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1 ANÁLISE DE SECÇÕES

1.1 Estados de tensão e de deformação

Admita-se que o eixo de uma peça prismática coincide com o eixo z do referencial

ortonormado (x,y,z), como representado na figura 1.

xz

y

Figura 1 - Sistema de eixos de referência para uma peça prismática

Seja σ o vector em que se reúnem as componentes do tensor das tensões e ε o vector em que

se listam as correspondentes componentes do tensor das deformações:

σσσσσσ

=

xy

xz

yzz

y

x

σ

γγγεεε

=

xy

xz

yzz

y

x

ε

No caso das peças prismáticas é usual admitir que:

0 0;0; xyyx ≈σ≈σ≈σ

Dependendo da geometria da peça e do carregamento a que está sujeita, outras componentes

de tensão poderão ser consideradas nulas.

Exemplo: no caso da flexão no plano (y,z):

σσ

=yzzσ ou zσ=σ ;

Análise de Secções

2

γε

=yzzε ou zε=ε .

1.2 Relações constitutivas

Admite-se que o material estrutural tem um comportamento elástico linear, tomando a relação

tensões-extensões a seguinte expressão:

εσ k= (1)

em que a matriz k é a matriz em que se reúnem os coeficientes elásticos. A matriz de rigidez

k é simétrica e positiva-definida.

Exemplo: no caso da flexão plana (y,z),

=

GEk

1.3 Aproximação das deformações

Para geometrias e carregamentos gerais, não se conhecem soluções exactas para os estados de

tensão e de deformação. Torna-se necessário aproximar um desses campos, ficando o outro

automaticamente determinado pelas relações constitutivas.

Na teoria das peças prismáticas é usual aproximar o campo de deformações. Suponha-se que,

numa secção de abcissa z, se aproximam as deformações pela fórmula,

eE=ε , (2)

em que E é a matriz em que se reúnem as funções de aproximação, estando os pesos

correspondentes reunidos no vector e.

Uma hipótese usual é a de se admitir que secções planas se mantêm planas após deformação,

hipótese de Bernoulli (figura 2). Neste caso tem-se:

)z(ee = ;

yx1)y,x(E = .


3

x z

y

x z

y

x z

y

x z

y= + +

Figura 2 - Deformação axial correspondente à hipótese de Bernoulli


κχ

=

γε

y

x

z

yz

ze

100

0y1.

Exercício 1: Explicite a relação (2) para o caso da torção plana.

Exercício 2: Explicite a relação (2) para o caso da tridimensional, combinando flexão

composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.4 Critério geral de aproximação

De acordo com a expressão (2), o campo de deformações ε(x,y,z) passa a ser caracterizado

por um número finito de graus de liberdade, as deformações e, as quais dependem apenas da

coordenada da secção, e = e(z). Se se conhecerem as componentes de deformação, a

expressão (2) permite calcular o campo de deformações (aproximado) em qualquer ponto da

peça.

Pretende-se agora determinar as variáveis auxiliares s(z), correspondentes às deformações e,

que sejam (estaticamente) equivalentes ao campo de tensões na peça, σ(x,y,z). Tal permitirá

que, no processo de cálculo da secção, se trabalhe apenas com um conjunto finito de variáveis

discretas, s,e, em vez dos campos contínuos correspondentes, σ,ε.


4

A identificação das variáveis s(z) é feita obrigando as variáveis discretas a dissipar a mesma

energia que os campos contínuos que representam:

∫ Ω= d)z,y,x()z,y,x()z()z( tt σεse .

Substituindo nesta condição a hipótese (2) para o campo de deformações, encontra-se a

seguinte definição,

∫ Ω= d)z,y,x()y,x()z( t σüs , (3)

a qual demonstra que o vector s reúne resultantes de tensões (esforços) na secção de abcissa z.


∫ Ω

σσ

=

d100y01

VMN

yz

z

yx .

Exercício 3: Explicite a relação (3) para o caso da torção plana.

Exercício 4: Explicite a relação (3) para o caso da tridimensional, combinando flexão

composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.

Exercício 5: Altere as expressões encontradas no Exercício 3 para representar torção com

empenamento. Interprete os esforços encontrados.

1.5 Relações esforços-deformações

Para obter a expressão que relaciona os esforços, s, com as deformações, e, basta substituir na

definição (3) a relação de elasticidade (1), eliminando em seguida o campo de deformações

pela aproximação (2), ficando,

eKs = , (4)


5

em que K representa a matriz de rigidez da secção:

∫ Ω= dtüküK . (5)


∫ Ω

= d

G000EyyE

0yEE2K .

Para o caso de uma secção rectangular (b,h), homogénea, em que os eixos x e y sejam eixos

baricêntricos, encontra-se:

12

bhI,bhAcom

GA000EI000EA 3

==

=K .

Exercício 6: Determine a matriz de rigidez para uma secção rectangular (b,h), homogénea,

sujeita à acção conjunta de flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções

planas.

