Curso de Análise Real - Cassio Neri - UFRJ

of 163 /163
5/9/2018 CursodeAnliseReal-CassioNeri-UFRJ-slidepdf.com http://slidepdf.com/reader/full/curso-de-analise-real-cassio-neri-ufrj 1/163 Instituto de Matem´atica Universidade Federal do Rio de Janeiro curso de an´ alise real δδ δ εε ε Cassio Neri

Embed Size (px)

Transcript of Curso de Análise Real - Cassio Neri - UFRJ

InstitutodeMatematicaUniversidadeFederal doRiodeJaneirocursodeanaliserealCassioNeriCursodeAnaliseRealCassioNeriInstitutodeMatematica-UFRJRiodeJaneiro-RJ-Brasil2006Saichetiavverr`a,praticandoildisegnaredipenna?chetifar`asperto,pratico,ecapacedimoltodisegnoentrolatestatua.Sabeoqueteacontecera,praticandoodesenhoapena?tornar-te-asperito,pratico,ecapazdemuitosdesenhosdentrodetuamente.-CenninoCenninidaCollediValdelsaIlLibrodellarte(1437)-Cap. XIII.Sumario1 NocoesdeTeoriadosConjuntos 11.1 Conjuntoseelementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Opera coescomconjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Simplicandoaescrita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 TeoriadosConjuntos efacil? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Fun coes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Famlias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Numerosnaturais,inteiroseracionais 132.1 Numerosnaturaiseinteiros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Conjuntosnitos,enumeraveisenaoenumeraveis. . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Numerosracionais: opera coeseenumerabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Numerosracionais: ordem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5 Numerosracionais: propriedadearquimediana. . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Numerosreais 273.1 Apolemicadescobertadosincomensuraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 CortesdeDedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Numerosreais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.4 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42vvi SUMARIO4 Sequenciaseseries 454.1 Sequenciasesubsequencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2 Sequenciasconvergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3 Sequenciasmonotonasesequenciaslimitadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 SequenciasdeCauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Limitesinnitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Opera coescomlimites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.7 Limitesuperiorelimiteinferior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.8 Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.9 Aseriedosinversosdosprimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.10 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 TopologiadeR 655.1 Introdu cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 Pontosinterioreseconjuntosabertos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3 Pontosdeaderenciaeconjuntosfechados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Conjuntoscompactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 Conjuntosdensos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 Limiteecontinuidade 756.1 Limitedefun coes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2 Osquinzetiposdelimite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 Fun coescontnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.4 OTeoremadoValorIntermediario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.5 Fun coescontnuasdenidasemcompactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.6 Pontosxosparafun coescontnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877 Derivada 917.1 Derivabilidadeederivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91SUMARIO vii7.2 Propriedadesoperatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3 ExtremoslocaiseoTeoremadoValorMedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.4 DerivadasdeordemsuperioreFormulasdeTaylor. . . . . . . . . . . . . . . 1007.5 OMetododeNewton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.6 RegrasdeLHospital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1057.7 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078 Integral deRiemann 1118.1 Somassuperioreseinferiores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.2 Integralefun coesintegraveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1148.3 OsTeoremasFundamentaisdoCalculo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.4 Mudan cadevariaveiseintegra caoporpartes. . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.5 OTeoremadeLebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.6 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1309 Sequenciasdefuncoes 1339.1 Convergenciasimples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2 Convergenciauniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.3 Continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349.4 Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.5 Derivada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.6 Oespa coC(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.7 Equa coesdiferenciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1419.8 Exerccios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145Bibliograa 147Indice 149viii SUMARIOCaptulo1Noc oesdeTeoriadosConjuntos1.1 Conjuntoseelementos.Ano caointuitivaquesetemdapalavraconjuntonosesatisfatoriaeumaapresenta caorigorosadaTeoriadosConjuntos edifcilealemdosobjetivosdocurso.DEFINICAO1.1. Um conjunto e constitudode objetos chamados elementos. Usamos anota caox A(le-sexpertenceaA)paradizerquex eumelementodoconjuntoA. Sexnao eumelementodeA,entaoescrevemosx/ A(le-sexnaopertenceaA).Uma forma de caracterizar um conjunto e atraves da lista dos seus elementos, escrevendo-osseparadosporvrgulas,nointeriordeduaschavese.EXEMPLO1.2. SejaAoconjuntocujoselementos saoosnumeros1, 2, 3, 4, 5e6.EscrevemosA = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Temos1 A, 2 Ae7/ A.Outramaneiradecaracterizarum conjunto e atraves deuma propriedadePpossuidaportodos os seus elementos e apenas por estes (mais adiante faremos algumas considera coes sobreisto). Escrevemosnestecaso x; P(x), x [P(x)ou x : P(x)(le-seoconjuntodoselementos x tais que P(x) e verdadeira, ou ainda, dos elementos x que possuem a propriedadeP). Salientamosquealetrax earbitrariademodoque x; P(x) = y; P(y).EXEMPLO1.3. SejaPapropriedadeeumnumeropresentenafacedeumdadoesejaA =_x; P(x)_. EntaoA = 1, 2, 3, 4, 5, 6, i.e.1,A eomesmoconjuntodoExemplo1.2.DEFINICAO1.4. DizemosqueAeumsubconjuntodeBouqueA eumapartedeB,ou ainda, que A estacontidoem Be escrevemos A Bse todo elemento de A pertence a1i.e.,abrevia caodeidestque,emlatim,signicaisto e.12 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSB. DizemostambemqueBcontemAeescrevemosB A. QuandoA BeB A,osconjuntosAeBsaoditosiguaiseescrevemosA =B. CasocontrarioelessaodiferenteseescrevemosA ,=B. Anota caoAB(ouBA)eumaabrevia caoparaA BcomA ,= B,nestecasodizemosqueA eumsubconjuntopropriodeB.EXEMPLO1.5. SejamA = 2, 4, 6eB= 1, 2, 3, 4, 5, 6. TemosqueAB.EXEMPLO1.6. SejamAoconjuntodosnumerosinteirosmultiplosde4eBoconjuntodos numeros pares.E obvio que A Bporem, vamos demonstrar esta arma cao. O primeiropassoconsisteeminterpretaradeni caodoconjuntoA. Umnumerointeiron emultiplode4sen/4 einteiro,ouequivalentemente,seexisteuminteiromtalquen = 4m. Logo,A = n; existeuminteiromtalquen = 4m.Analogamente,B= n; existeuminteiromtalquen = 2m.Estamospreparadosparaademonstra cao. Sejan A. Entaoexisteuminteiromtal quen = 4m = 2(2m). Comom einteiro,2mtambem e. Conclumosquen B.ComoneumelementoarbitrariodeA(alemden Anaozemosnenhumahipotesesobren) conclumos que qualquer quesejan A temosn B, i.e,que todo elementodeApertenceaB,ouseja,queA B. Istoterminaademonstra cao.EXEMPLO1.7. SejamA= 0, 1, 2eB= 1, 2, 3, 4. Pergunta: A B? Por que?Resposta: Nao,pois0 Ae0/ B.Demaneirageral, seAnaoeumsubconjuntodeBsignicaqueexistepelomenosumelementodeAquenaopertenceaB.Existeumconjuntoespecial chamadodevazio(denotado) quenaopossui nenhumelemento, ou seja, nao existe x tal que x . Uma propriedade interessante do conjunto vazioe que ele e subconjunto de qualquer conjunto. Vejamos isto mais precisamente. Suponhamosque exista um conjunto A tal que nao seja subconjunto de A. Pelo que vimos anteriormente,istosignicaqueexistealgumelementox tal quex/ A. Mas,pordeni caodevazio,naopodemoster x . Estacontradi caonosobrigaaconcluir que Apois, senao,chegaramosaumaconclusaoabsurda.Acabamosdemostrarque Ausandoumargumentodotipodemonstracaoporabsurdo. Neste tipo de argumento supomos inicialmente que a conclusao desejada seja falsae,apartirdestahipotese,chegamosaumabsurdo. Destaforma,somosobrigadosaadmitirqueasuposi cao efalsae,portanto,queaconclusaodesejada everdadeira.Existemconjuntoscujoselementossaoconjuntoscomomostraoproximoexemplo.1.2. OPERAC OESCOMCONJUNTOS. 3EXEMPLO1.8. SejamA= 1, 2, B= 3e (= A, B. Tenteseconvencerdequetodasasarmativasabaixosaoverdadeiras.A (, B (, A (, B (, 1/ (, 2/ (, 3/ (.Percebaaindaqueeerradodizer 2 (, 3 (ou_2_ (. Entretanto,everdadeque_3_ ((estaesimplesmenteaquartadasarma coesacima).Quando ( e um conjunto de conjuntos, para simplicar a linguagem, muitas vezes dizemosque (eumacolecao, umaclasseouumafamliadeconjuntos. Parafamliasutiliza-setambem nota cao especial (como veremos a seguir). Elementos de ( sao comumente chamadosdemembros.Porfalaremconjuntosdeconjuntos...DEFINICAO1.9. SejaAumconjunto. Acole caodetodosossubconjuntosdeAeditaconjuntodaspartesdeAe edenotadapor T(A)oupor2A. Emsmbolos,T(A) = B; B A.Portanto,B T(A)se,esomentese,B A.EXEMPLO1.10. Temosque T() = . SeA = 1,entao T(A) =_, 1_.1.2 Operacoescomconjuntos.DEFINICAO1.11. SejamAeBdoisconjuntos. Existeumconjunto, chamadouniaooureuniaodeAeB(denotadopor A B),cujoselementospertencemaAou aB. TambemexisteumconjuntochamadointersecaodeAeB(denotadoporA B)cujoselementospertencemaAeaB. EmoutrostermosA B= x; x Aoux B e A B= x; x Aex B.Demaneirageral,fazemosaseguintedeni cao.DEFINICAO1.12. Se (e umacole caonaovazia deconjuntos,entaoa uniaoou reuniaodacole cao (eformadopeloselementosquepertencemapelomenosummembrode (. Emsmbolos,_ACA = x; existeA (talquex A.A intersecao da cole cao (e constituda pelos elementos que pertencem a todos os membrosde (. Emsmbolos,

ACA = x; x AparatodoA (.4 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSPor deni cao ABC= x ; x Aex Bex C. Neste caso podemos substituiroconectivoepor umavrgula ,escrevendoAB C= x; x A, x Bex C.Porem,oconectivoou esemprepreservado.EXEMPLO1.13. SejamA = 1, 2, 3eB= 1, 2, 4, 8. TemosA B= 1, 2, 3, 4, 8 e A B= 1, 2.DEFINICAO1.14. Sejam A e Bconjuntos. O conjunto diferenca entre A e B(denotadopor A BouA B)econstitudopelos elementos deAquenaopertencemaB. Emsmbolos,A B= x; x Aex/ B.DEFINICAO1.15. Quandotrabalhamos apenas comsubconjuntos de umdeterminadoconjuntoX(subentendidonocontexto)denimosocomplementar deApor X AeodenotamosA.Dissemosanteriormentequeumconjuntopodeserdenidopelalistadeseuselementos.Devemos ressaltar que aordemdos elementos nalistanaoimportae que repeti coes saoirrelevantes. Destaforma,a, b, c = b, a, c = c, a, b = a, a, b, c.Quandoqueremos que aordemourepeti coes sejamrelevantes usamos oconceitodepar ordenado. Dados dois objetos ae b denimos opar ordenado(a, b) cujaprimeiracoordenada e a e a segunda e b. Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) sao iguais se eles foremiguaiscoordenadaporcoordenada,i.e.,(a, b) = (c, d) se,esomentese, a = ceb = d.Repare que (a, b) ,= (b, a) salvo se a = b e que (a, a) ,= (a). De maneira analoga denimostriplasordenadas(a, b, c)oun-uplasordenadas(a1, . . . , an).DEFINICAO1.16. DadosdoisconjuntosAeBexisteumconjuntochamadodeprodutocartesiano de A e B(denotado AB) formado pelos pares ordenados (a, b) tais que a Aeb B. Emsmbolos:A B= (a, b); a Aeb B.Emparticular, podemos denir AAe, por simplicidade, odenotamos A2. DemaneiraanalogadenimosABC= (a, b, c); a A, b Bec C, A3=AAA,An= AA(nvezes).1.3. SIMPLIFICANDOAESCRITA. 51.3 Simplicandoaescrita.Repetidas vezes usamos expressoes do tipo existe, para todo, qualquer que seja, etc.Para simplicar a escrita destas expressoes introduziremos alguns smbolos que as representam,asaber: signicaexiste;! signicaexisteumunico; signicaparatodoouqualquerqueseja;= signicase... entao...ouimplicaque;ousse1signicase,esomentese,.Destamaneira,podemosescreverque,pordeni cao,A Bssex A = x B.Temostambem

