SOLUCION DE LA TEORIA R-G

La ecuación de difusión térmica en el sólido tomando en cuenta la fuente de calor

distribuido puede ser escrita como

para -l ≤ x ≤ 0 1.3

con

1.4

donde θ es la temperatura y η es la eficiencia a la cual la luz absorbida a la

longitud de onda λ es convertida en calor por el proceso de desexitación no

radiativa.. Asumimos que η=1, una razonable suposición para la mayoría de los

sólidos a temperatura ambiente. Para el soporte y el gas, las ecuaciones de

difusión térmica están respectivamente dadas por

- l” – l ≤ x ≤ - l 1.5

0 ≤ x ≤ l´ 1.6

La parte real de la solución compleja valuada θ (x , t) de (1.3)-(1.6) es la

solución de interés físico y representa la temperatura en la celda relativa a la

temperatura ambiente como una función de la posición y el tiempo. De esta

manera el campo de temperatura actual en la celda esta dado por

T(x,t) = Re θ(x,t) +φ0

1.7

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSION DE CALOR EN LA MUESTRA

Despeje de los términos con diferenciales parciales hacia un mismo termino de la ecuación, y desarrollo de la expresión que hace de esta ecuación, una ecuación diferencial parcial No Homogénea.

La solución para este tipo de ecuaciones, esta dada por.

Donde H representa la solución de la Ecuación de forma Homogénea y P representa la solución de la ecuación No Homogénea, es decir, una Solución Particular a la Ecuación.

SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE FORMA HOMOGENEA.

Para ello se propone una solución que convierta a esta ecuación en una ecuación que puede ser resuelta por variables separables de la forma:

Esta expresión se deriva parcialmente dos veces respecto de x y una vez respecto de t y se substituye en la ecuación homogénea.

Sustituyendo en la Ecuación Diferencial Parcial Homogénea.

En la ecuación anterior se agrupan los términos de X(x) y los términos de en ambos termino por separado, tal que la ecuación será de variables separables.

Se observa que ambos términos son iguales a una constante, esta constante es propuesta con un valor de .

Se resuelve primero para X(x)

Desarrollando la expresión e igualándola a cero.

La solución para una ecuación diferencial de esa forma es:

Como X(x) no puede ser cero, la otra expresión es la que debe ser cero, para la cual se buscan los valores de m para los cuales se da esa condición.

La solución para una ecuación con esa condición esta dada por.

Ahora resolviendo la Ecuación para

Desarrollando la expresión e igualándola a cero.

La solución para la ecuación diferencial es:

De igual forma no puede ser cero, la otra expresión es la que debe ser cero, se buscan los valores de n para los cuales se cumple la condición.

La solución para esta ecuación diferencial esta dada por:

NOTA: Debe de tomarse en cuanta que Τ(t) debe de estar en el dominio del tiempo y la frecuencia (los cuales son iguales para el soporte, muestra y gas al ser el mismo láser), para lo cual se tiene la siguiente expresión.

De donde se puede concluir la siguiente expresión que será de utilidad en la Solución No Homogénea.

(a)

De esta forma la solución a la Ecuación Diferencial Homogénea es:

NOTA: La Solución General Completa debe de incluir dos términos más, una constante acompañada de la variable x y otro constante, debido a que hay una doble derivada parcial respecto de x y este término es omitido al eliminarse x con la segunda derivada parcial, en tanto que la constante puede ser de ambas expresiones, ya que esta también se anula solo con la primera derivada respecto de t o de x, así la Solución Homogénea Completa es:

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN NO HOMOGÉNEA (SOLUCIÓN PARTICULAR).

Para ello se propone una solución de la misma Forma que el termino que hace de esta una Ecuación Diferencial No Homogénea, esto es Aplicando el Método de Coeficientes Indeterminados.

Segunda derivada de respecto de x y primera derivada de respecto de t

Sustituyendo estas expresiones en la Ecuación Diferencial No Homogénea.

