En la teoría de probabilidades se llama espacio muestral o espacio de muestreo, a menudo denotado por S, Ω o U (por "universo"), al conjunto de todos los posibles resultados individuales de un experimento aleatorio.

Por ejemplo, si el experimento consiste en lanzar dos monedas, el espacio de muestreo es el conjunto {(cara, cara), (cara, cruz), (cruz, cara) y (cruz, cruz)}. Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral, llamándose a los sucesos que contengan un único elemento sucesos elementales. En el ejemplo, el suceso "sacar cara en el primer lanzamiento", o {(cara, cara), (cara, cruz)}, estaría formado por los sucesos elementales {(cara, cara)} y {(cara, cruz)}.

Para algunos tipos de experimento puede haber dos o más espacios de muestreo posibles. Por ejemplo, cuando se toma una carta de un mazo normal de 52 cartas, una posibilidad del espacio de muestreo podría ser el número (del as al rey), mientras que otra posibilidad sería el palo (diamantes, tréboles, corazones y picas). Una descripción completa de los resultados, sin embargo, especificaría ambos valores, número y palo, y se podría construir un espacio de muestreo que describiese cada carta individual como el producto cartesiano de los dos espacios de muestreo descritos.

Los espacios de muestreo aparecen de forma natural en una aproximación elemental a la probabilidad, pero son también importantes en espacios de probabilidad. Un espacio de probabilidad (Ω, F, P) incorpora un espacio de muestreo de resultados, Ω, pero define un conjunto de sucesos de interés, la σ-álgebra F, por la cuál se define la medida de probabilidad P.

Contenido

[ocultar] 1 Tipos de espacio muestral

o 1.1 Discretos

1.1.1 Espacio Probabilístico discreto

1.1.2 Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable

1.1.3 Espacio Probabilistico Finito

1.1.4 Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Árbol

1.1.4.1 Ejemplo

1.1.5 Espacio Probabilistico Infinito Contable

o 1.2 Continuos

1.2.1 Espacio probabilístico contínuo

1.2.2 Particiones

1.2.3 Ejemplos

[editar] Tipos de espacio muestral

Podemos diferenciar entre dos tipos de espacios muestrales: discretos y continuos.

[editar] Discretos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es finito o infinito numerable.

[editar] Espacio Probabilístico discreto

Es aquel cuyo espacio muestral es discreto.Podemos diferenciar varios tipos de espacio probabilístico discreto:

[editar] Espacio Probabilistico Discreto Equiprobable

Su espacio muestral es finito de tamaño n.

La probabilidad de cualquier suceso elemental E es

, de aquí se deduce que para todo suceso A la probabilidad es

[editar] Espacio Probabilistico Finito

Su espacio muestral es discreto finito.

Hay al menos 2 sucesos elementales que cumplen.

[editar] Procesos Estocasticos Finitos Y Diagramas de Árbol

Un proceso estocástico es una sucesión finita de experimentos aleatorios, cada uno de ellos con un nº finito de resultados posibles. Se representan con diagrama de árbol.

[editar] Ejemplo

Imaginemos que se lanzan una moneda y un dado

La probabilidad de un camino es la multiplicacion de sus probabilidades.

La probabilidad de sacar una cara y un tres será ---->

La probabilidad de un suceso cualquiera es la suma de las probabilidades de los caminos

La probabilidad de sacar impar será ---->

[editar] Espacio Probabilistico Infinito Contable

Aquel cuyo espacio muestral es discreto infinito contable. Por ejemplo

La probabilidad de que salga cara en la primera tirada ---->

La probabilidad de que salga cara en la segunda tirada ---->

La probabilidad de que salga cara en la tercera tirada ---->

[editar] Continuos

Son aquellos espacios donde el número de sucesos elementales es infinito incontable.

[editar] Espacio probabilístico contínuo

Espacio muestral infinito no numerable. -No es posible observar puntos concretos del espacio.

Tiene sentido hablar de intervalos observados. - No es posible asignar probabilidad a un punto concreto, se asignana intervalos.

Por tanto la función P está definida sobre intervalos -----> P(Ki < Exp > Ke)

-Habitualmente cuando trabajamos con magnitudes físicas.

[editar] Particiones

Es posible definir particiones sobre el espacio muestral. Formalmente hablando, una partición sobre Ω se define como un conjunto numerable:

tal que:

1.

2.

3.

[editar] Ejemplos

Por ejemplo, en el caso del experimento aleatorio "lanzar un dado", el espacio muestral del experimento sería: Ω={1,2,3,4,5,6}. Por otro lado, si cambiamos ligeramente la experiencia pensando en el número resultante de la suma de 2 dados, entonces tenemos 2 espacios muestrales:

Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)} = {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}

Ω'={2,3,4,...,12}

La elección del espacio muestral es un factor determinante para realizar el cálculo de la probabilidad de un suceso.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_muestral"

. Experimentos aleatorios

Los fenómenos o experimentos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser previsible enunciar con certeza cuál de estos va a ser observado en la realización del experimento a pesar de haberlo realizado en similares condiciones.

A la colección de resultados que se obtiene en los experimentos aleatorios se le llama espacio muestral.

Un experimento aleatorio es aquel del que no podemos predecir su resultado, es decir, que depende de la suerte o azar.

[editar] 2. Espacio muestral

Espacio muestral es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un

experimento o fenómeno aleatorio. Lo denotamos con la letra .

[editar] Ejemplo del espacio muestral

El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:

[editar] 3. Sucesos

Suceso de un fenómeno aleatorio es cada uno de los subconjuntos del espacio muestral  

. Para designar cualquier suceso, tambien llamado suceso aleatorio, de un experimento aleatorio utilizaremos letras mayúsculas.

Al conjunto de todos los sucesos que ocurren en un experimento aleatorio se le llama

espacio de sucesos y se designa por   .

[editar] Ejemplo

En el ejemplo anterior, son subconjuntos de   :

Salir múltiplo de 5:          

Salir número primo:          

Salir mayor o igual que 10:          

Analicemos los tipos mas frecuentes de sucesos.

Sucesos elementales son los que están formados por un solo resultado del experimento.

Sucesos compuestos son los que estan formados por dos o más resultados del experimento; es decir, por dos o más sucesos elementales.

Suceso seguro es el que se verifica al realizar el experimento aleatorio. Está formado por todos los resultados posibles del experimento y, por tanto, coincide con el espacio muestral.

Suceso imposible es el que nunca se verifica. Se representa por   .

Obtenido de "http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Experimentos_aleatorios._Espacio_muestral.Sucesos"

Categoría: Matemáticas

 

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1. Capacidades 2. Conceptos básicos

3. Permutación

4. Combinación

5. Problemas resueltos

6. Comprueba tus saberes Desafíos

Capacidades

1. Comprende los principios fundamentales del análisis combinatorio

2. Formula y resuelve problemas de análisis combinatorio que se presentan en su vida cotidiana

3. Aplica los métodos del conteo para resolver problemas diversos de numeración

Conceptos básicos

Análisis Combinatorio : Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos , placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos.

Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va ha servir de andamiaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades

Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado.

El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.

Ejemplo :

1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir

2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros

3. Contestar 7 preguntas de un examen de 10

4. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión

5. Sentarse en una fila de 5 asientos 4 personas

6. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales

I) Principio de multiplicación :

Si un evento o suceso "A" puede ocurrir , en forma independiente, de "m" maneras diferentes y otro suceso de "n" maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es "m . n"

Ejemplo 1:

En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos : CRISTAL ( C ), BOYS ( B) ,ESTUDIANTES ( E ), UNIVERSITARIO (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?

Solución :

METODO 1: utilizando el diagrama del árbol

1er lugar 2do lugar 1o 2o

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

Existen 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar

METODO 2: Utilizando el principio de multiplicación

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

1o 2o

 4 x 3

# maneras = 12

Ejemplo 2:

¿Cuántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto)

Solución :

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

letras Dígitos

 26 x 25 x 10 x 9 x 8

# placas = 468 000

 II) Principio de adición :

Supongamos que un evento A se puede realizar de "m" maneras y otro evento B se puede realizar de "n" maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras.

Ejemplo 1:

Un repuesto de automóvil se venden en 6 tiendas en la Victoria o en 8 tiendas de Breña.¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

Solución :

Por el principio de adición:

Victoria ó Breña

6 formas + 8 formas = 14 formas

Ejemplo 2:

Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados?

Solución :

Aplicando el principio de adición se tiene:

Bote , lancha , deslizador

3 ó 2 ó 1

# maneras = 3 + 2 + 1 = 6

 MÉTODOS DE CONTEO

En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si alguno de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición.