1.6 Discretização da secção

Quando a geometria de uma secção é irregular ou quando é composta por diferentes materiais

estruturais, a integração presente na definição (5) pode não ter solução analítica.

Nestas situações, é usual discretizar a secção em elementos homogéneos , de geometria

regular que permita a integração analítica da matriz de rigidez de cada elemento.

Para cada um dos n elementos em que é discretizada a secção, as relações (4,5) mantêm-se

válidas:

;n,...2,1j,jjj == eKs (7)

∫ Ω= djjtjj üküK . (8)


6

Para garantir a continuidade da secção, é agora necessário estabelecer uma relação entre as

componentes de deformação de cada elemento com as componentes de deformação da secção:

eJe jj = . (9)


κχ

=

κχ

y

x

zj

yj

xj

zj e

100

010

0y1e

.

x

y

zexχ

1

2

1

2

x′y′

1ze1xχ

x ′′2ze

2xχ

x1x χ=χ x2x χ=χ

1G

2GG

y ′′

x1z1z yee χ+= x2z2z yee χ+=

1y

2y

Figura 3 - Relação entre as deformações da secção e as deformações dos elementos.

A cada elemento está agora associado um conjunto de esforços, js , que se torna necessário

relacionar com os esforços na secção, s.

O critério que se adopta para determinar essa relação é análogo ao anteriormente descrito: as

variáveis (s,e) devem dissipar a mesma energia que os campos elementares que representam:

∑=

=n

1jj

tj

t sese .

Substituindo nesta condição a hipótese (9) para o campo de deformações, encontra-se a

seguinte definição:

∑=

=n

1jj

tj sJs . (10)


7

Verifica-se que a expressão (10) define as resultantes de esforços que, a nível da secção, são

estaticamente equivalentes aos esforços instalados nos elementos em que a secção foi

decomposta.


∑=

=

n

1j yj

xj

j

j

y

xVMN

10001y001

VMN

.

x

y

1

2

1

2

x′y′

1xM1N

x ′′

21 NNN +=

1G

2GG

y ′′

22112x1xx NyNyMMM +++=

1y

2y

2xM2N

xMN

Figura 4 - Relação entre os esforços da secção e a os esforços dos elementos.

Para recuperar a expressão (4), que relaciona os esforços s com as deformações e, basta

substituir na definição (10) a relação de elasticidade (7), e eliminar em seguida o campo de

deformações em cada elemento pela incorporação da definição (9). É a seguinte a expressão

que assim se encontra para a matriz de rigidez da secção por combinação das matrizes de

rigidez elementares:

∑=

=n

1jjj

tj JKJK . (11)

Exercício 7: Determine a matriz de rigidez para uma secção em T mista (aço-betão), sujeita à

acção conjunta de flexão composta desviada com torção, na hipótese das secções planas.


8

1.7 Problemas fundamentais

Dois tipos de problemas podem ser postos ao analisar o comportamento de uma secção:

− Problema directo: dado um campo de deformações, calcular os esforços instalados na

secção;

− Problema indirecto: dado um campo de esforços, determinar as deformações instaladas

na secção.

A resolução do problema directo pode ser resumida nos seguintes passos:

Problema Directo: calcular s, sabendo e.

1. Definir o vector das deformações, e;

2. Definir a lei de aproximação do campo de deformações;

3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento;

4. Inicializar o vector dos esforços, s=0;

5. Determinar o campo de deformações ε, recorrendo à aproximação (2);

6. Para cada elemento:

a) Determinar o campo de tensões σj, recorrendo às relações de elasticidade (1);

b) Determinar os esforços sj, recorrendo à definição (3);

c) Atribuir ao vector dos esforços s a participação do elemento, recorrendo à definição (10).

Exercício 8: Estabeleça um procedimento alternativo para o problema directo, baseado na

utilização das matrizes de rigidez elementares.

Para a resolução do problema indirecto pode-se recorrer ao seguinte procedimento:

Problema Indirecto: sabendo s, calcular e.

1. Definir o vector dos esforços, s;



9

3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento;

4. Inicializar a matriz de rigidez da secção, K=0;


a) Definir a matriz de compatibilidade das deformações, Jj,;

b) Calcular a matriz de rigidez elementar Kj, recorrendo à definição (8);

c) Atribuir à matriz de rigidez da secção a contribuição do elemento, recorrendo à expressão

(11);

6. Resolver o sistema (4).

Pode ainda considerar-se o problema misto, em que numa secção é dado um conjunto de

esforços e de deformações não correspondentes, pretendendo-se determinar as restantes

componentes de deformação e de esforço. É imediata a adaptação dos procedimentos acima

descritos para a resolução de problemas mistos.

1.8 Secções de betão armado: comportamento linear

Se se admitir um comportamento elástico linear, tanto à tracção como à compressão, do aço e

do betão, os resultados acima obtidos são directamente aplicáveis à análise de secções de

betão armado.

