Introdução ao Método dos Elementos Finitos na Análise de ...

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DECivil ANÁLISE DE ESTRUTURAS II INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANÁLISE DE PROBLEMAS PLANOS DE ELASTICIDADE Orlando J. B. A. Pereira 2005
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  • DECivil

    ANLISE DE ESTRUTURAS II

    INTRODUO AO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS NA ANLISE DE PROBLEMAS PLANOS DE ELASTICIDADE

    Orlando J. B. A. Pereira

    2005

  • 2

    Alfabeto Grego

    Alfa Beta Gama Delta psilon Zeta Eta Teta Iota Capa Lambda Mi Ni Csi micron Pi R Sigma Tau psilon Fi , Qui Psi mega

  • 3

    1. Introduo Diversos problemas com importncia para a Engenharia podem ser descritos em termos de equaes com derivadas parciais. Com excepo de alguns casos particulares, no possvel obter uma soluo analtica exacta para estes problemas. O Mtodo dos Elementos Finitos , actualmente, o mtodo numrico mais utilizado para obter solues aproximadas para este tipo de problemas. Diversos exemplos de problemas deste tipo podem ser encontrados em Engenharia Civil. No campo da Engenharia de Estruturas, podem citar-se, entre outros, os problemas de elasticidade linear em placas, lajes, cascas e slidos tridimensionais. A generalizao de meios de clculo automtico potentes tem possibilitado o recurso cada vez mais frequente ao Mtodo dos Elementos Finitos. Dado o carcter aproximado das solues fornecidas por este mtodo, o desconhecimento dos seus fundamentos pode conduzir a resultados desastrosos na sua aplicao, como sucedeu no caso da perda da plataforma petrolfera Sleipner A, na Noruega, com um custo de cerca de 700 milhes de dlares. Por esta razo, o futuro Licenciado em Engenharia Civil, com o Perfil de Estruturas e Construo, tem necessidade de aprender os fundamentos do Mtodo dos Elementos Finitos. Dos problemas de Engenharia de Estruturas anteriormente citados, os mais fceis para uma introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos so os de placas, nas quais se admite um estado de tenso plano. Embora as formulaes no convencionais do Mtodo dos Elementos Finitos apresentem diversas vantagens, a formulao convencional de Elementos Finitos de deslocamento compatveis a mais simples e, actualmente, a mais utilizada em aplicaes prticas. Dado que se destinam a uma introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos, no mbito da disciplina de Anlise de Estruturas II, estes apontamentos incidiro quase exclusivamente sobre a aplicao de Elementos Finitos de deslocamento compatveis na anlise de estados de tenso planos em elasticidade linear. de notar que a utilizao desta formulao do Mtodo dos Elementos Finitos na anlise elstica linear de slidos tridimensionais no apresenta dificuldades tericas adicionais. Contudo, quer a exposio, quer a aplicao prtica, so substancialmente mais laboriosas. Por esta razo, este tipo de problemas ser apenas brevemente mencionado nestes apontamentos. Por sua vez, a utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise Elstica Linear de Lajes abordada noutro volume de apontamentos de Anlise de Estruturas II.

  • 4

    2. Conceitos Bsicos de Teoria da Elasticidade para Estados Planos de Tenso De acordo com a NP-761, uma placa uma pea laminar plana sujeita a esforos existentes apenas no seu plano mdio. Considere-se que a espessura da placa constante e que o seu plano mdio o plano xy. Admitam-se como vlidas as hipteses: xz = yz = z = 0; x, y e xy no variam com z. Ento, a anlise da placa reduz-se anlise de um Estado Plano de Tenso, o qual constitui um problema bidimensional. Neste captulo, apresentam-se as relaes fundamentais (compatibilidade, constitutivas e equilbrio) para problemas de elasticidade linear em Estados Planos de Tenso, que se suporo representar placas de espessura constante. Como exemplo, utilizar-se- o domnio bidimensional representado na figura 2.1.

    1 m

    1 m

    y

    x

    u

    E constante (kN/m2) = 0.2

    Figura 2.1 Na fronteira cinemtica u, impem-se os valores dos deslocamentos. Neste exemplo, considera-se que o lado se encontra encastrado, o que corresponde a impor um valor nulo para os deslocamentos dos pontos de u.

    Considere-se o campo de deslocamentos ( )( )

    =

    =

    0

    x

    y,xu

    y,xu

    y

    xu , representado na figura 2.2.

    Este campo de deslocamentos compatvel, dado que: - contnuo em todo o domnio;

    - satisfaz as condies de fronteira cinemticas, uma vez que ( ) uu =

    =

    0

    00 y, .

  • 5

    1

    Figura 2.2

    Admitindo como vlida a hiptese dos pequenos deslocamentos, as relaes deformaes-deslocamentos so

    uA= , onde um vector que agrupa as componentes independentes do tensor das deformaes,

    ( )( )( )

    =

    y,x

    y,x

    y,x

    xy

    y

    x

    ,

    cujo significado fsico se representa na figura 2.3, e A o operador diferencial de compatibilidade,

    =

    xy

    y

    x

    0

    0

    A .

    dx

    x dx

    dy

    y dy

    xy

    Figura 2.3

  • 6

    Para o campo de deslocamentos anterior, o campo de deformaes

    ( )( )( )

    =

    =

    0

    0

    1

    y,x

    y,x

    y,x

    xy

    y

    x

    .

    Admitindo um comportamento fisicamente linear, as relaes constitutivas ou relaes tenses-deformaes so

    D= , onde um vector que agrupa as componentes independentes do tensor das tenses,

    ( )( )( )

    =

    y,x

    y,x

    y,x

    xy

    y

    x

    ,

    cujo significado fsico se representa na figura 2.4. Admitindo a isotropia do material, o operador D dado por

    ( )

    =

    2100

    01

    01

    1 2

    E

    D ,

    onde E o mdulo de elasticidade, ou mdulo de Young, e o coeficiente de Poisson.

    x

    y

    xy

    Figura 2.4

    Para o campo de deformaes anterior, o campo de tenses

    ( )( )( )

    =

    =

    0

    9620

    96100

    /

    /

    E

    y,x

    y,x

    y,x

    xy

    y

    x

    .

    As foras de massa e as tenses na fronteira que so equilibradas por um determinado campo de tenses so obtidas recorrendo s relaes de equilbrio. Tendo sido admitida como vlida a hiptese dos pequenos deslocamentos, estas relaes podem ser estabelecidas na configurao indeformada da estrutura.

  • 7

    O campo de tenses equilibra o vector de foras de massa ( )( )

    =

    y,xf

    y,xf

    y

    xf , se verificar a

    equao de equilbrio

    0fA =+T , onde o operador diferencial de equilbrio AT o transposto do operador de compatibilidade A anteriormente definido.

    As componentes do tensor das tenses equilibram as tenses

    =

    y

    x

    t

    tt , numa faceta com

    normal exterior unitria

    =

    y

    x

    n

    nn , se verificarem as equaes de equilbrio

    +=

    +=

    yyxxyy

    yxyxxx

    nnt

    nnt

    .

    Para o campo de tenses anterior, o campo de foras de massa ( )( )

    =

    =

    0

    0

    y,xf

    y,xf

    y

    xf .

    Para a placa representada na figura 2.1, as normais exteriores unitrias so as indicadas na figura 2.5(a). As tenses aplicadas na fronteira esttica t esto indicadas na figura 2.5(b), bem como as reaces na fronteira cinemtica.

    nx=2/2

    ny= -2/2

    ny=1

    nx= -1

    20 E/96

    100 E/96

    50 2 E/96

    10 2 E/96

    (a) (b)

    t

    Figura 2.5

    Portanto, o campo de deslocamentos inicialmente considerado a soluo exacta para a placa da figura 2.1, quando as foras de massa aplicadas so nulas e as tenses aplicadas so:

    ( )( )( ) E/,xt

    ,xt,x

    y

    x

    =

    =

    9620

    0

    1

    11t , no bordo horizontal e

  • 8

    ( )( )( ) E/

    /

    x,xt

    x,xtx,x

    y

    x

    =

    =

    96210

    96250t , no bordo inclinado.

    Considere-se agora o campo de deslocamentos ( )( )

    =

    =

    xy,xu

    y,xu

    y

    x 0u .

    Como exerccio, o leitor poder verificar que este campo de deslocamentos satisfaz as condies de compatibilidade, que corresponde deformada representada na figura 2.6(a), que as correspondentes deformaes e tenses so

    =

    1

    0

    0

    e E/

    =

    9640

    0

    0

    , respectivamente,

    que as foras de massa so nulas e que as tenses na fronteira so as representadas na figura 2.6(b).