Entre los métodos de conteo más conocidos tenemos : Permutación, Variación y Combinación

PERMUTACIÓN

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación; cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama variación . Es importante resaltar que el orden es una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos.

Ejemplo :

Determinar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos

Solución :

Método 1:

Sea el conjunto : {a, b, c} , entonces los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb

Número de arreglos = 6

Método 2: (principio de multiplicación)

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

# arreglos = 3 x 2 = 6

 Teorema 1: (Permutación lineal con elementos diferentes)

"El número de permutaciones de "n" objetos diferentes, tomados en grupos de k

elementos (siendo k £ n) y denotado por , estará dado por:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

; donde: n, k e N y 0 £ k £ n

Estas permutaciones son llamados lineales , porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia

Ejemplo:

En una carrera de 400metros participan 12 atletas. ¿De cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro , plata y bronce?

Solución :

Método 1 : Empleando el principio de multiplicación

Oro Plata Bronce

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

  10 x 9 x 8

# maneras = 720

 Método 2: (usando la fórmula de permutación lineal)

Se busca las diferentes ternas (k = 3) que se pueden formar con los 10 atletas (n = 10)

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

Teorema 2: (Permutación lineal con elementos repetidos)

El número de permutaciones (P) distintas de "n" elementos tomados de "n" en "n" en donde hay un primer grupo de n1 objetos iguales entre si; n2 objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nk objetos iguales entre si de un último tipo, entonces:

Ejemplo :

¿De cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras?

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

Solución:

Como entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n1 = 3 (tres círculos), n2 = 2 (dos cuadrados) , n3 = 1 (un triángulo), n4 = 1( un rombo), luego:

=

 PERMUTACIÓN CIRCULAR

Son agrupaciones donde no hay primero ni último elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. Para hallar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con "n" objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, los n – 1 restantes podrán cambiar de lugar de (n – 1)! Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto.

El número de permutaciones circulares será:

Ejemplo1 :

¿De cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 hijos?

Solución :

Se trata de una permutación circular :

Ejemplo 2:

¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 7 en la siguiente figura?

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

Solución :

Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro (7 posibilidades) y segundo las otras 6 cifras, las

cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de (6 –1 )! Formas , por lo tanto:

# de maneras = 7 x 5! = 7 x 120 = 840

COMBINACIÓN

Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación

El número de combinaciones de "n" elementos diferentes tomados de "k" en "k" , con k£ n ,está dada por:

Ejemplo 1:

Si disponemos de 5 puntos no colineales ,¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar?

Solución :

Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k = 3) de un total de 8 puntos (n = 5). Además no importa el orden, ya que el triangulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

Ejemplo 2:

Una señora tiene 3 frutas : manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas ?

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" 

 Fresa (F) , Piña (P) , Manzana (M)

Solución:

Método 1 : (en forma gráfica)

Cuando se escoge una fruta de las tres, los sabores son 3: F, P ,M Cuando se escoge 2 de las tres frutas, los sabores son 3: FP, FM, PM

Cuando se escoge las 3 frutas los sabores son 1: FPM

Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7

Método 2 : (Empleando combinaciones)

Se puede escoger una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden; por lo tanto usamos el principio de adición aplicado a la combinación:

# maneras diferentes =

# maneras diferentes =

Total de sabores diferentes : 3 + 3 + 1 = 7

Ejemplo 3:

Se desea formar un comité de 7 seleccionando 4 físicos y 3 matemáticos de un grupo de 8 físicos y 6 matemáticos.¿De cuantas maneras podrá seleccionarse?

Solución:

1 Seleccionamos 4 físicos entre 8 en

formas

2o Seleccionamos 3 matemáticos entre 6 en

Aplico el principio de multiplicación

x = 70 x 20 = 1400

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

PROBLEMAS RESUELTOS

1. ¿Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3 , 5 y 7?

A) 16 B) 12 C) 10 D) 14 e)8

Solución :

MÉTODO 1 : ( mediante arreglo numérico)

Con los dígitos dados, formamos los siguientes números:

Respuesta : se pueden formar 16 numerales

MÉTODO 2 : ( mediante la aplicación de los principios de análisis combinatorio)

La forma general del numeral pedido es :

Los valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral

son:

cantidad de números = 4 x 4 = 16

1. Determinar cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema de base seis.

A) 160 B) 12 0 C) 100 D) 140 e) 180

Solución :

La forma general del numeral es

, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el número de las posibilidades

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

5 x 6 x 6 = 180 numerales

Respuesta : se pueden formar 180 numerales

1. ¿Cuántos numerales de la forma:

existen?

A) 260 B) 2 00 C) 300 D) 240 e) 180

Solución:

En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y ésta se repite en el numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales.

En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos:

cantidad de numerales = 5 x 5 x 8 = 200

Respuesta : se pueden formar 200 numerales

1. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes existen en el sistema de base decimal?

A) 900 B) 780 C) 800 D) 648 e) 724

Solución:

La forma general del numeral es

, hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base diez y luego multiplicamos el número de las posibilidades, teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes

a b c

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

# numerales = 9 x 9 x 8 = 648

Respuesta : se pueden formar 648 numerales

1. ¿Cuántos numerales de la forma:

existen?

A) 9 B) 18 C) 26 D) 48 e) 24

Solución:

Los valores de "a" deben se factores de 14 y además menores que 9; luego los valores posibles de "a" solo pueden ser : 1,2,7 ; es decir hay 3 posibilidades.

Los valores de "b" son múltiplos de 3, menores que 9; luego los valores de "b" solo pueden ser: 0,3 y 6; es decir hay 3 posibilidades

 Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar"

cantidad de # = 3 x 3 = 9 números

Respuesta : se pueden formar 9 números

1. ¿Cuántos números de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura?

A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 e) 248

Solución:

a.b. Podemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de

Venn:

# de cifras con por lo menos un 6 = # de tres cifras - # de tres cifras que no usan el 6

............ (1)

c. Del gráfico anterior , se deduce que:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a b c

cantidad de #s = 9 x 10 x 10 = 900

d. Calculamos el número de tres cifras que existen:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

a b c

cantidad de #s = 8 x 9 x 9 = 648

e. Cálculo del número de 3 cifras que no usan cifra "6"f. Remplazando los valores obtenidos en los pasos "c" y "d" en la ecuación (1) de l

paso (b), se tiene:

X = 900 – 648 = 252

Respuesta : se pueden formar 252 números

7) De un grupo de 5 estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.

A) 16 B) 10 C) 12 D) 15 e) 18

Solución :

METODO 1: Por conteo directo

Sean A, B, C, D y E los alumnos, los diferentes grupos de 3 serían : ABC, ABD, ABE, ACD, ACE , ADE, BCD, BCE, BDE, CDE

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes

METODO 2: Por fórmula

Como el grupo de alumnos ABC, CBA y BAC son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación:

Respuesta : se pueden formar 10 grupos diferentes

8. Con 7 sumandos diferentes ¿Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar?

A) 56 B) 35 C) 42 D) 64 e) 70

Solución :

En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos , por lo tanto se trata de una combinación; además para cada suma se escogen grupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen.

Respuesta : se pueden formar 35 sumas diferentes

8. ¿De cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 7 asientos 3 hombres y 4 mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares?

A) 160 B) 135 C) 144 D) 14 e) 170

Solución :

Representemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación

Posibilidades

4 3 3 2 2 1 1

# de formas = 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x1 =144

Respuesta : se pueden ubicar de144 formar diferentes

8. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes y mayores que 5 000 , se pueden formar con los siguientes dígitos : 1 , 3, 4 , 6 , 9?

A) 52 B) 48 C) 27 D) 96 e) 49

Solución :

Sea :

el número, entonces se tiene:

a b c d

# de números = 2 x 4 x 3 x 2 = 48

Respuesta : se pueden formar 48 números de cuatro cifras diferentes

8.9. Un grupo de 16 personas desean escoger entre sus miembros un comité de 3

personas que los represente. ¿De cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comité?

A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución :

Para formar un comité , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comités serán combinaciones de 16 personas tomadas en grupos de 3, así

Respuesta : se puede seleccionar el comité de 560 formas diferentes

8. A la final de un torneo de ajedrez se clasifican 10 jugadores,¿cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos?

A) 1120 B) 48 C) 300 D) 560 e) 440

Solución :

Si "A" juega con "B" es lo mismo decir que "B" juega con "A", la partida es la misma, no interesa el orden de sus elementos, pero es una agrupación de 2 en 2, de un total de 10 elementos. Por lo tanto se trata de una combinación

Respuesta : se jugarán 45 partidas

8. ¿De cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de A a D sin retroceder?

