Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 17 Novembre 2008 Esercizio 1 SiconsideriunblocchettodiGermanio(Ge)aventelunghezzaL, larghezzaWespessoret(vedereFigura1).Ilsemiconduttore,lecui proprietsonoriportatein Tabella1,drogatoconunaconcentrazione di atomi donori ND=1017 cm-3. a)SapendochelaresistenzaRdelblocchettoparia960,calcolare la mobilit degli elettroni n. b)Sullabasedelrisultatoottenutonelpuntoa),calcolareiltempodi rilassamento degli elettroni cn. Figura 1 L= 300m W= 50m t= 1m ND= 1017cm-3 R= 960 Propriet del Germanio Concentrazione intrinseca: ni= 21013 cm-3 Energy gap: EGAP= 0.66eV Massa efficace dellelettrone: mn*= 0.12 m0 Vita media della lacuna: p=100s Tabella 1 Apartiredallistanteditempot1,ilmaterialevieneilluminatoconuna lucecostante.Ifotoniassorbitigeneranocoppieelettronelacunache cambiano la concentrazione dei portatori allinterno del materiale stesso. Dopountransitorioiniziale,laconcentrazionedeiportatoriminoritari raggiungeunvalorediregimeindipendentedallaposizioneeparia p=1013 cm-3.Successivamente, allistante di tempo t2, il flusso difotoni si interrompe. c)Studiarelevoluzionetemporaledellaconcentrazionedei portatori minoritari per t t2. Massa dellelettrone m0= 9.110-31Kg Carica dellelettrone q= 1.610-19C Costanti Esercizio 2 Figura 2 NA= 1018 cm-3p= 10s ND= 1016 cm-3n= 10s WP= 5mn= 300 cm2/Vs WN= 500mp= 450 cm2/Vs Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del vuoto 0= 8.8510-14 F/cmCostante dielettrica relativa del Si r-Si= 11.9Costante dielettrica del Si Si= 0 r-Si 1pF/cm Costante di Boltzmann k=1.3810-23 J/K Tensione termica VTH= 25.8mV Carica dellelettrone q= 1.610-19C Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio e rappresentata in Figura 2. a)Calcolare la tensione di built-in VBI. b)Calcolarelatensioneinversachenecessarioapplicareal diodoperavereunospessorexDdellazonasvuotataparia 1m. c)Supponendodicontinuareadapplicarealdiodolatensione di cui al punto b), calcolare EMAX, valore massimo del campo elettrico nella zona svuotata. Si supponga ora di applicare una tensione diretta VD=600mV alla giunzione di Figura 2. d)Calcolarelaconcentrazionedeiportatoriminoritarialbordo fra la zona svuotata e ciascuna delle due zone neutre. e)CalcolareLP,lunghezzadidiffusionedellelacunenella regioneneutran.Allalucedelrisultatoottenuto,direseper taleregioneapplicabilelapprossimazionedidiodoabase lunga o a base corta. f)Rappresentareinundiagrammaquotatolandamento,in funzione della posizione, dei portatori minoritari in ciascuna delle due zone neutre. g)Calcolare la densit di corrente di lacune Jp alla sezione xn. h)Suggerireunamodificaallastrutturadeldiodoche consenta di aumentare la densit di corrente Jp(xn) senza modificare i drogaggi. Costanti AVVERTENZA:Ipuntiindicatiingrassettopresentanounadifficoltmaggiore;siconsiglia pertanto di svolgerli solamente dopo aver completato gli altri punti. Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 6 Febbraio 2009 Esercizio 1 Si consideri un materiale semiconduttore caratterizzato dal diagramma a banderiportatoinFigura1.Ditalematerialenotaladensitdistati equivalentiinbandadivalenzaNVelaconcentrazionedidrogante accettore NA. a)CalcolarelenergiadiFermiEFerappresentarlaneldiagrammaa bande. b)Calcolare la concentrazione intrinseca dei portatori ni. c)Calcolare la densit di stati equivalenti in banda di conduzione NC. Figura 1 NV= 1020 cm-3 NA= 1017 cm-3 Esercizio 2 qAl= 4.1 eV q= 4.05 eV NA= 7*1016 cm-3 tOx= 15 nm tSi= 500 m Figura 2.aTabella 2.a ND= 1018 cm-3 L= 10 m W= 30 m n= 600 cm2/VsFigura 2.bTabella 2.b qAl= 4.1 eV q= 4.05 eV NA1= 7*1016 cm-3 NA2= 1018 cm-3 tOx= 15 nm tSi1= 400 m tSi2= 100 m Figura 2.cTabella 2.c Si consideri il condensatore MOS rappresentato in Figura 2.a, le cui propriet sono riportate nella Tabella 2.a. a)Assumendonullalacaricapresentenellossidodigate, calcolare la tensione di flat-band VFB. b)Calcolare la tensione di soglia VT0. c)CalcolarelatensionechenecessarioapplicarefraBodye Gate per portare il sistema MOS al limite fra la condizione di