JORGE BALTAZAR MALDONADO

CONSTRUCCIN DEL DIAGRAMA DE INTERACCIN PARA COLUMNAS

Se tiene la siguiente columna de 40x50, con barras de acero equi-espaciadas a 10cm medidos desde sus centros, y 5cm de recubrimiento desde el borde hasta los centros, para cada borde:

, constituida por barras de acero A63-42H de dimetro 22 y por hormign normal H30. Para poder realizar los clculos de manera simplificada, se utilizarn las reas de acero concentradas, como se muestra en la siguiente figura:

, donde la ubicacin de las reas de acero concentrado se calcula como el centroide de reas del conjunto de barras de acero:

, obtenindose:

r 10,7143cmd 39,2857cm

, y donde adems:

As = As = 722 26,60929cm2

Del anlisis seccional para la falla (cu = 0,003), se obtienen todas las ecuaciones que se van a usar:

Por geometra, tenemos que:

Y utilizando las relaciones bsicas de resistencia de materiales:

Para calcular el momento nominal, ahora es indispensable establecer un punto donde de referencia para tomar los momentos, pues el axial ya no es cero y por ende, no hay un par de fuerzas, que independice el momento del punto de referencia. Se ha llegado al acuerdo de que debe usarse como punto de referencia el centro plstico de la seccin, definido punto de accin de la fuerza resultante que se obtiene al considerar todas las fuerzas ltimas de la seccin (acero fluido y hormign a deformacin ltima). Esto es:

Se obtiene:

CP = 25cm

En este caso es justamente el centro de la seccin, pues es simtrica (pero no siempre CP coincide con el centro). Entonces, de las ecuaciones bsicas de la esttica, se obtienen las resistencias nominales como la suma de las fuerzas definidas anteriormente, ahora considerando CP como punto de referencia para los momentos:

De estas 2 ecuaciones se obtienen las distintas combinaciones de Nn y Mn posibles para esta columna de seccin definida. Se tiene por el momento Nn, Mn y c como incgnitas (s y s depende de c a travs las relaciones geomtricas), y slo esas 2 ecuaciones. Se puede observar que el resultado ser una relacin paramtrica entre las 3 variables y no un resultado nico, quedando en evidencia que se las resistencias nominales de la columna dependen de la fibra neutra, o que la fibra neutra va a depender de las resistencias nominales que se requiera definido un nivel de solicitacin. Para evaluar entonces, debemos dar valores a alguna de las 3 variables y obtener las otras 2 resolviendo el sistema presentado. Lo ms fcil, es darse valores de c, o valores de s (que definen indirectamente c), ya que las ecuaciones presentan a Nn y Mn de forma separada, por lo que sera simplemente evaluar, dado un c. Esto no quita que se pueda dar valores para Nn y resolver, o para Mn y resolver (y luego graficar).

Como nos daremos valores para c, indirectamente queda definido el valor de la deformacin unitaria del acero en traccin. Como hemos visto hasta ahora, esta deformacin es muy importante para el comportamiento de la seccin, y por ende, se definen ciertos puntos de inters en el diagrama de interaccin, que es conveniente evaluar: Falla en Decompresins = 0 Falla Balanceada s = 0,002 Falla en Traccins = 0,005 Falla en Flexin PuraNn = 0

, adems de Compresin Pura y Traccin Pura. Comencemos resolviendo entonces para todos esos casos, y as obtener valores para el grfico (se obtendr una serie discreta que se puede interpolar).

1.- Falla en Compresin Pura

La seccin queda definida de la siguiente forma:

No hay agrietamiento pues toda la seccin est comprimida, entonces las fuerzas quedan dadas por:

Nn = (As + As)*fsy + 0,85fcbhMn = 0,85fcbh*(CP a/2) + As*fsy*(CP r) + As*fsy*(d - CP)

Se obtiene:

Nn = 648,518 [T]Mn = 0 [Tm](por la simetra)u = 0 [1/cm]s = 0,003 = 0,65s = 0,003Nu = 421,5367 [T]Mu = 0 [Tm]

2.- Falla en Decompresin

La seccin queda definida de la siguiente forma:

, de donde, por geometra:

c = 39,2857cms = 0,00218182(fluido)

Evaluando en las expresiones obtenidas para Nn y Mn, se obtiene:

Nn = 395,598 [T]Mn = 39,5344 [Tm]u = 0,0000763637 [1/cm]s = 0 = 0,65Nu = 257,1387 [T]Mu = 25,69736 [Tm]