ACA = x; x AA ( e_ACA = x;A (talquex A.1.4 TeoriadosConjuntosefacil?NaoentramosnosfundamentoslogicosdaTeoriadosConjuntosetudoparecetrivial efamiliar. Mas(in)felizmenteaTeoriadosConjuntosnao etaofacilcomopossaparecer. Porexemplo,nossaexposi caoapresentaumainconsistencialogica, ouparadoxo, conhecidocomoParadoxodeRussel2.Logo na primeira se cao dissemos que dada uma propriedade Ppodemos denir, ou melhor,existeoconjuntoAdoselementosquepossuemapropriedadePeescrevemosA =_x; P(x)_.Ora,naohanadamaisrazoavel.Nada nos impede de considerar conjuntos cujos elementos sao conjuntos (como ja zemosaointroduzir cole coes) e de questionar se umconjuntoe elemento dele mesmo. Comoexemplo, considereoconjuntoCdetodosobjetosquenaosaobolas. Ora, Cnaoeumabola,logo,C C. Vejamoscomoistogeraumparadoxo.DiremosqueumconjuntoXenormal seelenaopertenceasi proprio, i.e., seX/ X.SejaNoconjuntodosconjuntosnormais:N= X; Xenormal = X; X/ X.1Esteneologismo ederivadodeoutroeminglesiquesignicaifandonlyif. Foi omatematicoHalmosqueoinventou. Aeledevemostambemopequenoquadradoqueindicanaldedemonstra cao.PaulRichardHalmos: 03/03/1916, Budapeste,Hungria.2BertrandArthurWilliamRussell, 18/05/1872,Ravenscroft, PasdeGales- 02/02/1970,Penrhyn-deudraeth,PasdeGales6 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSPerguntamo-nosseNenormal. Existemduasrespostaspossveis: simounao. Vamosanalisarcadaumadelas.1apossibilidade: Nenormal.Pordeni cao, Neoconjuntodosconjuntosnormaise, sendoeleproprionormal,temosqueN N. Istoimplica,pordeni caodeconjuntonormal,queNnao enormal.Temos entaoumacontradi cao! Pode-sepensar queeste argumentosejaapenas umademonstra caopor absurdoque mostraque aprimeirapossibilidade naofuncionae entaodevemosconcluirque easegundaque eaboa. Vejamos.2apossibilidade: Nnao enormal.Peladeni caodeN, ecomoNnaoenormal,devemosterN/ N. Logo,pordeni caodeconjuntonormal,conclumosqueNenormal.Novamentetemosumacontradi cao. Nenhumadasduaspossibilidadesepossvel -para-doxo!Para eliminar este paradoxo da Teoria dos Conjuntos (que e o pilar de toda a Matematica)uma solu cao e a seguinte. Ao inves de admitir que dada uma propriedade Pexiste o conjuntodos elementos que possuemapropriedade P, admitimos que dadaumapropriedade P eumconjuntoAexiste osubconjuntodos elementos deAquepossuemapropriedade P.Escrevemos_x A; P(x)_. FeitoistooargumentousadonoParadoxode Russel setransformaemumteorema(vejaExerccio9) segundooqualnaoexisteoconjuntodetodasascoisasou,deformamaispoetico-losoca,nadacontemtudo. Boaviagem!1.5 Funcoes.Todos sabemos que o valor da presta cao de uma televisao comprada em 12 parcelas iguaise sem juros depende do seu pre co `a vista. Por isto, dizemos que o valor da presta cao e fun caodopre co`avista. Nestecaso, sexeopre co`avista, entaoovalordapresta caoex/12. Afun cao valor da presta cao a cada valor `a vista x associa o valor da presta cao, dado porx/12. De maneira geral, uma fun cao associa, atraves de uma regra precisa, cada elemento deumconjuntoaumunicoelementodeoutroconjunto(osdoisconjuntosemquestaopodemseriguais).O exemplo anterior e de uma fun cao numericadenida atraves de uma formula, mas nemtodafun caoedestetipo. Porexemplo, cadapessoapossui umunicotiposanguneo, logo,podemos considerar a fun cao que a cada elemento do conjunto das pessoas associa o seu tiposanguneo que e um elemento do conjunto A, B, AB, O. Mudando a regra a fun cao muda.Assim,a fun cao anterior e diferente da fun cao que a cada pessoa associa o tipo sanguneo dopai.DEFINICAO1.17. Sejam A e Bdois conjuntos nao vazios. Uma funcao f: A B(le-se1.5. FUNC OES. 7fun cao fde A em B) e denida por uma regra de associa cao, ou rela cao, entre elementos deA e Bque a cada x A associa um unico elemento f(x) (le-se fde x) em B, dito imagemdexporf. OconjuntoA eodomniodefenquantoqueBeocontradomniodef.Note que nao deve haver exce cao `a regra: todo x A possui uma imagem f(x) B. Poroutrolado,podeexistiry Bquenaosejaimagemdenenhumx A. Notetambemque,dado x A, nao deve haver ambiguidade com respeito a f(x). Entretanto, o mesmo elementoy Bpode ser imagem de mais de um elemento de A, i.e., pode ocorrer f(x1) = f(x2) comx1 ,= x2.EXEMPLO1.18. SejamA = alunosdaUFRJ,B= numerosinteiros. Comoexemplodefun cao, temos f : A Bqueacadax Aassociaseuanodenascimento. Outroexemplo eafun caog: A Bqueacadax AassociaseuanodeentradanaUFRJ.EXEMPLO1.19. SejaA= pessoas. Seacadax Afazemoscorresponderf(x) Ademaneiraquef(x)sejairmaodex, entaofnaoeumafun caoporduasrazoes. Primeiropor exce cao pois nem toda pessoa tem irmao. Segundo por ambiguidade pois existem pessoasquetemmaisdeumirmao.Pordeni cao,f, g: A Bsaoiguaissesaodadaspelamesmaregradeassocia cao,ouseja,sef(x) = g(x) x A.Acondi caoacimasotemsentido(podendoserfalsa) sefegtiveremomesmodomnio(nocasoA). Noentanto, edispensavel quef egtenhamomesmocontradomnio. Por estarazao,podemosconsiderariguaisduasfun coesdecontradomniosdiferentes. Destaforma,afun caoh : alunosdaUFRJ numerosinteirospositivos,que a cada x alunosdaUFRJ associa seu ano de entrada na UFRJ e igual a fun cao gdoExemplo1.18.Mais graveeconsiderar quefun coes dedomnios diferentes sejamiguais. Entretando,cometemos este abuso quando, por exemplo, o domnino de uma fun cao contem o domnio daoutra. Quandoaprudenciamandar,devemoslidarcomosconceitosderestri caoeextensao.DEFINICAO1.20. Sejamf:A Beg:C D. DizemosquefeumarestricaodegouquegeumaextensaodefseA Cef(x)=g(x)paratodox A. Nestecasoescrevemosf= g|A.DEFINICAO1.21. Sejamf: A BeC A. AimagemdeCporfedenidaporf(C) =_y B; x Ctalquef(x) = y = f(x); x C_.Emparticular,oconjuntof(A) echamadodeimagemdef.8 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSDEFINICAO1.22. Sejamf:A BeC B. Aimageminversaoupre-imagemdeCporfedenidaporf1(C) =_x A; f(x) C_.Se C= y, entaoescrevemos f1(y) emvez de f1(y). Se f1(C) = x, entaofazemosoabusodenota caox = f1(C).DEFINICAO1.23. Umafun caof:A Beditasobrejetivasef(A)=B, ouseja, sequalquerquesejay B,existex Atalquef(x) = y.Observamos na deni cao anterior que, ao se tratar da sobrejetividade de uma fun cao, deveestarclaroqualconjuntoestasendoconsideradocomocontradomnio.EXEMPLO1.24. SejaA= a, b. Afun caof, denidaporf(x)=xparatodox A,naoesobrejetivadeAem a, b, cmasesobrejetivadeAem a, b. Demodogeral,todafun cao esobrejetivanasuaimagem.DEFINICAO1.25. Umafun caof:A Beditainjetivaouinjecaoseparaquaisquerx, y Ataisquex ,=ytemosf(x) ,=f(y),ouequivalentemente, sex, y Asaotaisquef(x) = f(y),entaox= y;ouainda,separatodoy f(A)existeumunicox Atal quef(x) = y.Faremos a seguinte conven cao de terminologia. Diremos que uma fun cao ftem a proprie-dade Pem A, se f|Atem a propriedade P. Por exemplo, dizer que fe injetiva em A signicaquef|Aeinjetiva. Istoemuitousual,sobretudoemconversasinformaisentrematematicos.Entretanto,istodeve serusadocomcuidadoparanao cairmosem armadilhas(veja Exerccio12doCaptulo6).DEFINICAO1.26. Umafun caof:A Beditabijetivaoubijecaoseelaeinjetivaesobrejetiva.EXEMPLO1.27. Sejam A = 1, 2, 3, B= 2, 4, 6 e C= 1, 4, 9, 16. Consideremosasfun coesf: A B,g: A Ceh : A Adenidasporf(x) = 2x, g(x) = x2, h(x) = 2 x A.Temosquefeinjetivaesobrejetivae,portanto,bijetiva. Temosaindaquegeinjetivamasnao esobrejetivaehnao einjetivaenemsobrejetiva.DEFINICAO1.28. Sejamf : A Beg: C Dtaisquef(A) C. Denimosafuncaocompostag f: A Dqueacadax Aassociag_f(x)_ D.1.6. FAMILIAS 9A deni cao anterior faz sentido pois dado x Atemos que f(x) f(A) e como f(A) Ctemosf(x) C. Nestecasopodemosaplicargeencontrarg(f(x)) D.Observamosaindaqueaopera caodecomposi caodefun coeseassociativa, i.e., sef :A B,g: C Deh : E Fcomf(A) Ceg(C) E,entaotemos_(h g) f_(x) = (h (g f))(x) = h(g(f(x))) x A.Paraf: A Adenimosfn: A Aporfn= f f(nvezes).DEFINICAO1.29. Sejamf : A Beg: B Ataisque(g f)(x)=xparatodox Ae(f g)(y) = yparatodoy B. Dizemosquefeinvertvel,quegeainversadefeescrevemosg = f1.Naodevemosconfundirf1dadeni caoacimacomf1daDeni cao1.22.Repareque intercambiandofcom g, A com Bex com yas hipotesesdaDeni cao1.29naomudam, poremaconclusaodiraquefeainversadeg. Conclumosquefeainversadegse,esomentese,geainversadef.Sef: A Beinjetiva,entaomesmoquandoelanaoforsobrejetiva,aindapoderemosconsiderarsua fun caoinversa f1candosubentendidoque o domniode f1e f(A) (e naoB). Destaforma(f1 f)(x) = x paratodo x Ae (f f1)(y) = ypara todoy f(A).1.6 FamliasDissemosanteriormenteque apalavra famlia e usadaparadesignar conjuntos de conjun-tos. Defato, esteeoprincipal usodapalavrafamliamasnaoounico. Naverdade, umafamlia eumafun caoparaaqualusamosumanota caoespecial.DEFINICAO1.30. SejamIeCconjuntosnaovazios. Umafamlia(Ai)iIdeelementosdeCeumafun caoA:I Cparaaqual denotamosporAi(emvezdeA(i))aimagemdeiporA. Dizemosqueafamliaestaindexadapelo ndicei I,queIeoconjuntodendicesequeAieoi-esimoelemento(oumembro)dafamlia. QuandoIeoconjuntodosnumerosnaturaissubstitumosapalavrafamliaporsequencia.Os gramaticos que nos perdoem mas usamos o suxo esimo em i-esimo mesmo quandoinao eumnumerocardinal.Observequenanota cao(Ai)iInaoapareceocontradomnioCdafun cao. Por isto,aointroduzirmosumafamlia,eobrigatoriodizerquetipodeobjetosconstituemoseucon-tradomnio. Por exemplo, umafamliadepessoaseumafun caocujocontradomnioeumconjuntodepessoas. Damesmaforma,umafamliademacacoseumafun caocujocontra-domnio eumconjuntodemacacos(agorasaoosbiologosquehaodenosperdoar).10 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSComo dito anteriormente, o uso mais frequente do termo famlia e quando o contradomnioeumacole caodeconjuntos. Trata-se, entao, deumafamliadeconjuntos. Neste caso,existemnota coesespeciaisparaauniaoeainterse caodacole cao. Se(Ai)iIeumafamliadeconjuntos,entaoauniaoeainterse caodafamliasaodenidas,respectivamente,por_iIAi=_BCB e

iIAi=

BCB,sendo (a imagem de A. Desta forma, x pertence a uniao da famlia (Ai)iIse, e somente se,existe B (tal que x B. Mas como (e a imagem de A, isto acontece quando, e somentequando, existei I tal quex Ai. Domesmomodo, constatamosquexeelementodainterse caode(Ai)iIse,esomentese,x Aiparatodoi I. Emsmbolos_iIAi= x; existei Italquex Ai e

iIAi= x; x Aiparatodoi I.SeIeoconjuntodosnumerosinteirosdematen,entaotambem eusualescrevern_i=mAi= Am Anen

i=mAi= Am An.SeIeoconjuntodetodososinteirospositivos,entaoasnota coesusuaissao+_i=1Ai= A1 A2 e+

i=1Ai= A1 A2 .Osmbolo (innito)queaparecenasnota coesanterioresnaoeumnumero. Eleeapenas umsmbolotipogracocujopapel nas nota coes acimae dizer que tantoauniaoquantoainterse caodafamlia (Ai)iIsaotomadasparatodoi 1, 2, 3, . . . . Estemesmosmboloapareceraemvariasnota coesaolongodotextosendoqueemcadaumadelasseupapelseradiferente. Porem,sempredevemosteremmentequeinnitonao enumero!1.7 Exerccios.1-SejamA,BeCsubconjuntosdeumconjuntoX. Mostrequea) A = A;b) A = ;c)A X= X;d) A X= A;e)= X;1.7. EXERCICIOS. 11f )X= ;g) A BeB C = A C;h) A B = B A;i )A (B C) = (A B) (A C);j )A (B C) = (A B) (A C);k)(A B)= A B;l )(A B)= A B.2-Mostrequeasseguintesarma coessaoequivalentes.i. A B;ii. A B= A;iii. A B= B.3 - Considere uma famlia (Ai)iIde subconjuntos de um conjunto X. Seja ainda A X.Mostrequea) A_ iI Ai_=

iI(Ai A);b) A_ iI Ai_=

iI(Ai A);c)_ iI Ai_=

iI Ai;d)_ iI Ai_=

iI Ai.Repare que (3.a), (3.b), (3.c) e (3.d) saogeneraliza coes de (1.i), (1.j), (1.l) e (1.k)(respectivamente). As rela coes (3.a) e (3.b) sao chamadas leis de distributividade enquantoque(3.c)e(3.d)saoconhecidascomoleisdeDeMorgan1.4-Sejamf: A BeC, D Amostrequea) f(C D) = f(C) f(D);b) f(C D) f(C) f(D).5-Deumexemploquemostrequepodemosnaoter igualdadeentreosconjuntosdoexerccio(4.b).6-Sejamf: A BeC, D Bmostrequea) f1(C D) = f1(C) f1(D);1AugustusDeMorgan: 27/06/1806, Madura, India- 18/03/1871, Londres,Inglaterra.12 CAPITULO1. NOC OESDETEORIADOSCONJUNTOSb) f1(C D) = f1(C) f1(D).Observacao: Nesteexerccio,f1temosentidodaDeni cao1.22.7-Sejamf: A Be(Bi)iIumafamliadesubconjuntosdeB. Mostrequea) f1_ iI Bi_=