    40 E/96

    40 E/96

    20 2 E/96

    20 2 E/96

    (a) (b)

    1

    Figura 2.6

  • 9

    3. Clculo de Solues Aproximadas Considere-se o problema representado na figura 3.1.

    1 m

    1 kN/m2

    1 m

    y

    x

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    Figura 3.1 A soluo exacta do problema satisfaz simultaneamente as condies de compatibilidade, as relaes constitutivas e as condies de equilbrio. Contudo, no possvel, com um nmero finito de parcelas, obter a expresso analtica da soluo exacta deste problema. Portanto, necessrio obter uma soluo aproximada. Esta soluo poder satisfazer de forma exacta algumas das condies anteriores, mas s ir satisfazer as outras de forma aproximada. A alternativa mais simples consiste em procurar uma soluo aproximada que seja compatvel. Para este problema, poderemos considerar uma combinao linear dos campos de deslocamentos usados no captulo anterior:

    ( ) ( ) ( )[ ]

    ==

    2

    121

    d

    dy,xy,x dxu , onde ( )

    =

    01x

    y,x e ( )

    =

    xy,x

    02 .

    Quaisquer que sejam os valores de d1 e de d2, o campo de deslocamentos compatvel. Estes valores representam os deslocamentos do vrtice livre do tringulo, conforme se pode observar na figura 3.2, na qual se representam igualmente as deformadas correspondentes a valores unitrios de cada um dos referidos deslocamentos.

  • 10

    1 d

    2

    d1

    1

    d1 = 1, d2 = 0 d2 = 1, d1 = 0

    Figura 3.2

    Deste modo, variando os valores de d1 e de d2, possvel reproduzir todos os campos de deslocamentos lineares e compatveis. No captulo seguinte, ver-se- que estes campos de deslocamentos correspondem aos de um elemento finito de 3 ns, com as necessrias condies de apoio. As correspondentes deformaes so = A d = B d, com B = A .

    Neste caso,

    =

    10

    00

    01

    B .

    Por sua vez, as tenses so = D B d.

    Neste caso,

    =

    96400

    09620

    096100

    /

    /

    /

    EDB .

    Para qualquer das deformadas da figura 3.2, as foras de massa so nulas. Para cada uma das deformadas, as tenses na fronteira esttica so as representadas na figura 3.3.

  • 11

    20 E/96 50 2 E/96

    10 2 E/96

    d1 = 1, d2 = 0

    40 E/96 20 2 E/96

    20 2 E/96

    d2 = 1, d1 = 0

    Figura 3.3 Combinando as tenses representadas na figura 3.3, no possvel obter na fronteira esttica tenses iguais s do carregamento representado na figura 3.1, quaisquer que sejam os valores de d1 e de d2. No entanto, possvel calcular valores de d1 e de d2 tais que o trabalho das foras de massa e das tenses na fronteira esttica seja igual ao trabalho do carregamento, tanto para os deslocamentos da primeira deformada da figura 3.2 como para os deslocamentos da segunda deformada da mesma figura. Ou seja, possvel calcular d1 e d2 resolvendo o sistema:

    +

    +

    =

    ++

    ++

    t

    t

    tt

    tt

    dd

    dd

    d

    d

    dddd

    dddd

    TT

    TT

    TTTT

    TTTT

    tf

    tf

    tftf

    tftf

    22

    11

    2

    1

    22221212

    21211111

    .

    As foras de massa e as tenses na fronteira esttica foram calculadas a partir do campo de tenses no interior, no captulo 2. Estes clculos so normalmente evitados, dado que o Princpio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.) permite substituir o trabalho das foras com os deslocamentos pelo trabalho das tenses com as deformaes. Obtm-se assim o sistema

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +

    +

    =

    t

    t

    dd

    dd

    d

    d

    dd

    dd

    TT

    TT

    TT

    TT

    tf

    tf

    ADAADA

    ADAADA

    22

    11

    2

    1

    2212

    2111

    ,

    o qual pode ser escrito na forma

    K d = F, com =

    dT DBBK e +=t

    ddTT

    tfF .

    Nesta forma, verifica-se que este sistema o que teria de ser resolvido para minimizar a energia potencial total, dentro dos campos de deslocamentos lineares e compatveis:

  • 12

    0FdK0d

    FddKd ==

    PTTP minmin

    2

    1.

    Neste exemplo, )(kN/m400

    0100

    19296400

    09620

    096100

    100

    001 21

    0

    1

    =

    =

    Edxdy

    /

    /

    /

    Ex

    K

    e kN/m61

    0

    1

    0

    0

    0

    0

    0 1

    0

    =

    +

    = /dxxx

    xF .

    A matriz K uma matriz de rigidez e o vector F um vector de foras. Os respectivos termos podem ser imaginados como foras aplicadas segundo d1 e d2, como se pode observar na representao grfica do sistema de equaes que se apresenta na figura 3.4.

    K21

    K11

    K22

    K12

    F2

    F1

    d1 + d2 =

    Figura 3.4

    O sistema de equaes anterior tem a mesma forma do sistema de equaes do Mtodo dos Deslocamentos para estruturas reticuladas, estudado na disciplina de Anlise de Estruturas I. Contudo, as foras representadas na figura 3.4 so fictcias. So foras equivalentes s reais, mas apenas no sentido de produzirem o mesmo trabalho para cada uma das deformadas da figura 3.2. As foras reais correspondentes s deformadas da figura 3.2 so as tenses representadas na figura 3.3 e o carregamento real o representado na figura 3.1. Nas estruturas reticuladas, os termos da matriz K so as foras reais correspondentes s deformadas. Alm disso, nas estruturas reticuladas, cada deformada a deformada real quando um deslocamento independente unitrio e os restantes so nulos. Em contrapartida, as deformadas representadas na figura 3.2 so as deformadas quando um deslocamento nodal unitrio e o outro nulo e, adicionalmente, os deslocamentos so restringidos a funes lineares. Finalmente, no caso das estruturas reticuladas, existe uma soluo particular exacta e os termos dos vectores de foras so foras reais, o que no acontece no caso da figura 3.4. Portanto, ao contrrio do que sucede com as estruturas reticuladas, natural que o sistema de equaes anteriormente obtido possa fornecer para d1 e d2 valores diferentes dos exactos. o que ir suceder neste caso.

  • 13

    Resolvendo o sistema de equaes, obtm-se (m)1

    80

    0

    2

    1

    E.d

    d

    =

    =d .

    O correspondente campo de deslocamentos (m)1

    80

    0

    Ex.

    == du .

    Por sua vez, o campo de tenses 2kN/m

    33330

    0

    0

    ==

    .

    dDB .

    Estes campos encontram-se representados na figura 3.5. A soluo compatvel mas no respeita as condies de fronteira estticas. Por exemplo, na fronteira y = 1, existe um desequilbrio de tenses

    ( )( )

    ( )( )

    2

    1

    kN/m1

    3333.0

    1

    0

    0

    3333.0

    1,

    1,

    1,

    1,

    =

    =

    =

    =xxxt

    xt

    xt

    xt

    t

    t

    y

    x

    y

    x

    yy

    x

    .

  • 14

    x y

    xy

    Figura 3.5

  • 15

    4. Mtodo dos Elementos Finitos 4.1. Mtodos para melhorar a aproximao Na figura 4.1, representa-se uma soluo muito prxima da soluo exacta, para o problema considerado no captulo anterior.

    x y

    xy

    Figura 4.1

  • 16

    Utilizando a soluo representada na figura 4.1 como referncia, a soluo aproximada representada na figura 3.5 tem um erro relativo mdio no campo de tenses de 80%. Assim, uma aproximao demasiado grosseira. Portanto, necessrio refinar a aproximao. Em lugar de utilizar uma funo linear em todo o domnio para aproximar cada componente do campo de deslocamentos, uma alternativa consiste em dividir o domnio em subdomnios e, embora garantindo a continuidade de deslocamentos entre eles, utilizar uma funo linear separada em cada um. Estes subdomnios constituem os elementos finitos. A soluo obtida no captulo anterior correspondia utilizao de 1 elemento finito de 3 ns, conforme representado na figura 4.2(a). Na figura 4.2(b) representa-se uma discretizao do domnio em 4 elementos finitos de 3 ns. Este mtodo de refinamento designado por refinamento h.

    d1

    d2

    d3 d4

    d5 d6

    (a) (b) Figura 4.2

    As deformadas correspondentes a cada um dos 6 deslocamentos nodais da malha de 4 elementos finitos esto representadas na figura 4.3. Em cada elemento, os deslocamentos so obtidos por interpolao linear, a partir dos deslocamentos dos ns desse elemento. Como se pode verificar em todas as deformadas, as condies de fronteira cinemticas esto asseguradas, tal como a continuidade de deslocamentos.