A) 24 B) 48 C) 36 D) 18 e) 30

Solución :

Identificamos con un nombre a cada camino diferente:

Analizamos por tramos:

I. ABD : para llegar a B, se puede utilizar cualquiera de los 3 caminos(1, 2, 3) señalados. De B a D se puede ir por el camino z, luego habría 3 formas diferentes de llegar: 1z,2z,3z; por lo tanto en el tramo ABD hay 3 formas

II. ACD: para llegar a C se puede utilizar un camino para llegar a B (1,2,3) y luego otro camino para llegar a C(4,5,6). Que aplicando el principio de multiplicación se tendría:

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

A B C

# maneras de llegar de A a C = 3 x 3 = 9

pasando por B

 

Pero también hay dos caminos directos para llegar a C (x,y); por lo tanto el número total de caminos para llegar de A a C es : 9 + 2 = 11 formas; y de C a D hay 3 formas (7,8,9)

Finalmente se tiene:

De A a C y de C a D A a D

11formas 3formas 11 x 3 formas

# total de formas diferentes = 33 formas

En conclusión los caminos de (I) y (II) , pueden ser ABD ó ACD = 3 + 33 = 36 formas

Respuesta : 36 maneras diferentes

8. En un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.¿De cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas?

A) 64 B) 55 C) 50 D) 110 e) 120

Solución :

El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 4 de las últimas 5 preguntas; ó cuatro de las primeras cinco preguntas y 3 de las últimas ; ó cinco de las primeras cinco y dos de las últimas. Como no interesa el orden se trata de una combinación, por lo tanto tenemos:

Respuesta : 110 maneras diferentes

8.

A) 2520 B) 1550 C) 1850 D) 1100 e) 1200

9. Solución :

10. Método 1:(usando el principio de multiplicación)

11. Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

12.  #maneras = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2 520

13. Método 2:(usando permutación)

14.

15. El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. Solo quiere utilizar las siguientes letras: V, A, M , P ,I, R, O.¿Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse?

16. Un hombre tiene 9 bonos financieros de 9 compañías distintas, y piensa regalarlos a sus 3 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 4 ; a su segundo hijo, 3 ; y al menor 2. ¿De cuantas formas puede repartir los bonos?

A) 1640 B) 1360 C) 680 D) 1100 e) 1120

Solución :

Se trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Hay 4! Maneras de arreglar los bonos para su hijo mayor; 3! Formas para arreglar los bonos para el segundo hijo y 2! Formas para el hijo menor. Luego se tiene:

Respuesta : Los bonos se pueden repartir de 1360 formas

8. La selección peruana de voleibol está conformado por 12 chicas. ¿De cuántas formas se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo?

A) B) C) D) e)

Solución :

La delegación de 6 chicas se puede presentar en los siguientes casos:

1er caso : Si no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las seis chicas deben escogerse de entre10

# de equipos =

2do caso : Si figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las otras cinco chicas deben escogerse de entre las10 restantes

# de equipos =

# total de equipos =

Respuesta : El número total de equipos que se pueden formar es

8. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 8 personas en una mesa redonda de 5 asientos, si 3 están en espera?

A) 1640 B) 1344 C) 680 D) 1124 e) 1120

Solución :

El número de grupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es:

El número de formas en que cada grupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es:

(5 – 1)! =4! = 24

# total de formas = 56 x 24 = 1344

Respuesta : 1344 maneras diferentes

8. La tripulación de un bote es de 10 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ¿De cuántas formas se pueden distribuirse para remar?, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote?

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

PROA

Babor Estribor

POPA

A) 3x (5!)2 B) 6x (4!)2 C) 3! x (5!)2 D) 12 x (3!)2 e) 6x (5!) x (4!)

Solución :

Sean {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }los tripulantes del bote de los cuales: a, b, c y d pueden remar sólo a babor y h, i, y j pueden remar sólo a estribor. Además cinco hombres están ubicados a cada lado del bote.

a, b, c y d pueden ubicarse a babor de

formas distintas ocupando 4 lugares (observar que en este problema el orden es importante). Los lugares que sobran a babor pueden ser ocupados por

d, e ó f, es decir 3 formas distintas. Luego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de:

. 3 formas o maneras distintas.

A estribor h, i, y j pueden acomodarse de formas diferentes ocupando 3 lugares; y sobrando 2 lugares. Uno de los lugares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes, pues uno de los tripulantes e, f ó g ya está ubicado a babor, quedando (3 – 1) de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de (3 – 2 ) sola forma, por el que queda de los dos anteriores. Por tanto los cinco lugares a estribor pueden ser ocupados de :

maneras diferentes. Como se trata de un suceso simultaneo , aplicamos el principio de multiplicación

para los dos resultados anteriores:

# de formas diferentes = . 3 x =

Respuesta : formas diferentes

8. Señale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá obtenerse con los cinco factores primos : a, b, c, d, e ( a < b < c < d< e)

A) 40 B) 35 C) 30 D) 24 e) 56

Solución:

Método 1 : (Por conteo directo)

Se deben formar números de la forma P = x . y . z ; donde x, y, z son números primos

CASO 1: Losa tres factores son iguales ; es decir : x = y = z , los productos serán:

P1 = a a a ; P2 = b b b ; P3 = c c c ; P4 = d d d ; P5 = e e e

Son 5 casos posibles

CASO 2: Dos factores son iguales y uno es diferente ; es decir : x = y ; con z diferente , los productos serán:

P6 = a a b ; P7 = a a c ; P8 = a a d ; P9 = a a e ; P10 = b b a

P11 = b b c ; P12 = b b d ; P13 = b b e ; P14 = c c a ; P15 = c c b

P16 = c c d ; P17 = c c e ; P18 = d d a ; P19 = d d b ; P20 = d d c

P21 = d d e ; P22 = e e a ; P23 = e e b ; P24 = e e c ; P25 = e e d

Son 20 casos posibles

CASO : Los 3 factores son diferentes ; es decir : x ¹ y ¹ z ;, los productos serán:

P26 = a b c ; P27 = a b d ; P28 = a b e ; P29 = a c d ; P30 = a c e

P31 = a d e ; P32 = b c d ; P33 = b c e ; P34 = b d e ; P35 = c d e

Son 10 casos posibles ( )

Finalmente se tendrá : 5 + 20 + 10 = 35 formas posibles

Método 2 : (Aplicando combinación con repetición)

En este caso aplicamos la fórmula:

Con n = 5 y k = 3 , es decir:

Respuesta : 35 formas diferentes

COMPRUEBA TUS SABERES

1.

A) 20 B) 56 C) 28

D) 14 E) 16

2. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio?

A) 200 B) 256 C) 240

D) 140 E) 480

3. Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10 caminos diferentes y las ciudades C y D por 8 caminos diferentes.¿De cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C?

A) 203x103 B)262x102 C) 263x103

D)26x103 E) 26x25x24

4. La municipalidad de Lima a ordenado que los moto taxis sean amarillos y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar?(considerar 26 letras del alfabeto)

A) 20 B) 56 C) 28

D) 14 E) 36

5. ¿Cuántos números de 3 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos?

6. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal

A) 60 B) 96 C) 128

D) 140 E) 170

7. manera que el producto sea positivo

A) 16 B) 56 C) 28

D) 64 E) 36

8. El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger 2 madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas; si en total hay 8 candidatas. ¿De cuántas maneras se pueden escoger las 2 madrinas?

A) 630 B) 210 C) 1080

D) 108 E) 1260

9. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4?

A) 20 B) 50 C) 100

D) 40 E) 80

10. ¿Cuántos numerales, en el sistema quinario, de la forma ?

A) 2520 B) 5040 C) 1440

D) 1125 E) 800

11. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir los 10 miembros de un club en tres comités de 5, 3 y 2 miembros respectivamente?

12. En una despedida de soltera, a la que asistieron sólo chicas todas bailaron entre si, al menos una vez. Si en total se lograron conformar 28 parejas diferentes, el número de chicas que participaron fue....?

A) 16 B) 12 C) 8

D) 4 E) 36

DESAFIOS

PROBLEMAS DE NIVEL I 

1.

A) 160 B) 210 C) 128

D) 144 E) 105

2. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?

A) 60 B) 96 C) 128

D) 140 E) 170

3. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras, aunque carezcan de significado, se puede formar usando las letras de la palabra PELON (sin repetir las letras)

4. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse.¿De

A) 160 B) 72 C) 128

D) 144 E) 64

5. cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas?