3.- Falla Balanceada

La seccin queda definida de la siguiente forma:

, de donde, por geometra:

c = 23,57142cms = 0,00163636(lineal)

Evaluando en las expresiones obtenidas para Nn y Mn, se obtiene:

Nn = 149,984 [T]Mn = 57,4462 [Tm]u = 0,00012727 [1/cm]s = 0,002 = 0,65Nu = 97,4896 [T]Mu = 37,34 [Tm]4.- Falla en Traccin

La seccin queda definida de la siguiente forma:

, de donde, por geometra:

c = 14,7321375cms = 0,000818178(lineal)

Evaluando en las expresiones obtenidas para Nn y Mn, se obtiene:

Nn = 40,4001 [T]Mn = 51,8767 [Tm]u = 0,000203636 [1/cm]s = 0,005 = 0,9Nu = 36,36009 [T]Mu = 46,68903 [Tm]

5.- Falla en Flexin Pura

La seccin queda definida de la siguiente forma:

Aqu, Nn = 0 es dato, y c es incgnita, pero las ecuaciones a resolver son las mismas 2 anteriores. Se obtiene:

c = 12,3672415cms = 0,000400964(lineal)s = 0,00652978(fluido) = 0,9Nn = 0 [T]Mn = 49,573 [Tm]u = 0,000242576 [1/cm]Nu = 0 [T]Mu = 44,6157 [Tm]

6.- Falla en Traccin Pura

La seccin queda definida de la siguiente forma:

La seccin completa est agrietada, por lo que el hormign no aporta en resistencia. Entonces las fuerzas quedan dadas por:

Nn = (As + As)*fsyMn = As*fsy*(CP r) + As*fsy*(d - CP)

Se obtiene:

Nn = 223,518 [T]Mn = 0 [Tm](por la simetra)u = 0 [1/cm] s > 0,005 = 0,9s > 0,005Nu = 201,16623 [T]Mu = 0 [Tm]

Luego de estos puntos se puede obtener un par de puntos ms para interpolar mejor. En resumen, se han obtenido los siguientes:

Fallass'c [cm]Nn [T]Mn [Tm]u [1/cm]Nu [T]Mu [Tm]

Compresin Pura---648,52000,65421,540

Decompresin00,002239,286395,639,5340,00007640,65257,1425,697

0,0010,001929,464263,6849,7850,00010180,65171,3932,36

Balanceada0,0020,001623,571149,9854,5430,00012730,6597,4935,453

0,0030,001419,643106,3650,4830,00015270,73377,99737,021

0,0040,001116,83770,84646,3810,00017820,81757,85737,878

Traccin0,0050,000814,73240,442,4430,00020360,936,3638,198

0,0060,000513,09513,33438,7070,00022910,91234,837

Flexin Pura0,00650,000412,367036,8080,00024260,9033,127

Traccin Pura----223,5000,9-201,20

Graficando los datos anteriores, se obtiene el diagrama de interaccin:

Se observa que a menor carga axial, la seccin puede desarrollar una capacidad de deformacin (curvatura ltima) bastante mayor, debido a que el hormign no requiere aportar tanta fuerza y puede disminuir la fibra neutra. Una vez ms se observa que para el acero en traccin con deformacin unitaria mayor a 0,005 ya se tiene un comportamiento adecuado.

DISEO

El diseo es justamente la operacin contraria al diagrama de interaccin, obtener los valores de diseo teniendo un comportamiento esperado o requerido, por lo que las incgnitas y las ecuaciones en general se invierten: Nu y Mu son dato, y el acero es incgnita. En un caso real, se debe realizar las 2 cosas, el diseo para la solicitacin mxima, y el diagrama de interaccin para verificar que todos los casos de solicitacin queden dentro de la envolvente de diseo del diagrama de interaccin.

1.- Comprobacin del Diseo Para Solicitacin Dada

Suponiendo que la seccin anterior ya fue diseada, se quiere comprobar cul es la mxima carga axial que puede soportar la columna para un momento de solicitacin dado. Supongamos que se pide:

Mu = 35 [Tm]

Entonces, se debe resolver las ecuaciones dadas para Nn y Mn en una seccin, ahora teniendo como dato Mn y obteniendo c y Nn. 2 Consideraciones:

Para obtener Mn a partir de Mu, se requiere el coeficiente de reduccin de la resistencia , y para ello, la deformacin unitaria del acero en traccin s previamente, que sale como resultado del clculo debemos suponer un rango. En realidad, teniendo Mu requerido y el diagrama de interaccin ya calculado, podramos simplemente interpolar el diagrama y obtener el correspondiente Mn y Mu, pero como pusimos pocos puntos, no es muy preciso.