  • 17

    1 d1=1 d2=1 d3=1

    d4=1 d5=1 d6=1

    1

    1

    1

    1 1

    Figura 4.3

    Uma segunda alternativa para refinar a aproximao consiste em utilizar um polinmio de grau mais elevado para aproximar cada componente do campo de deslocamentos. Este mtodo de refinamento designado por refinamento p. Na figura 4.4, representa-se uma discretizao do domnio utilizando 1 elemento finito de 6 ns, o que corresponde a fazer uma interpolao de 2 grau para os deslocamentos, tal como se pode observar nas deformadas correspondentes a cada um dos 6 deslocamentos nodais, representadas na figura 4.5. Pode igualmente verificar-se que as condies de fronteira cinemticas esto asseguradas em todas as deformadas.

    d1

    d2

    d3 d4

    d5 d6

    Figura 4.4

  • 18

    1 d1=1 d2=1 d3=1

    d4=1 d5=1 d6=1

    1

    1

    1

    1 1

    Figura 4.5

    Naturalmente, com 6 graus de liberdade apenas, a soluo seria ainda excessivamente grosseira, quer num caso quer no outro. Na figura 4.7, representa-se a soluo obtida com a malha uniforme de 64 elementos finitos representada na figura 4.6, qual correspondem 72 graus de liberdade. Para essa soluo, o erro relativo mdio no campo de tenses ainda de 31%. Contudo, pode observar-se que a aproximao do campo de deslocamentos j relativamente boa.

    Figura 4.6

  • 19

    x y

    xy

    Figura 4.7 Na figura 4.9, representa-se a soluo obtida com 1 elemento finito triangular de 36 ns. Neste elemento finito, os deslocamentos so aproximados por polinmios de 7 grau. Dadas as condies de apoio representadas na figura 4.8, o nmero de graus de liberdade 56. Para a referida soluo, o erro relativo mdio no campo de tenses de 9.7%. A aproximao do campo de deslocamentos j muito boa.

  • 20

    Figura 4.8

    Portanto, o refinamento p permitiu obter, com um menor nmero de graus de liberdade, melhores resultados do que o refinamento h uniforme. Poderia pensar-se que a diviso do domnio em subdomnios seria desnecessria. No entanto, o refinamento h no tem obrigatoriamente de ser uniforme. Se forem colocados mais elementos onde as variaes da soluo so mais difceis de reproduzir com as funes de interpolao utilizadas, como na malha representada na figura 4.10, possvel obter melhores resultados do que no refinamento p. Este tipo de refinamento designado por refinamento h-adaptativo. Alm disso, a geometria dos domnios e das fronteiras cinemticas dos problemas com interesse prtico raramente so to simples como as do exemplo que tem sido considerado at aqui. Isto torna inevitvel a diviso do domnio em elementos finitos. Uma das vantagens do Mtodo dos Elementos Finitos sobre vrios outros mtodos aproximados, tais como o Mtodo das Diferenas Finitas, precisamente a facilidade de aplicao a domnios e condies de fronteira complicados. Ao utilizar um programa de clculo automtico, conveniente escolher elementos finitos do grau mais elevado que esteja disponvel. Os programas de clculo automtico comerciais para a anlise de estruturas permitem uma escolha muito limitada de tipos de elementos finitos e s dispem de elementos finitos de grau relativamente baixo, pelo que a subdiviso do domnio quase sempre inevitvel. Numa introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos, prefervel considerar elementos do grau mais baixo possvel, por forma a simplificar o seu estudo.

  • 21

    x y

    xy

    Figura 4.9

  • 22

    Figura 4.10

    As solues aproximadas representadas nas figuras 3.5, 4.7 e 4.9 permitem exemplificar algumas caractersticas comuns s solues aproximadas obtidas quando a discretizao efectuada assegura a compatibilidade, mas no permite obter a soluo exacta. O campo de tenses nunca satisfaz todas as condies de equilbrio no interior e na fronteira dos elementos. Alm disso, como as tenses so obtidas a partir das derivadas dos deslocamentos, a aproximao obtida para as tenses sempre pior do que a conseguida para os deslocamentos. A malha de elementos finitos sempre mais rgida do que a estrutura real. Portanto, quando a aco constituda apenas por foras, o trabalho que estas realizam com os deslocamentos aproximados sempre inferior ao real, como se pode observar na tabela 4.1. Em contrapartida, a energia potencial total sempre superior real, como se pode observar na mesma tabela.

    Soluo Trabalho das foras exteriores (kNm/m)

    P (kNm/m)

    Figura 3.5 - 1 elemento de 3 ns 0.133/E -0.0666/E Figura 4.7 - 64 elementos de 3 ns 0.334/E -0.167/E Figura 4.9 - 1 elemento de 36 ns 0.364/E -0.182/E

    Figura 4.1 - Soluo "exacta" 0.368/E -0.184/E Tabela 4.1

    Se uma nova discretizao permitir reproduzir as deformadas da discretizao anterior, a nova soluo ser melhor do que a anterior. Em relao malha de 1 elemento de 3 ns, qualquer um dos refinamentos indicados na tabela 4.1 fornece um valor mais elevado para o trabalho das foras exteriores. Em geral, o erro da soluo diminui quando se aumenta o nmero de elementos dum determinado tipo ou quando se aumenta o grau dos elementos, mesmo sem respeitar estritamente a condio anterior.

  • 23

    No caso particular em que a discretizao, alm de garantir a compatibilidade, permite reproduzir a soluo exacta para o campo de deslocamentos, a soluo da equao do Mtodo dos Elementos Finitos corresponde soluo exacta do problema. Se a soluo exacta no polinomial, a soluo de elementos finitos converge para a soluo exacta, quando, em todo o domnio, o refinamento tende para infinito. Por ltimo, note-se que as estimativas de erro a priori permitem prever a taxa de convergncia que possvel obter com um determinado mtodo de refinamento mas no fornecem uma previso com utilidade prtica para o erro que seria obtido num dado problema com uma determinada malha. S possvel saber se uma soluo de elementos finitos tem uma preciso aceitvel atravs de uma estimativa de erro a posteriori.

  • 24

    4.2. Interpolao dos Deslocamentos Considere-se novamente a discretizao representada na figura 4.2(b). Na figura 4.11, indica-se, para essa discretizao, uma numerao dos elementos finitos.

    d1

    d2

    d3 d4

    d5 d6

    x

    y

    0.5 m

    0.5 m

    0.5 m 0.5 m

    2

    1

    3

    4

    Figura 4.11

    As deformadas correspondentes a cada um dos 6 deslocamentos nodais foram j representadas na figura 4.3. Em cada elemento, os deslocamentos so obtidos por interpolao linear, a partir dos deslocamentos dos ns desse elemento. Deste modo, a expresso analtica do campo de deslocamentos dentro de cada elemento depende exclusivamente dos ns desse elemento. Sendo assim, considere-se o elemento 1, desligado dos restantes elementos da malha, tal como representado na figura 4.12. Na mesma figura, indicam-se uma numerao local dos ns e uma numerao local dos deslocamentos nodais deste elemento.

    d(1)1

    d(1)2 d(1)3

    d(1)4

    d(1)5 d(1)6

    x

    y

    0.5

    2 1

    3

    1

    0.5 1

    1

    0

    Figura 4.12 Na figura 4.13, representam-se as deformadas correspondentes a cada um dos 3 primeiros deslocamentos nodais do elemento 1.

  • 25

    d(1)1=1 d(1)2=1 d(1)3=1 1

    1

    1

    Figura 4.13

    Ento, de acordo com a figura 4.13, podemos escrever que, no elemento 1,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )313121211111 ,,,, dyxdyxdyxyxux ++= , sendo (1)i(x,y) uma funo linear que toma o valor 1 no n i do elemento 1 e o valor 0 nos restantes ns. Por esta razo, (1)i designada por funo de interpolao associada ao n i do elemento 1. A funo de interpolao associada ao n 1 pode ser escrita na forma (1)1 = a + b x + c y. Por sua vez, os coeficientes a, b e c podem ser calculados resolvendo o sistema de equaes

    ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

    =

    =

    =

    =

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    0,

    0,

    1,

    33

    22

    11

    3311

    2211

    1111

    c

    b

    a

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    yx

    .