iI f1(Bi);b) f1_ iI Bi_=

iI f1(Bi).Observacao: Nesteexerccio,f1temosentidodaDeni cao1.22.8-Sejaf: A B. Mostrequefeinvertvelseesomentesefebijetiva.9-UsandooargumentodoParadoxodeRussel,mostredadoumconjuntoA,existeumconjuntoNtal queN/ A. Concluaquenaoexisteoconjuntodetodasascoisas, nemoconjuntodetodososconjuntos.Captulo2N umerosnaturais,inteiroseracionais2.1 N umerosnaturaiseinteiros.OconjuntousadoparacontagenseoconjuntoN= 1, 2, 3, . . . . Detaonatural, Nganhaonome(Neoconjuntodosnumerosnaturais)eeoprimeiroconjuntonumericoque aparece na historiade qualquer civiliza cao ou em qualquer tratado sobre os fundamentosdaMatematica.NestecursoadmitiremosconhecidososconjuntoNeZ = . . . , 2, 1, 0, 1, 2, . . . (dosnumerosinteiros)bemcomosuaspropriedadesalgebricasdesomaemultiplica caoesuarela caodeordem .NoconjuntoNvalemdois princpios fundamentais: oPrincpiodaBoaOrdemeoPrincpiodaIndu cao.PRINCIPIO2.1. (DaInducao)SejaA Nsatisfazendoasseguintespropriedades:1 A; (2.1)n A = n + 1 A. (2.2)EntaoA = N.PRINCIPIO2.2. (DaBoaOrdem)TodosubconjuntonaovaziodeNpossui elementomnimo, ouseja, seB NcomB ,=, entaoexisten Btal quen mparatodom B.O Princpio da Indu cao (e suas variantes) e usado para demonstrar que certas propriedadessao verdadeiras para todo numero natural. A estrategia e a seguinte. Denimos o conjunto Aconstitudopelos numeros naturais que possuem uma certapropriedadeP. A seguir,mostra-se que A satisfaz (2.1) e (2.2). Da, conclumos que A = N e, portanto, que Pe vericada portodonumeronatural. Estetipodeargumento echamadodedemonstracaoporinducao.1314 CAPITULO2. NUMEROSNATURAIS,INTEIROS ERACIONAISEXEMPLO2.3. Vamos demonstrar, por indu cao, aconhecida formula1+ +n=n(n + 1)/2validaparatodon N. SejaAoconjuntodosn Nparaosquaisaformula evalida,i.e.,A =_n N 1 + +n =n(n + 1)2_.Pelo Princpio da Indu cao, basta mostrar que A satisfaz (2.1) e (2.2) para concluir que A = N,ouseja,queformulaacima evalidaparatodon N.Evidentemente, 1 Apois1=1(1 + 1)/2. Tomemosn Aemostremosquem=n + 1 A. Comon Atemos1 + +n = n(n + 1)/2. Segueque1 + +m = 1 + +n + (n + 1) =n(n + 1)2+ (n + 1) =(n + 1)(n + 2)2=m(m + 1)2.TEOREMA2.4. SevaleoPrincpiodaBoaOrdem,entaovaleoPrincpiodaIndu cao.Demonstracao. SejaA Nsatisfazendo(2.1)e(2.2). Suponhamos, por absurdo, queA ,=N. IstosignicaqueexistealgumelementodeNquenaopertenceaAe, portanto, oconjuntoB= Ae naovazio. PeloPrincpiodaBoa Ordem,Bpossuiumelementomnimom. Com certezam > 1 pois m/ A e 1 A. Assim, m1 e um natural menor que m. Pelaminimalidadedem,temosquem1/ Beportantom1 A. De(2.2)conclumosquem = (m1) + 1 A,oque eabsurdo.TEOREMA2.5. SevaleoPrincpiodaIndu cao,entaovaleoPrincpiodaBoaOrdem.Demonstracao. SejaBNnaovazio. Suponhamos por absurdoque Bnaopossuaelementomnimo. Emparticular,1/ B(senao1seriaelementomnimodeB). SejaA = n N; n < m m B.Observamos inicialmente que AB= . De fato, se AB ,= , entao existe n AB.Tendon Atemos tambemn #B(le-seacardinalidadedeAemaiorqueadeB).Feitaestadeni cao,temosqueA ,= eenumeravel se,esomentese,#A #N.Everdadeque#A #Bse,esomentese,#B #Amasestefatocarecededemons-tra cao.PROPOSICAO2.10. SejamAeBdoisconjuntosnaovazios. Entao#A #Bse, esomentese,#B #A.Demonstracao. Suponhamos #A #Bemostremos que#B #A. Por deni cao,existeumafun caoinjetivaf : A B. Paraconcluir, devemosmostrar queexistefun caosobrejetivag: B A.Fixemosumelementoy0 A. Paratodox Bdenimosg(x)daseguintemaneira.Sex/ f(A)tomamosg(x)=y0, senao, sex f(A),entao, pelainjetividadedef, existeumunicoy Atal quef(y)=x. Nestecasotomamosg(x)=y. Mostremosquegesobrejetiva. Sejay Aex=f(y). Temosx f(A)e, por deni caodeg, seguequeg(x) = y.Mostremosagoraarecproca, i.e., quese#B #A, entao#A #B. Porhipotese,existeumafun caosobrejetivag: B A. Logo,paratodoy Apodemosescolherx Btalqueg(x) = y. Denimosf(y) = x. Mostremosquefeinjetiva. Sef(y1) = f(y2)(comy1, y2 A),entaoy1 = g(f(y1)) = g(f(y2)) = y2.Outrapropriedadequeseesperadosmbolo edadapelaproposi caoseguinte.2.2. CONJUNTOSFINITOS,ENUMERAVEISENAOENUMERAVEIS. 17TEOREMA2.11. (DeCantor1-Bernstein2-Schroder3)Se#A #Be#B #A,entao#A = #B.Demonstracao. Por hipotese, existemf : A Beg : BAinjetivas. ConsidereF: T(A) T(A)dadaporF(X) = g_f(X)_X A.SejaX0=