Supongamos entonces que para Mu = 35 [Tm] obtendremos s > 0,005, por ende: = 0,9. De esto: Mn 38,89 [Tm]. Se tiene para la falla que:

, de donde salen las ecuaciones bsicas:

Resolviendo las ecuaciones, se obtiene:

c = 13,1682cms = 0,00595013(se verifica fluido y mayor a 0,005)s = 0,000559055(se verifica lineal)u = 0,000227822 [1/cm]Nn = 14,6206 [T]Nu = 13,1585 [T]

2.- Diseo del Acero, Suponiendo Simetra

Si ahora dejamos el acero como otra incgnita, debemos tener otro dato ms para poder resolver el sistema. Normalmente se tendr un par de solicitaciones Mu y Nu. Supongamos que se requiere:

Mu = 30 [Tm]Nu = 150 [T]

Sin embargo, tenemos 2 datos, y 3 incgnitas: As, As y c. Supongamos entonces que vamos a distribuir el acero simtricamente (como se hace normalmente por la bi direccionalidad del sismo). Entonces, slo tenemos 2 variables: As y c. Supongamos adems que para Mu = 30 [Tm] y Nu = 100 [T], obtendremos s < 0,002, por ende: = 0,65. De esto: Mn 46,154 [Tm], Nn = 230,77 [T]. Se tiene para la falla que:

, de donde salen las ecuaciones bsicas:

Resolviendo las ecuaciones, se obtiene:

c = 27,9749cmAs = As = 21,3826cm2s = 0,00121296(se verifica lineal y menor a 0,002)s = 0,00185101(se verifica lineal)u = 0,000107239 [1/cm]

Con esto, podemos elegir una combinacin de barras de acero que se ajuste ms al rea obtenida. Por ejemplo: 622 As = As = 22,8080cm2.

Luego, para verificar la resistencia, no es nica, habra que construir un nuevo diagrama de interaccin, o escoger un parmetro de requisito, por ejemplo: Nu = 150 [T]. Si evaluamos:

c = 27,8587cmNn = 230,77 [T]Mn = 47,5408 [Tm]s = 0,0013053(se verifica lineal)s = 0,00184622(se verifica lineal)u = 0,000107686 [1/cm] = 0,65Nu = 150 [T]Mu = 30,9015 [Tm]

3.- Diseo del Acero, Sin Simetra

Si ahora dejamos el acero superior e inferior como 2 incgnitas distintas, se agrega un grado ms de libertad, lo que nos restringe a tener otra condicin de diseo o nos permite agregarla. Se dispone de las solicitaciones Nu, Mu:

Mu = 45 [Tm]Nu = 100 [T]

Tenemos 2 datos, y 3 incgnitas: As, As y c. Ahora en vez de suponer simetra de los aceros, exijamos alguna condicin de diseo para cubrir ese grado de libertad: s = 0,005. De esto: Mn 46,154 [Tm], Nn = 230,77 [T], ya que conocemos de antemano s, y por ende, . Se tiene para la falla que:

, de donde salen las ecuaciones bsicas:

Adems, como sabemos que s = 0,005, la fibra neutra queda definida:

c = 14,73213cm

Resolviendo las ecuaciones, se obtiene:

As = 13,7531cm2As = 36,3377cm2s = 0,005(condicin de diseo)s = 0,000818178(definido geomtricamente por s)

Con esto, podemos elegir una combinacin de barras de acero que se ajuste ms al rea obtenida. Por ejemplo: As = 518, As = 436 As = 12,7234cm2, As = 40,7150cm2. Se escogi As un poco menos y As un poco ms para disminuir an ms la fibra neutra y mantener la condicin de s > 0,005. Y de nuevo, para verificar la resistencia, no es nica, habra que construir un nuevo diagrama de interaccin, o escoger un parmetro de requisito, por ejemplo: Nu = 100 [T]. Si evaluamos:

c = 14,1517cmNn = 111,11 [T]Mn = 51,4749 [Tm]s = 0,00532814(se verifica s > 0,005)s = 0,000728693(se verifica lineal)u = 0,000211989 [1/cm] = 0,9Nu = 100 [T]Mu = 46,3274 [Tm]