Na discretização da secção, além de elementos (rectangulares) de betão, passa-se agora a

incluir elementos (pontuais) para representar as armaduras longitudinais, como indicado na

figura 5.

b1

b2

x

y

x

y

b3

a1 a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8

Figura 5 - Exemplo de discretização de uma secção de betão armado.


10

É corrente considerar apenas a contribuição das armaduras longitudinais para o modo de

deformação axial. Assim, o vector que caracteriza o estado de deformação em cada elemento

de aço, je , tem apenas uma componente, a deformação axial.


[ ]

χ

=x

zjj

ey1e .

Exercício 9: Generalize o resultado anterior para a acção conjunta de flexão composta

desviada com torção, na hipótese das secções planas.

1.9 Integração numérica

Em algumas situações pode deixar de ser possível, ou ser desvantajoso do ponto de vista de

processamento numérico, procurar soluções analíticas para a matriz de rigidez elementar (8);

nessas situações recorre-se a algoritmos de integração numérica.

Tal sucede quando a geometria do elemento é irregular ou descrita por funções não lineares,

quando o material estrutural tem um comportamento não linear e ainda quando se pretende

simular o empenamento da secção.

Existem diversas regras de integração numérica, as quais são desenvolvidas atendendo ao tipo

da função integranda, f(t).

Em qualquer dos casos, o integral é aproximado por um produto interno entre dois vectores,

reunindo-se num os pesos de integração e no outro os valores da função em determinados

pontos de amostragem da função:

∫ ∑−

≈=1

1ii )t(fAdt)t(fI . (12)

Na integração de Gauss, os pesos de integração são calculados admitindo que a função a

integrar é polinomial, quando se recorre a n pontos de amostragem, a quadratura de Gauss

integra exactamente polinómios de ordem igual ou inferior a (2n-1).

Na Tabela 1 resumem-se os pesos e os pontos de Gauss, desde dois até cinco pontos.


11

Tabela 1: Quadratura de Gauss

n ti AI

2 ± 0.5773502691 1.0000000000

3 ± 0.7745966692 0.5555555555

0.000000000 0.8888888888

4 ± 0.8611363115 0.3478548451

± 0.3399810435 0.6521451548

5 ± 0.9061798459 0.2369268850

± 0.5384693101 0.4786286704

0.000000000 0.5688888888

A aplicação repetida do resultado (12) permite a generalização imediata para a fórmula de

integração sobre um domínio rectangular:

∑∑∫ ∫ ≈=− − i j

jiji

1

1

1

1

)t,s(fAAdtds)t,s(fI . (13)

Para recorrer a estes resultados na análise de secções, realiza-se uma mudança de coordenadas

de modo a exprimir a definição (8) para a matriz de rigidez na forma (13),

∫ ∫∫−

=Ω=1

1

1

1-jj

tjjj

tjj dtdsJd üküüküK ,

em que J representa o determinante do Jacobiano da transformação de coordenadas. Se o

domínio for rectangular, esse determinante coincide com um quarto da área do domínio.

A quadratura de Lobatto é análoga à de Gauss, sendo modificada de modo a controlar sempre

os pontos extremos do intervalo de integração, o que, no caso da análise de secções, permite a

verificação directa dos valores limites das extensões e das tensões. A quadratura de Lobatto

integra exactamente polinómios de ordem igual ou inferior a (2n-3) quando se recorre a n

pontos de amostragem.


12

Na tabela 2 resumem-se os pesos e pontos de Lobatto, desde dois até cinco pontos.

Tabela 2: Quadratura de Lobatto

n ti Ai

2 ± 1.0000000000 1.0000000000

3 ± 1.0000000000 0.3333333333

0.000000000 1.3333333333

4 ± 1.0000000000 0.1666666666

± 0.4472135955 0.8333333333

5 ± 1.0000000000 0.1000000000

± 0.6546536707 0.5444444444

0.000000000 0.7111111111

1.10 Secções de betão armado: comportamento não linear

Uma caracterização realística do comportamento de secções de betão armado obriga à

simulação do comportamento não linear, frágil, do betão e do comportamento elastoplástico,

linear ou não, do aço.

A formulação acima descrita é ainda aplicável, mas o problema torna-se não linear: os

coeficientes da matriz de rigidez da secção deixam de ser constantes, passando a ser funções

não lineares do estado de tensão em cada ponto da secção.

A resolução do problema directo não põe dificuldades especiais, tornando-se agora necessário

recorrer a métodos de integração numérica para determinar os esforços nos elementos de

betão, quer pela definição (3), quer através da definição (7) para a matriz de rigidez do

elemento.

A resolução do problema indirecto é mais trabalhosa, por não se conhecer nem o estado de

deformação nem os esforços em cada elemento de discretização da secção. Torna-se

necessário recorrer a métodos iterativos ou incrementais na resolução do sistema (4).


13

O método iterativo pode ser resumido nos seguintes passos:

Problema Indirecto: método iterativo.