    Desde que os 3 ns no sejam colineares, o sistema tem sempre soluo. A expresso geral dessa soluo

    ( ) ( ) ( )

    ++=

    23

    32

    2332

    213132321

    1

    xx

    yy

    yxyx

    yyxyyxyyxc

    b

    a

    .

    de notar que, se os ns estiverem numerados no sentido anti-horrio, como sucede na figura 4.12, ( ) ( ) ( )213132321 yyxyyxyyx ++ igual ao dobro da rea do elemento. Para as coordenadas indicadas na figura 4.12, (1)1(x,y) = 2 2 y. Podem ser escritos sistemas de equaes anlogos para as funes de interpolao associadas aos ns 2 e 3 do elemento 1. As solues desses sistemas permitem concluir que a expresso geral das 3 funes de interpolao

  • 26

    ( )( )

    ( )ycxbaA

    iii

    e

    ie ++= 21

    , com ai = xj yk xk yj, bi = yj yk, ci = xk xj e:

    se i = 1, j = 2 e k = 3; se i = 2, j = 3 e k = 1; se i = 3, j = 1 e k = 2. Para as coordenadas indicadas na figura 4.12, (1)2(x,y) = 1 + 2 x e (1)3(x,y) = 2 x + 2 y. A expresso de uy pode ser obtida utilizando exactamente as mesmas funes de interpolao. Desta forma, designando por (1) o subdomnio correspondente ao elemento 1, podemos escrever que

    ( ) ( ) ( )111du

    x=

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    61

    51

    41

    31

    21

    11

    312111

    312111

    000

    000

    ,

    ,

    1

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    yxu

    yxu

    x,yy

    x

    .

    Substituindo as expresses das funes de interpolao obtidas anteriormente,

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ++

    ++=

    61

    51

    41

    31

    21

    11

    222122000

    000222122

    ,

    ,

    1

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    yxxy

    yxxy

    yxu

    yxu

    x,yy

    x

    .

    Para os restantes elementos, pode proceder-se de forma anloga. Na figura 4.14(a) indicam-se uma numerao local dos ns e uma numerao local dos deslocamentos nodais dos elementos 2 e 4, as quais coincidem com as anteriormente utilizadas para o elemento 1. Na figura 4.14(b) indicam-se as correspondentes numeraes para o elemento 3.

    d(e)1

    d(e)2 d(e)3

    d(e)4

    d(e)5 d(e)6

    2 e

    3

    1

    d(3)1 d(3)2

    d(3)3

    d(3)4 d(3)5

    d(3)6

    2 3

    3

    1

    (a) (b) Figura 4.14

  • 27

    O leitor poder verificar que, para o elemento 3, as funes de interpolao so (3)1(x,y) = 1 2 x, (3)2(x,y) = 1 + 2 x 2 y e (3)3(x,y) = 1 + 2 y.

    Portanto, ( )

    ++

    ++=

    yyxx

    yyxx

    2122121000

    00021221213

    e o campo de deslocamentos no elemento 3

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ++

    ++=

    63

    53

    43

    33

    23

    13

    2122121000

    0002122121

    ,

    ,

    3

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    yyxx

    yyxx

    yxu

    yxu

    x,yy

    x

    .

    Substituindo os deslocamentos nodais elementares pelos correspondentes deslocamentos nodais globais, os deslocamentos no elemento 3 ficam

    ( )( )

    ( ) ( )

    ++

    ++=

    6

    4

    5

    3

    2122100

    0021221

    ,

    ,

    3

    d

    d

    d

    d

    yyx

    yyx

    yxu

    yxu

    x,yy

    x

    .

    Se procedermos de igual forma para o elemento 1, os deslocamentos nesse elemento so

    ( )( )

    ( ) ( )

    ++

    ++=

    6

    2

    4

    5

    1

    3

    222122000

    000222122

    ,

    ,

    1

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    yxxy

    yxxy

    yxu

    yxu

    x,yy

    x

    .

    Estas duas ltimas expresses so diferentes uma da outra. Contudo, nos pontos da interface entre os elementos 1 e 3, nos quais x = 0.5, ambas as expresses se reduzem a

    ( )( )

    +

    +=

    6

    4

    5

    3

    212200

    002122

    ,5.0

    ,5.0

    d

    d

    d

    d

    yy

    yy

    yu

    yu

    y

    x.

    Dado que, ao longo da interface, ambas so funes lineares e assumem os mesmos valores em dois ns, era foroso que assim sucedesse. Este um exemplo de como a compatibilidade de deslocamentos num lado entre dois elementos est assegurada quando, ao longo desse lado, todos os ns pertencentes a cada um dos elementos coincidem com ns do outro elemento.

  • 28

    4.3. Montagem do Sistema de Equaes Considerem-se novamente o problema e a discretizao representados na figura 4.15.

    d1

    d2

    d3 d4

    d5 d6

    x

    y

    1 kN/m2

    0.5 m

    0.5 m

    0.5 m 0.5 m

    2

    1

    3

    4

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    Figura 4.15 Para esta discretizao, a equao do Mtodo dos Elementos Finitos um sistema de 6 equaes a 6 incgnitas:

    =

    =

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    666564636261

    565554535251

    464544434241

    363534333231

    262524232221

    161514131211

    F

    F

    F

    F

    F

    F

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    KKKKKK

    KKKKKK

    KKKKKK

    KKKKKK

    KKKKKK

    KKKKKK

    FdK .

    A matriz K a matriz de rigidez global e o vector F o vector de foras global. Tal como no captulo 3, o termo Kij o trabalho realizado pelas tenses correspondentes a dj = 1 (e dl = 0 se l j) com as deformaes correspondentes a di = 1 (e dk = 0 se k i). Por sua vez, Fi o trabalho realizado pelo carregamento com os deslocamentos correspondentes a di = 1 (e dk = 0 se k i). Os termos da matriz de rigidez podem tambm ser representados como foras nodais equivalentes. Por exemplo, quando d3 = 1 e dl = 0 se l 3, os termos da terceira coluna da matriz de rigidez global correspondem s foras fictcias representadas na figura 4.16.

  • 29

    d3=1

    K43 K33

    K13

    K23 K63 K53

    Figura 4.16

    Cada uma dessas foras pode ser vista como uma soma de contribuies de cada um dos elementos finitos envolvidos na deformada. Estas contribuies so tambm foras fictcias, as quais podem ser interpretadas como termos de matrizes de rigidez elementares. A numerao local dos ns e a numerao local dos deslocamentos nodais dos elementos finitos so, para os elementos 1, 2 e 4, as representadas na figura 4.17(a) e, para o elemento 3, as representadas na figura 4.17(b).

    d(e)1

    d(e)2 d(e)3

    d(e)4

    d(e)5 d(e)6

    2 e

    3

    1

    d(3)1 d(3)2

    d(3)3

    d(3)4 d(3)5

    d(3)6

    2 3

    3

    1

    (a) (b) Figura 4.17

    Deste modo, para cada elemento finito e, pode definir-se uma matriz de rigidez elementar K(e). Na figura 4.18, representam-se as foras fictcias correspondentes aos termos das matrizes de rigidez elementares associados deformada da figura 4.16.

    d(3)2=1

    K(3)52

    K(3)22

    K(3)32

    K(3)62

    K(3)42

    K(3)12

    4

    3

    2

    1

    d(1)1=1

    K(1)11

    K(1)21

    K(1)41

    K(1)31 K(1)51 K(1)61

    d(2)2=1

    K(2)12

    K(2)42

    K(2)22 K(2)52 K(2)32 K(2)62

    Figura 4.18

  • 30

    Na realidade, tal como para a matriz de rigidez global, o termo K(e)ij o trabalho realizado pelas tenses correspondentes a d(e)j = 1 com as deformaes correspondentes a d(e)i = 1. Tendo em conta que na seco 4.2 se tinha

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    61

    51

    41

    31

    21

    11

    312111

    312111

    000

    000

    1

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    y,xu

    y,xu

    x,yy

    x

    ,

    ento, por exemplo,

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    1

    50

    111

    31611 0

    0

    . x

    T

    dxdyy,x

    y,xK

    ADA .

    Na seco 4.2, obteve-se que (1)1(x,y) = 2 2 y e (1)3(x,y) = 2 x + 2 y. Portanto,

    ( ) EK 24

    5611 = .

