DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOEl diagrama de desplazamiento "y = f (θ)" (Fig. 6-3) representa, en el caso más general, la posición del seguidor respecto de la posición de la leva. Por ejemplo en una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo, representaría la posición del seguidor respecto del ángulo girado por la leva, pero en otros casos, tanto "y" como "θ", pueden ser desplazamientos lineales o angulares.

Diagrama de desplazamiento.

Un movimiento muy típico a conseguir por medio de un mecanismo de leva es el movimiento uniforme en el cual la velocidad del seguidor será constante siempre que sea constante la velocidad de la leva, (quizás sería mejor llamarlo movimiento proporcional). Este tipo de movimiento queda reflejado en el diagrama de desplazamiento por medio de un segmento rectilíneo.

Desplazamientos, velocidades y aceleraciones del seguidor

Si se tuviese una leva con la que se pretende, por ejemplo, realizar: una subida con movimiento uniforme, una detención y finalmente un retorno, y no se tomase ningún tipo de precaución resultaría que podrían aparecer aceleraciones del seguidor tendiendo a infinito, tal como se ve en la figuraSi la aceleración del seguidor tiende a infinito, también lo harán las fuerzas de inercia, con lo que llegarían a romperse las piezas que componen la leva. Como esto es inadmisible, se debe prever un diagrama de desplazamiento que no produzca discontinuidades en el diagrama de velocidades.Para suavizar el inicio o final de un movimiento uniforme se suele utilizar una rama de parábola, consiguiendo que las pendientes de los tramos de parábola coincidan con la pendiente del movimiento uniforme.

Tramos de parábola. a) Unión de movimiento uniforme y b) dibujo del tramo.

Cuando se desea realizar un desplazamiento del seguidor de subida y bajada sin detenciones, un movimiento muy adecuado es el armónico (Fig. 6-6), ya que este tipo de movimiento tiene velocidades y aceleraciones que son funciones continuas.

Diagrama de desplazamiento con movimiento armónico

Si se desea que el seguidor realice unos desplazamientos de subida y bajada entre detenciones, un movimiento adecuado es el cicloidal (Fig. 6-7), puesto que este

movimiento tiene aceleraciones nulas al inicio y al final, correspondiéndose con las aceleraciones nulas de las detenciones.

Fig. Diagrama de desplazamiento con movimiento cicloidal

DERIVADAS DEL DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOEn una leva de placa con seguidor de movimiento rectilíneo alternativo, que es la más

común, el diagrama de desplazamiento, ecuación (6-1), representa la posición del seguidor en función del ángulo girado por la leva.

y = f(θ) (6-1)El diagrama de desplazamiento (6-1) se puede derivar respecto de "θ" y respecto de "t".

Derivando (6-1) respecto de "θ" se tendrá:

Estas derivadas dependen solamente del perfil de la leva y son independientes de la velocidad de giro de la leva. La primera derivada (y') representa la pendiente del diagrama

de desplazamiento y sus unidades serían, por ejemplo, milímetros / radian. La (y") representa la pendiente de la (y') y sus unidades serían, por ejemplo, milímetros / radián2.

Derivando (6-1) respecto de "t" se tendrá:

Las derivadas primera y segunda del diagrama de desplazamiento respecto de "t" representan la velocidad y aceleración del seguidor respectivamente.Entre las derivadas de (6-1) respecto de "θ" y respecto de "t" existen las siguientes

relaciones:

to que es muy común en las máquinas, la aceleración sería:

A = ω2·y"

Velocidad constante

    En la Fig. 7.7 se muestra el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva, en el cual la varilla se eleva con velocidad constante durante 90° regresa con velocidad constante durante 90° y reposa durante el resto del ciclo.