Por igualación de Coeficientes se tiene que:

Esto de la ecuación (a) obtenida con anterioridad donde:

La Solución Particular a la Ecuación Diferencial No Homogénea es:

De tal forma que la solución General de la Ecuación de Difusión de Calor para la Muestra es:

Con objeto de Simplificar la Ecuación se hacen las siguientes substituciones.

NOTA: Solo se conocen los valores de b3 y E, los demás valores aún deben de ser evaluados con las respectivas condiciones de frontera para la muestra, en los limites muestra-gas y muestra-soporte.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSION DE CALOR EN EL SOPORTE

La solución para esta ecuación Homogénea es de ecuaciones, esta dada por.

Donde H representa la solución de la Ecuación Homogénea y (´´) hace referencia a que la ecuación se resuelve para el soporte.

SOLUCION DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA PARA EL SOPORTE

Para ello se propone una solución que convierta a esta ecuación en una ecuación que puede ser resuelta por variables separables de la forma:

Esta expresión se deriva parcialmente dos veces respecto de x y una vez respecto de t y se substituye en la ecuación homogénea.

Sustituyendo en la Ecuación Diferencial Parcial Homogénea.

En la ecuación anterior se agrupan los términos de X(x) y los términos de en ambos termino por separado, tal que la ecuación será de variables separables.

Se observa que ambos términos son iguales a una constante, esta constante es propuesta con un valor de .

Se resuelve primero para

Desarrollando la expresión e igualándola a cero.

La solución para una ecuación diferencial de esa forma es:

Como no puede ser la solución trivial, la otra expresión es la que debe ser cero, para la cual se buscan los valores de m para los cuales se da esa condición.

La solución para una ecuación con esa condición esta dada por.

Ahora resolviendo la Ecuación para

Desarrollando la expresión e igualándola a cero.

La solución para la ecuación diferencial es:

De igual forma no debe ser trivial, la otra expresión debe ser igual con cero, se obtienen los valores de para los cuales se cumple la condición.

La solución para esta ecuación diferencial esta dada por:

NOTA: Debe de tomarse en cuanta que Τ´´(t) debe de estar en el dominio del tiempo, donde la frecuencia y el tiempo son las mismas para la muestra, el soporte y el gas, al ser irradiados por la misma luz láser, para lo cual se tiene la siguiente expresión.

De donde se puede obtener la siguiente expresión.

(b)

De esta forma la solución a la Ecuación Diferencial Homogénea es:

NOTA: La Solución General Completa debe de incluir dos términos más, una constante acompañada de la variable x y otro constante, debido a que hay una doble derivada parcial respecto de x y este término es omitido al eliminarse x con la segunda derivada parcial, en tanto que la constante puede ser de ambas expresiones, ya que esta también se anula solo con la primera derivada respecto de t o de x.

La Solución Homogénea Completa es:

Para el soporte en el límite de se conoce que la temperatura relativa a la temperatura ambiente es cero, con esta condición de frontera se pueden obtener algunas constantes de la expresión.

Por igualación de Coeficientes se tienen las siguientes expresiones de interés.

de aquí se obtienen expresiones que relacionan a d4 con d5 y a d1 con d2.

Realizando la sustitución de las constantes evaluadas en la frontera

Realizando las siguientes sustituciones para simplificar la expresión.

NOTA: La sustitución se Realiza procurando que las constantes utilizadas queden solo en función de la temperatura, por tal razón W 0= d4 l´´

Con estas sustituciones la expresión final queda como sigue:

SOLUCION DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR PARA EL GAS.

La solución de la ecuación de difusión de calor en la región donde se encuentra el gas es análoga a la solución para el caso de la región donde se encuentra el soporte, esto es:

Donde (´) hace referencia a que las expresiones son en relación a la región donde se encuentra el gas, y la solución análoga a la del soporte esta dada por.

Para el gas también se conoce que en el límite de la temperatura relativa a la temperatura ambiente es igual a cero, evaluando esta condición de frontera se llega a la siguiente expresión.

