Serie 10

ESTABILIDAD

Condición de estabilidad

1=G

°−= 180φ1)( −=sG0)(1 =+ sG

)().().().()( sHsGsGsGsG PVC=

u

Kc Gv Gp

Gu

cr

H

GC

GU

H

GPGV

U

CR

-

+ ++

Localización de las raíces

Plano s

ESTABLE

INESTABLE

CRITERIOS DE ESTABILIDAD

Routh – Hurwitz

Bode

Nyquist

Lugar de las raíces

Criterio de Routh-Hurwitz

Se llama polinomio característico al denominador de la funciónde transferencia G(s) de lazo cerrado.Se llama ecuación característica al polinomio característico = 0.El polinomio debe tener los términos ordenados en potenciasdecrecientes de s. Es condición necesaria pero no suficiente paraque el sistema sea estable que el polinomio sea completo y quetodos los coeficientes sean positivos.

0⟩ia

Arreglo de Routh

Los coeficientes del polinomio deben ordenarse en filas y columnas, según el siguiente arreglo:

Criterio de Routh-Hurwitz

Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, entoncesexiste al menos una raíz imaginaria o con parte real positiva.El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raícescon parte real positiva (semiplano derecho) es igual al númerode cambios de signo en la primera columna de la tabla.

Condición necesaria y suficiente de estabilidad de Routh:Un sistema será estable si y sólo si todos los elementos de laprimera columna del Arreglo de Routh son positivos.

Limitación: El criterio de Routh no puede aplicarse en sistemasque presentan retardos puros.

Criterio de Bode

Se construye el diagrama de Bode de G(s).H(s)

-180°

Un sistema es estable si RM < 1 para φφφφ = –180° (ωωωω = ωωωω crítica). Si RM = 1

para φφφφ = –180°, el sistema es críticamente estable y se considera inestable.

ω crítica

Margen de ganancia y Margen de fase

°== -180 para 1

φRM

MG

1RM para )180( =°−−=φMF

MG recomendado = 1.7

MF recomendado = 30°

Diagrama de Nyquist

)Im(.)Re()( jjjG ωωω +=

Se construye a partir del diagrama de Bode.

)ReIm

()( arctg=ωφ

)( jG ω

φ

Im

Re

)()(

)(sDG

sNGsG = 0

)(

)()(

)(

)(1)(1 =

+=+=+

sDG

sNGsDG

sDG

sNGsG

)().().().()( sHsGsGsGsG PVC=

Diagrama de Nyquist

1.- Con el diagrama de Bode de G(s), construir el diagrama de Nyquist de G(s).2.- Construir la imagen especular (que no tiene sentido físico), respecto del eje real, para obtener el circuito cerrado desde ω=-∞ hasta ω=+∞.

0 1.

1.)(

1

>

=

∏+

= i

m

i i

TsT

KsG

El diagrama partirá desde K sobre el eje real, recorrerá m cuadrantes en sentido horario y terminará en el origen.

El circuito desde ω=-∞ hasta ω=+∞ no queda cerrado. A los efectos de aplicar el criterio, el circuito debe cerrarse con una circunferencia de radio infinito, desde ω=-0 hasta ω=+0, en el sentido horario, de nπ grados, donde n es el exponente de s.

0 1.

1.)(

1

>

=

∏+

= i

m

i in

TsTs

KsG

Diagrama de Nyquist

ω=+∞

ω=-∞ω=-0

ω=0

0 1.

)( >

+= iT

sT

KsG

K

ω=0

LseKsG

−= .)(

K

Diagrama de Nyquist

)1..()1..(

)(1

22

+

+=

sTs

sTKsG

T1<T2T1=T2 T1>T2

1

)(s

sG =

ω=0

ω=-0

ω=+∞

ω=+∞

Im

Re

Im

Re

)1.(.