1. Definir o vector dos esforços, s;


3. Discretizar a secção, e caracterizar as propriedades geométricas e mecânicas de cada elemento

e a matriz de compatibilidade das deformações, Jj;

4. Arbitrar um campo de deformações, e, para a secção;

5. Inicializar a matriz de rigidez da secção, K=0;


a) Calcular o coeficiente de rigidez para cada ponto de integração, recorrendo ao campo de

deformações arbitrado.

b) Calcular a matriz de rigidez elementar Kj, recorrendo à definição (8), por integração numérica;

c) Atribuir à matriz de rigidez da secção a contribuição do elemento, recorrendo à expressão (11);

7. Resolver o sistema (4);

8. Comparar a solução obtida com o campo arbitrado no passo 4;

9. Repetir os passos 4 a 8 até à convergência da solução.

Nos processos incrementais, os esforços aplicados à secção são progressivamente aumentados

(em geral, proporcionalmente a um parâmetro de carga) até se verificar a rotura da secção ou

se atingir o nível de esforços pretendido.

Recorre-se, em geral, a uma de duas técnicas de linearização do problema: aproximação das

relações constitutivas por diagramas lineares por troços ou aproximação assimptótica da

matriz de rigidez da secção.

15

2 ANÁLISE DE PEÇAS LINEARES

2.1 Caracterização das variáveis

Admitindo que o eixo de uma peça prismática, de eixo recto, coincide com o eixo z do

referencial ortonormado (x,y,z), seja s o vector em que se reúnem as componentes dos

esforços na secção de abcissa z e e o vector em que se listam as correspondentes componentes

de deformação.

Estes vectores têm apenas uma componente para o caso das peças de treliças, três para

estruturas planas - pórticos e grelhas - e seis no caso geral de uma peça de uma estrutura

reticulada tridimensional.

Exemplo: Peça de pórtico plano (y,z)

=yx

VMN

s .

κχ=

y

x

ze

e .

Seja f o vector em que se reúnem as componentes das forças aplicadas no vão da peça e d o

vector em que se listam as correspondentes componentes de deslocamento.

Exemplo: Peça de pórtico plano (y,z)

=x

z

y

mff

f .

=x

z

y

rdd

d .

Seja Q o vector em que se reúnem as forças aplicadas aos nós de extremidade da peça,

quando desligada do resto da estrutura, e q o vector em que se listam as correspondentes

componentes de deslocamento.

Estes vectores têm duas componentes para o caso das peças de treliças, seis para estruturas

reticuladas planas - pórticos e grelhas - e doze no caso geral de uma peça de uma estrutura

reticulada tridimensional.

Análise de Peças Lineares

16

Exemplo: Se a peça plana for limitada pelos nós i e j, tem-se:

=3

21

iQQQ

Q ;

=3

21

iqqq

q .

=6

54

jQQQ

Q ;

=6

54

jqqq

q .

=

=

6

54

32

1

j

i

QQQQQQ

QQ

Q ;

=

=

6

54

32

1

j

i

qqqqqq

qq

q .

z

y

[ ]11 qQ

[ ]22 qQ

[ ]33 qQ [ ]55 qQ

[ ]66 qQ[ ]44 qQ

Figura 6 - Forças [Deslocamentos] nodais na barra de pórtico plano.

As forças f e os deslocamentos d de vão, assim como as forças e os deslocamentos nodais são,

usualmente medidos no referencial local da peça (x,y,z).

2.2 Estática

O estudo da Estática do elemento incide sobre as relações que devem existir entre os esforços

numa peça e as forças que lhe estão aplicadas, as cargas de vão e as forças nodais.

É, pois, necessário estabelecer dois tipos de condições. Um conjunto de condições irá impor o

equilíbrio entre esforços, numa secção genérica, e as cargas aplicadas no vão da peça. O outro

conjunto de condições irá impor o equilíbrio entre os esforços nas secções extremas da peça e

as forças aplicadas nos nós adjacentes a essas secções.

Considere-se um elemento infinitesimal destacado da peça, sujeito às cargas de vão e aos

esforços libertados nas secções de corte.


17

Ao impor a condição de equilíbrio do elemento infinitesimal encontram-se relações entre a

variação do campo de esforços e as cargas aplicadas, da forma,

0fsD =+ , (14)

em que D é o operador diferencial de equilíbrio.

Se se admitir que os deslocamentos e as deformações são infinitesimais, as condições de

equilíbrio podem ser impostas sobre o elemento na sua posição inicial. Verifica-se então que o

operador diferencial de equilíbrio, D, é linear.

Exemplo:Para o caso das peças de pórtico plano, de eixo recto, a condição de equilíbrio (14)

toma o seguinte aspecto,

0=

+

−∂∂

∂

x

z

y

y

x

z

zz

mff

VMN

1000

00

em que z∂ representa o operador diferencial em ordem a z.

