, G, G, G, G,... SAMPEL

Jadi dalam hal ini mean dan variansi Jadi dalam hal ini mean dan variansi populasi adalah :populasi adalah :

= = 22 = = (1- (1- ))

sampling

AC,TDK ACTDK AC

SAMPEL

Jika dari populasi 3 rumah hanya terdapat 1 Jika dari populasi 3 rumah hanya terdapat 1 rumah yg ber AC diambil sampel berukuran rumah yg ber AC diambil sampel berukuran 2, maka distribusi sampling proporsinya?2, maka distribusi sampling proporsinya?

sampling= 1/3= 1/322 =2/9 =2/9

ADA 9 KemungkinanADA 9 Kemungkinan

nono ambilan 1ambilan 1 ambilan 2ambilan 2 proporsiproporsi

11 ACAC ACAC 11

22 ACAC TDK AC1TDK AC1 ½½

33 ACAC TDK AC2TDK AC2 ½½

44 TDK AC1TDK AC1 ACAC ½ ½

55 TDK AC1TDK AC1 TDK AC1TDK AC1 00

66 TDK AC1TDK AC1 TDK AC2TDK AC2 00

77 TDK AC2TDK AC2 ACAC ½ ½

88 TDK AC 2TDK AC 2 TDK AC1TDK AC1 00

99 TDK AC2TDK AC2 TDK AC2TDK AC2 00

Distribusi samplingDistribusi sampling

pipi frekuensifrekuensi P(P=pi)P(P=pi)

1 1 1/9 1/9

½ 4 4/94/9

0 4 4/9 4/9

E(P)=(1) (1/9) + (1/2)(4/9) + (0).(1/9)

= (1+2+0)/9 =1/3