)(+

=−

sT

eKsG

Ls

K

ω=0

ω=+∞

Z = Ceros = Número de raíces con parte real positiva de 1 + G(s).P = Polos = Número de raíces con parte real positiva de DG(s).N = Número de veces que el punto (-1,0) queda encerrado al recorrer el diagramade Nyquist en sentido antihorario, desde ω=-∞ hasta ω=+∞. Si el punto (-1,0) quedara encerrado al recorrer el diagrama de Nyquist en sentido horario, N debeconsiderarse negativo. Conociendo P (a partir de las funciones de transferencia) y obteniendo N del diagrama de Nyquist, puede hallarse Z.

Criterio de estabilidad de Nyquist

Condición que debe cumplirse para que un sistema sea estable:

Z=0

P=N

Z = P – N

)(

)()(

)(

)(1)(1

sDG

sDGsNG

sDG

sNGsG

+=+=+

Ejemplo 1

G(s)

)1).(1()(

21 ++=

sTsT

KsG

P = 0

N = 0

Z = 0

Ejemplo 2

)1).(1.()(

21 ++=

sTsTs

KsG

P = 0

N = 0

Z = 0

P = 0

N = -2

Z = -2

Método del lugar de las raíces

Se trata de representar gráficamente la variación del valor de las raíces de 1+G(s) con la variación de KC en un plano Im vs. Re.Se aplican una serie de reglas para poder construir la curva de raíces sin necesidad deresolver la ecuación.Sean zi los ceros (raíces de NG(s) = 0)Sean pi los polos (raíces de DG(s) = 0)Las reglas aplican si se cumplen las siguientes condiciones:El grado del polinomio del denominador (n) debe ser mayor que el del numerador (m).El sistema debe tener realimentación negativa.Como notación gráfica, se usan “x” para marcar los polos y “o” para marcar los ceros.

)()(

.)( 0sDG

sNGKsG = 0

)()(

.1 0 =+sDG

sNGK

)().().().()( sHsGsGsGsG PVC=

Método del lugar de las raíces

1)()(

.0 −=sDG

sNGK 1

)1(

)1(

.

1

10 −=

+

+

∏

∏

=

=

n

i

i

m

j

j

sT

sT

K

1)(

)(

.

1

1−=

−

−

∏

∏

=

=

n

i

i

m

j

j

ps

zs

K

=

∏

∏

=

=

n

i

i

m

j

j

T

T

KK

1

10

)(

)(

. dondeComplejo

1)(

)(

.

1

1=

−

−

∏

∏

=

=

n

i

i

m

j

j

ps

zs

K

,...3,2,1,0

)1.2.((1 1

±±±=

+=−−∑ ∑= =

r

rpzsm

j

n

i

ij πφ

Criterio de magnitud Criterio de ángulo

Reglas para usar el método

Regla 1: El número de ramas o lugares es igual al número de polos (n).Regla 2: Las ramas comienzan en los polos y terminan en los ceros. Lasterminaciones de las n-m ramas de las curvas ocurrirán en ceros en el infinito. En el caso de polo múltiple, emergerán del mismo tantas ramas como multiplicidad tenga. En el caso de cero múltiple, terminarán en el mismo tantas ramas como sea su multiplicidad. Regla 3: El eje real es parte de la curva de raíces cuando la suma del número de ceros y polos a la derecha de un punto sobre el eje real es impar. Esta regla es sólo válida para polos y ceros sobre el eje real (los ceros y polos complejos cancelan sus efectos). Por otra parte, cada polo o cero múltiple debe ser contado tantas veces como sea su multiplicidad.Regla 4: Existirán n-m ramas que aproximarán (a medida que K tienda a infinito) en forma asintótica a n-m líneas rectas que nacen en el centro de gravedad de polos y ceros. El centro de gravedad está dado por:

mn

zpn

i

m

j

ji

−

−

=∑ ∑

= =1 1γ

Reglas para usar el método

Regla 5: El punto en el cual emergen las ramas de la curva de raíces del eje real está dado por la siguiente ecuación:

∑∑== −

=−

n

i i

m

j j pszs 11

11

Las ramas salen o entran al eje real con ángulos de +/- 90°.