+i=0Fi(A)(convencionandoqueF0(A) = A). Comofeinjetiva,temosf(X0) = f_+

i=0Fi(A)_=+

i=0f_Fi(A)_.Portanto,F(X0) = g___+

i=0f_Fi(A)____= g_+_i=0f_Fi(A)__=_+_i=0g_f_Fi(A)___=+

i=0g_f_Fi(A)__=+

i=0F_Fi(A)_=+

i=1Fi(A) =+

i=0Fi(A) = X0.SeguequeX0= F(X0)= g_f(X0)_. Conclumosquegeumabije caodef(X0)emX0,logo,g1eumabije caodeX0emf(X0). Tambemtemosquefeumabije caodeX0emf(X0). Destasobserva coesseguequeh : A Bdadaporh(x) =_f(x) sex X0,g1(x) sex X0,ebijetiva.EXEMPLO2.12. SejaAumconjuntonaovazio.Eevidenteque#A = #Apois afun caoidentidadeId : A AdadaporId(x) = xparatodox A eumabije cao.EXEMPLO2.13. SejamAe Bdois conjuntos naovazios comA B. Obviamente#A #Bpoisafun caoId : A BdadaporId(x) = xparatodox A einjetiva.EXEMPLO2.14. #Z = #N. EscrevendoZ = 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . umabije caodef: N Znossaltaaosolhos. Elaedadaporf(1)=0, f(2)=1, f(3)= 1, f(4)=2, f(5) = 2, f(6) = 3, . . . ,maisprecisamente,f(n) =_m sen = 2m, m = 1, 2, 3, . . .m sen = 2m+ 1, m = 0, 1, 2, . . .1GeorgFerdinandLudwigPhilippCantor: 03/03/1845, SaoPetersburgo,Russia- 06/01/1918 Halle,Alemanha.2FelixBernstein: 24/02/1878, Halle,Alemanha- 03/12/1956, Zurique,Su ca.3Friedrich Wilhelm Karl Ernst Schroder: 25/11/1841, Mannheim, Alemanha - 16/07/1902, Karlsruhe,Alemanha.18 CAPITULO2. NUMEROSNATURAIS,INTEIROS ERACIONAISEXEMPLO2.15. #N2= #N,emparticular, N2eenumeravel. Defato,#N #N2poisafun caof: N N2dadaporf(n) = (n, n) eclaramenteinjetiva. Poroutrolado,vejamosque #N2 #N. Pela unicidade da fatora cao de naturais como produto de primos, (TeoremaFundamental daAritmetica)temosqueafun caog: N2Ndadaporg(m, n)=2m3neinjetiva. Umaoutrademonstra cao, bastantepopular, para#N2=#NeobtidaatravesdoesquemamostradonaFigura2.1.(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)...(3,1) (3,2) (3,3)...(4,1) (4,2)...(5,1)......Figura2.1: Bije caodeNemN2.Umabije caoh : N N2edenidaseguindoassetasdaseguintemaneira:h(1) = (1, 1), h(2) = (1, 2), h(3) = (2, 1), h(4) = (1, 3), h(5) = (2, 2), . . .EXEMPLO2.16. Vamosmostrarque#N x.DEFINICAO2.25. Sejam(K, +, , )umcorpoordenadoeA K. DizemosqueAelimitadosuperiormentepelacotasuperior s Ksea sparatodoa A. Casocontrario, Aeilimitadosuperiormente. Demodoanalogodene-seconjuntolimitadoinferiormente, cotainferior econjuntoilimitadoinferiormente. Finalmente, Aeditolimitadoseele elimitadosuperioreinferiormente. Casocontrario,A eilimitado.2.5. NUMEROSRACIONAIS:PROPRIEDADEARQUIMEDIANA. 23DEFINICAO2.26. Sejam(K, +, , )umcorpoordenadoef: A K. Dizemosquefelimitadasuperiormentesef(A) elimitadosuperiormente. Analogamentedene-sefun caolimitadainferiormente,funcaolimitadaefuncaoilimitada.DEFINICAO2.27. Sejam(K, +, , )umcorpoordenado,A Kef: A K.i. fecrescentequandox < yimplicaquef(x) f(y).ii. fedecrescentequandox < yimplicaquef(y) f(x).iii. femonotonaquando ecrescenteoudecrescente.iv. feestritamentecrescentequandox < yimplicaquef(x) < f(y).v. feestritamentedecrescentequandox < yimplicaquef(x) > f(y).vi. fe estritamentemonotona quando e estritamente crescente ou estritamente decres-cente.2.5 N umerosracionais: propriedadearquimediana.Umaimportantepropriedadedocorpoordenado(Q, +, , ) eserarquimediano.DEFINICAO2.28. Dizemosqueumcorpoordenado(K, +, , )earquimedianoseNeumsubconjuntodeKilimitadosuperiormente, ouseja, paratodox Kexistem Ntalquex < m.Defato, (Q, +, , )earquimedianopoissex Q, comx>0, entao, existemm Zen Ntais quex=m/n. Comox>0, temos m N. Conclumos observandoquex = m/n m < m + 1 N.2.6 Exerccios.1-Mostre,porindu cao,que12+ +n2= n(n + 1)(2n + 1)/6paratodon N.2-Mostreque1n+1n + 1+ +12n 12n N.3-SejaX Numsubconjuntoinnito. Provequeexisteumaunicabije caocrescentef: N X.24 CAPITULO2. NUMEROSNATURAIS,INTEIROS ERACIONAIS4-UseaProposi cao2.17paramostrar,demaneiradiferentedoExemplo2.14,queZeenumeravel.5-UseaProposi cao2.18paramostrarqueN2eenumeravel.Sugestao: Considereconjuntosdaforma n Ncomn N.6-MostrequeseA1eA2saoenumeraveis, entaoA1A2eenumeravel. Mostre, porindu cao,queseA1, . . . , Ansaoenumeraveis,entaoA1Aneenumeravel.7-Denotamos 0, 1Naoconjuntodetodasasfun coesf : N 0, 1. Mostreque#0, 1N= #T(N).Sugestao: Paracadaf 0, 1Nconsidereoconjuntof1(1).8 - Seja Aumconjuntonaovazio. Denotamos por A{1,2}aoconjuntodas fun coesf: 1, 2 A. Mostreque#A{1,2}= #A2.9-Sejam(K, +, )umcorpoex, y, z K. Mostrequea) x0 = 0;b) (x)y = (xy);c)(x)(y) = xy.Sugestao: Em(9.a)use0 = 0 + 0. Em(9.b) use(9.a)eem(9.c)use(9.b)duasvezes.10-Mostreaunicidadede1apartir desuaexistenciaedacomutatividadedamulti-plica cao, ouseja, mostrequeseaopera caoecomutativaemKeexistex Ktal quexy= yqualquerquesejay K,entaoele eunico.11- Mostreaunicidade doinversodex K 0apartir de suaexistenciaedacomutatividadedaopera caodemultiplica cao.12-Sejam(K, +, , )umcorpoordenadoex, y, z K. Mostrequea) sex < y,entaox +z< y +z;b) sex < y,entaoxz< yzquando0 < zeyz< xzquandoz< 0.13-Seja(K, +, , )umcorpoordenado. Sejamx, y K. Mostrequea) sex 0ey 0,entaoxy 0;b) sex 0ey 0,entaoxy 0;c)sex 0ey 0,entaoxy 0;d) sex > 0ey> 0,entaoxy> 0;e)sex > 0ey< 0,entaoxy< 0;2.6. EXERCICIOS. 25f )sex < 0ey< 0,entaoxy> 0.14-Sejaf: A Bumafun caocrescenteedecrescenteaomesmotempo. Mostrequefeconstante,i.e.,f(x) = f(y) quaisquerquesejamx, y A.15-Seja(K, +, , )umcorpoordenado.a) Mostreque0 xxparatodox Keconcluaque0 < 1.b)Mostrequese0 x, entao x 0econcluaque 1 0,entaox1> 0;b) sex < 0,entaox1< 0;c)se0 < x < y,entao0 < y1< x1.17-(DesigualdadedeBernoulli1)Sejam(K, +, , ) umcorpoordenadocontendoNea Kcoma 1. Mostre,porindu cao,que(1 +a)n 1 +naparatodon N.18-Sejam(K, +, , )umcorpoordenadoarquimediano, ex Kcomx>0. Mostrequea) existey Ktalque0 < y < x;b) sey Key> 0,entaoexisten Ntalquex < ny;c)sey Key> 1,entaoexisten Ntalquex < yn.1JacquesBernoulli: 27/12/1654, Basileia,Su ca- 16/08/1705, Basileia,Su ca.26 CAPITULO2. NUMEROSNATURAIS,INTEIROS ERACIONAISCaptulo3N umerosreais3.1 Apolemicadescobertadosincomensuraveis.Uma das guras mais importantes da Matematica grega foi Pitagoras1. Nascido emSamos, uma das ilhas do Dodecaneso, ele viajou pelo Egito e Babilonia antes de se estabeleceremCrotona(atualmentenaItalia)elafundar achamadaEscolaPitagorica. Maisdoqueumaescolamatematicaelaeraumasociedadesecretadotadadevariasdoutrinascientcas,losocas, polticasemorais. Umadelasdiziaqueoconhecimentoeraumbemcomum`asociedade,eporisso,aatribui caodedescobertasnaoerafeitaanenhummembroespeccodaescola. Por estarazao, emelhor naofalar daobradePitagoras massimdaobradospitagoricos.OfamosoTeoremadePitagorasjaeraconhecido, provavelmente,poroutrasciviliza coesmasimagina-sequeforamospitagoricososprimeirosademonstra-lo.Segundooutradoutrinapitagoricatudoenumero, ouseja, tudopodiaser explicadoatraves dos numeros (inteiros) e suas razoes (numeros racionais). Acreditava-se tambemquedadosdoissegmentosquaisquereleseramsemprecomensuraveis, i.e., queexistiaumterceirosegmento, menor que os dois primeiros, tal que cada um deles era multiplo inteiro domenor. Em outros termos, se a e b sao os comprimentos dos dois segmentos, entao existe umsegmentodecomprimentocedoisinteirosmentaisquea = mceb = nc. Daconclui-sequea/b = m/n. Muitasdasdemonstra coesdaepocaerambaseadasnestefato. Vejamosoque,juntocomoTeoremadePitagoras,istoacarreta.Consideremos umquadradodelado1esejadocomprimentodesuadiagonal. PeloTeoremadePitagorasd2=12+ 12=2. Pelacomensurabilidadeentreadiagonal eolado,existem inteiros m e n tais que d/1 = m/n. Podemos supor, sem perda de generalidade, quemennaotemdivisorcomummaiorque1. Assim, 2 = d2= m2/n2. Seguequem2= 2n2e, portanto, m2epar, oqueimplicaquemtambeme. Logo, existeuminteiroptal quem = 2p. Temosentao2n2= m2= 4p2e,portanto,n2= 2p2. Daconclumosquen2epar1PitagorasdeSamos: 569A.C.,Samos,Grecia- 475A.C.,?.2728 CAPITULO3. NUMEROSREAISe, logo, ntambeme. Provamosquetantomquantonsaoparescontradizendoofatoqueelesnaopossuemdivisorcomummaiorque1. Istomostraque1edsaoincomensuraveis.Acomensurabilidade entre dois segmentos quaisquer e equivalente ao fato que todonumeroeracional! Aincomensurabilidadeentre1edsignicaqued=2naoeracio-nal. IstomostrouaosPitagoricosque, aocontrariodoqueelespreconizavam, osnumeros(inteiros) esuas razoes naoeramcapazes deexplicar tudo. Acredita-seesteresultadofoidescobertoereveladopor HippasusdeMetapontum1que, por estemotivo, foi expulsodaconfraria(pior,segundoalenda,elefoijogadoaomar).Foi Eudoxo2quemresolveuacrisesurgidacomadescobertadosincomensuraveisintro-duzindoumanovadeni caoderazaotalcomoelaaparecenolivroVdeOsElementosdeEuclides3.3.2 CortesdeDedekind.Vimosnase caoanterior queosnumerosracionaissaoinsucientes. Por isto, devemoscompleta-losintroduzindoocorpoordenado(R, +, , )dosnumerosreais. OconjuntoRcontemoconjuntodosnumerosracionais. Existemvariasmaneirasdeconstruirestecorpoordenado. Neste texto, optamos pela constru cao atraves de cortes de Dedekind4[4] que podeservistacomoumamoderniza caodaideiadeEudoxo.Comcertezaoleitorestahabituadoatrabalharcomnumerosreais. Porem,seeste eseuprimeiroCursodeAnalise, emuitoprovavel queelenuncatenhavistoadeni caodenumeroreal. Oobjetivodestase caoecobrirestalacuna.Os gregos daepocapitagoricaconheciamemanipulavamnumeros racionais e apenaseles. Suas demonstra coes eram baseadas nas propriedades dos racionais e somente nelas. Poroutro lado, eles sabiam que existiam outros numeros (por exemplo2) e, pelo fato de naosaberemcomoeleseram, osgregoseramincapazesdemanipula-los. Estefoi omotivodacrisedescritanase caoprecedente.Pe coaoleitor quesecomporte, simultaneamente, comduasposturasdiferentes. Deveesquecer tudo o que conhece sobre numeros reais - ate mesmo a existencia. Deve admitir, nestemomento,queconhece, alemdeTeoriadosConjuntos,apenasfun coes, numerosracionaisesuaspropriedades(operatorias,ordem, etc). Poroutrolado,oleitordevemanteremmenteoconjuntodos numeros reais pois aexperienciaadquiridacomelenos guiaraparaasuaconstru cao. Sabendoondesedevechegarcamaisfacilpercorrerocaminhoatela.Amesmatipograa usadaparaasdeni coes,exemplos,teoremas,etcserausada, eiden-ticadapelapalavraIDEIA,paraexplicaraideiaintuitivasobreosnumerosreaisqueestara1HippasusdeMetapontum: 500A.C.,Metapontum,Italia- ?2EudoxodeCnido: 408A.C.,Cnido,Turquia- 355A.C.,Cnido,Turquia.3EuclidesdeAlexandria: 325A.C.,?- 265A.C.,Alexandria,Egito.4JuliusWihelm Richard Dedekind: 06/10/1831, Braunschweig, Alemanha - Braunschweig, Alemanha.3.2. CORTESDEDEDEKIND. 29portrasdas demonstra coese deni coesqueaseguirao. Porem,elasservemapenasparaistoenaopodemserusadascomofatoconstatado. Come camosporumadestasideias.IDEIA. SejaAumintervalo(denumerosreais)aberto, ilimitadoinferiormenteelimitadosuperiormente. Claramente, existea Rtal queA=(, a). Reciprocamente, dadoumnumero real a o intervalo (, a) e aberto, ilimitado inferiormente e limitado superiormente.Destaforma,existeumacorrespondenciabiunvocaentrenumerosreaiseintervalosabertos,ilimitadosinferiormenteelimitadossuperiormente. Anossaconstru caoserabaseadanestacorrespondencia: consideraremosintervalosdotipo(, a)enoconjuntodetaisintervalosdeniremosumarela caodeordemassimcomoopera coesdesomaemultiplica cao. Aonaldiremosquecadaintervalodestes eumnumeroreal.Onossotrabalhoconsisteentaoemdenirumintervaloaberto,ilimitadoinferiormenteelimitadosuperiormente, i.e., umintervalodotipo(, a)semconsideraronumeroaque,rigorosamentefalando, naoexiste! Adeni caoseguintecumpreesteobjetivo.DEFINICAO3.1. DizemosqueA Q eumcortesevalemasseguintespropriedades.i. A ,= eA,= .ii. Sep Aeq< pentaoq A.iii. Paratodop Aexisteq Atalquep < q.Denotamosoconjuntodetodososcortespor.IDEIA. As duas primeiras condi coes da Deni cao 3.1 implicam que A e um conjunto da forma(, a) Qou(, a] Q. Aterceiracondi caoexclui asegundapossibilidade(quandoa Q)dizendoqueAnaotemmaximo.EXEMPLO3.2. Sejar Q. OconjuntoZ(r) = p Q; p < r eumcorte. Defato, efacil ver que Z(r) satisfaz as duas primeiras propriedades da deni cao de corte. Falta mostrarque ele satisfaz a terceira. Seja p Z(r) e tomemos q= (p +r)/2. Claramente temos p < qeq< r(logoq Z(r)). Denimosdestamaneiraumafun caoZ: Q que e claramenteinjetiva. Veremos,posteriormente,outrasdesuasimportantespropriedades.Oexemploanterior efundamental. Paradestaca-lo,fazemosaseguintedeni cao.DEFINICAO3.3. OcortesdaformaZ(r)= p Q; p 0.Existemu Bev Ctaisqueq=uv, u>0ev>0. Suponhamosv t(ocasov > t se trata analogamente). Temos r = st +u v = (s +u v/t)t. Como v/t 1 temosqueuv/t B. Seguequer (AB) C.2)q= 0.TomemosqB Ctal queq0,entao(xn)nNeestritamentecrescentee, portanto, limitadainferiormente. Finalmente, ser < 0,entao(xn)nNeestritamentedecrescentee,portanto,limitadasuperiormente.4546 CAPITULO4. SEQUENCIASESERIESDEFINICAO4.5. Dizemosque(yk)kNeumasubsequenciade(xn)nNseexisteumasequencia(nk)kN Nestritamentecrescentetalqueyk= xnkparatodok N.EXEMPLO4.6. Seja(xn)nNaProgressaoAritmeticadetermoinicial aerazaor. AProgressaoAritmetica(yk)kNdetermoinicialae razao 2re umasubsequenciade(xn)nN.Defato,tomandonk= 2k 1(k N)obtemosxnk= a + (nk 1)r = a + (2k 2)r = a + (k 1)(2r) = yk.4.2 Seq uenciasconvergentes.Intuitivamente, uma sequencia (xn)nN e convergente para x se seus termos se aproximamde x quando n cresce. Esta ideia nao esta de todo errada. Porem, ela pode induzir a uma ideiaequivocadadeconvergencia. Somostentadosadizerque(xn)nNconvergeparaxquandoadistanciaentrexnexdiminui `amedidaquencresce, ouseja, afun caof(n)= [xn x[edecrescente. Nao e bem assim. Veja a Figura 4.1. Ela foge um pouco do assunto sequenciasem de numeros reais mas ilustra bem o que queremos dizer por se aproximar. Imagine que,partindo do ponto A, percorremos no sentido anti-horario o caminho desenhado como indicadopelas setas. Ninguem duvida, e com razao, de que estaremos assim nos aproximando do pontoO. Porem, aideiadequeanossadistanciaaopontoOdecrescecomotempomostra-seerrada. Conven ca-sedistopercebendoquepassamosprimeiroporBantesdechegaraCe,entretanto, osegmentoBOemenorqueosegmentoCO. Defato, adistanciaaOcrescequandopercorremos osegmentoBC. Podemos perceber que existemmuitos trechos docaminhosobreosquaisadistanciaaOecrescentecomotempo, demodoquenaoexistenenhumpontoapartirdoqualadistanciaaOpasseaserdecrescentecomotempo.AB CDO1Figura4.1: EspiraldaconvergenciaContinuemosanalisando a Figura4.1 em buscada boa deni caode convergencia. Obser-vamosquenossadistanciaaOcataopequenaquantoquisermos, bastandoparaistoquecontinuemosandandoporumtemposucientementelongo. Porexemplo, nossadistanciaa4.2. SEQUENCIASCONVERGENTES. 47O sera menor que 1 depois que passarmos pelo ponto D. Ou seja, em certo instante entramosna bola de raio 1 centradaem Oe dela nao samos mais. Da mesmaforma, a partir de outroinstante (futuro) entramos na bola de raio 1/2, centrada em O, e a camos. De modo geral,dado qualquer numero positivo , existe um instante a partir do qual nossa distancia a Oseramenor que . A esta a deni cao. Para sequencias de numeros reais ela e expressa da seguintemaneira.DEFINICAO4.7. Umasequencia(xn)nNeditaconvergenteseexistex Rdemodoque > 0, N N talque n N = [xnx[ < .Nestecaso, escrevemosxn xedizemosquexelimitedasequencia(xn)nNouquexnconvergepara (ou tendea)xquando n tendeamais innito(n +). Se (xn)nNnaoeconvergente,entaodizemosqueela edivergente.EXEMPLO4.8. Sejax Reconsidereasequenciadadaporxn=xparatodon N.Temosquexn x. Defato, [xnx[ = 0paratodon N. Portanto,podemosescrever > 0, n 1 = [xnx[ < .EXEMPLO4.9. Considereasequenciaxn=1/nparatodon N. Vamosmostrarquexn 0. Dado > 0,tomemosN Ntal queN> 1/. Temosentao0 < 1/N< . Massen Nen N,entaoxn= 1/n 1/N= xN. Logo, podemosescrever > 0, N N talque n N = [xn0[ < .Oleitortalvezconhe caanota caolimn+xn=xparaxn x. Vamosreetirsobreela. Por enquanto, fa camos de conta que nao conhecemos a deni cao de limite. SuponhamosqueaoabrirumlivrodeAnalise,pelaprimeiravez,encontremosasseguintesinscri coes:xn 0 e xn 1.Naocaramoschocados. Porem,seestivesseescritolimn+xn= 0 e limn+xn= 1.Seramoslevadosaconcluirque0 = 1. Ora, eosinal deigual=quenoslevaaestacon-fusao. Se nao tivermos a unicidade do limite,entao a nota cao limn+xn= x e fortementeenganosa. Apenas para constar, informo ao leitor interessado a deni cao de convergencia numcontextomaisgeral (deespa costopologicos),doqual anossaeumcasoparticular,permiteanaounicidadedolimite(istoocorreemespa cosquenaosaodeHausdor1). Entretanto,aproximaproposi caonosdaradireitoaousodanota caolimn+xn= x.1FelixHausdor: 08/11/1868, Wroclaw,Pol onia- 02/01/1942, Bonn,Alemanha.48 CAPITULO4. SEQUENCIASESERIESPROPOSICAO4.10. Sejam (xn)nNuma sequencia e x, y R tais que xn x e xn y.Entaox = y.Demonstracao. Suponhamos, porabsurdo, quex ,=y. Seja= [x y[/2>0. Comoxn x,existeN Ntalquen N = [xnx[ < .Tambemtemosxn y. Logo, existeN Ntalquen N= [xny[ < .SejanomaiordosnumerosNeN. Paratal nasduasconclusoesanterioressaovalidas.Temosentao[x y[ [x xn[ +[xny[ < + = 2 = [x y[.Conclumosque [x y[ < [x y[, oque eabsurdo.PROPOSICAO4.11. Uma sequencia (xn)nN tende a x se, e somente se, toda subsequenciade(xn)nNtendeax.Demonstracao. Suponhamosqueexistax Rtal quexn x. Seja(yk)kNumasub-sequenciade(xn)nN, i.e., yk=xnk(k N)paraalgumasequencia(nk)kN Nestrita-mentecrescente. Mostremosqueyk x. Seja > 0. Comoxn x,existeN Ntalquesen N, entao [xn x[1000. Ouseja, (xn)nNeconstanteapartirdoseumilesimo-primeirotermo. Conclumosqueela econvergente.TEOREMA4.14. Todasequenciaconvergente elimitada.Demonstracao. Seja(xn)nNumasequenciaconvergenteparax R. Tomando=1nadeni caodesequenciaconvergente, conclumosqueexisteN Ntal quesen N, entao[xnx[ < 1,i.e.,xn (x 1, x + 1). Tomandoa = minx1, . . . , xN, x 1 e b = maxx1, . . . , xN, x + 1temosimediatamentequexn [a, b]paratodon N. Portanto(xn)nNelimitada.4.3 Seq uenciasmonotonaseseq uenciaslimitadas.A recproca do Teorema 4.14 e falsa como mostra o Exemplo 4.12. Porem, existem algumasrecprocas parciais que veremos nesta se cao. Muitos dos resultados aqui apresentados utilizam,emsuademonstra cao,acaracteriza caodosupremovistanoExerccio5doCaptulo3.PROPOSICAO4.15. Se (xn)nNe crescente e limitada superiormente, entao xnsupxn; n N. Damesmaforma, se(xn)nNedecrescente elimitadainferiormente,entaoxn infxn; n N.Demonstracao. Vamosprovarapenasaprimeirapartedaproposi caojaqueasegundasedemonstrademodoanalogo. Sejas = supxn; n N. Dado > 0,tomeN Ntalquex n.Existemduaspossibilidades: NeinnitoouNenito.1ocaso: Neinnito.Escrevamos N= n1, n2, n3, . . . comn1 0, N N talque n, m N = [xn xm[ < .Uma sequencia e de Cauchy se seus termos se aproximam uns dos outros. Repare que naoapenastermosconsecutivosmassimtodoseles.Enatural acreditarquequalquersequenciaconvergente e de Cauchy e vice-versa. Vamos admitir, por hora, que sequencias convergentessaodeCauchy(estefatoserademonstradoaseguir). Fa camosalgunscomentariossobrearecproca.Considere uma sequencia (xn)nN de numeros racionais convergente para, por exemplo,2(existetal sequencia?). SendoconvergenteelaedeCauchy. Comoadeni caodesequenciadeCauchynaofazmen caoaolimite, mesmosesoconhecessemosnumerosracionaisaindaestaramosdeacordoque(xn)nNedeCauchy. Porem,nestecaso,naoseramoscapazesdemostraraexistenciadolimite. Ouseja, seconsiderassemosapenasnumerosracionais, naoseriapossvelmostrarquetodasequenciadeCauchy econvergente.Jaquesequencias deCauchysaoconvergentes emRmas naoemQ, istodeveestarrelacionado`acompleteza. Defato, algunsautoresusamsequenciasdeCauchydenumerosracionaisparaconstruirR. Avantagem destaconstru cao e queelapode serempregadaparacompletar outros conjuntos (ou melhor, espa cos metricos) que nao sejam corpos ordenados.TEOREMA4.18. Umasequencia econvergentese,esomentese,ela edeCauchy.1AugustinLouisCauchy: 21/08/1789, Paris,Fran ca- 23/05/1857, Sceaux,Fran ca.4.5. LIMITES INFINITOS. 51Demonstracao. Seja(xn)nNumasequenciaconvergenteparaolimitex. Dado>0,existeN Ntalquesen N,entao [xnx[ < /2. Portanto,sem, n Ntemos[xnxm[ [xn x[ +[x xm[ 0. Como(xn)nNedeCauchy,existeN Ntalquen, m N = [xnxm[ Meequivalentea xn< M, temosquexn +se, esomentese,xn . Portanto toda arma cao sobre limite mais innito tem uma analoga para limitemenosinnito.4.6 Operacoescomlimites.Temosaseguiralgumaspropriedadesaritmeticasdelimitesnitos.PROPOSICAO4.22. Sejam(xn)nNe(yn)nNconvergentesparaxey,respectivamente,ec R. Temos:i. xn +yn x +y;ii. xn yn xy;iii. cxn cx;iv. sey ,= 0,entaoy1n y1.Demonstracao. (i)Seja > 0. Gra cas`asconvergenciasde(xn)nNe(yn)nN,existemNeNtaisque, sen N, entao [xn x[ 0talque[xn[ < Cpara todo n N. Seja N N tal que se n N, entao [xnx[ < e [yny[ < .Destaforma,paran N,temos[xn ynxy[ [xn ynxny[ +[xn y xy[ = [xn[[yny[ +[y[[xnx[ C[yny[ +[y[[xnx[ < (C +[y[).Istomostraquexnynconvergeparaxy.(iii)Econsequenciadoitemanterior,tomandoyn= cparatodon N.4.6. OPERAC OESCOMLIMITES. 53(iv)Seja>0eNNtal que, sen N, entao [yn y[ [y[/2, i.e., [yn[1< 2[y[1,quandon N. TomandoN= maxN, N,paratodon N,temosque1yn1y= [y yn[[yn[[y[ 0. PeladesigualdadedeBernoulli, [rn[= [r[n1 +nhe,portanto, [rn[ +. Emparticular,(rn)nNedivergente(Exerccio(2.b)).Deixamosparaoleitoroestudodoscasosr = 1er = 1.Vejamosagoraaspropriedadesaritmeticasdelimitesinnitos.PROPOSICAO4.24. Sejam (xn)nNe (yn)nNduas sequencias e c > 0. Suponhamos quexn +. Temos:i. se(yn)nNelimitadainferiormente,entaoxn +yn +;ii. seyn cparatodon N,entaoxn yn +;iii. cxn +;iv. x1n 0.Demonstracao. (i)Sejaa Rtal quea ynparatodon N. DadoM R, comoxn +, existe N N tal que se n N,entao xn> M a. Segue que se n N,entaoxn +yn xn +a > M. Conclumosquexn +yn +.(ii)DadoM R,podemostomarN Ntal quesen N, entaoxn> [M[/c. Destaforma,sen N,entaoxn yn xnc > [M[ M. Portantoxnyn +.(iii)Econsequenciadoitemanterior,tomandoyn= cparatodon N.(iv)Dado>0, tomemosN Ntal quesen N, entaoxn>1. Seguequesen N,entao [x1n0[ = x1n< . Conclumosquex1n 0.54 CAPITULO4. SEQUENCIASESERIES4.7 Limitesuperiorelimiteinferior.Noestudodelimitesdesubsequencias econvenientefazeraseguintedeni cao.DEFINICAO4.25. Dizemosquex Revalor deaderenciade(xn)nNseexistesub-sequenciade(xn)nNconvergenteparax.O TeoremadeBolzano-Weierstrass diz entaoquetoda sequencialimitadapossui valor deaderencia.Observequese(xn)nNelimitadasuperiormente, entaooconjuntodosseusvaloresdeaderencia tambem e limitado superiormente (veja Exercicio (4.c)). Analogamente, se (xn)nNelimitadainferiormente,entaooconjuntodeseusvaloresdeaderenciatambem e.DEFINICAO4.26. SejaAoconjuntodos valores de aderenciade (xn)nN. Olimitesuperiorde(xn)nNedenidoporlimsupn+xn=___+ se(xn)nNeilimitadasuperiormente;sup A se(xn)nNelimitadasuperiormenteeA ,= ; se(xn)nNelimitadasuperiormenteeA = .Olimiteinferiorde(xn)nNedenidoporliminfn+xn=___ se(xn)nNeilimitadainferiormente;inf A se(xn)nNelimitadainferiormenteeA ,= ;+ se(xn)nNelimitadainferiormenteeA = .Essencialmente, olimite superior deumasequenciaeoseumaior valor deaderencia,enquantoqueolimiteinferior eseumenorvalordeaderencia.AProposi cao4.11dizque(xn)nNconvergeparaxse, esomentese, xeounicovalordeaderenciade(xn)nN. Istotambempodeserexpressodizendolimn+xn= x liminfn+xn= limsupn+xn= x.Podeparecer estranhotomar comodeni caodelimitesuperior deumasequencialimitada superiormente e sem valor de aderencia. A razao e que, nestas condi coes, a sequenciatendea (vejaExercicio8). Destaforma, oresultadodoparagrafoanterior tambemevalidoparalimitesinnitos.PROPOSICAO4.27. Existesubsequencia(xnk)kNde(xn)nNtalquelimk+xnk= limsupn+xn.Emparticular,selimsupn+ R,entaoesteeomaiorvalordeaderenciade(xn)nN.4.8. SERIES. 55Demonstracao. SejaAoconjuntodosvaloresdeaderenciadexn.Suponhamosinicialmenteque(xn)nNsejailimitadasuperiormentee,portanto,limsupn+xn= +.Nestecaso, eimediatoque(xn)nNtemsubsequenciaquetendea+.Suponhamos,agora,que(xn)nNsejalimitadasuperiormenteeA = . Portanto,limsupn+xn= .Se (xn)nNfor limitada inferiormente, entao (xn)nNsera limitada e, pelo Teorema deBolzano-Weierstrass, teremosA ,=. Logo, (xn)nNeilimitadainferiormentee, portanto,temsubsequenciatendendoa .Finalmente, suponhamosque(xn)nNsejalimitadasuperiormenteeA ,=. Comojaobservadoantes, Aelimitadosuperiormentee, portanto, seusupremosenito. Vamosmostrar ques A. Aplicandosucessivamente oresultadodoExerccio5doCaptulo3obtemos:a1 A talque s a1> s 1;a2 A talque s a2> s 1/2;a3 A talque s a3> s 1/3; . . .Comoa1evalordeaderenciade(xn)nNes + 1>a1>s 1, existen1 Ntal ques + 1 > xn1> s 1. Tambemtemosa2 A,logo,existen2> n1talques + 1/2 > xn2>s1/2. Prosseguindo deste forma, construmos uma subsequencia (xnk)kN convergente paras. Segueques A.4.8 Series.DEFINICAO4.28. Considereumasequencia(xn)nN. Paracadan NdenimosSn=n