svuotamentoelacondizionediinversionedebole. Rappresentareinoltreinundiagrammaquotatolandamento dellacarica(x),deicampiD(x)edE(x),nonchdel potenziale V(x) lungo il dispositivo. SiconsideriorailtransistoreMOSFETrappresentatoinFigura 2.berealizzatoapartiredallastrutturadiFigura2.a.In particolarelospessoredellossidodigateedildrogaggiodi substratosonoidentici.Glialtriparametridellastrutturasono riportati nella Tabella 2.b.d)SiaVSB=0VeVDS=0V.CalcolarelatensioneVGSche necessarioapplicarefraSourceeGateperottenereuna conduttanza di canale GCH = 1 mA/V. e)SiaVSB=0V,eVGS=2.5V.Trascurandolavariazionedella tensionedisoglialungoilcanale,calcolarelatensioneVDS che necessario applicare affinch la carica mobile al Drain sia la met di quella al Source. f)SiaVSB=10VeVDS=0V.CalcolarelatensioneVGBche necessarioapplicarefraBodyeGateperottenereuna conduttanza di canaleGCH = 1 mA/V. Si consideri ora il condensatore MOS rappresentato in Figura 2.c, le cui propriet sono riportate in Tabella 2.c. g)CalcolarelatensionechenecessarioapplicarefraBodye Gate per avere campo elettrico nullo nellossido. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Tensione termica VTH= 25.8mV Carica dellelettrone q= 1.610-19C Densitdistatiequivalentein banda di conduzione NC= 2.81*1019 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1 pF/cmCostante dielettrica dellOssido Ox= 1/3 pF/cm Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 2 Marzo 2009 Costanti Universali Massa dellelettrone m0= 9.1 10-31 kg Carica dellelettrone q= 1.610-19 C Costante di Boltzmann k=1.3810-23 J/K Tensione termica VTH= 25.8mV Esercizio 1 Figura 1.aFigura 1.b Concentrazione intrinseca ni= 21012 cm-3 Tempo di rilassamento c= 0.2 ps Siconsideriunmaterialesemiconduttorecaratterizzatodal diagramma a bande di Figura 1.a e dalle propriet riportate in Tabella 1. a)Calcolare la concentrazione di elettroni n e di lacune p. b)Sapendo che la conducibilit del materiale pari a = 60-1cm-1,calcolarelamassaefficacedelportatore maggioritario. Apartiredallistantet=0,ilsemiconduttoreviene illuminatoconunalucecostanteneltempo;ifotoni assorbitideterminanountassodigenerazioneotticaGPH spazialmenteuniforme.LaFigura1.brappresentail corrispondenteandamentotemporaledellaconcentrazione dei portatori minoritari. c)Calcolare il tasso di generazione GPH. Tabella 1 Esercizio 2 NA= 1018 cm-3 ND1= 2.51014 cm-3 ND2= 1015 cm-3 WP= 50m WN1= 5m WN2= 200m Figura 2 SiconsiderilagiunzionerealizzatainSilicioe rappresentata in Figura 2.a)Calcolarelatensionedibuilt-inetracciareil diagrammaabandequalitativo(bandadiconduzione, bandadivalenzaelivellodiFermi)dellastruttura allequilibrio termodinamico.b)CalcolarelatensioneinversaVRdaapplicarealla giunzioneperottenereuncampoelettricomassimo pari a EMAX= -5104 V/cm. c)Calcolarelacapacitdigiunzione(perunitdiarea) del diodonelle condizioni di cui al punto (b). Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 3 NA= 51017 cm-3 ND= 1016 cm-3 WP= 5m WN= 500m n= 300 cm2/Vs p= 450 cm2/Vs Figura 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui applicata una tensione diretta VD incognita. Siano xn e-xp lecoordinatedeipuntidiseparazionefralazonadi carica spaziale e le regioni neutre. a)Sapendochelaconcentrazionedilacunealla coordinataxnvalep(xn)=51015cm-3,determinareil valoredellatensioneVDedellaconcentrazionedi elettroni n(-xp). VDassumailvalorecalcolatoalpunto(a),siaplavita media delle lacune nella zona neutra n e sia n quella degli elettroni nella zona neutra p. b)Siassumap=n=.Rappresentareinundiagramma quotato landamento della concentrazione dei portatori minoritariinciascunadelledueregionineutre. Calcolare inoltre le densit di corrente di lacune Jp alla sezione xn. c)Ora p assuma un valore finito incognito. Sapendo che lacorrentedilacuneallacoordinataxnvaleJp(xn)=5 A/cm2,determinareperappresentareinun diagrammaquotatolandamentodellaconcentrazione delle lacune nella regione neutra n. d)Perpcalcolatoalpuntoprecedenteen=,calcolare le densit di corrente di lacune e di elettroni Jp e Jn alla coordinata x1=14m. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 4 qAl= 4.1 eV q= 4.05 eV NA= 2*1016 cm-3 tSi= 500 m Figura 4.aTabella 4.a ND= 1018 cm-3 L= 3 m n= 600 cm2/VsFigura 4.bTabella 4.b Si consideri il condensatore MOS rappresentato in Figura 4.a, le cui propriet sono riportate nella Tabella 4.a. a)DimensionarelospessoredellossidotOXperavereuna tensione di soglia VT0= 500mV. SiconsideriorailtransistoreMOSFETrappresentatoinFigura 4.berealizzatoapartiredallastrutturadiFigura4.a.In particolareildrogaggiodisubstratoilmedesimoelospessore dellossido quello calcolato al punto (a). Gli altri parametri della struttura sono riportati nella Tabella 4.b.b)Sia VSB= 5V, VDS= 0V, e VGS=2.5V. Determinare il valore di WaffinchlaconduttanzadicanalesiapariaGCH=0.65 mA/V.c)Sia VSB= 5V, e VDS= 0V. Sapendo che lossido di gate si pu danneggiareseilcampoelettricoinessopresentesuperail valoreEOX-MAX=5106V/cm,determinarelamassima tensione VGS che possibile applicare fra Source e Gate. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Densitdistatiequivalentein banda di conduzione NC= 2.81*1019 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1 pF/cmCostante dielettrica dellOssido Ox= 1/3 pF/cm Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 10 Luglio 2009 Costanti Universali Massa dellelettrone m0= 9.1 10-31 kg Carica dellelettrone q= 1.610-19 C Costante di Boltzmann k=1.3810-23 J/K Tensione termica VTH= 25.8mV Esercizio 1 Siconsideriunalacunachesimuoveallinternodiun materialesemiconduttoresottolazionediuncampo elettricopariaE=10V/cm.IlgraficodiFigura1.a rappresentalandamentotemporaledellavelocitdella lacuna (solo componente ordinata). a)Calcolare la massa efficace della lacuna. b)Stimarelamobilitdellalacunaallinternodel semiconduttore considerato. Figura 1.a Esercizio 2 ND= 1018 cm-3 NA1= 51015 cm-3 NA2= 1012 cm-3 NA3= 1018 cm-3 WN= 20m WP3= 50m Figura 2 SiconsiderilagiunzionerealizzatainSilicioe rappresentata in Figura 2.a)AllastrutturavieneapplicataunatensioneinversaVR sufficienteasvuotarecompletamenteleregioniNA1e NA2edinpartelaregioneNA3.Tracciareun diagramma qualitativo dellandamento della carica, del campo elettrico e del potenziale lungo il dispositivo. b)DimensionarelospessoreWP1inmodotaleche,al breakdown,ilcampoelettricoallinterfacciafrale regioni NA1 e NA2 sia pari a 2104V/cm. Si assuma che il campo di breakdown sia pari a EBD=1105V/cm. c)DimensionarelospessoreWP2inmodotalechela tensionedibreakdownsiapariaVBD=30V.Per semplicit si trascurino le tensioni di built-in. d)Rappresentareinundiagrammaquotatolandamento della capacit di svuotamento CJ (per unit di area) in funzionedellatensioneinversaVR;siassumaVR compresa fra 0V e 30V. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 3 NA= 2.51017 cm-3 ND= 51016 cm-3 WN= 30m n= 600 cm2/Vs p= 400 cm2/Vs n= p = 1 ms Figura 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui applicata una tensione diretta VD=650mV. Siano xn e-xp lecoordinatedeipuntidiseparazionefralazonadi caricaspazialeeleregionineutre.Siainoltreplavita media delle lacune nella zona neutra n e sia n quella degli elettroni nella zona neutra p. a)Calcolarelaconcentrazionedeiportatoriminoritari alla sezione xn. b)Rappresentareinundiagrammaquotatolandamento deiportatoriminoritariemaggioritarinellaregione neutra n.c)CalcolareladensitdicorrentedilacuneJp(xn)alla sezione xn. d)DimensionareWPinmodotalecheladensitdi correntetotalecheattraversaildiodosiaparia JTOT= 1 Acm-2. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 4 q= 4.05 eV NA= 31017 cm-3 ND= 51018 cm-3 L= 4 m W= 20 m n= 400 cm2/VsFigura 4.aTabella 4.a Figura 4.b Si consideri il transistore MOSFET di Figura 4.a, le cui propriet sono riportate nella Tabella 4.a. Applicando le tensioni VB= 0V, VS= 0V, VD= 10mV e misurando lacorrentedidrainIDinfunzionedellatensioneVGSsiottieneil grafico Figura 4.b. a)DeterminarelatensionedisogliaVT0elospessore dellossido tOX. b)Determinare la funzione lavoro qM del metallo utilizzato per realizzare il gate. Sia ora VS= 0V, VD= 10mV. c)CalcolarelatensioneVBdaapplicarealcontattodiBody affinch la corrente che scorre nel MOS quando VGS= 2V si riduca a ID= 10A. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Densitdistatiequivalentein banda di conduzione NC= 2.811019 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1 pF/cmCostante dielettrica dellOssido Ox= 1/3 pF/cm Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 2 Settembre 2009 Costanti Universali Massa dellelettrone m0= 9.1 10-31 kg Carica dellelettrone q= 1.610-19 C Costante di Boltzmann k=1.3810-23 J/K Tensione termica VTH= 25.8mV Esercizio 1 Figura 1 Densit equivalente di stati in banda di conduzione NC= 21018 cm-3 Densit equivalente di stati in banda di valenza NV= 1018 cm-3 Tempo di rilassamento c= 0.2ps Siconsideriunmaterialesemiconduttore caratterizzatodaldiagrammaabandediFigura1e dalle propriet riportate in Tabella 1. a)Calcolarelaconcentrazionedielettronin,di lacune p, e la concentrazione intrinseca ni. b)Calcolarelamassaefficacedellelettrone sapendo che la resistivit pari a =50 cm . Orasemiconduttorevieneilluminatoconunaluce costante nel tempo; i fotoni assorbiti determinano un tassodigenerazioneotticaGPHspazialmente uniforme. Si consideri la situazione a regime c)DeterminareilmassimovalorediGPHche consentadicontinuarealavorareincondizioni dibassainiezione.Perlavitamediadei portatori si assuma = 1 ms. Tabella 1 Esercizio 2 ND= 1018 cm-3 NA= 21015 cm-3 WN= 100 m WP= 100 m A= 10-2 cm2 Figura 2 SiconsiderilagiunzionerealizzatainSilicioe rappresentata in Figura 2. Sia A larea della giunzione. a)Calcolare la tensione di built-in VBI. b)CalcolarelatensioneinversaVR1daapplicarealla giunzioneaffinchilvaloremassimodelcampo elettricoallinternodellazonasvuotatasiaparia EMAX= 6104 V/cm. c)Calcolare la tensione inversa VR2 da applicare affinch la capacit di giunzione sia pari a CJ= 25pF. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 3 ND= 21016 cm-3 NA= 11017 cm-3 WN= 100m WP= 200m n= 620 cm2/Vs p= 400 cm2/Vs n= 160 ns p= Figura 3 Si consideri la giunzione pn realizzata in Silicio (Figura 3) a cui applicata una tensione diretta VD=600mV. Siano xp e-xn lecoordinatedeipuntidiseparazionefralazonadi caricaspazialeeleregionineutre.Siainoltreplavita media delle lacune nella zona neutra n e sia n quella degli elettroni nella zona neutra p. a)Calcolarelaconcentrazionedeiportatoriminoritari alle sezioni -xn e xp. b)Rappresentareinundiagrammaquotatolandamento dei portatori minoritari e maggioritari nelle due regioni neutre.c)Calcolare le densit di corrente Jn(xp) e Jp(-xn) d)Calcolare la densit di corrente di lacune e di elettroni Jp(x1) e Jn(x1) alla sezione x1=100m. e)Rappresentareinundiagrammaquotatolandamento delladensitdicorrentedielettroniedilacunenella zona neutra n. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1pF/cm Esercizio 4 q= 4.05 eV tOX= 10nm ND= 51018 cm-3 L= 10 m W= 50 m n= 500 cm2/VsFigura 4.aTabella 4.a Figura 4.b Si consideri il transistore MOSFET di Figura 4.a, le cui propriet sono riportate nella Tabella 4.a. Si osservi in particolare che non sono noti n il lavoro di estrazione del metallo con cui realizzato il gate, n il drogaggio di substrato NA. nota invece la tensione di soglia VT0= 0.5V. a)SiaVSB=0VeVDS=0V.CalcolarelatensioneVGSche necessarioapplicareaffinchlacaricamobile complessivamente accumulata sotto lossido di gate sia pari a QCH= 4pC. b)SapendocheapplicandounatensioneVSB=20V,latensione di soglia assume il valore VT=1.5V, calcolare il drogaggio di substrato NA. c)Determinare la funzione lavoro qM del metallo utilizzato per realizzare il gate. d)SiaVSB=0V,VDS=0VeVGSassumailvalorecalcolatoal puntoa).Tracciareinundiagrammaquotatolandamento delladensitdicarica,deicampiDedE,nonchdel potenzialeVlungolalineatratteggiataindicatainFigura 4.b. Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Densitdistatiequivalentein banda di conduzione NC= 2.811019 cm-3 Costante dielettrica del Si Si= 1 pF/cmCostante dielettrica dellOssido Ox= 1/3 pF/cm Dispositivi Elettronici Ingegneria Elettronica AA 2008/2009 4 Febbraio 2010 Costanti Universali Massa dellelettrone m0 = 9.1 10-31 kg Carica dellelettrone q = 1.610-19 C Costante di Boltzmann k = 1.3810-23 J/K Tensione termica (T ambiente) VTH = 25.8 mV Costante dielettrica del vuoto 0 = 8.8510-14 F/cm Esercizio 1 Siconsideriunmaterialesemiconduttorea temperaturaambiente(T=300K)opportunamente drogatoecaratterizzatodaldiagrammaabandedi Figura 1a e dalle propriet riportate in Tabella 1. a)Calcolareilivellidienergiadellabandadi conduzione EC [eV] e della banda di valenza EV [eV] a temperatura ambiente, noto EF = 0.6 eV. Quotarecorrettamenteildiagrammaabandee specificare il tipo di drogaggio. b)Calcolaremobilitemassaefficace(infrazioni dim0)dellalacunasapendocheildispositivo unresistoreintegrato(Figura1b)con caratteristicheriportateinTabella1.(Sipresti estrema attenzione alle unit di misura!) Orailsemiconduttorevieneriscaldatopermezzodi untermostatoadunatemperaturaT=400K.Si consideri la situazione allequilibrio termico. c)CalcolarelaresistenzaRdelresistoredi dimensionispecificatealpuntob)nellenuove condizionioperative,assumendoladensit equivalentedistatiinbandadivalenzaNV proporzionaleaT3/2elamobilitcalcolataal punto b) costante. Figura 1a Figura 1b Densit equivalente di stati in banda di conduzione NC= 21018 cm-3 Densit equivalente di stati in banda di valenza NV= 1018 cm-3 Concentrazione di elettroni in banda di conduzione n= 7.5109 cm-3 Concentrazione intrinseca ni= 1.841012 cm-3 Tempo di rilassamento c = 0.2ps Lunghezza resistore integrato L = 500 m Sezione resistore integrato S = 10-3 cm2 Resistenza resistore integrato R = 1.5 k Tabella 1 Esercizio 2 Siconsiderilagiunzionep-ninSiliciorappresentatain Figura 2. Sia A larea della giunzione. a)Progettareildrogaggiodellaregionen,ND,avendo comespecificailcampoelettricomassimoEMAX= 3105V/cmallatensioneinversaVR=25V.(Siafatta opportunaassunzionerelativamentealpotenzialedi built-in.) b)Calcolareilpotenzialedibuilt-inVBI,verificare lassunzionefattaalpuntoa)ecalcolareleestensioni dellezonedicaricaspazialexpexnincondizionidi zero bias. Di che tipo di giunzione si tratta? c)Considerandoilparticolaretipodigiunzioneeidati ottenutineipuntia)eb),calcolarelacapacitdi giunzione C. d)Disegnare in tre grafici quotati: 1. densit di carica spaziale, 2. profilo del campo elettrico, 3. potenziale elettricoinzonadicaricaspazialealbuilt-in. (facoltativo) NA= 1018 cm-3 WN= 100 m WP= 100 m A= 10-2 cm2 Figura 2 Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica relativa del Si Si= 11.7 Esercizio 3 Siconsiderilagiunzionep-ninSilicio(Figura3)acui applicata una tensione diretta VD=600mV. Siano -xp e xn le coordinatedeipuntidiseparazionefralazonadicarica spaziale e le regioni neutre. Sia inoltre p la vita media delle lacunenellazonaneutranesianquelladeglielettroni nella zona neutra p. a)Nota la concentrazione di portatori minoritari al bordo dellazonadicaricaspazialealaton(x=xn), pn=2.651014 cm-3, calcolare il drogaggio di donori ND. b)Notaladensitdicorrentediportatoriminoritarialla sezione x=-xp, Jn=4.23 A/cm2, calcolare il drogaggio di accettori NA.c)Lezonedicaricaspaziale,latopelaton,hannola stessa estensione? (motivare la risposta) d)Calcolare la densit di corrente di lacune e di elettroni Jp(x1) e Jn(x1) alla sezione x1=150m. e)Stimareilvaloredelcampoelettricoallasezionex1 delpuntod),assumendon=ND,ecommentare conseguentementelapprossimazionedicampo elettrico nullo in zona neutra. WN= 200m WP= 200m n= 620 cm2/Vs p= 400 cm2/Vs n= 160 ns p= 90 ns Figura 3 Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica relativa del Si Si= 11.7 Esercizio 4 SiconsideriilcondensatoreMOSdiFigura4a,lecuipropriet sonoriportatenellaTabella4.a.Siosservichenonnotoil drogaggio disubstrato NA. Sono note invece laffinit elettronica delSilicio,qelafunzionelavorodellArgento,qM,utilizzato come metallo di gate. a)CalcolareildrogaggiodisubstratoNA,sapendochela tensione di flat-band VFB = -0.776 V e assumendo la carica nellossido nulla. b)Dimensionare lo spessore dellossido di gate, sapendo che la sogliadeltransistorepariaVT0=0.75V.(Prestare attenzione alle unit di misura!) SiconsideriorailtransistoreMOSFETrappresentatoinFigura 4b, le cui propriet sono riportate ancora in Tabella 4a.