Exercício10: Defina o operador diferencial de equilíbrio para uma peça linear, de eixo recto,

pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 11: Defina o operador diferencial de equilíbrio para uma peça linear, plana, de eixo

curvo.

A condição de fronteira, que relaciona as forças nodais com os esforços instalados nas secções

adjacentes, pode ser escrita na forma,

( )

( ) .

;

Lzj

0zi

=

=

=

=

sNQ

sNQ (15)

em que N é a imagem do operador diferencial D no espaço das normais, unitárias e exteriores,

à fronteira da peça:

.tetanconsse0

;sen

ijij

tijtij

==

∂==

DN

DN


18

Exemplo: Para a peça de pórtico plano encontra-se a seguinte expressão para a condição de

fronteira (15):

0zy

x

3

21

iVMN

010001100

QQQ

=

−−

−=

=Q

Lzy

z

6

54

jVMN

010001100

QQQ

=

=

=Q

Exercício 12: Defina as condições de fronteira (15) para uma peça linear, de eixo recto,


Exercício 13: Defina as condições de fronteira (15) para uma peça linear, plana, de eixo

curvo.

2.3 Cinemática

O estudo da Cinemática do elemento incide sobre as relações que devem existir entre os

deslocamentos numa peça e as deformações que nela se desenvolvem.

Tal como na Estática, também agora é necessário estabelecer dois tipos de condições, uma de

campo e outra de fronteira. As condições de campo irão impor a compatibilidade entre as

deformações, numa secção genérica, e os deslocamentos sofridos pela peça. As condições de

fronteira irão impor a compatibilidade entre os deslocamentos nas secções extremas da peça e

os deslocamentos que se verificam nos nós adjacentes a essas secções.

Considere-se um elemento infinitesimal destacado da peça e apliquem-se, nas extremidades,

deslocamentos d. Se se admitir que são infinitesimais tanto os deslocamentos impostos como

as deformações que provocam, recorrendo exclusivamente a considerações de natureza

geométrica encontram-se relações entre as deformações e a variação do campo de

deslocamentos do elemento infinitesimal, que podem ser expressas na forma,

dDe *= , (16)


19

em que *D é o operador diferencial de compatibilidade. Quando a hipótese de linearidade

geométrica é aplicada, verifica-se que o operador diferencial de compatibilidade é o adjunto

do operador diferencial de equilíbrio:

par. ordem defor derivada a se

impar; ordem defor derivada a se

ji*ij

ji*ij

DD

DD

−=

=

Exercício 14: Verifique que, para o caso de peças de pórtico plano, de eixo recto, a condição

de compatibilidade (16) toma o seguinte aspecto:

∂∂

∂=

τχ

x

z

y

z

z

z

y

x

z

r

d

d

10

00

00e

Exercício 15: Defina o operador diferencial de compatibilidade para uma peça linear, de eixo

recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 16: Defina o operador diferencial de compatibilidade para uma peça linear, plana,

de eixo curvo.

A condição de fronteira, que relaciona os deslocamentos nodais com os deslocamentos das

secções adjacentes, pode ser escrita na forma:

.

;

Lzj

0zi

=

=

=

=

dq

dq (17)

Exemplo: Para a peça de pórtico plano encontra-se a seguinte expressão para a condição de

fronteira (17), se se admitir que as componentes (1 e 4) correspondem aos deslocamentos

segundo y, (2 e 5) aos deslocamentos segundo z e (3 e 6) às rotações segundo x:

0zx

z

y

3

21

irdd

100010001

qqq

=

=

=q

Lzx

z

y

6

54

jrdd

100010001

qqq

=

=

=q


20

Exercício 17: Defina as condições de fronteira (17) para uma peça linear, de eixo recto,


Exercício 18: Defina as condições de fronteira (17) para uma peça linear, plana, de eixo

curvo.

2.4 Relações constitutivas

As relações constitutivas associam, em cada secção da peça, os esforços com as deformações

instaladas.

Essas relações podem ser expressas por duas formas alternativas, de rigidez (4), ou de

flexibilidade:

eKs = , (18)

sFe = , (19)

Os coeficientes das matrizes de rigidez e de flexibilidade dependem das propriedades

mecânicas do material estrutural e da geometria da secção. Como qualquer dessas

características pode variar ao longo do eixo da peça, esses coeficientes dependem, em geral,

da abcissa da secção no eixo da peça.

2.5 Esforços independentes

Pretende-se agora abordar o problema de definir os esforços numa qualquer secção transversal

da peça, isto é, encontrar soluções gerais para a condição de equilíbrio (14).

Considere-se uma peça desligada da estrutura pelas secções de extremidade. A peça fica

sujeita a dois sistemas de cargas: as cargas de vão e os esforços libertados nas secções de

corte, cujo valor é a priori desconhecido.

Os esforços de extremidade são dois no caso das treliças, seis no caso dos pórticos planos e

das grelhas e doze no caso dos pórticos tridimensionais. Em cada um destes casos, o

equilíbrio global da peça desligada obriga que os dois sistemas de carga satisfaçam um, três

ou seis equações de equilíbrio, respectivamente.