A) 30 B) 36 C) 28

D) 40 E) 31

6. Tienes 5 libros,¿de cuántas maneras diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros?

a. Los dígitos no pueden repetirse

b. Si se permite la repetición

A) 20 y 25 B) 18 y 36 C) 22 y28

D) 20 y 40 E) 16 y 32

7. ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1, 2 , 3, 4 y 5, si:

A) 56 B)64 C) 36

D) 44 E) 128

8. Luis tiene 10 amigos de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos?

A) 560 B) 390 C) 120

D) 140 E) 280

9. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. De cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?

A) 60 B) 56 C) 128

D) 40 E) 70

10. Una persona tiene o billetes de valores diferentes.¿Cuántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 3 en 3?

?

A) 108 B) 144 C) 128

D) 192 E) 72

11. ¿Cuántos numerales del sistema octavario (base 8 ) existen de la forma:

A) 108 B) 491 C) 528

D) 392 E) 372

12.  PROBLEMAS DE NIVEL II

13. ¿Cuántos números múltiplos de 5, menores que 4000 y de cifras diferentes se pueden formar con los dígitos del 0 al 9?

14. Hay 5 candidatos para presidente de un

A) 108 B) 64 C) 128

D) 72 E) 90

15. club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario.¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos?

A) 10 B) 4 C) 8

D) 12 E) 2

16. ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras : a, b, c, d y e tomadas de cuatro en cuatro, entrando "a" en todas ellas?

A) B) C)

D) E)

17. Una combi posee 21 asientos, 4 filas de 4 asientos cada uno con un pasillo al medio y al final 5 asientos juntos. Se desea ubicar 13 pasajeros de los cuales 2 siempre van al lado de la ventana y 4 juntos al pasillo central.¿De cuántas formas se le puede ubicar, si hay 10 asientos con ventana disponibles?

18. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos,

A) 60 B) 435 C) 870

D) 120 E) 205

19. suponiendo que cada uno es cortes con cada uno de los demás.¿Cuántos apretones de manos hubieron?

A) 1732 B) 1525 C) 1840

D) 960 E) 1205

20. En el sistema de base "5". ¿Cuántos números de cinco cifras presentan algún 4?

A) 160 B) 145 C) 128

D) 125 E) 105

21. En el curso de matemáticas hay 4 profesores y 5 profesoras. Se quiere formar comisiones de 4 personas, sabiendo que los profesores Martínez y Caballero no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión esté formada por lo menos por una mujer. ¿Cuál es el máximo número de comisiones que se puede formar?

A) 108 B) 140 C) 80

D) 124 E) 120

22. En una empresa trabajan 5 mecánicos. 4 Físicos y 2 ingenieros Geólogos . Se desea formar una comisión de 5 personas en la cual haya siempre un Físico. ¿De cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión?

A) 138 B) 340 C) 280

D) 454 E) 180

23. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5 000 y no permitiéndose repeticiones de las cifras?

A) 1956 B) 2496 C) 1080

D) 1244 E) 1200

24. Se tienen 6 bolitas marcadas con los dígitos :1, 2, 3, 4, 5 y 6 .¿Cuántos números se pueden obtener?

25. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas?

A) 490 B) 560 C) 546

D) 480 E) 520

  http://www.monografias.com/trabajos13/analisco/analisco.shtml

úmeros combinatorios

Las agrupaciones combinatorias que sólo consideran la esencia de los grupos formados y no su orden, llamadas combinaciones, han constituido una rama específica dentro de la especialidad del análisis combinatorio, con múltiples usos en diversos campos. La expresión numérica de tales combinaciones recibe el nombre de número combinatorio o coeficiente binómico.

Coeficientes binómicos

Se define número combinatorio o coeficiente binómico como el valor numérico de las combinaciones ordinarias (sin repetición) de un conjunto de n elementos tomados en grupos de r, siendo n y r dos números enteros y positivos tales que n r. Matemáticamente, un número combinatorio se expresa como:

Los números combinatorios se leen «n sobre r».

Propiedades de los números combinatorios

Los números combinatorios presentan algunas propiedades muy interesantes que justifican el amplio uso que se hace de ellos en algunas ramas científicas:

Primera propiedad de los números combinatorios:

Segunda propiedad de los números combinatorios.

Otras propiedades generales de los números combinatorios son las siguientes:

Cualquier número sobre 0 es igual a 1. Todo número sobre sí mismo es igual a 1.

Un número sobre 1 es siempre igual al número.

http://www.hiru.com/matematicas/numeros-combinatorios

El número    se llama también número combinatorio. Se representa por y se lee "m sobre n".

Ejemplo

Propiedades de los números combinatorios

1.

2.

Los números de este tipo se llaman complementarios.

3.

Ejemplo

Hallar el número de combinaciones de 75 elementos de orden 72.

http://www.vitutor.com/pro/1/a_9.html

Definición

Dado un espacio de probabilidad (Ω,F,P) y dos eventos (o sucesos) con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

[editar] Interpretación

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe,

y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en

los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa

y el área de B representa a P(B), formalmente se tiene que:

[editar] Propiedades

1.

2.

Pero NO es cierto que

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes.

[editar] Independencia de sucesos

Artículo principal: Independencia (probabilidad)

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó P(A,B).

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

[editar] Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente excluyentes.

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si . Entonces,

.

Además, si P(B) > 0 entonces es igual a 0.

[editar] La falacia de la probabilidad condicional

La falacia de la probabilidad condicional se basa en asumir que P(A|B) es casi igual a P(B|A). El matemático John Allen Paulos analiza en su libro El hombre anumérico este error muy común cometido por doctores, abogados y otras personas que desconocen la probabilidad.

La verdadera relación entre P(A|B) y P(B|A) es la siguiente:

(Teorema de Bayes)

[editar] Problemas de ejemplo

---La paradoja del falso positivo---

La magnitud de este problema es la mejor entendida en términos de probabilidades condicionales.

Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:

P(enfermo) = 1% = 0.01 y P(sano) = 99% = 0.99

Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:

P(positivo | sano) = 1% y P(negativo | sano) = 99%

Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:

P(negativo | enfermo) = 1% y P(positivo | enfermo) = 99%

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:

La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:

En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo de positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001

La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo | enfermo) = 0,99

La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo | sano) = 0,05

Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionada

INTRODUCCION A LA TEORIA DE PROBABILIDADES

El concepto de probabilidad nace con el deseo del hombre de conocer con certeza los eventos futuros. Es por ello que el estudio de probabilidades surge como una herramienta utilizada por los nobles para ganar en los juegos y pasatiempos de la época. El desarrollo de estas herramientas fue asignado a los matemáticos de la corte. Con el tiempo estas técnicas matemáticas se perfeccionaron y encontraron otros usos muy diferentes para la que fueron creadas. Actualmente se continuo con el estudio de nuevas metodológias que permitan maximizar el uso de la computación en el estudio de las probabilidades disminuyendo, de este modo, los márgenes de error en los cálculos

A través de la historia se han desarrollado tres enfoques conceptuales diferentes para definir la probabilidad y determinar los valores de probabilidad:

El enfoque clásico: Dice que si hay x posibles resultados favorables a la ocurrencia de un evento A y z posibles resultados desfavorables a la ocurrencia de A, y todos los resultados son igualmente posibles y mutuamente excluyente (no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo), entonces la probabilidad de que ocurra A es:

P(A) = __ x __

(x+z)

El enfoque clásico de la probabilidad se basa en la suposición de que cada resultado sea igualmente posible. Este enfoque es llamado enfoque a priori porque permite, (en caso de que pueda aplicarse) calcular el valor de probabilidad antes de observar cualquier evento de muestra.

Ejemplo: Si tenemos en una caja 15 piedras verdes y 9 piedras rojas. La probabilidad de sacar una piedra roja en un intento es:

P(A) = ____9____= 0.375 o 37.5%

9+15

El enfoque de frecuencia relativa: También llamado Enfoque Empírico, determina la probabilidad sobre la base de la proporción de veces que ocurre un evento favorable en un numero de observaciones. En este enfoque no ese utiliza la suposición previa de aleatoriedad. Porque la determinación de los valores de probabilidad se basa en la observación y recopilación de datos.

Ejemplo: Se ha observado que 9 de cada 50 vehículos que pasan por una esquina no tienen cinturón de seguridad. Si un vigilante de transito se para en esa misma esquina un ida cualquiera ¿Cuál será la probabilidad de que detenga un vehículo sin cinturón de seguridad?