    Cuando un cuerpo se mueve con velocidad constante se desplazamiento es un proporción directa al tiempo transcurrido. Si se supone una velocidad constante para la leva, el desplazamiento de la varilla es por consiguiente proporcional al desplazamiento de la leva. La cuerva AB debe ser, para los primeros 90°, una línea recta, Durante el segundo periodo de 90°, una línea recta horizontal BC representa el periodo de reposo. Durante el periodo de reposo los siguientes 90° del movimiento de la leva se indican por otra línea recta ya que aquí tenemos otra vez velocidad constante. Se traza DE horizontalmente para el periodo final.

   Para una aplicación práctica probablemente el diagrama se modificaría en la forma ilustrada por las líneas punteadas a menos que la leva girára muy despacio. Esto se efectúa para evitar cambios bruscos del movimiento cuando empieza y termina la alzada y se substituye por un cambio gradual de velocidad que elimina choque y ruido. Nos referimos nuevamente a este asunto más adelante.

Aceleración constante

    Para cualquier cuerpo en movimiento con aceleración constante, s = ½ at2 donde s es el desplazamiento a es la aceleración, y t el intervalo de tiempo. La distancia desplazada es entonces proporcional al cuadrado del tiempo. Si tomamos intervalos del desplazamiento de

la leva de 1, 2, 3, 4, etc. Unidades de tiempo, los desplazamientos de la varilla al final de estos intervalos serán proporcionales a las cantidades 12, 22, 32, etc., o sea 1, 4, 9, etc. Este principio se aplica en el diagrama de desplazamiento mostrado en la fig. 7.8. Aquí los requisitos son que la varilla se mueva una distancia AC durante el desplazamiento de la leva AB. La construcción es como sigue.

    El segmento AB se divide en cualquier número conveniente de espacios iguales; éstos en la figura son en número de 4. Cada uno de estos espacios representa un intervalo de tempo igual, bajo la suposición de que la leva tiene velocidad uniforme.

    Los desplazamientos de la leva hasta los finales de estos intervalos son proporcionales a los números 1, 4, 9, 16.

   Pero AC es el desplazamiento al final del cuarto intervalo. Por tanto, dividimos AC en diez y seis partes iguales y proyectamos desde la primera, la cuarta, la novena, y la dieciseisava, como se ilustra en la figura, localizando de este modo los puntos sobre la curva requerida.

    Movimiento de aceleración y desaceleración constante Si la aceleración persiste hasta el final del viaje dela varilla, se obtendría como resultado una velocidad máxima justo antes de que la varilla llegara el reposo, y esto causaría un choque, a menos que la velocidad e la leva fuera muy lenta. Consecuentemente el periodo de aceleración deberá durar solamente una parte del intervalo de alzada y seguirá por una “desaceleración” con lo cual se obtendrá que la varilla llegue gradualmente al reposo. Si damos a estas cantidades valores constantes, comúnmente resultara en una acción suave dela leva. La aceleración constante puede o no ser igual a la desaceleración consten; el perfil de la leva se puede diseñar para obtener cualquier relación deseada de aceleración desaceleración. El diagrama de desplazamiento para un caso como el descrito se considerará enseguida.      Sea a1 la aceleración constante durante la primera parte del movimiento de la verilla, y s1 y t1 el desplazamiento y el tiempo. Sea a2 la desaceleración durante la última parte del movimiento.

   Siento s2 y t2 el desplazamiento y el tiempo para el mismo intervalo. La relación a1/a2 es la relación de aceleración – desaceleración. Ahora S= s1+s2, donde S es el movimiento total de la varilla.

   Si v = velocidad al final del periodo de aceleración, por la ecuación v2 = v0 2 + 2as

  también, según la ecuación v = v0 + at; para una velocidad inicial cero:

    Estos es, los intervalos de desplazamiento y tiempo son uno al otro inversamente proporcional como la relación aceleración-desaceleración.

    Ejemplo. Trace el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva que tiene un movimiento de dos pulgadas (5 cm) durante 180° del desplazamiento de la leva; la aceleración y desaceleración son constantes y tienen una relación de 3 a 1.