21

Por outras palavras, só metade dos esforços de extremidade são indeterminados. Tais esforços

dizem-se independentes, em oposição aos restantes que podem ser calculados por simples

considerações de equilíbrio.

Exemplo: No caso de uma peça, de eixo recto, limitada pelas secções extremas i e j,

pertencente a um pórtico plano, encontra-se:

0RaRLVMM

0RNN

0RVV

xiyjij

zij

yij

=+−−−

=+−

=+−

em que xR , yR e zR representam as resultantes das cargas de vão, L é o vão da peça e ia é

a distância da resultante yR à secção i.

Escolhe-se para esforços independentes os que, para além de o serem, estejam associados aos

modos de deformação predominantes da peça: o esforço axial nas treliças; os dois momentos

flectores e um dos esforços axiais nos pórticos planos; os dois momentos flectores e um dos

momentos torsores nas grelhas; e os quatro momentos flectores, um dos momentos torsores e

um dos esforços axiais nos pórticos tridimensionais.

Pretende-se agora abordar o problema de definir os esforços numa qualquer secção transversal

da peça, isto é encontrar soluções gerais para a equação de equilíbrio (14).

O processo mais simples para determinar soluções gerais para a equação diferencial de

equilíbrio (14) consiste em procurar um sistema isostático que seja estaticamente equivalente

à peça em estudo, isto é, que equilibre os dois sistemas de carga, os esforços extremidade e a

solicitação de vão. Se assim se fizer, basta recorrer às equações fundamentais da estática para

determinar a expressão geral do campo de esforços em qualquer uma das secções da peça.

Uma solução corresponde, por exemplo, a equilibrar as cargas sobre a peça considerada

simplesmente apoiada: a viga fica sujeita às cargas de vão e aos esforços independentes,

aplicados nas extremidades, passando os esforços de extremidade dependentes da peça

desligada a serem simulados pelas reacções de apoio da viga. É este o processo que vai ser

aqui adoptado, apesar de ser possível utilizar qualquer outro, com um significado físico

preciso, como por exemplo o da viga em consola.


22

Se assim se proceder, encontram-se resultados que podem ser reduzidos à seguinte expressão

geral,

0sXSs += , (20)

em que X é o vector dos esforços tomados para independentes, S a matriz que reúne os

esforços devidos aos esforços independentes e 0s o vector dos esforços que equilibram as

cargas de vão.

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se a

seguinte expressão geral,

0y

x

j

ji

y

xVMN

NMM

0L1L10LzLz1100

VMN

+

−−=

=s

Como os coeficientes do vector 0s são obtidos impondo o equilíbrio da peça, devem

representar uma solução da condição diferencial de equilíbrio (14):

0fsD =+0 . (21)

Exercício 19: Verifique se a solução seguinte satisfaz a condição de equilíbrio (21), escrita

para uma peça de eixo recto, de vão L, de um pórtico plano, sujeita ao carregamento ffy = :

( )( )

−−=

z2Lf21zzLf21

0

VMN

0y

x

De modo análogo, como os coeficientes da matriz S foram obtidos equilibrando os esforços

independentes X na ausência de cargas de vão, a matriz de interpolação dos esforços deve ser

solução da equação diferencial de equilíbrio homogénea:

0SD = . (22)

Exercício 20: Verifique a equação (22) usando o resultado do exemplo anterior.


23

Por outras palavras, para alcançar o objectivo inicial, de encontrar uma solução geral para a

condição de equilíbrio (14), recorreu-se ao processo tradicional de solução de equações

diferenciais de decompor a solução em duas parcelas:

c0 sss += , (23)

em que 0s representa uma solução particular do sistema (14), como em (21), sendo a solução

complementar,

XSs =c , (24)

uma solução da equação homogénea,

0sD =c .

A parcela 0s é utilizada para representar um qualquer campo de esforços que equilibre as

cargas de vão, f. Por outras palavras, para definir a solução particular 0s é necessário e

suficiente satisfazer a condição de equilíbrio (21).

A possibilidade de equilibrar as forças de vão f recorrendo a diferentes definições para a

solução particular 0s sugere imediatamente qual deve ser a função da solução complementar

cs : cabe à solução complementar corrigir a solução particular de modo que da sua

combinação (23) resulta a definição do campo de esforços que está realmente instalado na

peça.

Para definir a solução complementar cs é necessário e suficiente utilizar campos de esforços

autoequilibrados (22), representados por tantas funções linearmente independentes quantas as

equações diferenciais de equilíbrio do elemento.

Estas conclusões permitem ultrapassar a necessidade, aparente, de se ter de atribuir um

significado físico preciso às variáveis em jogo, abrindo a possibilidade a uma generalização

de conceitos que pode ser vantajosamente explorada ao nível da automatização do cálculo das

estruturas. Em particular, cada carga de vão e cada esforço independente pode ser equilibrado

num sistema base diferente, cujo próprio significado físico é desnecessário identificar.