P(A) = ___9___ = 0.18 o 18%

50

Tanto el enfoque clásico como el enfoque empírico conducen a valores objetivos de probabilidad, en el sentido de que los valores de probabilidad indican al largo plazo la tasa relativa de ocurrencia del evento.

El enfoque subjetivo: Dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento es el grado de creencia por parte de un individuo de que un evento ocurra, basado en toda la evidencia a su disposición. Bajo esta premisa se puede decir que este enfoque es adecuado cuando solo hay una oportunidad de ocurrencia del evento. Es decir, que el evento ocurrirá o no ocurrirá esa sola vez. El valor de probabilidad bajo este enfoque es un juicio personal.

El valor de la probabilidad: El valor más pequeño que puede tener la probabilidad de ocurrencia de un evento es igual a 0, el cual indica que el evento es imposible, y el valor mayor es 1, que indica que el evento ciertamente ocurrirá. Entonces si decimos que P(A) es la probabilidad de ocurrencia de un evento A y P(A´ ) la probabilidad de no-ocurrencia de A, tenemos que:

0 < P(A) < 1

P(A) + P(A´) = 1

Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes: Dos o más eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejemplo: Al lanzar una moneda solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere decir que estos eventos son excluyentes.

Dos o más eventos son no excluyentes, o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultanea.

Ejemplo: Si consideramos en un juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.

Reglas de la Adición

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a:

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A

P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B

P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

Eventos Independientes: Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo: lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

Eventos dependientes: Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió. Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Reglas de Multiplicación

Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

P(A y B) = P(A B) = P(B)P(A|B) si A y B son dependientes

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA INDUSTRIAL

CURSO INTENSIVO FEB. 99. ASIGNATURA: CALCULO DE PROBABILIDADES

PROFESOR: NESTOR GUERRA

INGENIERO INDUSTRIAL UNEXPO LUIS CABALLERO MEJIAS 1989

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Variable aleatoria:

Hasta ahora hemos visto el desarrollo de una idea de un intento que resulta en la aparición aleatoria de un estado del conjunto E1, E2, E3, E4,...... En, y se introdujo la noción de espacio de muestra o espacio de muestra como un modelo conveniente de los resultados. Aquí introducimos el concepto de variable aleatoria, la cual es simplemente un conjunto de números X1, X2, X3,..... Xn, uno para cada estado de manera que el resultado de un intento no es solamente el estado Ei, sino también el numero X1 de interés.

Ejemplo: si el intento es el lanzamiento de dos dados, una variable aleatoria puede definirse como la suma de los puntos obtenidos en los dados. Si denotamos esta variable aleatoria por z, entonces z tendrá el valor 2 para el estado {1,1}, 3 para el estado {1,2} y así sucesivamente. Observe que a pesar de haber 36 puntos en el espacio de muestra, solamente hay 11 valores posibles para z, estos son con su respectiva función de frecuencia (relativa respecto al espacio de muestra):

Variable aleatoria z Función de frecuencia P(z)

1/36

2/36

3/36

4/36

5/36

6/36

5/36

4/36

3/36

2/36

1/36

Total 36/36

Se puede observar que la suma de las probabilidades individuales en cualquier función de frecuencia es 1, ello resulta del hecho de que uno y solo uno de los resultados posible se materializa como resultado de un intento.

Pueden obtenerse muchas variables aleatorias en el mismo espacio de muestra. Si el intento es el lanzamiento de dos dados, podemos definir también la variable aleatoria z como el numero menor de los dos que aparecen en el lanzamiento. En este caso z tendría los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6. El evento "z = 6 " se presenta solamente en el punto de muestra (6,6) y tiene probabilidad 1/36. El evento "z = 4" se observa en los puntos (4,4), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4) y tiene una probabilidad de 5/36 y así sucesivamente. La función de frecuencia completa para esta variable aleatoria es:

Variable aleatoria z Función de frecuencia P(z)

11/36

9/36

7/36

5/36

3/36

Total 36/36

Generalmente una distribución de frecuencia de una variable aleatoria se caracteriza por dos estadísticos derivados: su media y su varianza. La descripción mediante estos números es una función de frecuencia de probabilidad, aunque incompleta, es valiosa en muchas de las aplicaciones.

Sea xi {1,2,3,......,n} los diversos valores posibles que puede tomar una variable aleatoria, y sea P(x) la probabilidad de que la variable toma el valor xi, entonces su media será:

X = ðxiP(xi)

σ2 = ð xi2 P(xi) - X2

La media de x es un valor que puede esperarse que tome x en un intento, y la varianza es una medida de la dispersión esperada de los valores que alcanza x, alrededor del valor esperado

Al igual que en la aplicación de las formulas para la probabilidad de eventos compuestos, el espacio de muestra fundamental no necesita estar en forma explícita para que se utilicen los conceptos de variable aleatoria y de distribución de probabilidad. La función de frecuencia de la variable aleatoria es entonces un conjunto de números no negativos.

P(xi), P(xii), P(xiii), ..... P(xn) uno para cada xi, tal que ðP(xi) = 1

Bajo esta premisa, como sucede en cualquier tratamiento de espacios de muestras, el numero de valores posible de la variable aleatoria x no tiene que ser finito. Es por ello que existen funciones de distribución de probabilidad para variables aleatorias discretas y para variables aleatorias continuas. En esta unidad estudiaremos las distribuciones de probabilidad para variables discretas o distribuciones de probabilidad discretas.

Distribuciones de Probabilidad Discretas: Son funciones de probabilidad en las cuales la variable aleatoria toma valores discretos, entre las más importantes tenemos: La Distribución de Bernoulli o Distribución Binomial, la Distribución Hipergeométrica, Distribución de Poisson

Distribución Binomial: La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, aplicable cada vez que se suponga que un proceso de muestreo conforma un proceso de Benoulli. Es decir que ocurra un proceso de muestreo en el cual:

1. - Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.

2. - La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.

3. - La probabilidad de éxito permanece constantede ensayo a ensayo, es decir el proceso es

estacionario.

Para aplicar esta distribución al calculo de la probabilidad de obtener un numero dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el numero designado de éxitos (m), el numero de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:

P (x = m) = nCm Pm(1-P)n-m

Siendo nCm el numero total de combinaciones posibles de m elementos en un con junto de n elementos. En otras palabras P(x = m) = m!/{m!(n-m)!}pm(1-p)n-m

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura Calculo de Probabilidades es de 0,15. Si en un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?

P(x = 10) = 15C10(0,15)10(0,85)5 = 10!/{10!(15-10)!}(0,15)10(0,85)5 = 7,68 * 10-6

Generalmente existe un interés en la probabilidad acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta que:

P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m- 1)

P(x > m) = P(x =m+ 1) + P(x =m+ 2) + P(x = m+3) +....+ P(x =n)

P(x < m) = P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) +....+ P(x =m)

P(x > m) = P(x = m) + P(x =m+1) + P(x =m+2) +....+ P(x =n)

Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben:

a.- al menos 5

b.- mas de 12

a.- la probabilidad de que aprueben al menos 5 es P(x < 5) es decir que

P(x < 5) = P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)+P(x = 5)

P(x < 5) = 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156 + 0,045 = 0,8958

b.- la probabilidad de que aprueben mas de 12 es P(x > 12) es decir que

P(x > 12) = P(x = 13)+P(x = 14)+P(x = 15)

P(x > 12) = 1,47 *10-9 +3,722 *10-11 +4,38 *10-13 = 1,507 *10-9

La esperanza matemática en una distribución binomial puede expresarse como

E(x) = ðnp

Y la varianza del numero esperado de éxitos se puede calcular directamente:

Var(x) = np(1-p)

Distribución Binomial expresada en Proporciones: En lugar de expresar la variable aleatoria como el numero de éxitos X, podemos designarla en términos de la proporción de éxitos, p, que es la relación entre el numero de éxitos y el numero de ensayos:

P = X

n

En tales casos la formula se modifica solo respeto de la definición de la proporción:

P( p = P/n) = nCxpx(1-p)n-x

Ejemplo: La probabilidad de que Juan pueda conquistar una chica es de 0,20. Si se seleccionan 5 chicas al azar, que se encontraran con Juan, ¿Cuál es la probabilidad la proporción de chicas interesadas en Juan sea exactamente 0,2?