i=1xi= x1 + +xn.A sequencia(Sn)nNe ditadassomasparciaisdaserie

xne xne on-esimotermo outermogeraldaserie. Escrevemos+

n=1xn= limn+Snquandoolimiteacimaexistee, nestecaso, eleeditolimitedaserie. Dizemosque

xneconvergenteoudivergentese(Sn)nNeconvergenteoudivergente, respectivamente.Finalmente, dizemosque

xneabsolutamenteconvergenteseaserie

[xn[econver-gente.56 CAPITULO4. SEQUENCIASESERIESEXEMPLO4.29. ConsidereaSerieGeometricadetermogeralxn= r(n1). TemosSn= 1 +r +r2+ +rn2+rn1.Ser =1, entaoeimediatoqueSn=n. Segueque(Sn)nNdivergee, portanto,

xndiverge. Suponhamosr ,= 1. MultiplicandoporSnporrobtemosrSn= r +r2+r3+ +rn1+rn= 1 +r +r2+r3+ +rn1+rn1= Sn +rn1.Portanto, Sn=(rn 1)/(r 1). Assim,

xnconvergese, esomentese, [r[ 0, N N talque n m N =n

i=mxi< .ii. Se

xnconverge,entaoxn 0.4.8. SERIES. 57iii. Todaserieabsolutamenteconvergente econvergente.Demonstracao. (i)OcriteriodadodizsimplesmentequeasequenciadassomasparciaisedeCauchy. OresultadoseguedoTeorema4.18.(ii)Seguede(i),tomandom = n.(iii)Observamosqueparatodom, n Ntemosm

i=nxim

i=n[xi[ =m

i=n[xi[Portanto,por(i),aconvergenciade

[xn[implicaade

xn.Oitem(iii) doteoremaanterior estaintimamente ligadoaofatode Rser completo.Devemos ressaltar ainda que a sua recprocanao e verdadeira, ou seja, existem series que saoconvergentesmasnaoabsolutamenteconvergentes. Veremosumexemploposteriormente.EXEMPLO4.32. Peloitem(ii), acondi caoxn 0enecessariaparaaconvergenciadaserie

xnporem elanao e suciente. A SerieHarmonica

1/n e o contraexemplomaisfamoso. Defato,temosS2= 1 +12,S4= S2 +13+14> S2 +24= 1 + 2 12,S8= S4 +15+16+17+18> 1 + 2 12+48= 1 + 3 12...Portanto, S2n >1 + n/2. Da, seguequelimn+S2n =+. Conclumos queaseriediverge.Vamostratar agoradealgunscriteriosdeconvergenciaparaseriesdetermospositivos.Claramente, todos os criterios aqui expostos podemser adaptados paraseries de termosnegativos. De fato, se

xne uma seriede termosnegativos, entao

(xn) e uma seriedetermospositivose,alemdisto,aprimeiraconvergese,esomentese,asegundaconverge.Eventualmente, podemos usar tambem criterios sobre series de termos positivos para umaserie

xnque tenha termosde sinais variaveis. Ora, seao aplicarmos algum destescriteriospara a serie

[xn[ concluirmos que ela e convergente, entao, como toda serie absolutamenteconvergenteeconvergente, concluiremosque

xnconverge. Poroutrolado, seocriterionada disser, ou mesmo se ele nos informar que

[xn[ e divergente, em geral, nada poderemosarmarsobreaconvergenciadaserie

xn.Observamos tambem o seguintefato, ja mencionadono casode sequencias. Os primeirostermosdeumaserienadainuemnasuanatureza. Defato, aserie

xnconvergese, e58 CAPITULO4. SEQUENCIASESERIESsomentese, aserie

xn+2006converge. Demaneirageral, xadop Naserie

xneconvergentese,esomentese,aserie

xn+peconvergente. Destaforma,todososcriteriosquedeterminamanaturezadeumaserieatravesdealgumapropriedadevericadaportodososseustermoscontinuamvalidosseatal propriedadeevericada`apartirdealgumtermo(porexemplo, 2006). Poroutrolado, naopodemosdesprezar nenhumtermodeumaserieconvergentequandoestamosinteressadosemdeterminarovalordoseulimite.PROPOSICAO4.33. Umaseriedetermos positivoseconvergentese, esomentese, asequenciadesuassomasparciais elimitadasuperiormente.Demonstracao. Pordeni cao,

xneconvergentese, esomentese, asequenciadesuassomasparciais(Sn)nNeconvergente. Comoxn 0, temosimediatamenteque(Sn)nNecrescente. Logo,(Sn)nNeconvergentese, esomentese, elaelimitadasuperiormente(verproposi coes4.14e4.15)TEOREMA4.34. (Criterio da Comparacao) Sejam (xn)nN e (yn)nN tais que 0 xn ynparatodon N.i. Se

ynconverge,entao

xnconverge.ii. Se

xndiverge,entao

yndiverge.Demonstracao. Sejam (Sn)nNe (Tn)nNas sequencias de somas parciais de

xne

yn,respectivamente. Dexn ynsegueimediatamentequeSn Tnparatodon N. Assim,se (Sn)nN e ilimitada superiormente,entao (Tn)nNtambem e. Por outro lado, se (Tn)nN elimitadasuperiormente,entao(Sn)nNtambem e. Conclumosgra cas `aProposi cao4.33.EXEMPLO4.35. Vamosestudaranaturezadaserie

1/npsegundoosvaloresdep.Eclaroquesep 0,entaoeladivergepoisnestecasolimn+xn ,= 0.Suponhamos 0 p 1. Temos 1/n 1/nppara todo n N. Portanto, por compara caocomaSerieHarmonica,conclumosqueaseriediverge.Finalmente, consideremos os caso p > 1. Mostraremos que a serie converge. Seja (Sn)nNasequenciadassomasparciais. Paratodon N,temosSn= 1 +12p+13p+ +1np 1 +12p+13p+ +1np+ +1(2n1)p= 1 +_12p+13p_+_14p+15p+16p+17p_+ +_1(2n1)p+ +1(2n1)p_ 1 +22p+44p+ +2n1(2n1)p=n

i=1(21p)(i1).4.8. SERIES. 59Comop > 1temos21p< 1e,portanto,aSerieGeometricaderazao21pconverge. Segueque(Sn)nNelimitadasuperiormenteeportanto