Exercício 21: Defina uma solução alternativa para a matriz de aproximação dos esforços para

peças de eixo recto de pórticos planos e identifique o significado físico dos coeficientes

encontrados.


24

Exercício 22: Defina uma matriz de aproximação de esforços para uma peça linear, de eixo


Exercício 23: Defina uma matriz de aproximação de esforços para uma peça linear, de eixo

curvo, de pórtico plano.

Substituindo a definição (20) na condição de fronteira (15) encontra-se a seguinte expressão

para as forças nodais da barra:

j i,kk0kk =+= QXCQ . (25)

( ) L0,zk == SNC ; (26)

( ) L0,z0k0 == sNQ . (27)

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se:

−−

−=

001

100

0L1L1

iC

−=

010

100

0L1L1

jC

A interpretação do resultado (25) mostra que:

− A coluna i da matriz de equilíbrio C representa as forças nodais que equilibram o

i-ésimo esforço independente unitário, quando todos os restantes são nulos, assim

como as cargas de vão.

− O vector 0Q representa as forças nodais que equilibram as cargas de vão quando são

nulos todos os esforços independentes.

Exercício 24: Defina a matriz de equilíbrio C para uma peça linear, de eixo recto, pertencente

a um pórtico tridimensional e indique o significado físico dos seus coeficientes.

Exercício 25: Defina a matriz de equilíbrio C para uma peça linear, de eixo curvo, de pórtico

plano e indique o significado físico dos seus coeficientes.


25

Resumindo, a aproximação do campo de esforços permitiu:

a) Estabelecer uma expressão geral, exacta, para os esforços numa secção genérica de

uma peça linear;

b) Reduzir, para um dado carregamento, a indeterminação do campo de esforços a um

conjunto finito de varáveis discretas, os esforços independentes, X;

c) Satisfazer localmente as condições diferenciais de equilíbrio;

d) Reduzir as equações diferenciais da Estática a um conjunto finito de equações

algébricas (25), caracterizando a condição de equilíbrio dos nós de extremidade da

peça.

2.6 Deformações independentes

De acordo com a expressão (20), o campo de esforços s(z) passa a ser caracterizado por um

número finito de graus de liberdade, os esforços independentes X, cujo conhecimento permite

calcular os esforços em qualquer secção da peça.

Pretende-se agora determinar as variáveis auxiliares u, correspondentes aos esforços

independentes X, que sejam (cinematicamente) equivalentes ao campo de deformações na

peça, e(z). Tal permitirá que, no processo de cálculo, se trabalhe apenas com um conjunto

finito de variáveis discretas, X, u, em vez dos campos contínuos correspondentes, )z(cs ,

e(z).

A identificação dos parâmetros de deformação u é feita obrigando as variáveis discretas a

dissipar a mesma energia que os campos contínuos que representam:

∫=L

0

tc

t dz)z()z( esuX .

Substituindo nesta condição a hipótese (24) para o campo de esforços, encontra-se a seguinte

definição,

∫=L

0

t dz)z()z( eSu , (28)


26

a qual demonstra que o vector u reúne resultantes de deformação correspondentes aos

esforços independentes X.

Exemplo: Para o caso da peça de pórtico plano anteriormente considerada encontra-se:

∫

κχ

−−=

θθ

=

L

0 y

x

z

j

j

i

dz

e

001

L1Lz0

L1Lz10

e

u .

Estas definições demonstram que iθ e jθ representam, respectivamente, as rotações das

secções extremas da peça medidas em relação à corda, isto é, o segmento que as une; je

representa a deformação axial da corda.

Exercício 26: Defina e represente graficamente as deformações independentes u para uma

peça linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Exercício 27: Defina e represente graficamente as deformações independentes u para uma

peça linear, de eixo curvo, de pórtico plano.

Para garantir que as deformações independentes u são compatíveis com os deslocamentos d

na peça, basta impor na definição (28) a condição diferencial de compatibilidade (16):

∫=L

0

*t dzdDSu .

Integrando por partes, encontra-se o seguinte resultado:

( )[ ] ( )∫−=L

0

tL0

t dzdSDdSNu .

Atendendo à condição (22) e à condição de fronteira (17), esta definição reduz-se à seguinte

forma,

jjii qAqAu += ; (29)

em que, de acordo com os resultados (26):

j i,ktkk == CA ; (30)


27

A interpretação da definição (29) mostra que a coluna i da matriz de compatibilidade A

representa as deformações independentes devidas ao i-ésimo deslocamento nodal unitário

quando todos os restantes são nulos.

Exercício 28: Verifique a afirmação anterior para o caso da peça linear, de eixo recto,

pertencente a um pórtico plano.