P(p = 0,2 = 1/5) = 5C1(0,20)1(0,80)4 = 0,4096

Cuando la variable binomial se expresa como una proporción, la distribución es aun discreta y no continua. Solo pueden ocurrir las proporciones para las que el numero de éxitos X es un numero entero. El valor esperado para una distribución de probabilidad binomial expresada por proporciones es igual a la proporción de la población:

E(p) = p

La varianza de una proporción de éxitos para una distribución de probabilidad binomial es:

Var(p) = p(1-p)

N

Distribución Hipergeometrica: Cuando el muestreo se hace sin reemplazo de cada articulo muestreado tomado de una población finita de artículos, no se aplica el proceso de Bernoulli porque hay un cambio sistemático en la probabilidad de éxitos a medida que se retiran los ítems de la población. Es por ello que se utiliza la distribución de probabilidad Hipergeometrica por ser la mas apropiada.

Si X es el numero designado de éxitos, N es el numero total de ítems en la población, XT es el numero total de éxitos incluidos en la población y n es el numero de ítems de la muestra, la formula para determinar la probabilidad hipergeometrica es:

N- XT XT

.n - X X

P(X|N, XT,n) = -------------------

N

.n

Ejemplo: De seis estudiantes de Cálculos de Probabilidades, tres han cursado la materia tres veces o más. Si se escoge cuatro estudiantes del grupo de seis ¿cuál es la probabilidad de que dos hayan cursado la materia en mas de una oportunidad?

XT = 3, X = 2, N = 6, n = 4

6 - 3 3

4 - 2 2

P(X= 2|6,3,4) = ------------------- = 0,60

6

2

Observe que en esta distribución el valor de probabilidad se calcula determinando el numero de combinaciones diferentes que incluirían dos alumnos con mayor índice de repitencia y dos nuevos con una relación total de combinaciones de cuatro alumnos de los seis. Cuando la población es grande y la muestra es relativamente pequeña, el hecho de que el muestreo se efectúe sin reemplazo tiene poco efecto sobre la probabilidad de éxito de cada ensayo.

Distribución de Poisson: Se utiliza para determinar la probabilidad de un numero designado de éxitos cuando los eventos ocurren en un espectro continuo de tiempo y espacio. Tal proceso se denomina Proceso de Poisson, es semejante al proceso de Bernoulli excepto que los eventos ocurren en un espectro continuo en vez de ocurrir en ensayos u observaciones fijas. Por ejemplo la entrada de materiales a una celda de producción, la llegada de clientes a un servidor cualquiera, etc.

Solo se requiere un valor parea determinar la probabilidad de un numero designado de exitos en un proceso de Poisson: el numero promedio de éxitos para la dimensión especifica de tiempo o espacio de interés. Este numero promedio se representa generalmente por ð o ð. La expresión matemática de la distribución de Poisson es.

P(x|ð ) = ðxe-ð /x!

Ejemplo: Un puesto de trabajo en una línea recibe un promedio de 4 productos por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos 2 productos?

ð = 5, x< 2

P(x < 2|ð = 5) = 51 e-5/1! + 52 e-5/2! = 0,1179

Puesto que el proceso de Poisson es estacionario, se concluye que la media del proceso es siempre proporcional a la longitud del espectro continuo de tiempo o espacio.

Aproximación de Poisson de Probabilidades Binomiales: Cuando el numero de observaciones o ensayos n en un proceso de Bernoulli es muy grande, los cálculos son bastante tediosos. Mas aun, en general no se encuentran tablas de probabilidad con valores muy pequeños de p. En estos casos la distribución de Poisson es conveniente como una aproximación de probabilidades binomiales cuando n es grande y p o (1-p) es pequeño. Empíricamente esta aproximación se puede hacer cuando n > 30, y np < 5. La media de la distribución de Poisson, utilizada para aproximar probabilidades binomiales es.

ð = np

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA INDUSTRIAL

CURSO INTENSIVO FEB. 99. ASIGNATURA: CALCULO DE PROBABILIDADES

PROFESOR: NESTOR GUERRA

INGENIERO INDUSTRIAL UNEXPO LUIS CABALLERO MEJIAS 1989

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Variables aleatorias continuas: A diferencia de una variable aleatoria discreta, una variable aleatoria continua es aquella que puede tener cualquier valor fraccional dentro de un rango definido de valores. Es decir, este tipo de variable se define en espacios de muestra con un numero de puntos infinitos no denumerable. Debida a las dificultades matemáticas inherentes, no desarrollaremos el concepto en detalle, pero retendremos la noción de un "intento" como conjunto de operaciones que dan por resultado algún valor definido pero aleatorio de x. Entonces si a es algún valor particular en el dominio de definición de x, el evento "el valor de x que resulta de un intento es menor o igual que a" tiene una probabilidad, definida P{x < a, para cada valor a en el dominio de x. De esta manera, para una distribuciones de probabilidad, no se pueden enumerar todos los valores posibles para una variable aleatoria continua x junto con un valor de probabilidad correspondiente. En este caso el enfoque más conveniente es elaborar una función de densidad de probabilidad, basada en la función matemática correspondiente. La proporción del arrea incluida entre dos puntos cualesquiera por debajo de la curva de probabilidad identifica la probabilidad de que una variable continua aleatoriamente seleccionada tenga un valor entre esos puntos.

Ejemplo:

Supongamos que U(a) = P{x < a}, decimos que U(a) es una función de distribución cumulativa de x, puesto que P{x< a} esta definida para cada valor de a en el dominio de x. Si a y b son dos valores en el recorrido de x, con a < b, podemos denotar mediante P{a < x < b} la probabilidad del evento "el valor de x que resulta de un intento es mayor que a, pero menor o igual que b. Podemos expresar P{a < x < b} en términos de la función de distribución cumulativa, si vemos primero que

P{x < b} = P{x < a} + P{a < x < b}

Entonces

P{a < x < b} = U(b) - U(a)

oo b

U(a) = f(x) dx; P{a < x < b}= f(x) dx

-oo a

Siendo f(x) una función de distribución cumulativa diferenciable en todos los puntos de recorrido de x. Estas funciones así definidas se denominan también "función de densidad de probabilidad de x".

Estas funciones deben cumplir lo siguiente:

oo

U(a) = f(x) dx = 1

-oo

Si a es un valor fijo de x P{x = a} = 0

F(x) dx, puede considerarse como la probabilidad de que la variable aleatoria tome algún valor entre x y x + dx.

Como en el caso discreto, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria con recorrido sobre un continuo puede describirse (de manera incompleta, desde luego) mediante su media y su varianza:

oo

Media = xf(x) dx

-oo

oo

varianza = (x ð ðððf(x) dx, siendo ð igual a la media

-oo

Distribución de probabilidad normal: Es una distribución de probabilidad continua que es tanto simétrica como mesocurtica. La curva que representa la distribución de

probabilidad normal se describe generalmente como en forma de campana. Esta distribución es importante en inferencia estadística por tres razones diferentes:

Se sabe que las medidas producidas en muchos procesos aleatorios siguen esta distribución.

Las probabilidades normales pueden utilizarse generalmente para aproximar otras distribuciones de probabilidad, tales como las distribuciones binomial y de Poisson.

Las distribuciones estadísticas tales como la media de la muestra y la proporción de la muestra, siguen a menudo la distribución normal, sin tener en cuenta la distribución de la población

Los valores de los parámetros de la distribución de probabilidad normal son ð = 0 y σ = 1. Cualquier conjunto de valores X normalmente distribuido pueden convertirse en valores normales estándar z por medio de la formula:

Z = __X_ - _ð__

σ

haciendo posible el uso de la tabla de proporciones de área y hace innecesario el uso de la ecuación de la función de densidad de cualquier distribución normal dada.

Para aproximar las distribuciones discretas binomial y de Poisson se debe hacer:

Binomial ð ð np σ ð np(1-p)Si n > 30

.np > 5 n(1-p) > 5

Poisson ð ð ð σ ð ð ð > 10

Distribución de probabilidad exponencial. Si en el contexto de un proceso de Poisson ocurren eventos o éxitos en un espectro continuo de tiempo y espacio. Entonces la longitud del espacio o tiempo entre eventos sucesivos sigue una distribución de probabilidad exponencial. Puesto que el tiempo y el espacio son un espectro continuo, esta es una distribución continua. En caso de este tipo de distribución no vale la pena preguntarse ¿cuál es la probabilidad de que el primer pedido de servicio se haga exactamente de aquí a un minuto?. Mas bien debemos asignar un intervalo dentro del cual el evento puede ocurrir, preguntándonos, ¿cuál es la probabilidad de que el primer pedido se produzca en el próximo minuto?.