Por igualación de Coeficientes se tienen las siguientes expresiones de interés.

de aquí se obtienen expresiones que relacionan a h4 con h5 y a h1 con h2.

NOTA: la razón principal de despejar h4 en lugar de h5 es que todas las constantes esten solo en términos de temperatura, con h1 y h2 no hay mucho problema puesto que solo están multiplicando exponenciales y a otro constante que puede tomarse adimensional, la cual es h3.

Realizando la sustitución de las constantes evaluadas en la frontera

con objeto de simplificar, se realizan las siguientes sustituciones.

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR PARA EL MODELO R-G.

La solución general para las tres regiones comprendidas por el gas, muestra y soporte, constituyen la solución general para el modelo R-G, que es como sigue.

En la Solución del Modelo R-G se omiten las componentes de crecimiento exponencial de las soluciones para el gas y material de soporte por que para todas las frecuencias ω de interés la longitud de difusión térmica es pequeña comparada con la longitud del material en ambos, en el gas y en el soporte. Lo que es, μ”< l“ y μ´<l´ (μ´~0.02 cm para el aire cuando ω = 630 rad/seg), y las hence componentes sinusoidales de esas soluciones son suficientemente damped así que son efectivamente cero en las paredes de la celda. Por lo tanto, se satisface la restricción de la temperatura en las paredes de la celda, las componentes de crecimiento exponencial tendrían coeficientes que son esencialmente cero, esto es:

De tal forma que la Solución General al Modelo R-G queda como sigue:

Las constantes b1, b2, F0, W0, U, V, W y θ0 son aún desconocidas, y pueden ser obtenidas mediante las condiciones de continuidad de temperatura y flujo de calor en la muestra que son explícitamente dadas por:

i) θ´(0,t) = θ(0,t), ii) θ´´(-l,t) = θ(-l,t),

iii) y iv)

i) La temperatura en la frontera gas-muestra es la misma θ´(0,t) = θ(0,t),

ii) La temperatura en la frontera soporte-muestra es la misma θ´´(-l,t) = θ(-l,t),

iii) El flujo de calor en la frontera gas-muestra es el mismo

iv) El flujo de calor en la frontera soporte-muestra es el mismo

Por igualación de coeficientes se obtienen ocho ecuaciones de interés.

Con las expresiones de la izquierda se puede formar un sistema de ecuaciones con 4 variables y cuatro incógnitas de donde pueden obtener las constantes b1, b2, W0 y F, en tanto que de igual forma de las expresiones de la derecha se pueden obtener las constantes restantes U, V, W y θ0 con lo cual estaría resuelto el modelo R-G.

Para la obtención de b1, b2, W0 y F, primero se plantea el sistema de ecuaciones, en forma lineal y matricial. Y después se resuelve por el método de Gauss.

De la última expresión de la matriz se puede obtener el valor correspondiente a b2, como sigue:

de esta forma:

Las constantes restantes del sistema anterior pueden ser evaluadas mediante la sustitución de b2 para encontrar b1,, b2 y b1 para encontrar W0 y ya con las tres constantes anteriores se obtiene de la misma forma F0 mediante la sustitución de las mismas en la primera ecuación del sistema planteado, dicho proceso es de la siguiente forma.

Para la obtención de U, V, W y θ0, primero se plantea el sistema de ecuaciones, en forma lineal y matricial, con las cuatro ecuaciones restantes. Y después se resuelve por el método de Gauss. Ordenando las variables como U, W, V y θ0 con objeto de un mejor manejo matricial.

Aqui se realizan las sustituciones de ,

y

en la tercera y cuarta ecuación a excepción de los exponenciales.

Simplificando las expresiones del tercer y cuarto renglón y multiplicando y dividiendo a su vez por el conjugado en la parte aumentada de la matriz para colocar el termino imaginario en el numerador.

Sustituyendo las siguientes expresiones en los renglones 3 y 4 de la matriz.