    Fazendo os clculos para toda a matriz de rigidez dum elemento em conjunto,

    ( ) ( ) ( )( )

    =e

    deT

    ee

    DBBK , com B(e) = A (e).

    de notar que, de acordo com o indicado no captulo 2, a matriz D sempre simtrica, pelo que a matriz de rigidez elementar tambm sempre simtrica. Voltando ao raciocnio em termos de foras fictcias e comparando as figuras 4.16 e 4.18, pode verificar-se que: K13 = K(1)21 K23 = K(1)51 K33 = K(1)11 + K(2)22 + K(3)22 K43 = K(1)41 + K(2)52 + K(3)52 K53 = K(1)31 + K(3)32 K63 = K(1)61 + K(3)62. Na verdade, para montar a matriz de rigidez global a partir das matrizes de rigidez elementares, no necessrio desenhar deformadas como as das figuras 4.16 e 4.18. A nica informao necessria a relao entre os deslocamentos nodais globais e os deslocamentos nodais elementares, para a qual so suficientes as figuras 4.15 e 4.17. Esta relao pode ser escrita na forma apresentada na tabela 4.2. Esta tabela normalmente designada por tabela de incidncias.

  • 31

    e d(e)1 d(e)2 d(e)3 d(e)4 d(e)5 d(e)6 1 d3 d1 d5 d4 d2 d6 2 - d3 - - d4 - 3 - d3 d5 - d4 d6 4 - d5 - - d6 -

    Tabela 4.2 Cada linha da tabela indica, para um elemento finito, qual o deslocamento global correspondente a cada deslocamento desse elemento. O elemento finito e contribui para Kij se tanto di como dj constam da linha e. Se di corresponde a d(e)k e dj a d(e)l, ento a contribuio do elemento e para Kij ser igual a K(e)kl. Procedendo desta forma, pode verificar-se que, neste exemplo, as restantes colunas da matriz de rigidez global so: K11 = K(1)22 K21 = K(1)52 K31 = K(1)12 K41 = K(1)42 K51 = K(1)32 K61 = K(1)62 K12 = K(1)25 K22 = K(1)55 K32 = K(1)15 K42 = K(1)45 K52 = K(1)35 K62 = K(1)65 K14 = K(1)24 K24 = K(1)54 K34 = K(1)14 + K(2)25 + K(3)25 K44 = K(1)44 + K(2)55 + K(3)55 K54 = K(1)34 + K(3)35 K64 = K(1)64 + K(3)65 K15 = K(1)23 K25 = K(1)53 K35 = K(1)13 + K(3)23 K45 = K(1)43 + K(3)53 K55 = K(1)33 + K(3)33 + K(4)22 K65 = K(1)63 + K(3)63 + K(4)52 K16 = K(1)26 K26 = K(1)56 K36 = K(1)16 + K(3)26 K46 = K(1)46 + K(3)56 K56 = K(1)36 + K(3)36 + K(4)25 K66 = K(1)66 + K(3)66 + K(4)55.

  • 32

    Devido simetria das matrizes de rigidez elementares, a matriz de rigidez global tambm sempre simtrica, tal como se verifica neste exemplo. A tabela de incidncias pode igualmente ser utilizada para obter os termos do vector de foras global em funo dos termos dos vectores de foras elementares. Neste exemplo: F1 = F(1)2 F2 = F(1)5 F3 = F(1)1 + F(2)2 + F(3)2 F4 = F(1)4 + F(2)5 + F(3)5 F5 = F(1)3 + F(3)3 + F(4)2 F6 = F(1)6 + F(3)6 + F(4)5. Tal como para o vector de foras global, F(e)i o trabalho realizado pelo carregamento com os deslocamentos correspondentes a d(e)i = 1.

    Por exemplo, ( )( ) ( )

    kN/m12

    1

    1

    0

    1,

    01

    5.0 3161 =

    = dxxxF

    T

    .

    Fazendo os clculos para todo o vector de foras dum elemento em conjunto,

    ( ) ( )( )

    ( )( )

    +=tee

    dd TeT

    ee

    tfF .

  • 33

    4.4. Clculo da soluo Considerem-se novamente o problema e a discretizao representados na figura 4.19.

    d1

    d2

    d3 d4

    d5 d6

    x

    y

    1 kN/m2

    0.5 m

    0.5 m

    0.5 m 0.5 m

    2

    1

    3

    4

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    Figura 4.19 Montando o sistema de equaes do Mtodo dos Elementos Finitos, pelo processo descrito na seco 4.3, e resolvendo esse sistema, obtm-se o vector de deslocamentos nodais globais:

    (m)1

    6486180

    1793770

    5029400

    07512070

    103121

    2085120

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    E

    .

    .

    .

    .

    .

    .

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    =

    =d .

    Conhecidos os valores dos deslocamentos nodais de um elemento, o campo de deslocamentos nesse elemento pode ser calculado de forma independente dos deslocamentos nos restantes elementos. Tome-se como exemplo o elemento 3, para o qual a numerao local dos ns e a numerao local dos deslocamentos nodais esto representadas na figura 4.20.

    d(3)1 d(3)2

    d(3)3

    d(3)4 d(3)5

    d(3)6

    2 3

    3

    1

    Figura 4.20

  • 34

    De acordo com esta numerao, o vector dos deslocamentos nodais do elemento

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    =

    6

    4

    5

    3

    63

    53

    43

    33

    23

    13

    3 0

    0

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d .

    Por conseguinte, a expresso do campo de deslocamentos no elemento 3 ser

    ( )( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    6

    4

    5

    3

    3323

    3323

    00

    00

    3

    d

    d

    d

    d

    y,xu

    y,xu

    y,xy

    x

    .

    Na seco 4.2, obteve-se que (3)2(x,y) = 1 + 2 x 2 y e (3)3(x,y) = 1 + 2 y. Portanto, os deslocamentos no elemento 3 so

    ( )(m)

    1

    145678.0291356.000588.1

    254497.0508995.0150241.03 Eyx

    yx

    +

    +=

    xu .

    Por sua vez, as deformaes so ( )E

    .

    .

    .1

    4968850

    2913560

    1502410

    3

    =

    e as tenses so ( )2

    3 kN/m

    2070350

    3347960

    2172000

    =

    .

    .

    .

    .

    Procedendo de forma anloga para o elemento 1, obtm-se que, nesse elemento,

    ( )2

    1 kN/m

    166667.0

    291356.0

    0

    = .

    Portanto, na interface entre os elementos 1 e 3, existe um desequilbrio de tenses

    ( )( )

    ( )( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    2

    3131

    kN/m0403680

    2172000

    2070350

    2172000

    1666670

    0

    50

    50

    50

    50

    =

    +

    =

    +

    =

    .

    .

    .

    .

    .y,.t

    y,.t

    y,.t

    y,.t

    t

    t

    y

    x

    y

    x

    y

    x

    .

    de notar que, nesta interface, a descontinuidade de y no implica qualquer violao do equilbrio.

  • 35

    5. O Elemento Finito de 4 Ns Quer na discretizao de domnios com geometria complicada, quer na gerao de malhas no estruturadas, tais como a do exemplo de refinamento h-adaptativo representado na figura 4.10, os elementos finitos de forma triangular so os mais simples de utilizar. Todavia, num elevado nmero de casos com interesse prtico, a discretizao atravs de elementos finitos quadrilteros a mais cmoda. Por esta razo, este captulo incide sobre o mais simples dos elementos finitos quadrilteros: o elemento finito de 4 ns. Como exemplo, considere-se o elemento finito de 4 ns representado na figura 5.1. Na mesma figura, indicam-se uma numerao local dos ns e uma numerao local dos deslocamentos nodais deste elemento.

    0

    -1

    -1

    1

    1

    1 2

    4 3

    x

    y

    d1 d5 d6

    d2

    d3

    d7

    d4

    d8

    Figura 5.1

    O deslocamento segundo x, por exemplo, ser

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44332211 dy,xdy,xdy,xdy,xy,xux +++= , sendo i(x,y) a funo de interpolao associada ao n i do elemento. Procedendo do mesmo modo que para o elemento de 3 ns, a funo de interpolao associada ao n 1 seria agora escrita na forma 1 = a + b x + c y + d x y. Os coeficientes a, b, c e d tero de ser tais que sejam simultaneamente satisfeitas as seguintes equaes:

    ( )( )( )( )

    =

    =

    =

    =

    =

    0

    0

    0

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    4444

    3333

    2222

    1111

    441

    331

    221

    111

    d

    c

    b

    a

    yxyx

    yxyx

    yxyx

    yxyx

    y,x

    y,x

    y,x

    y,x

    .