Dado que el proceso de Poisson es estacionario, la distribución exponencial se aplica ya sea cuando estamos interesados en el tiempo (o espacio) hasta el primer evento, el tiempo entre dos eventos sucesivos, o el tiempo hasta que ocurra el primer evento después de cualquier punto aleatoriamente seleccionado.

Donde ð es la cifra media de ocurrencias para el intervalo de interés, la probabilidad exponencial de que el primer evento ocurra dentro del intervalo designado de tiempo o espacio es.

P(T < t) = 1 - e -ð

De manera que la probabilidad exponencial de que el primer evento no ocurra dentro del intervalo designado de tiempo o espacio es:

P(T > t) = e -ð

Ejemploð Un departamento de mantenimiento recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una llamada llegue dentro de media hora es:

Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora tenemos que ð = 2,5/media hora.

P (T < 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792

http://html.rincondelvago.com/probabilidades_1.html

REGLA DE LA ADICION’‘’

Regla especial de la adición. Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades.   De lo anterior se puede deducir que la probabilidad

de que ocurra A más la probabilidad de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra.

La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B

ejemplo: Si A y B son dos eventos que no son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) se calcula con la siguiente fórmula: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)  El Diagrama de Venn ilustra esta regla

ejemplo: En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo,

175 dijeron tener una TV y 100 dijeron tener ambos Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga sólo un estéreo, sólo una TV y uno de cada uno? P(S) = 320 /500 = .64. P(T) = 175 /500 = .35. P(S y T) = 100 /500 = .20.

  Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga un estéreo o una TV en su habitación? P(S o T) = P(S) + P(T) - P(S y T) = .64 +.35 - .20 = .79.

http://www.mitecnologico.com/Main/ReglasDeAdicionProbabilidad

REGLA DE LA MULTIPLICACION 

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al

despejar

Las relaciones y son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea eventos tales que . Entonces

  

 

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene items de los cuales son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el evento

que es la intersección entre los eventos y . De la información dada se tiene que:

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer item, entonces la probabilidad de que los tres items seleccionados sean defectuosos es

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/regla_de_la_miltiplicacion.html

Teorema de BayesDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

Contenido

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1     Teorema    2     Aplicaciones   

3     Véase también   

4     Enlaces externos   

[editar] Teorema

Sea {A1,A3,...,Ai,...,An} un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B | Ai). Entonces, la probabilidad P(Ai | B) viene dada por la expresión:

donde:

P(Ai) son las probabilidades a priori. P(B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.

P(Ai | B) son las probabilidades a posteriori.

Esto se cumple

Además, unido a la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

[editar] Aplicaciones

El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas. El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento. La estadística bayesiana está demostrando su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y el hecho de permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia empírica es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento. Una aplicación de esto son los clasificadores bayesianos que son frecuentemente usados en implementaciones de filtros de correo basura o spam, que se adaptan con el uso.

Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Bayes

speranza matemáticaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado,

media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el

experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la media aritmética.

Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38 posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego justo".

Nota: El primer paréntesis es la "esperanza" de perder tu apuesta de $1, por eso es negativo el valor. El segundo paréntesis es la esperanza matemática de ganar los $35. La esperanza matemática del beneficio es el valor esperado a ganar menos el valor esperado a perder.

[editar] Definición

Para una variable aleatoria discreta con valores posibles y sus probabilidades representadas por la función de probabilidad p(xi) la esperanza se calcula como:

Para una variable aleatoria continua la esperanza se calcula mediante la integral de

todos los valores y la función de densidad :

La definición general de esperanza se basa, como toda la teoría de la probabilidad, en el marco de la teoría de la medida y se define como la siguiente integral:

La esperanza también se suele simbolizar con

Las esperanzas para se llaman momentos de orden . Más

importantes son los momentos centrados .

No todas las variables aleatorias tienen un valor esperado. Por ejemplo, la distribución de Cauchy no lo tiene.

[editar] Propiedades

La esperanza es un operador lineal, ya que:

Combinando estas propiedades, podemos ver que -

donde e son variables aleatorias y y y son tres constantes cualesquiera.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1tica

En estadística un estadístico (muestral) es una medida cuantitativa, derivada de un conjunto de datos de una muestra, con el objetivo de estimar o inferir características de una población o modelo estadístico.

Más formalmente un estadístico es una función medible T que, dada una muestra estadística de valores (X1,X2,...,Xn), les asigna un número, T(X1,X2,...,Xn), que sirve para estimar determinado parámetro de la distribución de la que procede la muestra. Así, por ejemplo, la media de los valores de una muestra (media muestral) sirve para estimar la

media de la población de la que se ha extraído la misma; la varianza muestral podría usarse para estimar la varianza poblacional, etc.[1] Esto se denomina como realizar una estimación puntual.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstico_muestral

Fórmula de StirlingDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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La diferencia relativa entre (ln x!) y (x ln x - x) tiende a cero al crecer x.

En matemáticas, la fórmula de Stirling es una aproximación para factoriales grandes. Lleva el nombre en honor de James Stirling.

La aproximación se expresa como

para n suficientemente grande, donde ln es el logaritmo natural

[editar] Definición formal

La fórmula de Stirling está dada por:

que se reescribe frecuentemente como:

más exactamente la fórmula es como sigue:

donde el último termino del producto(la exponencial) tiende a 1 cuando n tiende a infinito.

La lista de los denominadores es: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...

Desarrollando este último termino también se puede reescribir la fórmula como:

Una acotación de la fórmula es:

Por ejemplo:

29! = 8841761993739701954543616000000

[editar] Usos

La fórmula resulta útil en diversas áreas como la mecánica estadística, donde aparecen ecuaciones que contienen factoriales del número de partículas. Puesto que en la materia

ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen en torno a partículas la fórmula de Stirling resulta muy buena aproximación. Además la fórmula aproximante de Stirling es diferenciable lo cual permite el cálculo muy aproximado de máximos y mínimos en expresiones con factoriales.

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Stirling

FactorialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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n n!

0 1

1 1

2 2

3 6

4 24

5 120

6 720

7 5.040

8 40.320

9 362.880

10 3.628.800

15 1.307.674.368.000

20 2.432.902.008.176.640.000

25 15.511.210.043.330.985.984.000.000

50 30.414.093.201.713.378.043 × 1045

70 1,19785717... × 10   100   

450 1,73336873... × 101.000

3.249 6,41233768... × 1010.000

25.206 1,205703438... × 10100.000

100.0002,8242294079... × 10456.573

Para todo número natural n, se llama n factorial o factorial de n al producto de todos los naturales desde 1 hasta n:

Que de un modo resumido, se puede expresar como:

Se define 0! = 1, para que la relación n! = n × (n − 1)! sea también válida para n = 1. Esta relación permite definir los factoriales por recursividad. La notación n! fue popularizada por el matemático francés Christian Kramp.

Los factoriales se usan mucho en la rama de la matemática llamada combinatoria, a través del binomio de Newton, que da los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n:

(a + b)n = an + n × an − 1 × b + Cn, 2 × an − 2 × b2 + ... + n × a × bn − 1 + bn

con:

Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Tynril). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

Para valores grandes de n, existe una expresión aproximada para el factorial de n, dado por la fórmula de Stirling:

La ventaja de esta fórmula es que no precisa inducción y, por lo tanto, permite evaluar n! más rápidamente cuando mayor sea n.

El factorial de n es generalizado para cualquier número real n por la Función gamma de manera que

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorial

5.12.1 Relación entre teoría de probabilidad y conjuntos.

En la teoría moderna de la probabilidad, se toman todos los posibles resultados de un experimento, juego, etc. Como puntos de un espacio llamado espacio muestral S . Si S contiene solamente un número finito de puntos, entonces a cada punto puede asociarse un número no negativo, llamado probabilidad , tal que la suma de todos los números correspondientes a todos los puntos de S sumen 1. Un suceso es un sistema o subconjunto de puntos de S tal como se indica en el diagrama y que designamos por E 1 y E 2 respectivamente.

 

El suceso E 1 + E 2 es el formado por los puntos que están en E 1 ó E 2 ó en ambos, mientras que el suceso E 1 y E 2 está formado por los puntos comunes a E 1 y E 2 . En el lenguaje de la teoría de conjuntos los conceptos anteriores se corresponden así:

, . Se define la probabilidad de un suceso E 1 como la suma de las probabilidades de todos aquellos puntos que están contenidos en E 1 .

Análogamente, la probabilidad de , designada por es la suma de

las probabilidades asociadas a todos los puntos contenidos en el sistema . Si

no tienen puntos en común, es decir, los sucesos son mutuamente

excluyentes, entonces . Si tienen puntos en común

entonces .