c)RicavarelespressionedellaconduttanzadicanaleGCHnel limite VDS = 0V, con VSB= 0V e ricavare la tensione tra gate e source VGS che consente di ottenere GCH = 4.13 mA/V. q= 4.01 eV qM = 4.26 eV L= 10 m W= 50 m n= 500 cm2/VsFigura 4aTabella 4a Figura 4b Costanti Concentrazione intrinseca ni= 1.451010 cm-3 Costante dielettrica relativa del Si Si= 11.7Costante dielettrica relativa SiO2 Ox= 3.9 Gap di Energia del Silicio EG = 1.12 eV Nota Bene: per ciascun risultato numerico ricordate di specificare SEMPRE lunit di misura! SOLUZIONETEMADESAMEDEL4FEBBRAIO2010Esercizio1a. Perricavarei livelli di energiasi utilizzanolerelazioni cheleganoledensitdi portatori liberi nellebandedi conduzioneevalenzaai parametrienergeticinellapprossimazionediBoltzmann:n = NC exp_ECEFkT_ep = NV exp_EFEVkT_.DallaprimasiricavadirettamenteEC= EFkT ln_nNC_ = 1.1eV.DallasecondasiricavaEV= EF+kT ln_pNV_ = 0.4eV,dove, per la legge di azione di massa, p = n2i/n = 4.51 1014cm3. Il semicon-duttoredrogatopinquantoillivellodi Fermisi trovainprossimitdellabandadivalenza.b. NoteresistenzaelettricaR, lunghezzaL, sezioneSdel resistoreinte-grato,dallapplicazionedellaR = LSsi ricava la resistivit = 1/ = 30 cm. In un semiconduttore la resistivitrisultalegataallacaricaelementare,allamobilitealladensitdiportatori(inquestocasosololacunemaggioritarie)dallaseguente: =1=1qppdacuisiottienelamobilitp= 462cm2V s. Perlamassaecacedellalacunampsiutilizzalaseguenterelazione,notalamobilit(appenacalcolata):mp=q cpda cui si ricava mp=6.921031kg =0.76m0dove m0 la massadellelettronenelvuoto.Analisi Dimensionale:_mp_=C V s2/cm2=(J/m) s2 m/cm2=N s2/104m=104 kg. Laconversionedacm2am2introduceunfattore104!!!c. Alzandolatemperaturasi introduceunavariazionenelledensitdiportatori. Inquestocasoil testosuggeriscesialaleggedi proporzionalittraNVeT, siail fattochelamobilitrimanecostante. NotodunquecheN300KV= 3003/2eN400KV= 4003/2,sipuscriverelaproporzione:N300KVN400KV=_300400_3/2,dacuisiricavaN400KV= 1.54 1018cm3. NotoN400KV,possibilericavareladensitdilacunenellenuovecondizionioperative:p (400K) = N400KV exp_EFEVkT_ = 4.66 1015cm3.Notop400Kep(dal puntoprecedente) possibile calcolare laresistivit (400K)=2.9 cmequindi laresistenzaR(400K)= (400K) L/S=145.Esercizio2a. Notoilcampoelettrico,adesempio,nellaregionep:E=_ (x)