Resumindo:

a) As deformações independentes representam resultantes do campo de deformações na

peça;

b) As deformações independentes são determinadas impondo as condições diferenciais

de compatibilidade (16) e satisfazendo as condições de fronteira (17);

c) As deformações independentes são determinadas sem ser necessário arbitrar o campo

de deslocamentos na peça.

2.7 Relações esforços-deformações

Para obter a relação entre os esforços independentes X e as deformações independentes u,

basta substituir as relações constitutivas (19) na definição (28) e eliminar aí o campo de

esforços usando a aproximação (20), encontrando-se a expressão seguinte:

0b uXFu += ; (31)

∫=L

0

tb dzdSFSF ; (32)

∫=L

00

t0 dzsFSu . (33)

A definição (32) mostra que a matriz de flexibilidade bF é simétrica, sendo positiva definida

se as funções de interpolação dos esforços forem linearmente independentes.


28

A interpretação da definição (31) mostra que:

− A coluna i da matriz de flexibilidade bF representa as deformações independentes

devidas ao i-ésimo esforço independente unitário, quando todos os restantes são nulos,

assim como as cargas de vão;

− O vector 0u representa as deformações independentes devidas às cargas de vão

quando são nulos os esforços independentes.

Quando a matriz de flexibilidade bF for positiva definida, as relações esforços-deformações

podem ser expressas na forma alternativa,

0b XuKX += , (34)

em que a matriz de rigidez bK é a inversa da matriz de flexibilidade bF , e

0b0 uKX −= . (35)


− A coluna i da matriz de flexibilidade bK representa os esforços independentes devidos à

i-ésima deformação independente unitária, quando todas as restantes são nulas, assim

como as cargas de vão;

− O vector 0X representa os esforços independentes devidos às cargas de vão quando são

nulas as deformações independentes.

Exercício 29: Verifique que, para o caso da peça linear, de eixo recto, pertencente a um

pórtico plano se tem:

=

)EA(L000)EI3(L)EI6(L0)EI6(L)EI3(L

bF

−

−=

LEA000LEI4LEI20LEI2LEI4

bK

quando se considera nula a deformabilidade por corte.

Exercício 30: Represente graficamente os resultados do exercício anterior.

Exercício 31: Defina as matrizes de flexibilidade e de rigidez para uma peça linear, de eixo



29

Exercício 32: Defina a expressão geral do vector 0u para uma peça linear, de eixo recto,


Exercício 33: Defina as matrizes de flexibilidade e de rigidez para uma peça linear, de eixo

curvo, pertencente a um pórtico plano.

Exercício 34: Defina a expressão geral do vector 0u para uma peça linear, de eixo curvo,

pertencente a um pórtico plano.

2.8 Equação fundamental do método dos deslocamentos

De acordo com os resultados anteriores, são as seguintes as equações que caracterizam o

comportamento das peças lineares:

0t QXAQ += ; (36)

qAu = ; (37)

0b XuKX += . (38)

Para obter a equação fundamental do método dos deslocamentos, basta agora eliminar as

deformações nas relações constitutivas (38) recorrendo à condição de compatibilidade (37),

0b XqAKX += , (39)

e utilizar este resultado para eliminar os esforços independentes na condição de equilíbrio

nodal (36), ficando:

QqKQ ′+= ; (38)

AKAK bt= ; (39)

0t

0 XAQQ +=′ . (40)


30


− A coluna i da matriz de rigidez da barra, K , representa as forças nodais devidas ao

i-ésimo deslocamento nodal unitário, quando todos os restantes são nulos, assim como as

cargas de vão;

− O vector Q′ , representa as forças nodais devidas às cargas de vão quando são nulos todos

os deslocamentos nodais.

Interessa generalizar o resultado (38) pra o caso em que os deslocamentos e as forças nodais

não são medidos no referencial local da peça mas num qualquer referencial, por exemplo o da

estrutura a que a barra pertence.

Sejam *q , *Q os deslocamentos e as forças nodais medidos no referencial ortogonal *x .

Por considerações de natureza geométrica e estática, respectivamente, encontram-se as

seguintes relações:

*qTq = ; (41)

QTQ t* = . (42)

Exercício 35: Defina a matriz de transformação de coordenadas T para uma peça linear, de

eixo recto, pertencente a um pórtico plano.


eixo recto, pertencente a uma grelha.


eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

Recorrendo aos resultados (41) e (42), encontram-se as seguintes expressões para as equações

fundamentais das peças lineares escritas em termos de um referencial global:

0*t* QXAQ* += ; (43)

** qAu = ; (44)

0b XqAKX * += , (45)


31

*** QqKQ ′+= * ; (46)

*AKAK bt** = ; (47)

0t

0* XAQQ ** +=′ ; (48)

TAA =* . (49)

Exercício 38: Defina e represente graficamente a matriz de rigidez nodal para uma peça

linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico plano.

Exercício 39: Defina e represente graficamente a matriz de rigidez nodal para uma peça

linear, de eixo recto, pertencente a um pórtico tridimensional.

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