, y

De aqui se plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas a partir de los renglones 3 y 4 donde las incógnitas son θ0 y V.

Resolviendo por sustitución para θ0.

Multiplicando por 2b tanto el numerador como el denominador con objeto de eliminar denominadores en ambas partes sin alterar la ecuación.

Simplificando algebraicamente.

Sustituyendo el valor de E:

También cabe hacer notar la dependencia de del valor de , por tal razón es conveniente definir el valor de .

; y se conoce que

Los valores de V, W y U se obtienen como sigue a partir del valor obtenido de θ0.

La temperatura en x=0 esta dada por la siguiente expresión:

Donde es el incremento de temperatura debido a la componente de estado estable del calor absorbido y es la temperatura ambiente en las paredes de la celda.

Producción de la Señal Acústica

La fuente de la señal acústica surge del el flujo de calor periódico desde el solido a los alrededores del gas.

El proceso de difusión periódica produce una variación periódica de temperatura en el gas dada por la componente sinusoidal (alternante)de la ecuación ón anterior.

Tomando la parte real de la ecuación anterior se observa que la variación fisica actual de temperatura esta dada por la solución alterna.

Donde y son las partes real e imaginaria de ., como a una distancia dada por donde es la longitud de difusión termica en el gas, hasta esta distancia a partir de la muestra la variación de temperatura es efectiva y anulada completamente a una distancia mayor, como se observa a continuación.

De esta forma se puede definir la capa limite donde existe la ultima variación de temperatura a una distancia de la muestra dada por , la cual es aproximadamente o.1cm a una frecuencia .

Esto da una buena aproximación al grosor de la capa de gas que tiene capacidad de respuesta térmica a la temperatura periódica en la superficie de la muestra.

El promedio de temperatura en dicho espacio de gas dentro de esta capa limite como una función del tiempo puede ser determinado mediante la evaluación de la siguiente expresión.

donde , y lo cual es valido para el gas desde la superficie de la muestra hasta la capa límite donde la variación de temperatura surte efecto.

de donde se sabe que y que , por lo tanto;

esto de la siguiente expresión , es decir , de la expresión anterior es necesario incluir el concepto de fasor dado como sigue en forma muy particular para el caso presente.

, donde representa la componente real

del termino, representa el coeficiente del término imaginario y representa el ángulo de defasamiento y debe ser dado en radianes, de esta forma la ecuación queda de la siguiente manera.

Para todo tiempo la razón del desplazamiento del pistón de gas debido al calentamiento periódico es a la longitud de gas donde el calentamiento periódico surge efecto, así como la razón del calentamiento periódico es a la temperatura en la capa limite, es decir, a la temperatura del gas en el resto de la celda, lo cual se expresa como sigue:

- -

de estas razones puede ser obtenido el desplazamiento periódico en determinado tiempo, debido al calentamiento periódico del gas.

Donde , ya que es la temperatura en la capa limite, donde la variación periódica de temperatura es nula, la expresión que define a es una razonable aproximación del desplazamiento actual de la capa de gas dado que

para y regularmente mas pequeña a mas altas frecuencias.

Asumiendo que el gas responde a la acción del pistón térmico adiabádicamente, la presión acústica en la celda debida al desplazamiento del pistón de gas es derivada de la ley adiabática del gas ideal.

donde es la presión, es el volumen de gas en la celda, y es la razón de calores específicos, el incremento de presión puede ser obtenido de la siguiente manera, aplicando la diferencial total de la ley adiabática del gas ideal.

Realizando las aproximaciones y sustituciones siguientes, tomando la variación periódica del volumen pistón térmico, con objeto de encontrar la variación periódica de presión en función del tiempo y la frecuencia.

(incremento de presión)(incremento de volumen)

donde y son la presión y temperatura ambiente respectivamente.