   De la discusión anterior es evidente que los desplazamientos y los tiempos correspondientes a los dos intervalos son en una relación de 1 a 3. Para el periodo de aceleración, el desplazamiento es entonces una cuarta parte del desplazamiento total, y el periodo dura un cuarto del tiempo total, finalizando a 45° del desplazamiento de la leva (fig. 7.9).

    Esto fija la posición del punto B en la línea de 45° siendo la ordenada de ½ pulgada (1.27 cm) la construcción para los otros puntos en la curva de aceleración es igual a la empleada en la fig. 7.8

    En la curva de desaceleración BC se localiza de la misma manera trazando desde C hacia la izquierda.

    Modificación prácticas al diagrama de velocidad constante

    Según lo anotado el diagrama de desplazamiento para la leva de velocidad constante, se modifica en cierto grado de la forma teórica para aplicación prácticas, con el propósito de evitar cambios bruscos de velocidad al principio y al final de los periodos de la alzada.

    Esta modificación se pude efectuar mejor mediante el uso de un periodo corto de aceleración constante al principio de la alzada, el cual dura hasta que se ha obtenido un velocidad apropiada.

    Entonces la leva se mueve con velocidad constante hasta que se aproxima al final del periodo de la alzada donde se aplica una desaceleración constante, y la leva es llevada hasta el reposo sin choque.

    La construcción del diagrama de la alzada se considerará ahora para un caso como el descrito.     Supóngase que se especifica una lazada para la varilla durante 150° del movimiento de la leva y los desplazamientos son 30° durante la aceleración constante, 90° para la velocidad constante, y 30° para la restante desaceleración constante.

    Cuando un cuerpo se acelera uniformemente desde el reposo hasta la velocidad v, en t unidades de tiempo es evidente que la velocidad promedio para los periodos es v/2 y la distancia recorrida es vt/2. Por otra parte, si el cuerpo tuviera una velocidad constante v, se movería la misma distancia vt/2 en el tiempo t/2.

  Consecuentemente la verilla en cuestión se movería la misma distancia durante los primeros 30° donde tienen aceleración constante, que la que se mueve en intervalos subsecuentes de 15° con velocidad constante. Por tanto, el total de la alzada se puede considerar compuesto de ocho incremento iguales, el primero se ejecuta en el periodo de los primeros 30° los siguientes seis en los subsiguientes intervalos de 15° y el último en el periodo final de 30°. Así pues, dividimos la alzada total (fig. 7.10) en ocho partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2,3, etc., y las proyecciones de 1 hasta 1´, 2 hasta 2´, etc. Conectando 0,1´,2´,3´, por una curva uniforme se completa el diagrama. Los puntos intermedios para la curva de aceleración y desaceleración se pueden localizar como en la Fig. 7.8.

  Movimiento armónico simple

    La construcción del diagrama de desplazamiento para el movimiento armónico simple de la varilla es la misma que para el trazo de la curva Tiempo-desplazamiento para un punto con movimiento armónico. La fig. 7.11 ilustra un caso donde la varilla se eleva durante 180° del movimiento de la leva, reposa por 90° y cae a la posición inicial en 90°. Se traza un semicírculo como se indica, empleando la alzada como diámetro. El ángulo de la leva para el periodo de la alzada 180°, se divide en cualquier número conveniente de partes iguales; cada una de estas representa 30°; el semicírculo también se divide en el mismo número de arcos iguales y de esta manera se localizan los puntos 1, 2, 3, 4, etc.

 

    Las proyecciones horizontales localizan los puntos 1´,2´,3´etc., sobre la cueva requerida. Para el periodo de “retorno” “caída” se pueden trazar proyecciones desde los mismos puntos, 1, 2, 3, si el ángulo de la leva correspondiente a este periodo se divide en el mismo número de partes que el semicírculo .

 Movimiento cicloidal

   Se ha encontrado que la leva cicloidal tiene muchas ventajas prácticas para obtener una acciónsuave considerando los efectos de vibración.