Análogamente, puede extenderse a más de dos sistemas. En esta concepción moderna, una variable aleatoria es una función definida en cada punto del espacio muestral. En el caso de que S tenga infinitos puntos, las ideas anteriores pueden extenderse por medio de conceptos que requieren del cálculo.

Definición.

Si A es un conjunto finito, llamaremos “ cardinal de A ” y lo notamos n ( A ) al número de elementos de A .

Definición.

Dados A , B , C finitos, se tiene:

 

1.

2.

 

Ejercicio. Utilizando los diagramas de Venn, verificar las ecuaciones anteriores.

 

Observación.

Como se desprende de las ecuaciones anteriores podemos afirmar que, conociendo el cardinal de ciertos conjuntos dados, es posible obtener el cardinal de otros conjuntos que son unión, intersección, diferencia o complementos de los conjuntos dados.

 

http://docencia.udea.edu.co/cen/logica/cap5.htm

Variables discretas y variables continuas

Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas y variables continuas. Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho con mas rigor, se define una variable discreta como la variable tal que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no observable (potencialmente). Por ejemplo, un recuento del número de colonias de un cultivo en agar es una variable discreta. Mientras que cuentas de 3 y 4 son potencialmente observables, no lo es una de 3,5.

Una variable continua tiene la propiedad de que entre 2 cualesquiera valores observables (potencialmente), hay otro valor observable (potencialmente). Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Longitudes y pesos son ejemplos de variables continuas. La estatura de una persona, pude ser 1,70 mts. ó 1,75 mts., pero en potencia al menos podría tomar cualquier valor intermedio como 1,73 mts. por ejemplo.

Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de lo que ocurre con una variable discreta, nunca se la  puede medir exactamente. Con una variable continua debe haber inevitablemente un error de medida.

Un importante principio sobre variables continuas es que siempre se registran en forma discreta, quedando la magnitud de la distancia entre valores registrables adyacentes determinada por la precisión de la medición.

http://www.monografias.com/trabajos30/conceptos-de-estadistica/conceptos-de-estadistica.shtml

En inferencia estadística se llama estimación al conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una población a partir de los datos proporcionados por una muestra. Por ejemplo, una estimación de la media de una determinada característica de una población de tamaño N podría ser la media de esa misma característica para una muestra de tamaño n.[1]

La estimación se divide en tres grandes bloques, cada uno de los cuales tiene distintos métodos que se usan en función de las características y propósitos del estudio:

Estimación puntual:[2] o Método de los momentos;

o Método de la máxima verosimilitud;

o Método de los mínimos cuadrados;

Estimación por intervalos.

Estimación bayesiana.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estimaci%C3%B3n_estad%C3%ADstica

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por .

En Teoría de Probabilidad y la Estadística, la varianza es aquella medida de dispersión que ostenta una variable aleatoria respecto a su esperanza. La varianza se relaciona con la desviación típica o desviación estándar, la cual se denota a través de la letra griega denominada sigma y que será la raíz cuadrada de la varianza.

Para calcular la varianza será necesario seguir los siguientes pasos: primero deberemos calcular la media, es decir, el promedio de los números, luego, por cada número, deberemos restar la media y elevar el resultado al cuadrado y finalmente la media de esas diferencias al cuadrado.

La principal función y utilidad que se le puede encontrar a la varianza es que nos permite saber y determinar qué es normal, qué es grande, qué es pequeño, aquello que es extra grande o bien aquello que es extra pequeño.

Por ejemplo, si tomamos varias razas de perros y la idea es determinar cuál de ellos es más grande y cuál el más pequeño, sin dudas, la mejor manera de saber la respuesta a esta incógnita será la aplicación de la fórmula de la varianza.

http://www.definicionabc.com/general/varianza.php

Distribución binomialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Distribución binomial

Función de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

Parámetros número de ensayos (entero)

probabilidad de éxito (real)

Dominio

Función de probabilidad

(fp)

Función de distribución

(cdf)

Media

Mediana Uno de  [1]

Moda

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Entropía

Función generadora de

momentos (mgf)

Función característica

En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.

Contenido

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1     Ejemplos    2     Experimento Binomial   

3     Características analíticas   

4     Propiedades características   

5     Relaciones con otras variables aleatorias   

6     Propiedades reproductivas   

7     Referencias   

8     Enlaces externos   

[editar] Ejemplos

Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:

Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)

Se lanza una moneda cuatro veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(4, 1/2)

Una partícula se mueve unidimensionalmente con probabilidad q de moverse hacia atrás y 1-q de moverse hacia adelante

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:

caracteres morfológicos de individuos como la estatura; caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;

caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

nivel de ruido en telecomunicaciones;

errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.[1] Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Distribución normal Función de densidad de probabilidad

La línea verde corresponde a la distribución normal estandar Función de distribución de probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal

Distribución de PoissonDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Distribucion De Poisson

Función de probabilidad

El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.

Función de distribución de probabilidad

El eje horizontal es el índice k.

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad que un determinado número de eventos ocurran en un determinado periodo de tiempo, dada una frecuencia media conocida e independientemente del tiempo discurrido desde el último evento.

Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).

jemplos

Si el 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, para obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas usamos la distribución de Poisson. En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de libros defectuosos es el 2% de 400, es decir, 8. Por lo tanto, la probabilidad buscada es

Este problema también podría resolverse recurriendo a una distribución binomial de parámetros k = 5, n = 400 y θ=0,02.

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson

Distribución exponencialDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Distribución exponencial

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

Parámetros

Dominio

Función de densidad (pdf) λe − λx

Función de distribución (cdf) 1 − e − λx

Media

Mediana

Moda

Varianza

Coeficiente de simetría

Curtosis

Entropía

Función generadora de momentos (mgf)

Función característica

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:

Su función de distribución es:

Donde e representa el número e.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución exponencial son:

Contenido

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1     Ejemplo    2     Calcular variables aleatorias   

3     Relaciones   

4     Véase también   

5     Software   

[editar] Ejemplo

Ejemplos para la distribución exponencial es la distribución de la longitud de los intervalos de variable continua que transcuren entre la ocurrencia de dos sucesos "raros", que se distribuyen según la distribución de Poisson.

{{VT|Distribución exponencial}

[editar] Calcular variables aleatorias

Se pueden calcular una variable aleatoria de distribución exponencial x por medio de una variable aleatoria de distribución uniforme u = U(0,1):

o, dado que (1 − u) es también una variable aleatoria con distribucion U(0,1), puedo utilizarse la versión más eficiente:

6.8.4 Distribución exponencial

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra

en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14;

El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es

se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , .

   

Figura: Función de densidad, f, de una .

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la función de distribución es:

   

Figura: Función de distribución, F, de , calculada como el área que deja por debajo de sí la

función de densidad.

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica

para después, derivando por primera vez

y derivando por segunda vez,

Entonces la varianza vale

6.8.4.1 Ejemplo

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de . Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán

hasta que haya desaparecido el de este material?

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de distribución exponencial:

Como el número de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo

que transcurre hasta que el del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir

   Figura: Como el número de átomos

(observaciones) es extremadamente alto en 10 gramos de materia, el histograma puede ser

aproximado de modo excelente por la función de densidad exponencial, y el polígono de frecuencias

acumuladas por la función de distribución.

6.8.4.2 Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,

¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria".

http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node78.htm

Distribución t de StudentDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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Distribución t de Student

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

Parámetros grados de libertad (real)

Dominio

Función de densidad

(pdf)

Función de distribución

(cdf)donde  es la función hipergeométrica

Media 0 para ν > 1, indefinida para otros valores

Mediana 0

Moda 0

Varianzapara ν > 2, indefinida para otros valores

Coeficiente de simetría

0 para ν > 3

Curtosispara ν > 4,

Entropía

ψ: función digamma,

B: función betaFunción

generadora de momentos

(mgf)

(No definida)

Función característica

En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.

Contenido

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1     Caracterización    2     Aparición y especificaciones de la distribución t de Student   

3     Intervalos de confianza derivados de la distribución t de Student   

4     Historia   

5     Referencias   

6     Enlaces externos   

[editar] Caracterización

La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente

donde

Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución chi-cuadrado con ν grados de libertad

Z y V son independientes

Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.

[editar] Aparición y especificaciones de la distribución t de Student

Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con media μ y varianza σ2. Sea

la media muestral. Entonces

sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.

Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

donde

es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es

donde ν es igual a n − 1.

La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.

El parámetro ν representa el número de grados de libertad. La distribución depende de ν, pero no de μ o σ, lo cual es muy importante en la práctica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_t_de_Student