Sustituyendo el valor determinado con anterioridad para

donde;

De tal forma que la variación física de presión esta dada por la parte real de la expresión para como donde:

ó bien

donde Q1 y Q2 son las partes real e imaginaria d Q, en tanto que y son la magnitud y la fase de Q, esto es,

Así Q especifica el desarrollo complejo de la variación de presión sinusoidal. Con lo cual obtenemos la forma explicita siguiente.

donde , , y

A temperaturas ordinarias (normales) , así que las componentes directas de distribución de temperatura no necesitan ser evaluadas.

De esta manera con son evaluadas la magnitud y la fase de las ondas de presión acústicas en la celda debidas al efecto fotoacústico.

CASOS ESPECIALES

La expresión completa para es algo difícil de interpretar por la complicada expresión para , sin embargo, el significado físico puede obtenerse al analizar casos especiales donde la expresión para llega a ser relativamente simple. Esto agrupando los casos de acuerdo a la opacidad óptica de los sólidos como es determinado por la relación de la longitud de absorción óptica con respecto al grosor del sólido. Para cada categoría de opacidad óptica, consideramos tres casos de acuerdo a la magnitud relativa de la longitud de difusión térmica , comparada con la longitud física y la longitud de absorción óptica . Para todos los casos a evaluar, se asumen razonablemente lo siguiente:

y , esto es; y .

De las siguientes suposiciones razonables, a continuación se explican los motivos por los cuales es así.

, , y ; se define

,Esto es razonable ya que hace referencia a la conductividad térmica y al reciproco de la longitud de difusión térmica para el soporte, en tanto que de igual forma referencia a las mismas propiedades pero a su vez para el gas contenido en la celda (aire en nuestro caso), con lo cual la expresión queda de la siguiente forma:

Donde la conductividad térmica del material de soporte (solidó) es mayor que la del gas (aire), y la longitud de difusión térmica del material de soporte es mucho menor que la del gas, con lo cual la desigualdad planteada es muy adecuada.

, Esto es también razonable ya que hace referencia a la conductividad térmica y al reciproco de la longitud de difusión térmica para el soporte, en tanto que referencia al producto de la conductividad térmica del material de soporte por el reciproco de la longitud de difusión térmica de la muestra, esto puede expresarse como:

Donde al tratarse ambos de un material sólido, tanto la muestra como el material de soporte.

, Donde y ; lo cual resulta en donde se

observa claramente que lo que involucra la desigualdad es en esencia el numerador al tener un denominador común, y la comparación de numeradores ya fue efectuada con anterioridad (comparación entre propiedades térmicas de un sólido y propiedades térmicas de un gas), con lo cual se prueba que esta aproximación es de igual forma correcta.

, Representa el cociente entre las propiedades térmicas del material de soporte y la muestra (conductividad térmica y reciproco de la longitud de difusión térmica respectivamente), al tratarse en ambos casos de sólidos expuestos a pequeñas cantidades de calor provocadas por la radiación periódica de la luz incidente, es adecuado asumir que ambos términos son aproximadamente iguales.

; , se define como una medida comparativa en relación a la longitud de la

muestra y la longitud de difusión térmica del sólido correspondiente al material de análisis con objeto de clasificar los distintos materiales en lo seis casos siguientes.

Para todos los casos es conveniente definir lo siguiente

este termino aparecerá en todos los casos para la expresión de Q siempre como un factor constante. También esta definida la longitud de absorción óptica como:

tal que

9.3.1 Sólidos Ópticamente Transparentes ( )

En estos casos la luz es absorbida a través de la longitud de la muestra y algo de luz es transmitida desde la muestra.

Caso 1a: Sólidos Térmicamente Delgados ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Esto debido a que en el cociente y es

muy adecuada la aproximación, si hay un orden de magnitud de diferencia entre ambos el error es de tan solo 0.5%.

, Dado que se definió .

. De igual forma al ser .

Aplicando los resultados obtenidos a la expresión completa para Q:

Se tiene que, , , , y :

Se sabe que para este caso en particular: , , , y ,

por tanto, y y

Dado que y se llega a lo siguiente ;

Para este caso la señal acústica es proporcional a , es proporcional

a , la señal tiene una dependencia de . Para el caso Térmicamente Delgado

donde , las propiedades térmicas del material de soporte están dentro de la expresión para Q.