Regla 6: Las asíntotas definidas en la regla 4 forman ángulos con el eje real:

mn

k

−

+=Ψ

)12(π

y por lo tanto estarán espaciadas 180°/(n-m) unas de otras.

1)-m-(n 3,..., 2, ,1=k

Se pueden hacer más reglas para la construcción de curvas de raíces, perolas enunciadas son las de mayor y más común utilidad.

Ejemplo 1

)12.0).(15.0()(

++=

ss

KsG

C

)1.2.0).(1.5.0()(

)(

++=

=

sssDG

KsNG C

(-2,0))y (-5,0) puntos losen

diagrama elen x"(" 2

0

==

==

polosP

cerosZ

0)()()(1 =+=+ sDGsNGsG

Aplicación de reglas:Número de ramas = 2. Las ramas terminan en ∞.

2.3

y 2.

1)-m-n hasta 0( 2

).1.2( asíntotas de

27

025.0

12.0

1

gravedad de Centro

21

1 1

πππ

γ

=Ψ=Ψ⇒=+

=Ψ

−=

−

−−=

−

−

=∑ ∑

= =

kk

Angulo

mn

zpn

i

m

j

ji

1.0)(

)(

.2.1

1

1 CC

n

i

i

m

j

j

C

K

TT

K

T

T

KK ===

∏

∏

=

=)5(.)2()(

)(

.)(

1

1

++=

−

−

=

∏

∏

=

=

ss

K

ps

zs

KsGn

i

i

m

j

j

Ejemplo 1Las raíces se mueven por el eje real hasta el centro de gravedad y luego porla asíntota hasta ∞. El sistema nunca será inestable, pues las raíces se muevensiempre sobre el semiplano izquierdo del gráfico (para cualquier valor de K).Aumentando K, habrá un valor para el cual las raíces serán iguales. Si K sigue aumentando, comenzarán aaparecer pares de raíces complejasconjugadas y el sistema tendráoscilaciones, pero seguirá siendoestable. Para K tendiendo a infinito,las raíces serán imaginarias puras yel sistema presentará oscilacionesde amplitud constante.

Im

Rex x

γ-5 -2

Ejemplo 2

)3).(2).(1()(

+++=

sss

KsG

)3).(2).(1()(

)(

+++=

=

ssssDG

KsNG

0

3)- 2,- (-1, 3

==

==

cerosZ

polosP

Aplicación de reglas:Número de ramas = 3. Las ramas terminan en ∞.

)3

5π, ,

3

π(

3

).1.2( asíntotas de

23

123 gravedad de Centro

321

1 1

=Ψ=Ψ=Ψ+

=Ψ

−=−−−

=−

−

=∑ ∑

= =

ππ

γ

kAngulo

mn

zpn

i

m

j

ji

El punto en el cual emergen las raíces es:

∑∑== −

=−

n

i i

m

j j pszs 11

11

31

21

11

0+

++

++

=sss

42.1−=s

06116)()( 23 =++++=+ KssssDGsNG

Ejemplo 2La curva de raíces corta al eje imaginario. En los puntos de cruce, las raíces son imaginarias puras. A medida que aumenta K, el sistema se hace más oscilatorio. Existe un valor de K para el cual el sistema se hace inestable. Esa K máxima se calcula con el arreglo de Routh, igualando a cero el primer elemento de la fila s1. Con los elementos de la fila s2 y usando K máxima, se obtienen los valores de las raíces imaginarias puras.