1/npeconvergente.TEOREMA4.36. (TestedaRazao, oudedAlembert1)Seja(xn)nNumasequenciadenumerosestritamentepositivos.i. Selimn+xn+1/xn< 1,entao

xneconvergente.ii. Selimn+xn+1/xn> 1,entao

xnedivergente.Demonstracao. (i)Tomemosr Rtal quelimn+xn+1/xn 0 talque [y x[ < = y A.5.3. PONTOSDEADERENCIAECONJUNTOSFECHADOS. 67EXEMPLO5.4. O conjunto vazio e aberto! De fato, negar estaarma cao signica admitirque e,emparticular,admitirqueexistex .EXEMPLO5.5. Oconjunto[0, 1] naoe abertopois, comojavimos, 1 / [0, 1]. Damesmamaneira, 0/ [0, 1]. Poroutrolado, qualquerx (0, 1)einteriorde[0, 1] ouseja[0, 1]= (0, 1).Aspropriedadesmaisimportantesdosconjuntosabertossaodadasnoteoremaabaixo.TEOREMA5.6. Temos:i. osconjuntoseRsaoabertos;ii. todareuniaodeabertos eaberta;iii. todainterse caonitadeabertos eaberta.Demonstracao. (i)Jafoiprovado.(ii) Sejam(Ai)iIumafamliade abertos e A=

iI Ai. Se x A, entaoexistei I tal que x Ai. ComoAie aberto, temos x Ai, logoexiste >0tal que(x , x +) Ai A. Seguequex A.(iii) Basta mostrar que se A1e A2sao dois conjuntos abertos entao A = A1A2tambeme aberto(ocasogeral segue por indu cao). Se A=, entaonaoha nadamais a serdemonstrado. Suponhamos A ,= e seja x A. Temos que x A1e x A2, logo, existem1, 2> 0taisque(x i, x + i) Ai(i = 1, 2). Tomando = min1, 2obtemosque(x , x +) A,ouseja,x A.5.3 Pontosdeaderenciaeconjuntosfechados.DEFINICAO5.7. Dizemosquex RepontodeaderenciadeF Rseexisteumasequencia(xn)nN Ftal quexn x. Nestecaso, escrevemosx F, ouseja, FeoconjuntodospontosdeaderenciadeFetambem echamadodefechodeF.Efacil verquexepontodeaderenciadeFse, esomentese, qualquerintervaloabertodaforma(x , x +),onde > 0,tempontosdeF.Temos sempre FF. Poremainclusaoinversa naoe necessariamente verdadeira.Tomemos, por exemplo, F =[0, 1). Temos 1F pois a sequencia xn=1 1/neconvergentepara1ealemdistoxn Fparatodon N.68 CAPITULO5. TOPOLOGIADERSeja(xn)nNumasequenciaconvergenteparax. Sabemos quesexn aparatodon N,entaox a. Domesmomodo,sexn bparatodon N,entaox b. Conclu-sequeumasequenciaconvergentedepontosemumintervalofechadotemoseulimitenointervalo. Ouseja,seFeumintervalofechadoenaovazio,entaoF= F.DEFINICAO5.8. Um conjuntoFe fechadose todos osseuspontos de aderenciaperten-cemaF,ouseja,seF F(quenestecasoimplicaF= F).EXEMPLO5.9. O conjunto vazio e fechado! De fato, negar esta arma cao signica admitirquee,emparticular,admitirqueexiste(xn)nN .EXEMPLO5.10. Oconjunto[0, 1)naoefechadopois, comojavimos, 1 (0, 1). Damesmamaneira0 (0, 1). Poroutrolado,se(xn)nN (0, 1) econvergenteparaxentaox [0, 1]. Segueque(0, 1) = [0, 1].Oconjuntovazio(etambemR)saoexemplosdeconjuntosquesaoabertosefechadossimultaneamente. Isto nos mostra, que ao contrario do que podem sugerir as palavras abertoefechado, estesdoisconceitosnaosaoexcludentes. Porem, existeumarela caoestreitaentreconjuntosabertoseconjuntosfechados.PROPOSICAO5.11. Um conjunto e aberto se, e somente se, seu complementar e fechado.Demonstracao. SejaA ReF= A.Suponhamos que A seja aberto e mostremos que Fe fechado. Para isto, devemos mostrarqueF F. Se, porabsurdo, existirumasequencia(xn)nN Fconvergenteparax/ F(i.e., x A), entao, comoAeaberto, existe>0tal que(x , x + ) A. Destamaneira,paransucientementegrande,temosquexn (x , x +) A. Isto eabsurdopoisxn F= Aparatodon N.Suponhamos agora que Fseja fechado e mostremos que A e aberto. Se A nao for aberto,entao existira x A tal que x/ A. Assim, qualquer que seja > 0, o intervalo (x, x+)naoestaracontidoemA. Emparticular, paracadan N, tomando=1/nconclumosqueexistexn (x 1/n, x + 1/n)tal quexn/ A, ouseja, xn F. Vemosfacilmentequexn xe, portanto, x F. ComoFefechado, temosx F, oqueeabsurdopoisx A = F.OBSERVACAO5.12. Tomandocomplementares,oTeorema5.6nosdizquei. osconjuntoseRsaofechados;ii. todareuniaonitadefechados efechada;5.4. CONJUNTOSCOMPACTOS. 69iii. todainterse caodefechados efechada.Umconceitorelacionadoaodepontodeaderenciaedemuitaimportanciaedadonadeni caoseguinte.DEFINICAO5.13. Dizemosque x R e pontodeacumulacaode F R se existeumasequencia(xn)nN F xtalquexn x,ou,emoutrostermos,sex F x.Aideiadestadeni caoequesexepontodeacumula caodeFentaoxpodeserapro-ximadoporelementosdeF,diferentesdex.Segueimediatamentedadeni caoquetodopontodeacumula caoetambempontodeaderencia. Porem, arecprocanaoeverdadeira. Poristo, consideramostambemaseguintedeni cao.DEFINICAO5.14. Sex e ponto de aderenciade Fe nao e ponto de acumula cao, entao xeditopontoisoladodeF.Tenteentenderoporquedestanomenclatura.5.4 Conjuntoscompactos.A proxima deni cao e apenas uma entre varias maneiras de se denir conjuntos compactosemR. Estasvariasdeni coesdependendodocontexto(i.e., doespa cotopologico)podemnaoserequivalentes(nestecaso,adeni caodadanestetextoeadachamadacompacidadesequencial). Porem,comojadissemosanteriormente, atopologiadaretaebastantesimplesenestecontextotaisdeni coessaoequivalentes.Dependendo dos objetivos de cada um, pode-se usar uma ou outra forma de compacidade.Aescolhapeladeni caoseguinte e,decertamaneira,umaescolhapessoaldoautorbaseadaem suapropriaexperienciaem Matematica.E provavel que outro autor, mais interessadoemGeometriadoqueemEqua coesaDerivadasParciais,preraoutradeni cao.DEFINICAO5.15. UmconjuntoK RecompactosetodasequenciadepontosdeKtemumasubsequenciaconvergenteparaumpontodeK.Vejamosumacaracteriza caobemsimplesedeusopraticoparaconjuntoscompactos.TEOREMA5.16. (Heine1-Borel2)Umconjuntoecompactose, esomentese, eleefe-chadoelimitado.1HeinrichEduardHeine: 16/03/1821, Berlim,Alemanha-dagger21/10/1881, Halle,Alemanha.2FelixEdouardJustinEmileBorel: 07/01/1871, SaintArique,Fran ca- 03/02/1956, Paris,Fran ca.70 CAPITULO5. TOPOLOGIADERDemonstracao. PeloTeoremadeBolzano-Weierstrass, todasequencianumconjuntolimi-tado tem subsequencia convergente. Se alem de limitado o conjunto e fechado, entao o limitedestasubsequenciaseraumelementodoconjunto. Istomostraquetodofechadoelimitadoecompacto.Suponhamos agoraque K Rsejacompactoemostremosqueele e limitadoe fechado.Sejamx Ke(xn)nN Kconvergenteparax. Comoqualquersubsequenciade(xn)nNtendeax(Proposi cao4.11),gra cas`acompacidade,temosx K. SeguequeKefechado.Suponhamos, porabsurdo, queKnaosejalimitado, digamos, superiormente. Entao, paracada n N existe xn K tal que xn> n. Temos que (xn)nN Ke xn +. Portanto,todasassuassubsequenciastendema+(vejaaObserva cao4.21)e, portanto, naosaoconvergentes. IstocontradizacompacidadedeK.Aultimademonstra cao(sobretudoaprimeiraparte)edignadeumlivrodeTopologiaGeral. Emvariosdesteslivrosasdemonstra coesusammuitotextoepoucossmbolos(alga-rismos,emparticular). Naopiniao doautor,alemda importanciaincontestaveldaTopologiaGeral, esteslivrostambemsaoreferenciasperfeitasparamostraraosleigosemMatematicaque,aocontrariodoqueelespensam,nosnaosomospessoasquetrabalhamfazendocontascomalgarismos(numeros,comoelesdizem)! :-)Terminamosestase caocomoutracaracteriza caodecompactos. Mesmonaosendoutilnestecurso,talcaracteriza caoeimportantssima. EmTopologia Geral,estacaracteriza caoeadeni caodecompacidade. Antes,deniremoscoberturaaberta.DEFINICAO5.17. Umacoberturaaberta paraKe umacole cao (deconjuntos abertostaisqueK _ACATEOREMA5.18. UmconjuntoKecompactose, esomentese, todacoberturaaberta (paraKtemsubcoberturanita,ouseja,existe ( (nitaque ecoberturaparaK.Antes de demonstrar este teorema, emtoda sua generalidade, mostraremos umcasoparticular.TEOREMA5.19. (Borel-Lebesgue1)Se (eumcoberturaabertapara[a, b], entaoelatemsubcoberturanita.Demonstracao. Procedemosporabsurdo,supondoque (naotenhasubcoberturanita.Dividindoointervalo[a, b] noseupontomedioobtemosdoisintervalosdecomprimento(b a)/2. Parapelomenosumdestesintervalos, quedenotaremos[a1, b1], naoexistesub-coberturade (nita. Defato,seexistissem (, ( (nitasquefossemcoberturasparao1Henri LeonLebesgue: 28/05/1875, Beauvais,France- 26/07/1941, Paris,Fran ca.5.5. CONJUNTOSDENSOS. 71primeiroeparaosegundointervalo,respectivamente, entao ( (seriaumasubcoberturanitade (para[a, b]. Aplicamosoprocedimentoanterioraointervalo[a1, b1]. Continuandoindenidamenteesteprocessoconstrumosumasequencia_[an, bn]_nNdeintervalosencai-xantes. Alem disto, qualquer que seja n N, bnan= (ab)/2ne nao existe subcoberturanitade (para[an, bn].Gra casaoTeoremadosIntervalos Encaixantes,temosque