Sidx = _q NA

Sidx,integrandosiottieneE= q NA

Si(x +xp) , xp x 0.Ponendo x = 0, ovvero imponendo la condizione di campo massimo, si ottieneEMAX=q NA xp/Si. Aquestopuntosi sostituisce nellaprecedentelespressioneperlazonasvuotataalatop, xp, considerandolabarrieradipotenzialeintrodottadallaVRetrascurandolaVbi,notocheVbi>Vbifattaalpuntoprecedenterisultavericata!In condizioni di zero-bias, ovvero per VR= 0, possibile calcolare le estensionidellezonedi caricaspaziale: xp=3.5nmmediantelaformulascrittapocosopra e, sfruttando la conoscenzadei drogaggi, xn= (NA/ND) xp= 296nm.Datolosbilanciamentodei drogaggi di due ordini di grandezzae di con-seguenzalosbilanciamentodelleestensioni dellezonesvuotatedellastessaquantit, si puaermarechesi trattadi unagiunzioneunilateradi tipop+n.c. LacapacitdigiunzioneperunitdiareapuessereespressacomeC

=dQ

dVR= q NDdxndVR= q NAdxpdVR.Calcolando la derivata prima rispetto a VR di xnoppure di xpe sostituendolanellaprecedenteespressione, possibilericavareC

=6.25nFcm2. Notalarea,Cj= C

A = 62.5pF.d. Puntofacoltativoil cui svolgimentoadatoal lettoreperripassodellateoriadibasesullagiunzionepn.Esercizio3a. Vienerichiestoildrogaggiodidonorialaton,notalaconcentrazionedi portatori minoritari (lacune) al bordodellazonasvuotataalaton, inx = xn. Lagiunzione polarizzata indiretta produce un abbassamentodellabarrieradi potenzialeeunainiezionedi lacunemaggioritariedallazonapalla zona n, accrescendo, a bordo giunzione lato n la concentrazione di lacuneminoritarie, generandocio una concentrazionedi lacune in eccessoa lato n:pn= pn0 exp_qVAkT_,dove pn0= n2i/nn0 n2i/ND la concentrazione di lacune minoritarie allequilibriotermico. Si noti chesostituendolultimaespressionenellapenultima, si es-plicitaildrogaggiodidonoricome:ND=n2ipn exp_qVAkT_ = 1016cm3.b. Vienerichiestoildrogaggio diaccettori,notaladensitdicorrentediminoritari(stavoltaelettroni)abordogiunzionelatop, cioperx =xp.Siscrivadunquelespressionedelladensitdicorrentedielettroni:Jn=qDnn2iNALn_exp_qVAkT_1_ exp_xp +xLn_,incuilultimotermineesponenzialeunitario. Attraversolanotarelazionedi Einsteinchenonriportiamoqui, si ricavanoDn=16cm2/seLn=1.6 103cm. Dallespressione scrittaper ladensitdi corrente, incui statoesplicitatoil drogaggio di accettori NA, possibile calcolare NA= 1015cm3.c. NO! Lezonedi caricaspazialehannoestensioni diverse, datocheidrogaggidierisconodiunordinedigrandezza.d. Questopuntopotrebbeessererisoltofacendounasempliceconsider-azioneeunbrevecalcolo. Anzituttosi devericavare, mediantelanotare-lazionediEinstein,Dp= 10.3cm2/seLp= 9.63m. SinoticheLp 0 VBI= 0.77 Vp= 10s NA= 1017 cm-3n= 300 cm2/Vs WP= 1mp= 450 cm2/Vs WN= 200mA = 10-2 cm2 Tabella 2 Concentrazione intrinseca: ni = 1.451010 cm-3 Costante dielettrica del vuoto: 0 = 8.8510-14 F/cmCostante dielettrica relativa del Si: r-Si = 11.7Costante di Boltzmann: k = 1.3810-23 J/K Tensione termica: Vth =25.8 mV Carica dellelettrone: q = 1.610-19 C Costanti AVVERTENZE:RisolverePRIORITARIAMENTEipuntineiriquadrisuperiorirelativiadentrambigli esercizi;passaresuccessivamenteallosvolgimentodeglialtri.Ipuntiingrassettopresentanouna difficolt maggiore, si consiglia pertanto di svolgerli per ultimi. Compiti scritti a matita o a penna rossa e/o corretti con bianchetto correttore non saranno valutati. SOLUZIONEI PROVAINITINEREDEL7MAGGIO2010Esercizio1a. NotocheR =1G= LS=1q p pLScon p = NAe S= d2/8 (sezione semicircolare),si ricava la seguenteespres-sioneperNA:NA=8 L Gq p d2= 2 1016cm3.b. Notalarelazionechelegaladensitdi correnteJalcampoelettricoE:J= q p p Eenotochep = NA,J= I/S= 8I/d2,sipuscriverelaseguenterelazioneperilcampoelettrico:E=8Iq NA p d2= 520Vcm.c. Notalarelazionechelegatraloromobilit,massaecaceetempodirilassamento,p=q cpmpdaquestasiricavimp,mp=q cpp= 31.87 1036C V s2cm2Perottenereilrisultatoinunitdi m0(massadellelettronenelvuoto), oc-corretrasformarelunitdi misurainkg(vedi analisi dimensionalesotto).Siottienedunque:mp [kg] = 318.7 1033kg=318.7 10339.1 1031 m0= 0.35m0.Analisi Dimensionale:_mp_=C V s2/cm2=(J/m) s2 m/cm2=N s2/104m = 104 kg. Laconversioneintroduceunfattoremoltiplicativo104!d. Notoche:LATTICE (T) T32,postoT1= 300KeT2= 420K,enotalamobilitatemperaturaambiente,(T1)(T2)=_T1T2_32,dacui,(T2) =_T1T2_32 (T1) =_300420_32 502 = 303 cm2V s.DunqueavremoR(300K) = 1/G = 7.917keR(420K) =8Lq NA p (420K) d2= 13.13k.Siottienequindiunrapporto R(300K) /R(420K) = 0.603.Commento: Nellipotesi semplicativa che la concentrazione dei portatorisiacostanteintemperatura, laresistenzaelettricadel dispositivoaumentaallaumentaredellatemperaturaoperativaacausadi unincrementodellaresistivitdel semiconduttore, datodaunaminore mobilitdei portatorimaggioritari allaumentaredellatemperatura. Taleeettolegatoadunamaggioreagitazionetermicadel reticolocheaumentalaprobabilitdi urtoportatore /sitoreticolare,diminuendoil tempodivitamediodelportatore.Esercizio2a. Notalarelazionechelegalatensionedi built-inei drogaggi dellagiunzione,VBI=kTq ln_NANDn2i_,siricavalespressioneperND:ND=n2iNA exp_q VBIkT_ = 1.92 1016cm3NON si tratta di giunzione unilatera, poich i drogaggi, e quindi anche leestensionidelleregionidicaricaspaziale,dierisconopermenodiunordinedigrandezza.b. Notalespressioneperlacapacitdigiunzioneperunitdiarea,C