  • 36

    Para as coordenadas indicadas na figura 5.1, 1(x,y) = 0.25 0.25 x 0.25 y + 0.25 x y. de notar que, embora a funo seja bilinear no interior do elemento, varia linearmente ao longo de cada um dos lados. Imagine-se agora um elemento finito igual ao da figura 5.1 mas rodado 45, tal como representado na figura 5.2.

    1

    2 4

    3

    x

    y

    d1 d5

    d6

    d2

    d3

    d7

    d4

    d8

    Figura 5.2

    Neste caso, para a funo de interpolao associada ao n 1, o correspondente sistema de

    equaes

    =

    0

    0

    0

    1

    0021

    0201

    0021

    0201

    d

    c

    b

    a

    .

    Ao contrrio do que sucedia quando os lados eram paralelos aos eixos coordenados, neste caso o sistema impossvel de resolver. Para um elemento finito quadriltero, o conjunto das funes de interpolao no completo, isto , no contm todos os monmios xiyj com i + j = p, ao contrrio do que sucede para elementos triangulares. Portanto, por este processo, no possvel, para elementos finitos quadrilteros, obter uma interpolao em funo das coordenadas globais que seja invariante em relao a rotaes. Um processo alternativo, que assegura a invarincia, consiste em multiplicar a equao da recta que passa pelos ns 4 e 3 pela equao da recta que passa pelos ns 3 e 2 e dividir o resultado pelos valores que essas equaes tomam no n 1, obtendo-se

    ( ) ( )( )( )( )20220222

    ,1+

    +=

    xyxyyx .

    No entanto, se o elemento no for um paralelogramo, a funo no ir variar linearmente ao longo de todos os lados, pelo que a continuidade da interpolao no estar garantida, como se pode verificar no exemplo da figura 5.3.

  • 37

    x

    y

    1 2

    3

    4

    (1)

    (2)

    5 6

    1.00 m

    0.50 m

    0.50 m

    1.00 m

    Figura 5.3

    Utilizando qualquer um dos dois processos anteriores, as funes de interpolao elementares associadas ao n 4 so, respectivamente,

    ( ) ( ) xyyx 32

    ,31 = e ( ) ( ) xyxyx 24,22 = .

    Ao longo da interface entre os elementos,

    ( ) ( ) ( ) ( )5.0,2332

    3

    15.0, 22

    2231 +=+=+ xxxxxxxx ,

    pelo que, apesar de existir continuidade nos ns 3 e 4, no existe continuidade ao longo da interface. Por este motivo, a interpolao tem de ser efectuada num sistema de coordenadas local. Na figura 5.4, representa-se um quadriltero com um sistema de coordenadas local. Estas coordenadas so designadas por coordenadas naturais do quadriltero.

    x

    y

    0

    1

    2

    3 4

    1

    1

    -1

    -1

    Figura 5.4

  • 38

    A interpolao do deslocamento segundo x passa a ser

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44332211 d,d,d,d,,ux +++= , sendo i(,) a funo de interpolao, nas coordenadas naturais, associada ao n i do elemento. A qualquer elemento quadriltero corresponde, nas coordenadas naturais e , o elemento mestre quadrado representado na figura 5.5. Portanto, nas coordenadas naturais, o elemento est sempre na situao do elemento representado na figura 5.1, qualquer que seja a posio dos seus ns nas coordenadas globais.

    0

    -1

    -1

    1

    1

    1 2

    4 3

    Figura 5.5

    Para obter as funes de interpolao, nas coordenadas naturais, pode proceder-se como para o elemento representado na figura 5.2. A funo de interpolao associada ao n 1 toma valores nulos quando = 1 ou quando = 1. Alm disso, tem um valor unitrio quando = 1 e = 1, pelo que

    ( ) ( )( )( )( )

    ( )( ) =

    = 11

    4

    1

    1111

    111 , .

    Procedendo da forma anloga para os restantes ns,

    ( ) ( )( ) += 114

    12 , ,

    ( ) ( )( ) ++= 114

    13 , ,

    ( ) ( )( ) += 114

    14 , .

    Alm da expresso de ux(,), igualmente necessrio saber a que ponto (x,y) corresponde o ponto (,). Ou seja, necessrio conhecer a expresso da transformao de coordenadas. Uma forma prtica de obter a expresso da transformao de coordenadas consiste em interpolar a forma do elemento a partir das coordenadas dos ns. Esta interpolao pode ser

  • 39

    realizada utilizando as funes anteriormente utilizadas para interpolar os deslocamentos, obtendo-se:

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44332211 x,x,x,x,,x +++= , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44332211 y,y,y,y,,y +++= .

    Nestas expresses, a funo i(,) designada por funo de forma associada ao n i do elemento finito. Como simultaneamente a funo de interpolao dos deslocamentos, o elemento finito designado por isoparamtrico. Com excepo de algumas formas particulares, no prtico, para o elemento de 4 ns, nem possvel, para os elementos de grau superior que sero descritos no captulo 7, obter a expresso analtica da transformao de coordenadas inversa, ou seja as expresses de (x,y) e de (x,y). Portanto, apesar de ser possvel, para qualquer ponto (,), calcular x(,), y(,) e ux(,), no possvel obter a expresso analtica de ux(x,y). Uma das vantagens da transformao de coordenadas consiste na simplificao dos limites de integrao no clculo das matrizes de rigidez e vectores de foras elementares. Qualquer que seja a posio dos ns dum elemento,

    ( )

    ( ) ( )

    =1

    1

    1

    1

    dd,,fdxdyf

    e

    J ,

    onde ( ) ,J o jacobiano da transformao de coordenadas, isto , o determinante da matriz Jacobiana da transformao de coordenadas, a qual por sua vez definida como

    ( )

    =

    yx

    yx

    ,J .

    Num lado correspondente a = 1, por exemplo,

    ( )

    ( ) ( ) ( )

    +

    =1

    1

    22

    111

    d,y

    ,x

    ,tdt

    e

    .

    O inconveniente da transformao de coordenadas consiste na complicao do clculo de derivadas, o qual necessrio para obter as funes a integrar para calcular as matrizes de rigidez elementares. necessrio recorrer regra de derivao da funo composta:

    x

    u

    x

    u

    x

    u

    +

    =

    ,

    y

    u

    y

    u

    y

    u

    +

    =

    .

  • 40

    Por sua vez, de acordo com a regra de derivao da funo inversa,

    ( )

    ,

    yy

    xx 1=

    J .

    Deste modo, possvel utilizar elementos finitos quadrilteros com lados no paralelos aos eixos coordenados. Naturalmente, os programas de clculo automtico para aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos recorrem sempre a transformaes de coordenadas. Contudo, no mbito destes apontamentos, uma introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos, o caso particular do elemento finito rectangular de lados paralelos aos eixos do sistema de coordenadas global merece ser tratado de forma especial. Neste caso particular, a interpolao nas coordenadas globais possvel e fornece exactamente o mesmo resultado que a interpolao nas coordenadas naturais. Sendo assim, mais prtico trabalhar directamente nas coordenadas globais.

    x

    y

    y3

    y1

    x1 0 x3

    1 2

    3 4

    Figura 5.6

    Para o elemento finito de 4 ns representado na figura 5.6, no qual x1 = x4, x2 = x3, y1 = y2 e y3 = y4, as funes de interpolao podem ser calculadas de forma anloga utilizada para o elemento mestre, obtendo-se:

    ( ) ( )( )( )( )3131

    331

    yyxx

    yyxxy,x

    = ,

    ( ) ( )( )( )( )3113

    312

    yyxx

    yyxxy,x

    = ,

    ( ) ( )( )( )( )1313

    113

    yyxx

    yyxxy,x

    = ,

    ( ) ( )( )( )( )1331

    134

    yyxx

    yyxxy,x

    = .

  • 41

    6. Casos Especiais 6.1. Apoios Inclinados Considerem-se o problema discretizado atravs de 1 elemento finito e a numerao local dos deslocamentos representados na figura 6.1.

    1.00 m

    d3 d1

    30 1.00 m

    d2

    d4

    1

    x

    y

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    ( )( )

    3kN/m1

    0

    =

    y,xf

    y,xf

    y

    x

    d(e)1 d(e)5 d(e)6

    d(e)2

    d(e)3

    d(e)7

    d(e)4

    d(e)8

    e

    Figura 6.1 Na figura 6.2, representa-se a deformada correspondente a d4 = 1, bem como as foras nodais equivalentes aos termos da correspondente coluna da matriz de rigidez.

