Diskretna matematika 1: 2. kolokvij20. januar 2016

Cas reševanja je 90 minut. Vse odgovore utemeljite. Veliko uspeha!

Ime in priimek

Sedež (2.01)

Vpisna številka

1

2

3

4

Σ

1. naloga (25 tock)

Za vsaka dva od grafov G1, G2 in G3 preveri, ali sta izomorfna, ter pojasni, zakaj.

G1 G2 G3

2. naloga (25 tock)

a) (10 tock) Poišci splošno rešitev rekurzivne enacbe

an+3 −3an+2 +4an = 0

b) (15 tock) Poišci rešitev rekurzivne enacbe

bn+3 −3bn+2 +4bn = 6 ·2n

pri zacetnih pogojih b0 = 1, b1 = 0 in b2 = 7.

3. naloga (25 tock)

Za grafa G,H je kartezicni produkt GäH graf z množico vozlišc V (G)×V (H), dve vozlišci (x1, y1)in (x2, y2) sta povezani natanko tedaj, ko velja x1 = x2 in obstaja povezava y1 y2 v grafu H, alipa velja y1 = y2 in obstaja povezava x1x2 v grafu G. Naj bo Pk pot na k ≥ 2 vozlišcih. Spodaj jenarisan graf P5äP3.

(1,1)

(5,3)

a) (10 tock) Ali ima graf Pi äP j Eulerjev obhod za i, j ≥ 3?

b) (15 tock) Naj bo C3 cikel na 3 volišcih. Nariši P3äC3. Ali obstaja drevo T, da ima TäC3Eulerjev sprehod?

4. naloga (25 tock)

Naj bo G usmerjen graf.

a) (5 tock) Naj bodo u,v,w vozlišca v V (G). Dokaži: Ce obstaja usmerjena pot iz u v v in usme-rjena pot iz v v w, potem obstaja usmerjena pot iz u v w.

b) (20 tock) Naj v G za vsak par vozlišc u,v obstaja usmerjena pot iz u v v ali pa usmerjenapot iz v v u. Dokaži, da potem v G obstaja neko vozlišce, iz katerega obstaja usmerjena pot dovsakega drugega vozlišca.