s0

s1

s2

s3

b1

c1

K+66

111

06116 23 =++++ Ksss

jsKs

KK

b

máx

máx

3166.30)6(6

6006

)6(6.11

2

1

±=⇒=+−

=⇒=+−

=Im

Rex x

-1.42-2 -1x

-3

γ-∞∞∞∞

Asíntota

Asíntota

Asíntota

AJUSTE DE CONTROLADORES

Dadas las dificultades crecientes encontradas con los métodos anteriores, aparecieronalgunos métodos empíricos de ajuste controladores:Método de lazo abierto (curva de reacción, Cohen - Coon)Método de lazo cerrado (oscilaciones sostenidas – Ziegler - Nichols)Método de las oscilaciones amortiguadasMétodo de los ajustes progresivosProducto de la ganancia última por la frecuencia críticaControl de modelo interno

Los ajustes son los valores óptimos de los parámetros del controlador, obtenidos en función del modo de control y del método aplicado. Teóricamente, son óptimos los valores de KC, TI y TD que hacen mínima alguna de las siguientes expresiones:

∫∞

=0

)( dtteIAE∫∞

=0

)( dtteIE ∫∞

=0

2 )( tdtteISE∫∞

=0

)( tdtteITAE

Para aplicar estos criterios, es necesario que el error se anule a tiempo infinito (TVF).Los ajustes dependen de la forma de la perturbación y del punto de ingreso de la misma.Los ajustes obtenidos por distintos métodos pueden ser diferentes.Los ajustes hallados muchas veces no son los mejores en planta.

MÉTODO DE LAZO CERRADO

Conocido como método de las oscilaciones sostenidas o método de Ziegler y Nichols. Con el controlador solamente proporcional (TI= ∞ y TD = 0), se introduce un cambio escalón en el valor deseado y se va cambiando el valor de KC hasta obtener una respuesta oscilatoria de amplitud constante. En esa condición, se determinan la ganancia límite (KL) y el período último (TU). Luego, se calculan los parámetros del controlador, según el tipo de control.Ziegler y Nichols propusieron los ajustes en base al criterio de relación de decaimiento 1/4. La relación de decaimiento es el cociente entre dos picos sucesivos de la onda de respuesta del sistema. El método tiene algunas desventajas. Requiere perturbar el sistema que estáfuncionando. No puede aplicarse cuando el diagrama de Bode presenta cruces para -180°en más de una frecuencia.

P+I+D

P+I

P

TDTIKC

2UT

2.1UT

8UT

LK5.0

LK45.0

LK6.0

C

UTω

π2=

MÉTODO DE LAZO ABIERTO

Conocido como método de la curva de reacción O método de Cohen y Coon.1.- Abrir el lazo (colocar el controlador en modo “manual”)2.- Introducir un escalón en U de magnitud M3.- Registrar la respuesta, asimilándola a primer orden con retardo puro ( )4.- Obtener los parámetros L, T y K de la curva5.- Calcular ajustesEl cálculo de los ajustes está basado en la minimización de la integral del error absoluto.Ziegler y Nichols propusieron ajustes que Cohen y Coon modificaron. Esasmodificaciones se vuelven importantes cuando L no es desestimable frente a T.

U

Lse

Ts

KsG

−

+=

1)(

PARÁMETROS Y AJUSTESSe traza una tangente a la curva que pase por el punto de inflexión. De la intersección con el eje de abscisas se obtiene L. De la intersección con el eje de máximo valor de respuesta se obtiene T. La ganancia será el cociente entre la amplitud (V) y el escalón de entrada (M).

T

VLa =

M

VK =

M

c(t)

t

V

Lse

Ts

KsG

−

+=

1)(

T

Lb =

T+LL

T

0.632V

0

a

PARÁMETROS Y AJUSTES

a

1

a

9.0

a

2.1L5.0L2

L3

P+I+D

P+I

P

TDTIKC

)3

1(b

LK

T+

)1210

9(

b

LK

T+

)43

4(

b

LK

T+

)209

330(

b

bL

+

+

)813

632(

b

bL

+

+

b

L

211

4

+

Ziegler y Nichols

Cohen y Coon