    1

    d4 = 1

    cos 30 sen 30

    K14

    K34

    K24

    K44

    Figura 6.2

    Pode observar-se que esta deformada a soma das duas deformadas representadas na figura 6.3. Na primeira, d(1)2 = cos 30; na segunda, d(1)6 = sen 30. Portanto, as correspondentes foras nodais equivalentes so as representadas tambm na figura 6.3.

  • 42

    d(1)2

    = cos 30

    cos 30

    sen 30

    K(1)12

    cos 30 K

    (1)52cos 30

    K(1)62

    cos 30

    K(1)22

    cos 30

    K(1)32

    cos 30

    K(1)72

    cos 30 K(1)82cos 30

    K(1)42

    cos 30

    1

    d(1)6

    = sen 30

    K(1)16

    sen 30 K

    (1)56sen 30

    K(1)66

    sen 30

    K(1)26

    sen 30

    K(1)36

    sen 30

    K(1)76

    sen 30 K(1)86

    sen 30

    K(1)46

    sen 30

    1

    Figura 6.3 Comparando as figuras 6.3 e 6.2, conclui-se que:

    ( ) ( ) 3030 86182114 senKcosKK += ,

    ( ) ( ) 3030 36132124 senKcosKK += ,

    ( ) ( ) 3030 76172134 senKcosKK += .

    Para calcular K44, necessrio projectar segundo d4 as quatro foras aplicadas no n deslocado. Ou seja:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) .sensenKcossenK

    sencosKcoscosKK

    30303030

    30303030

    661261

    62122144

    ++

    ++=

    Tal como no captulo 4, a matriz de rigidez global pode ser montada, a partir da matriz de rigidez elementar, recorrendo apenas s incidncias indicadas na tabela 6.1. e d(e)1 d(e)2 d(e)3 d(e)4 d(e)5 d(e)6 d(e)7 d(e)8 1 - d4 cos 30 d2 - - d4 sen 30 d3 d1

    Tabela 6.1 Procedendo desta forma para as restantes colunas da matriz de rigidez global, obtm-se:

    ( )88111 KK = ,

    ( )38121 KK = ,

    ( )78131 KK = ,

    ( ) ( ) 3030 68128141 senKcosKK += ,

    ( )83112 KK = ,

    ( )33122 KK = ,

    ( )73132 KK = ,

    ( ) ( ) 3030 63123142 senKcosKK += ,

  • 43

    ( )87113 KK = ,

    ( )37123 KK = ,

    ( )77133 KK = ,

    ( ) ( ) 3030 67127143 senKcosKK += .

    Como a matriz de rigidez elementar simtrica, a matriz de rigidez global tambm o . Procedendo de forma anloga para o vector de foras global, obtm-se:

    ( )811 FF = ,

    ( )312 FF = ,

    ( )713 FF = ,

    ( ) ( ) 3030cos 61214 senFFF += .

  • 44

    6.2. Apoios Elsticos Considere-se o problema discretizado atravs de 1 elemento finito representado na figura 6.4. O bordo superior est apoiado num meio elstico com rigidez ky (kN/m

    2/m).

    d1

    d2

    d3

    ky

    x

    y

    0.20 m

    0.10 m

    1

    d4

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    ( )( )

    3kN/m1

    0

    =

    y,xf

    y,xf

    y

    x

    d(e)1 d(e)5 d(e)6

    d(e)2

    d(e)3

    d(e)7

    d(e)4

    d(e)8

    e

    Figura 6.4 A rigidez do meio elstico relaciona as tenses aplicadas no meio elstico com os deslocamentos:

    =

    y

    x

    yy

    x

    u

    u

    kt

    t

    0

    00.

    De modo anlogo ao descrito na seco 4.3 para os elementos finitos, a contribuio do meio elstico para o termo Kij da matriz de rigidez global o trabalho realizado pelas tenses no meio elstico correspondentes a dj = 1 (e dl = 0 se l j) com os deslocamentos correspondentes a di = 1 (e dk = 0 se k i). Portanto, os coeficientes da matriz K para os quais existe contribuio do meio elstico so:

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    dxxkx

    KKy

    T

    += 20.0,

    0

    0

    00

    20.0,

    0

    31

    10.0

    0 3177133

    ,

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    dxxkx

    KKy

    T

    += 20.0,

    0

    0

    00

    20.0,

    0

    31

    10.0

    0 4187143

    ,

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    dxxkx

    KKy

    T

    += 20.0,

    0

    0

    00

    20.0,

    0

    41

    10.0

    0 3178134

    ,

    ( )( ) ( ) ( ) ( )

    dxxkx

    KKy

    T

    += 20.0,

    0

    0

    00

    20.0,

    0

    41

    10.0

    0 4188144

    .

    A contribuio do meio elstico no afecta a simetria da matriz de rigidez global.

  • 45

    6.3. Assentamentos e Reaces de Apoio Considere-se o problema discretizado atravs de 1 elemento finito representado na figura 6.5. Alm da fora de massa, existe um assentamento num apoio.

    0.10 m

    0.20 m

    d1

    d2

    1

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2

    ( )( )

    3kN/m1

    0

    =

    y,xf

    y,xf

    y

    x

    d(e)1 d(e)5 d(e)6

    d(e)2

    d(e)3

    d(e)7

    d(e)4

    d(e)8

    e

    Figura 6.5 Substituindo o apoio pela correspondente reaco, obtm-se o problema representado na figura 6.6.

    d1

    d2 d3 R

    ( )( )

    3kN/m1

    0

    =

    y,xf

    y,xf

    y

    x

    Figura 6.6 Para este segundo problema, considerando que 1F , 2F , e 3F correspondem apenas s cargas aplicadas no problema original, o sistema de equaes do Mtodo dos Elementos Finitos

    +

    =

    RF

    F

    F

    d

    d

    d

    KKK

    KKK

    KKK

    3

    2

    1

    3

    2

    1

    333231

    232221

    131211

    .

    Dado que o segundo problema pretende representar o problema original, d3 = . Desta forma, as duas primeiras equaes ficam com apenas duas incgnitas:

    ( )( )

    =

    =

    2

    1

    232

    131

    2

    1

    2221

    1211

    F

    F

    KF

    KF

    d

    d

    KK

    KK

    .

  • 46

    Uma vez resolvido este sistema de equaes, a terceira equao do sistema anterior pode ser utilizada para calcular a reaco no apoio:

    ( ) 333232131 FKdKdKR ++= . O sistema de equaes e a expresso da reaco podem ser escritos em funo dos termos da matriz de rigidez e do vector de foras elementares, obtendo-se

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

    =

    37131

    27121

    2

    1

    331321

    231221

    KF

    KF

    d

    d

    KK

    KK

    e

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )7177127311721 FKdKdKR ++= . Portanto,

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )( )

    =

    1,

    0

    0

    ,

    31

    21211

    d

    yx

    yxFF

    T

    ADA ,

    ( )( ) ( )

    ( ) ( )( )

    =

    1,

    0

    0

    ,

    31

    31312

    d

    yx

    yxFF

    T

    ADA

    e, tendo em conta que ( )

    ( ) ( )

    ( )

    =

    2

    1

    31

    3121

    00

    01

    d

    d

    xu ,

    ( ) ( ) ( )( )( )711

    311

    ,

    0Fd

    yxR

    T

    =

    A .

  • 47

    6.4. Variaes de Temperatura Considere-se o problema discretizado atravs de 1 elemento finito e a numerao local dos deslocamentos representados na figura 6.7.

    0.10 m

    0.20 m

    d1

    d2

    y

    x

    1

    Estado Plano de Tenso E constante (kN/m2) = 0.2 constante (C-1) Variao de temperatura T (C)

    d(e)1 d(e)5 d(e)6

    d(e)2

    d(e)3

    d(e)7

    d(e)4

    d(e)8

    e

    Figura 6.7 A equao do Mtodo dos Elementos Finitos, K d = F, pode ser obtida, a partir da matriz de rigidez elementar, K(1), e do vector de foras nodais elementar, F(1), pelo processo descrito no captulo 4.

    A matriz de rigidez elementar calculada da forma habitual: ( ) ( ) ( )( )

    =1

    111

    dT DBBK .

    O vector de foras nodais elementar tem de ser equivalente variao de temperatura. Isto , para o elemento desligado dos apoios (e do resto da malha, caso existisse), o vector de foras nodais elementar tem de ser equivalente a um campo de tenses que cause as mesmas deformaes que a variao de temperatura. A variao de temperatura d origem ao seguinte campo de deformaes:

    =

    00 T

    T

    .