=q Si NAND2 (VBI+ VR) (NA + ND),ricaviamoC

=C/A=9.36nF/cm2, doveA=102cm2. DallaformulaperC

siottienelespressioneperVR;eseguendoicalcolirisultaVR= 14.46V .c. Notalaconcentrazionedi lacuneminoritarieal bordodellazonadicaricaspaziale,laton,sucienteconsiderarelespressione:p (xn) = pn0 exp_qVDkT_,dovepn0= n2i/NDlaconcentrazionedi lacuneminoritarieallequilibrio. Siottienequindi:VD=kTq ln_p (xn)pn0_ = 0.62V.d. DatocheLn>>Wp, infatti il testodicecheLn=100 Wp, valelapprossimazionedi diodoabasecortaodiodocorto. ApartiredallarelazionediEinstein,siricavailcoecientedidiusioneperglielettroni:Dn=kTq n= 32.25cm2s.Inne, notalespressioneperlalunghezzadi diusione, Ln=Dn n, siottiene:n=L2nDn=(100 Wp)2Dn= 3.1s.e. Nel puntod. si vericatalavaliditdellapprossimazionedi diodocorto. Dunqueintaleapprossimazioneil prolodi portatori minoritari inzonap lineare, ovvero ladensit di corrente di minoritari inzonapcostante. Di conseguenza costante anche la densitdi corrente di portatorimaggioritari (lacune)inzonaneutrapeugualealladensitdi correntedilacuneallasezione xn(si ricordi cheladensitdi correntetotale, mag-gioritari +minoritari, costanteintuttalagiunzionepn). Quindi inzonaneutrap, si puscriverelaseguenteespressioneperladensitdi corrente,indipendentementedallaposizionex:JMAGGIORITARIZONAP= Jp (xn) =qDppn0Lp_exp_qVAkT_1_ = 51.6mAcm2,dove per la relazione di Einstein, Dp=kTp/q =11.61cm2/s e Lp=_Dpp= 10.77 103cm.f. Inquestocasoidrogaggi sononon-uniformielineari.Siseguelastessaproceduraseguitaperricavarelespressionechelegaleestensioni delle zone di carica spaziale nel caso semplice di drogaggi uniformi:Equazionedi Poissnche lega potenziale,densitdi caricae campo elettricoIntegrazionedensitdicaricanelleduezone(nep)CampoElettricoCondizioni al contorno: annullamentodel campoabordozonadi car-icaspazialeCondizionedi continuitdel CampoElettricoallagiunzionemetallurgicarelazionerichiesta!Insimboli: inzonan,ovveroperx < 0,ND (x) = k x (x) = q k x.Integrandoperseparazionedellevariabililaseguenterelazione: (x)

Si=dE (x)dx,siricava:E (x) = qk

Si_xdx = qk

Six22+ C1.Condizionealcontorno: camponulloallasezionex = xn:E (xn) = qk

Six22+ C1= 0,dacuisiricavaC1:C1=qk

Six2n2.Cos, nellintervalloxn