+n=1[an, bn] ,= . Mais preci-samente, estainterse caosotemumelementox. Defato,suponhamosqueexistay ,= xtalquey [an, bn] paratodon N. Segue0< [x y[ bn anparatodon N. Istoeabsurdojaquebn an 0.Ora,x [a, b],logo,existeA (talquex A. ComoA eaberto,existe > 0talque(x , x + ) A. TomandoN N, sucientementegrande, demodoquebN aN 1/(b a).5.6 Exerccios.1-SejaA = [0, 1) (1, 2] 3. Determine:a) A; b) A; c)A; d)_A_.2- SejamX ReAauniaodetodosossubconjuntosabertosdeX. MostrequeA = X.5.6. EXERCICIOS. 733-MostrequeXeomaiorsubconjuntoabertodeX,ouseja,mostrequea) Xeaberto;b) qualquerquesejaoabertoAtalqueA X,temosA X.4-SejamX Rex R. Mostrequesaoequivalentes:i. qualquerquesejaoconjuntoabertoAtalquex A,temosqueX A ,= ;ii. qualquerquesejaointervaloabertoItalquex I,temosX I ,= ;iii. paratodo > 0,existey Xtalque [x y[ < ;iv. x X.5-SejaX R. Mostreque(X)= X.6-SejaX R. MostrequeXeomenorfechadoquecontemX,ouseja,mostrequea) Xefechado;b) qualquerquesejaofechadoFtalqueX F,temosX F.7-SejamX ReFainterse caodetodososfechadosquecontemX. MostrequeF= X.8- Mostreos tens (ii) e(iii)daObserva cao5.12apartir dasdeni coes deconjuntofechadoepontodeaderencia.9-Deumexemplodefamliadeabertoscujainterse caonaoeaberta. Deumexemplodefamliadefechadoscujauniaonao efechada.10-SejaAoconjuntodosnumerosreaisdaformam/2ncomm Zen N. MostrequeA edensoemR.11-MostrequeseA Reenumeravel, entaoAedensoemR. ConcluaqueQedensoemR.74 CAPITULO5. TOPOLOGIADERCaptulo6Limiteecontinuidade6.1 Limitedefuncoes.Dadaumafun caoreal festamosinteressadosemsaberoqueacontececomovalordef(x)quandoxseaproximadeumpontox0sem, entretanto, assumir estevalor. Esteeoassuntodestase cao. Muitasvezesf(x)seaproximaradef(x0), porem, istosoocorreparaumaclassedefun coes,ditascontnuas. Trataremosdestaquestaoposteriormente.Iniciamosnossadiscussaoprecisandooquequisemosdizer, noparagrafoanterior, comxse aproximade umpontox0sem, entretanto, assumir este valor. Ora, se estamosinteressados novalor de f(x)e precisoquexestejanodomniodef mas, comoxnaoassumeovalor x0,nao enecessarioquef(x0)estejadenido. Ouseja,nao enecessarioquex0perten caaodomniodef. Porem, eprecisoquesejapossvel seaproximardex0porpontosdodomniodef. Rigorosamentefalando,seAeodomniodef, entaoano caodelimitedefun coesterasentidose, esomente, x0epontodeacumula caodeA. Lembramosque esta condi cao signica que x0 A x0, i.e., existe uma sequencia (xn)nN A x0convergenteparax0.Sejamf: A R Rex0umpontodeacumula caodeA. Comoexpressardemaneirarigorosa que f(x) se aproxima de l R quando x se aproxima de x0?A experiencia com limitede sequencias nos indica que deve ser errado pensar que a distancia de f(x) a l decresce juntocomadistanciadexax0. AarmadilhaexplicadanaFigura4.1tambemseapresentanestecontexto. Paraarmadilhassemelhantesusamosescapatoriassemelhantes. Aideiaintuitivacorretaedizerquef(x)etaoproximodel quantoquisermos, bastandoparaistotomarxsucientementeproximodex0. Vejamosadeni caorigorosa.DEFINICAO6.1. Sejamf:A R Rex0umpontodeacumula caodeA. Dizemosqueexisteolimitedef(x)quandoxtendeax0 Reelevalel Rse > 0, > 0 talque x A, 0 < [x x0[ < =[f(x) l[ < .Nestecaso,escrevemoslimxx0 f(x) = l.7576 CAPITULO6. LIMITE ECONTINUIDADENestemomento,oleitorjapodeapreciaracapadolivro.Comentario analogo ao que zemos sobre a nota cao de limite de sequencias (em particularsobre o sinal de igual nela presente) e a unicidade do limite tambem se aplica aqui. Querendo,oleitorpoderademonstraraunicidadedolimite. Nosnaoafaremosaqui poiselaseraumaconsequenciadaProposi cao6.6.Sofazsentidoconsiderar olimitedef(x)quandoxtendeax0quandox0epontodeacumula caododomniodef. Daqui pordiante, estacondi caocarasubentendidaquandoestivermosconsiderandolimites.Aten cao: a nega cao de limxx0= l diz que o limite, se existir, e diferente de l mas nao dizqueeleexiste. Portanto,paranegarestacondi cao,senaotivermosdeantemaoaexistenciadolimite, entaonaopodemossupor quelimxx0 f(x) ,=l. Nestecaso, devemostomar anega cao logica da condi cao que dene que limxx0 f(x) = l. Isto sera feito, por exemplo, nademonstra caodaProposi cao6.6.EXEMPLO6.2. Sejaf: R 0 R,dadaporf(x) =___1 sex > 0,1 sex < 0.Efacil ver que0epontodeacumula caodeR 0. Suponhamosquelimx0f(x)=l.Tomando = 1nadeni caodelimite,obtemosaexistenciade> 0talque [f(x) l[ < 1quando0 < [x[ < . Portanto,2 = [1 (1)[ = [f(/2) f(/2)[ [f(/2) l[ +[f(/2) l[ < 1 + 1 = 2.Absurdo!EXEMPLO6.3. Sejaf: (0, 1] Rdadaporf(x) = 1paratodox (0, 1]. Observeque0naoestanodomniodefmasepontodeacumula caodeste. Logo,fazsentidoperguntarse existe olimitede f(x) quandoxtende a0e, nocasoarmativo, determinar ovalordolimite. Mostraremosqueeleexisteevale1. Seja>0. Paratodox (0, 1] temos[f(x) 1[ = [1 1[ = 0 < . Portanto,tomandoqualquer> 0,temosx A, 0 < [x 0[ < = [f(x) 1[ < .Conclumosquelimx0f(x)=1. Damesmamaneiramostra-sequeseg:A R Reconstanteigualacex0 A x0,entaolimxx0 g(x) = c.O exemplo anterior e atpico. Se x0, e sao como na Deni cao 6.1, entao, geralmente,dependedeedex0. Muitasvezesestadependenciaeindicadananota cao= (, x0).Osexemplosa seguirilustramestadependencia. Noprimeirodelesdependeapenasde e,nosegundo,dependetantodequantodex0.6.1. LIMITE DEFUNC OES. 77EXEMPLO6.4. Sejamf : R R, dadapor f(x) =xparatodox R, ex0 R.Mostremosquelimxx0 f(x) = x0. Dado > 0,tomando= ,obtemosx R, 0 < [x x0[ < = [f(x) x0[ = [x x0[ < = .QED1.EXEMPLO6.5. Sejamf : R R, dadapor f(x) =x2paratodox R, ex0 R.Mostremos quelimxx0 f(x) =x20. Fixado>0, tomamos =min1, /(2[x0[ + 1).Destaforma,se0 < [x x0[ < ,entao [x[ < [x0[ + [x0[ + 1. Alemdisto,[f(x) x20[ = [x2x20[ = [x x0[[x +x0[ < ([x[ +[x0[) < (2[x0[ + 1) .Oexemploanterior podeinduzir oleitor apensar queachar emfun caodeedex0eumatarefasobrenatural. Normalmente, rascunha-seademonstra caodetrasparafrente:sabendoquedevemosobter [f(x) l[ < , procuramossaberquaograndepode ser [x x0[(i.e., qual deve ser o valor de ) para que cheguemos a esta conclusao. Em seguida, passamosalimpoademonstra caoe, jasabendoqual eovalor de, simplesmente dizemos: seja=abracadabra... Porem, dependendodafun cao, mesmoqueacharovalordenaosejamagica,tal tarefapodeserbastantefatdica. Umaalternativaefazerusodasproposi coesaseguir. Elas facilitam as demonstra coes de existencia e os calculos dos limites, sem necessidadedemanimuparses.PROPOSICAO6.6. Sejamf: A R Rex0 A x0. Entao,limxx0 f(x) = lse,e somente se, limn+f(xn) = lpara toda sequencia (xn)nN A x0 convergente parax0.Demonstracao. Suponhamos que limxx0 f(x) = l e mostremos que se (xn)nN Ax0exn x0,entaof(xn) l. Seja > 0. Porhipotese,existe > 0talquex A, 0 < [x x0[ < = [f(x) l[ < . (6.1)Ora, xn x0, logo, existeN Ntal quesen N, entao [xn x0[ 0talque> 0, x A talque 0 < [x x0[ < e [f(x) l[ . (6.2)Paracadan N,aotomar= 1/nem(6.2)obtemosxn Atalque0 < [xnx0[ 0tal que[f(x) l[ < mlsex Ae0 < [x x0[ < . Oraf(x) l [f(x) l[ < ml = f(x) < m.6.2. OSQUINZETIPOSDELIMITE. 796.2 Osquinzetiposdelimite.Javimosumtipodelimite(asaber,limxx0 f(x) = l). Nestase cao,veremososoutrosquatorze. TodoselesestaopresentesnaTabela6.1(ondex0eldenotamnumerosreaisefeumafun caorealdedomnioA R).limxx0 f(x) = l limxx0 f(x) = + limxx0 f(x) = limxx+0f(x) = l limxx+0f(x) = + limxx+0f(x) = limxx0f(x) = l limxx0f(x) = + limxx0f(x) = limx+f(x) = l limx+f(x) = + limx+f(x) = limxf(x) = l limxf(x) = + limxf(x) = Tabela6.1: Osquinzetiposdelimite.Olimitequeaparecenaprimeiralinhaeprimeiracolunajafoi denido. Osoutrossaodenidoscompequenasadapta coes. Oimportante eentenderoquesignicamlimitesiguaisal, +ou (cadaumdestescorrespondeaumcolunadatabela), bemcomooquerepresentam os smbolos x x0, x x+0 , x x0 , x +e x +(que correspondem`aslinhas). Fa camosalgunscomentariosaesterespeito.limf(x) = l Comojavimos, istosignicaque, por menor queseja>0, podemosconcluirque [f(x) l[ < desdequexqueveriquecertacondi cao.limf(x) = + Signica que, por maior que seja M> 0, podemos concluir que f(x) > Mdesdequexqueveriquecertacondi cao.limf(x) = Signicaque, pormaiorquesejaM>0, podemosconcluirquef(x) 0 talque x A, [x x0[ < = [f(x) f(x0)[ < .Dizemos ainda que f e contnua se fe contnua em todo ponto de A e escrevemos f C(A).Maisprecisamente,f C(A)sey A, > 0, > 0 talque x A, [x y[ < = [f(x) f(y)[ < . (6.4)AlgunsautorescostumamdenotarporC0(A),emvezdeC(A),aoconjuntodasfun coescontnuasemA.Observequeadeni caodecontinuidadetem(comoesperavamos) umarela caomuitogrande com a deni cao de limite. Por esta razao, podemos facilmente adaptar os argumentosdosexemplos6.3,6.4e6.5paramostrarquesaocontnuasasfun coesf, g, h : A R Rdadasporf(x) = c, g(x) = xeh(x) = x2paratodox A.EXEMPLO6.12. Esteexemplopretendeacabarcomomito, geralmenteapresentadonoscursosdeCalculoI, quedizquefun coescontnuassaoaquelascujosgracossaotra cadossemtirar olapisdopapel. Considereafun caog: N Rdadapor g(n)=nparatodon N. Fa caumesbo codogracodegeconven ca-sequenaoepossvel desenha-losemtirarolapisdopapel. Ora,afun caogeamesmadoparagrafoanterior(comA=N)que,comojasabemos, econtnua! Voceestaduvidando? Vejamoscommaisdetalhes. Sejam > 0en N. Sex Ne [x n[ < 1/2,entaox = ne,portanto, [g(x) g(n)[ = 0 < .Conclumosquegecontnuaemne,comon earbitrario,quegecontnua!Observeque tomamos = 1/2independentede e de n. Mais que isto, nema deni caodegnaofoi necessarianademonstra cao. Moral dahistoria: fun coes denidasemNnaoapenassaocontnuascomosaomuitocontnuas!Passemosimediatamente`asproposi coesquenospoupam, emmuitoscasos, otrabalhocomses. Todaselastemdemonstra coesanalogas`aquelasencontradasnaSe cao6.1.Porestarazaoomitiremossuasprovas.PROPOSICAO6.13. Sejam f: A R R e x0 A. A fun cao fe contnua em x0se, esomentese, limn+f(xn) = f(x0) para toda sequencia (xn)nN A convergente parax0.Aproposi caoanterior, essencialmente, nos diz quefun coes contnuas saoaquelas quecomutamcomosmbolodelimite,ouseja,fecontnuase,esomentese,limn+f(xn) = f_limn+xn_,desdequeasequencia(xn)nNestejacontidanodomniodefesejaconvergenteparaumpontodesteconjunto.82 CAPITULO6. LIMITE ECONTINUIDADEEXEMPLO6.14. Sejaf: R R,dadaporf(x) =___1 sex Q,0 sex/ Q.Dado x0 R arbitrario, tomando sequencias (xn)nN Q e (yn)nN Qconvergentes parax0, obtemosquef(xn) 1ef(yn) 0. Conclumosquefedescontnuaemqualquerponto.PROPOSICAO6.15. Sejamf, g: A R Rec R. Suponhamosquef egsaocontnuas em x0 A. Temos que cf, f +g, fge f gsao contnuas em x0. Se alem disto,g(x0) ,= 0,entao,f/gecontnuaemx0.COROLARIO6.16. Sejamf, g: A R Rcontnuasec R, entaocff+ g, fgef gsaocontnuas. Alemdisto, afun caof/gestadenidaeecontnuanospontosdeAondegnaoseanula.PROPOSICAO6.17. Sejamf: A R Reg: B R Ataisquef(A) B. Sefe contnua em x0e ge contnua em y0= f(x0), entao g fe contnua em x0. Segue que sefegsaocontnuas,entaog fecontnua.Demonstracao. Seja(xn)nN Aconvergenteparax0. Comofecontnuatemosquef(xn) f(x0) = y0,ecomogecontnuaemy0temosqueg(f(xn)) g(y0) = g_f(x0)_.Seguequeg fecontnuaemx0.PROPOSICAO6.18. Sejaf: A R Rcontnuaemx0 A. Sef(x0) < l R,entaoexiste> 0tal quef(x)< lparatodox Atal que [x x0[ < . Temosumaconclusaoanalogasef(x0) > l.6.4 OTeoremadoValorIntermediario.TEOREMA6.19. (DoValorIntermediario)Sef C_[a, b]_ef(a) f(b).Demonstracao. SejaS= x [a, b] ; f(x) l.EimediatoqueSenaovazio(a S)elimitadosuperiormente(becotasuperiordeS). Sejamc=sup Se(xn)nN Stal quex c. Temosquef(xn) lparatodon Necomofecontnuaemctemoslimn+f(xn) = f(c).6.5. FUNC OESCONTINUASDEFINIDASEMCOMPACTOS. 83Portanto,f(c) le,logo,c < b.Suponhamosquef(c) < l. Gra cas`aProposi cao6.18existe> 0tal quesex [a, b]e[x c[ < ,entaof(x) < l. Comoc < bpodemostomarx [a, b]comc < x < c +paraobterquef(x) < l. Istoimplicaquex Sex > c = sup S,oque eabsurdo.PROPOSICAO6.20. SejaIumintervalonaodegeneradoef: I Rcontnua. Mostrequei. J= f(I) eumintervalo;ii. Sefeinjetiva,entaofemonotona;iii. Sefeinjetiva,entaofun caof1: J Iecontnua.Demonstracao. (i) Sejama=inf J eb =sup J. Vamos mostrar queJ=(a, b) deonde seguira que Je um intervalo (valera uma dentre as seguintes possibilidades: J= (a, b),J= [a, b),J= (a, b]ouJ= [a, b]).E facil perceber que se y a = inf J, entao y/ J. Da mesma forma, se y b = sup J,entaoy/ J. SeguequeJ (a, b).Sejay (a, b). Por deni caode nmoesupremo, existemy1, y2 J tais quea 0,ouseja,f1ederivavelem(0, +). Alemdisto,emy= f(x) > 0,aderivadadef1edadapor_f1_(y) =1f(x)=12x=12y.Ahipotesedecontinuidadedef1eessencial comomostraoproximoexemplo.EXEMPLO7.10. Sejaf : [0, 1] (2, 3] [0, 2] denidapor f(x) =xsex [0, 1] ef(x) = x 1, sex (2, 3]. Temos que fe derivavel com f(x) = 1 paratodo x nodomniodef. VimosnoExerccio10 doCaptulo6 quefe umabije caocominversadescontnuaem1. Portanto,f1nao ederivavelem1.7.3 ExtremoslocaiseoTeoremadoValorMedio.Emparaleloaoconceitodeextremoglobal existeoconceitodeextremolocal. Veremosaseguircomoaderivadapodeserutilnadetermina caodeextremoslocais(eaposteriorideextremosglobais). OresultadoimportantenestesentidoeoTeoremadosExtremosLocais.Alemdeserumresultadodeusobastantepraticoeletambemtemimportanciateorica. Porexemplo, usaremos oTeoremados Extremos Locais parademonstrar oTeoremadoValorMedio. Esteultimo eumdosteoremasmaisfundamentaisdaAnaliseReal.DEFINICAO7.11. Sejaf: A R R. Dizemosquex0 Aeumpontodemaximolocal def sex0epontodemaximodef nainterse caodeAcomumavizinhan cadex0.Mutatis mutandis dene-se pontode mnimo local e pontode extremolocal (vejaaDeni cao6.21).Eimediatoquetodoextremoglobal eextremolocal.TEOREMA7.12. (Dos Extremos Locais)Sejaf : A R R. Sex0 Aeumextremolocaldeftalquex0 Aefederivavelemx0,entaof(x0) = 0.Demonstracao. Suponhamosquex0eumpontodemaximolocal def (ademonstra caoeanalogaparapontodemnimolocal). Comox0epontodemaximolocal nointerior deA, existe >0tal quese [x x0[ 0. Daigualdadeacima,conclumosqueexiste> 0talquex0 +h I, 0 < [h[ < =f(x0 +h) pn(x0 +h)hn1< .Sejah (0, )tal quex0+ h I (ocasoh (, 0)eanalogo). Asfun coesdadasporr(t)=f(x0 + t) pn(x0 + t)eg(t)=tnsaoderivaveisem[0, h] eseanulamem0.Alemdisto, gnaoseanulaem(0, h). PeloTeoremadeCauchy(Teorema7.17), obtemosqueexistet (0, h)talquer(h)hn=r(h) r(0)g(h) g(0)=r(t)g(t)=1nf(x0 +t) p(x0 +t)tn1 0talqueparaqualquerx0 [a , a +],asequenciadenidarecursiva-menteporxn= xn1 f(xn1)f(xn1)n N.econvergenteparaa.Demonstracao. Segue imediatamente das hipoteses que, no intervalo (a, a+), a fun caodadaporg(x) = x f(x)f(x)1SirIsaacNewton: 04/05/1643, Woolsthorpe,Inglaterra- 31/03/1727, Londres,Inglaterra.7.6. REGRASDELHOSPITAL. 105estabemdenidae ederivavel. Derivandogobtemos,g(x) = 1 f(x)2f(x)f(x)f(x)2=f(x)f(x)f(x)2.Segue que ge contnua em a e que g(a) = 0. Portanto, existe (0, ) tal que [g(x)[ 1/2paratodox X= [a , a +].Vamosmostrarqueg|Xeumacontra cao. Sejamx, y X. Suponhamos,semperdadegeneralidade,quex < y. PeloTeoremadoValorMedio,existez (x, y) Xtalque[g(x) g(y)[ = [g(z)[[x y[ 12[x y[.Temosaindaqueg(X) X. Defato,sex Xentao,[g(x) g(a)[ 12[x a[ < [x a[ .Comog(a)=atemos [g(x) a[ 0. Suponhamosquelimxa+ f(x)/g(x)sejanitoeigual al(nocasoinnito,ademonstra cao eanaloga). Sabemosqueexistey> atalquez (a, y) = l 0(quepodemossupormenorquey a)talquea < x < a + = 1 0ef: I RderivavelemI,sendoIumintervalo. Mostreque[f(x) f(y)[ K[x y[ x, y I [f(x)[ K x I.6-Sejaf: [a, b] RdeclasseC1. MostrequeexisteK> 0talque[f(x) f(y)[ K[x y[, x, y [a, b].7-Sejaf:R Rderivavel,comderivadalimitada. Mostrequeexistec > 0tal queafun caog: R R,dadaporg(x) = x + cf(x)paratodox R, eumabije caocominversaderivavel.8-Sejaf: A Rduasvezesderivavelnopontox0 A. Mostrequef(x0) =limh0f(x0 +h) +f(x0 h) 2f(x0)h2.Deumexemploemqueolimiteacimaexistemasfnao ederivavelemx0.9-Sejaf: R Rderivavel etal quef(0)=limx+f(x)=0. Mostrequeexistex > 0talquef(x) = 0.10-11-Sejamm Nea 0. Escrevaadeni caodasequencia(xn)nNdeaproxima coesdadapeloMetododeNewtonparaaraizdafun caof:[0, +) Rdenidaporf(x)=xmaparatodox 0(comparecomasequenciadoExerccio10doCaptulo4).7.7. EXERCICIOS. 10912-MostrequeparaaconvergenciadoMetododeNewton(Teorema7.23)ahipotesedecontinuidadedefemapodesersubstitudapelalimita caodefem(a , a +).13-Sejapumpolinomionaoconstante. Mostrequea) limx+ex[p(x)[= +;b) limx+ln x[p(x)[= 0.110 CAPITULO7. DERIVADACaptulo8Integral deRiemann8.1 Somassuperioreseinferiores.O conceito de integral tem suas origens no Metodo da Exaustao devido, provavelmente,aEudoxoequeteveArquimedes1comoumdosseusgrandesdesenvolvedores. Amotiva caodestemetodofoiocalculodeareasevolumesdegurascomfronteirascurvas.Apresentaremosaqui aintegral deRiemann2usandoadeni caodevidaaDarboux3[2].Paraoautor, aimportanciadaintegral deRiemanne, sobretudo, historica. Aintegral deLebesguegeneralizaesteconceitocommuitasvantagensanalticas. Porem, asuadeni caoexige ferramental muito mais complicado e abstrato. Portanto, a integral de Riemann tambemtemimportanciadidatica. Elaservedeaquecimento`aintui caoparaoestudoposterior daintegraldeLebesgue. Oleitorinteressadonoassuntopoderaconsultar[17].DEFINICAO8.1. Chamamos particaode [a, b] qualquer P [a, b]nito tal que a, b P.Oconjuntodasparti coesde[a, b] edenotadoP[a, b].Adeni caoanterior naoexclui apossibilidadea=b. Nestecaso, aunicaparti caodointervalo(degenerado) a eP= a.EimediatoqueseP, Q P[a, b],entaoP Q P[a, b].Se PP[a, b], entaoaoescrever P = x0, . . . , xn, deixaremos sub-entendido quea = x0 xn= b.DEFINICAO8.2. Sejafumafun caolimitadaem[a, b] eP= x0, . . . , xnumaparti caode[a, b]. Paracadai 1, . . . , n,tomemosmi= inff(x); x [xi1, xi] e Mi= supf(x); x [xi1, xi].1Arquimedes: 287A.C.,Siracusa,Italia- 212A.C.,Siracusa,Italia.2GeorgFriedrichBernhardRiemann: 17/09/1826, Breselenz,Alemanha- 20/07/1866, Selasca,Italia.3JeanGastonDarboux: 14/08/1842, Nimes,Fran ca- 23/02/1917, Paris,Fran ca.111112 CAPITULO8. INTEGRALDERIEMANNDenimosasomainferioreasomasuperiordefcomrela caoaP,respectivamente,porI(f; P) =n