Caso 1b: Sólidos Térmicamente Delgados ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Esto debido a que en el cociente y es

muy adecuada la aproximación.

, Dado que se definió y el exponente es

fraccionario.

, puesto que .

Aplicando los resultados anteriores a la expresión completa para Q.

Se tiene que, , y

En particular se definió que y y se sabe que y ,

también dado que , con ello:

Definido , donde tal que

En la expresión anterior , , donde

De igual forma , ; además se sabe que

En este caso la señal acústica es también proporcional a , varia con y también depende de las propiedades térmicas del material de soporte.

Caso 1c: Sólidos Térmicamente Gruesos ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Demostrado ya con anterioridad.

, Debido a que y el exponente del número e es de un

valor alto y negativo, esto da como resultado un valor aproximado a cero.

, puesto que .

Sustituyendo los resultados anteriores a la expresión completa para Q.

;

En la expresión anterior y , en tanto que y ,

donde y , así,

Aqui la señal acústica es proporcional a . Esto es, que solo la luz absorbida dentro de la primera longitud de difusión térmica contribuye a la generación de la señal.

9.3.2 Sólidos Ópticamente Opacos ( )

En estos casos, la mayor parte de la luz es absorbida dentro de una distancia pequeña en comparación con , y esencialmente la luz no es transmitida.

Caso 2a: Sólidos Térmicamente Delgados ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Esto se debe a que , con esto el número e tiene un

exponente con un elevado valor y negativo, el valor de la expresión es aproximadamente cero.

, Debido a que y el exponente del

número e es aproximadamente cero.

, puesto que .

Sustituyendo los valores anteriores en la expresión completa de Q.

Para este caso particular, se tiene que , y que por lo tanto:

y , de esta manera. Además sustituyendo y

se llega a lo siguiente:

También se tiene que , , donde

Ahora se tiene “Opacidad” fotoacústica, así como “Opacidad” óptica, en el sentido de que la señal acústica es independiente de . Este seria el caso el caso de un muy buen absorbedor negro tal como el carbón negro. La señal es bastante fuerte (esto es veces tan fuerte como en el caso 1a), depende de las propiedades térmicas del material de soporte, y varia con .

Caso 2b: Sólidos Térmicamente Gruesos ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Esto se debe a que , con esto el número e tiene un

exponente con un elevado valor y negativo, el valor de la expresión es aproximadamente cero.

, Debido a que y el exponente del número e es de un

valor alto y negativo, lo cual aproxima la expresión a cero.

, puesto que .

Sustituyendo los valores anteriores en la expresión completa de Q.

Tenemos que y , además se sabe: y

De donde están definidos , , , se tiene las condiciones

siguientes: , y ,

Esta ecuación es análoga al caso 2a; pero los parámetros térmicos del material de soporte son reemplazados por los de la muestra. En este caso la señal acústica es independiente de y varia con .

Caso 2c: Sólidos Térmicamente Gruesos ( ; )

Aquí, , y

Demostración

, Esto se debe a que , como fue demostrado

anteriormente en los casos 2a y 2b.

, Debido a que demostrado de igual forma en el

caso anterior aunque para este caso la aproximación es aun mas adecuada.

, puesto que .

Sustituyendo los valores anteriores en la expresión completa de Q.

Tenemos que y , además se sabe: y

De donde están definidos , , , se tiene las condiciones

siguientes: , y ,

Este ultimo caso es muy importante e interesante. Ópticamente estamos tratando con un sólido muy opaco . Sin embargo, tal como ( ), este sólido no es foto acústicamente opaco. Solo la luz absorbida dentro de la primera longitud de difusión térmica contribuye a la señal acústica. Así, si el sólido es ópticamente opaco, la señal foto acústica es proporcional a ; en este ultimo caso, la señal también depende de las propiedades térmicas de la muestra y varia con .