La ecuación para este movimiento es

   donde S es el desplazamiento total que toma lugar durante el ángulo total de la leva θ0 y s es el desplazamiento que acontece a cualquier ángulo θ de la leva.

    El método gráfico para la construcción de esta cuerva se muestra en la fig 7.12 donde la alzada S tiene lugar durante el ángulo θ0 de la leva. El tiempo total o el ángulo de la leva se divide en un números conveniente de partes iguales, en esta caso doce.

   Una línea punteada diagonal, marcada OA se dibuja entonces a través del diagrama para representar el primer término de la ecuación. En la esquina inferior izquierda del diagrama se dibuja un círculo que tiene un radio S/2π y su circunferencia se divide en el mismo número de divisiones que la abscisa del diagrama. Los puntos se marcan en la dirección de las manecillas del reloj, como se ilustran en la figura. Entonces se proyectan

horizontalmente a la línea central vertical del círculo y después paralelamente a la línea diagonal OA hasta la división correspondiente de tiempo o ángulo de la leva. Esta última construcción complementa el segundo terminó de la ecuación, que se resta del primer término o sea de l a línea recta OA .

   Para ilustrarlo, considerando un punto, el 5. La distancia O5´´ sobre la línea central vertical del círculo es igual a S/2π sen 2π θ/θ0 en vista de que el radio es S/2π y el ángulo en el círculo 12´05´ es igual a 2π θ/θ0.

   Dibujando el paralelogramo 05´´ cb, transferimos la distancia 05´´ desde el círculo hasta el punto requerido en el diagrama de desplazamiento, para localizar c en la cuerva deseada.

   Selección del movimiento

   En muchos casos de diseño de levas, el tipo de movimiento se basa en los requerimientos de la máquina. En el diseño de maquinaria automática, no obstante, frecuentemente el problema consiste en obtener un movimiento a través de una distancia determinada en un tiempo conocido; la única restricción sobre el tipo de movimiento es que debe de ser suave y con un mínimo de choque, o fuerzas desbalanceadas.

    En casos como tales, una curva de velocidad constante sin modificación seria poco aconsejable, ya que presenta una tremenda aceleración y desaceleración al terminar los movimiento. La elección cae entonces dentro del movimiento armónico simple, la leva cicloidal, o el movimiento de aceleración y desaceleración constante en iguales periodos de tiempo.

    La figura 7.13 es una comparación de estos cuatro movimientos cuando conectan dos periodos de reposo. La parte superior, muestra la cuerva de desplazamiento para la varilla cuando se mueve una unidad de distancia en una unidad de tiempo para la velocidad constante V; para el movimiento armónico simple (M.A.S.), aceleración y desaceleración constantes e iguales proporciones o gravedad G; y una leva cicloidal C.

    Las curvas de velocidad y aceleración se localizan y trazan gráficamente debajo de las de desplazamiento. De estas curvas, la cuerva de aceleración tiempo es la de mayor interés, ya que la magnitud de las fuerzas de choque es una función de la mas de la varilla y de su aceleración.

    Debe observarse que el valor máximo de la aceleración durante cualquiera de estos movimientos es el menor en la leva de “gravedad” lo que parece indicar que éste es el movimiento más aconsejable a emplearse. De cualquier forma, para ambos movimientos, el de gravedad y el armónico simple, la aceleración máxima, y por tanto la máxima fuerza de inercia, se aplican repentinamente al principio dela carrera. Esto ocasión aseveras perturbaciones vibratorias que se pueden reducir empleando la leva cicloidal la cual aplica gradualmente la aceleración.

   Una leva que produce movimiento armónico de la varilla se compone de un o mas arcos circulares y por esto es fácil y económico manufacturarlas con exactitud. Cuando la

velocidad es reducida y las fuerzas de inercia no son importantes, este tipo de leva es más económico en su fabricación que las otras formas.

Leecion 11 ejemplo

61105884 Teoria de maquinas

Libro-mecanica II

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