i=1mi(xi xi1) e S(f; P) =n

i=1Mi(xi xi1).Ainterpreta caogeometricadeI(f; P)eS(f; P)paraumafun caofcontnuaepositivaedadanaFigura8.1. Aareapintadadecinza (riscadaounao)correspondeaS(f; P)enquantoque a areariscada correspondeaI(f; P). Vemosentaoque S(f; P) e I(f; P)saoaproxima coesporexcessoepor falta, respectivamente,paraaarea1daregiaodelimitadapelo graco de f, o eixo x, a reta x = a e a reta x = b. Observamos ainda que a area riscadaestacontidanaareacinza,reetindoofatoqueI(f; P) S(f; P).x0=ax1 xi1xixi+1 xn1xn=bFigura8.1: Interpreta caogeometricasomasuperior einferior paraumafun caocontnuaepositiva.EXEMPLO8.3. Se ae umelementododomniode f, entaof e limitadaem aeI_f; a_= S_f; a_= 0.EXEMPLO8.4. Consideremosumafun caofconstante, igual ac, emumintervalo[a, b].SejaP= x0, . . . , xnumaparti caode[a, b]. Temosmi= inff(x); x [xi1, xi] = c.Portanto,I(f; P) =n

i=1mi(xixi1) = cn

i=1(xi xi1) = c(b a).AnalogamenteobtemosS(f; P) = c(b a).1Oque eareadeumaregiaodelimitadaporlinhastortas?8.1. SOMASSUPERIORESEINFERIORES. 113Efacil ver queI(f; P) S(f; P). Aproposi caoaseguir eumageneraliza caodesteresultado.PROPOSICAO8.5. Sejafumafun caolimitadaem[a, b]. Temos:I(f; P) I_f; P Q_ S_f; P Q_ S(f; Q) P, Q P[a, b].Demonstracao. SejamP= x0, . . . , xneQ= y0, . . . , ym, parti coesde[a, b], ej 1, . . . , ntalquey1 [xj1, xj].EscrevemosI(f; P) =n

i=1mi(xi xi1) =n

i=1i=jmi(xi xi1) +mj(xj xj1)=n

i=1i=jmi(xi xi1) +mj(xj y1) +mj(y1xj1). (8.1)Tomandop = inff(x); x [y1, xj]eq= inff(x); x [xj1, y1],temosI_f; P y1_=n

i=1i=jmi(xi xi1) + p(xj y1) +q(y1xj1). (8.2)Ora,[xj1, y1] [y1, xj] = [xj1, xj],logo,mj pemj q. De(8.1)ede(8.2),obtemosI(f; P) I_f; P y1_. (8.3)Analogamente,mostra-sequeS_f; Q x1_ S(f; Q). (8.4)Usando(8.3),m1vezes,e(8.4),n 1vezes,conclumosqueI(f; P) I_f; P y1_ I_f; P y1, . . . , ym1_= I_f; P Q_ S_f; P Q_= S_f; Q x1, . . . , xn1_ S_f; Q x1_ S(f; Q).COROLARIO8.6. Sejafumafun caolimitadaem[a, b]. Entao_I(f; P) ; P P[a, b]_ elimitadosuperiormentee_S(f; P) ; P P[a, b]_ elimitadoinferiormente. Alemdisto,sup_I(f; P) ; P P[a, b]_ inf_S(f; P) ; P P[a, b]_.Demonstracao. Gra cas`aproposi caoanteriortemosI(f; P) S(f; Q) P, Q P[a, b].Ou seja, I(f; P) e cota inferior para_S(f; Q) ; Q P[a, b]_. Como o nmo e a maior cotainferior,temosI(f; P) inf_S(f; Q); Q P[a, b]_P P[a, b].Portanto, inf_S(f; Q) ; Q P[a, b]_e cota superior de_I(f; P) ; P P[a, b]_. Finalmente,usandoqueosupremoeamenorcotainferiorobtemosoresultado.114 CAPITULO8. INTEGRALDERIEMANN8.2 Integral efuncoesintegraveis.DEFINICAO8.7. Sejaf umafun caolimitadaem[a, b]. Dizemos que f e (Riemann)integravelem[a, b]sesup_I(f; P) ; P P[a, b]_= inf_S(f; P) ; P P[a, b]_.Nestecaso,aintegraldefem[a, b] edenidapor_baf(x)dx = inf_S(f; P) ; P P[a, b]_.Nestetexto,aodizerqueumafun cao e integravelcarasubentendidoqueela elimitada.EXEMPLO8.8. SejamfeacomonoExemplo8.3. Temosfeintegravelem ae_aaf(x)dx = 0.EXEMPLO8.9. Considere uma fun cao fconstante, igual a c, em [a, b]. Vimos no Exemplo8.4queI(f; P) =S(f; P) =c(b a)paratodaP P[a, b]. Segueda quefeintegravelem[a, b]e_baf(x)dx = c(b a).EXEMPLO8.10. Considereafun caof dadapor f(x) =xparatodox R. Vamosmostrarquefeintegravel em[0, 1]equesuaintegral, nesteintervalo, vale1/2. Paraisto,tomemosn Neconsideremosaparti caoPn= x0, . . . , xn,sendoxi=ini 0, . . . , n.Paracadai 0, . . . , ntemosxixi1=in i 1n=1ne Mi= supx; x [xi1, xi] = xi=in.Portanto,S(f; Pn) =n

i=1Mi(xixi1) =n

i=1in2=n + 12n.AnalogamenteobtemosI(f; Pn) = (n 1)/2n. Conclumosquen 12n supI(f; P) ; P P[0, 1] infS(f; P) ; P P[0, 1] n + 12nn N.Tomandoolimitequandon +obtemosoresultadodesejado.8.2. INTEGRALEFUNC OESINTEGRAVEIS. 115EXEMPLO8.11. Considereafun caofdadaporf(x)=1, sex Q, ef(x)= 1, sex/ Q. Vejamos que fnao e integravel em nenhum intervalo [a, b] nao degenerado. Como QeQsaodensosemR,qualquerintervaloabertointerceptaestesconjuntos. Portanto,paraqualquerP= x0, . . . , xnparti caode[a, b]comx0 0, P P[a, b] talque S(f; P) I(f; P) . (8.5)Demonstracao. Suponhamosquefsejaintegravelesejasasuaintegral,i.e.,sup_I(f; P); P P[a, b]_= s = inf_S(f; P) ; P P[a, b]_.Dado > 0,dadeni caodesseguequeexistemP1, P2 P[a, b]taisques 2< I(f; P1) s S(f; P2) < s +2.TomandoP= P1 P2,pelaProposi cao8.5,temoss 2< I(f; P1) I(f; P) S(f; P) S(f; P2) < s +2.e,portanto,S(f; P) I(f; P) < .Reciprocamente,suponhamosquefnaosejaintegravel. ParatodaP P[a, b]temosI(f; P) sup_I(f; Q); Q P[a, b]_< inf_S(f; Q); Q P[a, b]_ S(f; P)116 CAPITULO8. INTEGRALDERIEMANNPortanto,tomando =inf_S(f; Q); Q P[a, b]_sup_I(f; Q); Q P[a, b]_2> 0,obtemosqueS(f; P) I(f; P) > ,contrariando(8.5).Reportamo-nosmaisumavez`aFigura8.1. VejaqueaquantidadeS(f; P) I(f; P)corresponde`aareapintadadecinzaequenaoestariscada. Olemaanterior nosdizqueestaquantidade sera arbitrariamente pequena(bastando tomar uma parti caoadequada) se, esomentese,fforintegravel.TEOREMA8.13. Sef C_[a, b]_,entaofeintegravelem[a, b].Demonstracao. Sabemosquef elimitadaem[a, b], gra casaoTeoremadeWeierstrass.Mostremosquefeintegravel.Dado > 0,usandoquefeuniformementecontnuaem[a, b],existe > 0talquex, y [a, b] e [x y[ < = f(x) f(y) < . (8.6)Seja P= x0, . . . , xn uma parti cao de [a, b] tal que xixi1< , para todo i 1, . . . , n.Denindo,mi= inff(y) ; y [xi1, xi] e Mi= supf(x); x [xi1, xi],de(8.6),obtemosMi mi . Portanto,S(f; P) I(f; P) =n

i=1(Mi mi)(xi xi1) n

i=1(xi xi1) = (b a).O Teorema 8.13 e o Exemplo 8.11 sao duas faces da mesma moeda (perceba que a fun caovistanaqueleexemploedescontnuaemtodoponto). Defato, existeumarela caoestreitaentreaintegrabilidadeecontinuidadedadapeloTeoremadeLebesgue(aseguir)doqual oTeorema8.13 eumsimplescorolario. Outrosresultadossobreintegrabilidadeaseremvistosnesta se cao tambem o sao. Preferimos, no entanto, dar demosntra coes particulares para cadaumdelescomoformadeaquecimento`aintui cao.PROPOSICAO8.14. Sejac R. Sefegs