    Se estas deformaes tivessem sido provocadas por tenses, estas seriam iguais a D 0. Por conseguinte, o vector de foras nodais elementar equivalente variao de temperatura dado por:

    ( ) ( )( )

    =1

    011

    dT DBF .

  • 48

    Uma vez montada e resolvida a equao do Mtodo dos Elementos Finitos, K d = F, e obtidos os deslocamentos nodais elementares, o campo de deslocamentos no elemento ser dado por

    ( ) ( ) ( )111du

    x=

    e o campo de deformaes por (1) = A (1) d(1) = B(1) d(1).

    Introduzindo nas relaes constitutivas apresentadas no captulo 2 o efeito da variao de temperatura, estas passam a ser = D ( 0). Por conseguinte, o campo de tenses ser dado por (1) = D (B(1) d(1) 0) = DB(1) d(1) D 0.

  • 49

    7. Elementos Finitos de Grau Superior 7.1. Elementos Finitos Triangulares Considere-se o elemento finito triangular, de lados rectos e com 6 ns, representado na figura 7.1.

    0 x

    y

    1 2 3

    4

    5

    6

    Figura 7.1

    Procedendo do mesmo modo que para o elemento de 3 ns, a funo de interpolao associada ao n i seria agora um polinmio do tipo i = a + b x + c y + d x2 + e x y + f y2. Portanto, a funo de interpolao um polinmio completo de 2 grau nas coordenadas globais. Sendo o polinmio completo, sempre possvel determinar os valores dos coeficientes, desde que os vrtices do tringulo no sejam colineares, e a interpolao invariante em relao a rotaes dos eixos. Considere-se agora o lado cujos extremos so os ns 1 e 3. Sendo recto, as coordenadas dos pontos ao longo do lado so dadas por uma funo linear

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) [ ]10131131 ,ssyyy,sxxxsy,sx ++= . Deste modo, ao longo desse lado, a funo de interpolao ser um polinmio de 2 grau em s: i = k0 + k1 s + k2 s2. Admita-se agora que o referido lado constitui a interface com um segundo elemento de 6 ns. Ao longo do lado, cada uma das funes de interpolao do segundo elemento tambm um polinmio de 2 grau. Portanto, a continuidade de deslocamentos est assegurada desde que os ns 1, 2 e 3 coincidam com ns do segundo elemento. Na famlia dos elementos finitos triangulares, o membro seguinte o elemento de 10 ns representado na figura 7.2.

  • 50

    Figura 7.2

    Os monmios utilizados na interpolao podem ser obtidos atravs do tringulo de Pascal representado na figura 7.3.

    3223

    22

    1

    yxyyxx

    yxyx

    yx

    Figura 7.3 Ao utilizar elementos finitos de grau superior a 1, existindo mais do que 2 ns em cada lado, lgico que se aproveite tal facto quando for necessrio discretizar um domnio com fronteiras curvas, no alinhando esses ns em linha recta. Ao fazer isto, teremos elementos com lados curvos, tais como o elemento finito triangular de 6 ns representado na figura 7.4.

    0 x

    y

    1

    2 3

    4

    5

    6

    Figura 7.4

    Neste caso, a funo que define as coordenadas dos pontos ao longo de um lado, (x(s), y(s)), j no uma funo linear. Sendo assim, a utilizao de funes de interpolao expressas nas coordenadas globais j no garante a continuidade de deslocamentos nos lados.

  • 51

    Por este motivo, em elementos finitos com lados curvos, a interpolao tem de ser efectuada num sistema de coordenadas local. Para elementos triangulares, as coordenadas naturais so as coordenadas de rea, definidas a partir de um elemento mestre triangular de lados rectos. As funes utilizadas para a interpolao dos deslocamentos num elemento de um determinado grau so igualmente utilizadas para definir a forma desse elemento. Ou seja, os elementos so isoparamtricos. Como foi referido no captulo 5, os programas de clculo automtico para aplicao do Mtodo dos Elementos Finitos recorrem sempre a transformaes de coordenadas, para todos os elementos.

  • 52

    7.2. Elementos Finitos Quadrilteros So correntemente utilizadas duas famlias de elementos finitos quadrilteros, os elementos finitos de Lagrange e os elementos finitos Serendipianos. Os trs primeiros membros da famlia dos elementos finitos quadrilteros de Lagrange esto representados na figura 7.5.

    1 2 3

    4 5 6

    7 8 9

    Figura 7.5

    As expresses das funes de interpolao, nas coordenadas naturais, podem ser obtidas de forma anloga ao efectuado para o elemento isoparamtrico de 4 ns, no captulo 5. Para o elemento isoparamtrico de 9 ns, as funes de interpolao so:

    ( ) ( ) = 114

    11 ,

    ( )( ) = 112

    1 22 ,

    ( ) ( ) += 114

    13 ,

    ( ) ( )24 1121

    = ,

    ( )( )225 11 = , ( ) ( )26 112

    1 += ,

    ( ) ( ) += 114

    17 ,

    ( )( ) += 112

    1 28 ,

    ( ) ( ) ++= 114

    19 .

    Sendo o elemento finito isoparamtrico, estas funes so tambm utilizadas como funes de forma do elemento, pelo que os lados podem ser curvos. Para o elemento isoparamtrico de 16 ns, os monmios utilizados na interpolao formam, no tringulo de Pascal, o losango representado na figura 7.6.

  • 53

    33

    3223

    3223

    3223

    22

    1

    Figura 7.6 Os trs primeiros membros da famlia dos elementos finitos quadrilteros Serendipianos esto representados na figura 7.7.

    Figura 7.7

    Para o elemento isoparamtrico de 12 ns, os monmios utilizados na interpolao formam, no tringulo de Pascal, a figura representada na figura 7.8.

    33

    3223

    22

    1

    Figura 7.8

  • 54

    8. Estados Planos de Deformao e Slidos Tridimensionais 8.1. Estados Planos de Deformao Admita-se que, em todos os pontos de um corpo: xz = yz = z = 0; x, y e xy no variam com z. Ento, a anlise do corpo reduz-se anlise de um Estado Plano de Deformao, o qual constitui um problema bidimensional, anlogo ao da anlise de um Estado Plano de Tenso. A nica diferena entre a formulao do Mtodo dos Elementos Finitos anteriormente apresentada e a formulao para a anlise de Estados Planos de Deformao encontra-se nas relaes constitutivas, sendo agora a matriz de elasticidade dada por

    ( )( ) ( )

    +=

    22100

    01

    01

    211

    E

    D .

    8.2. Slidos Tridimensionais A utilizao do Mtodo dos Elementos Finitos na anlise de slidos tridimensionais mais laboriosa do que na anlise de problemas planos. Tanto o domnio a discretizar como os elementos finitos so tridimensionais; as funes tm trs variveis; o nmero de componentes de cada vector mais elevado, o nmero de funes de interpolao de cada grau mais elevado. Em contrapartida, do ponto de vista terico, no existe qualquer dificuldade adicional. As expresses das relaes fundamentais e as frmulas para o clculo das matrizes de rigidez e vectores de foras elementares so as mesmas. Nessas expresses, os vectores de deslocamentos e de deformaes e o operador diferencial de compatibilidade so, respectivamente,

    ( )( )( )

    =

    z,y,xu

    z,y,xu

    z,y,xu

    z

    y

    x

    u ,

    ( )( )( )( )( )( )

    =

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    yz

    xz

    xy

    z

    y

    x

    e

    yz

    xz

    xy

    z

    y

    x

    0

    0

    0

    00

    00

    00

    = A .

    O vector das tenses e a matriz de elasticidade so, respectivamente,

  • 55

    ( )( )( )( )( )( )

    =

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    z,y,x

    yz

    xz

    xy

    z

    y

    x

    e ( )( )

    =

    2

    2100000

    02

    210000

    002

    21000

    0001

    0001

    0001

    21+1

    E

    D .

    O elemento finito mais simples o tetraedro de 4 ns, representado na figura 8.1.

    d(e)1

    d(e)9

    d(e)5

    d(e)2

    d(e)10

    d(e)6

    d(e)3

    d(e)11

    d(e)7

    d(e)4

    d(e)12

    d(e)8

    Figura 8.1

    Para este elemento, a expresso do campo de deslocamentos :

    ( ) ( ) ( )==

    eeedu

    x

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    12

    11

    10

    9

    8

    7

    6

    5

    4

    3

    2

    1

    4321

    4321

    4321

    00000000

    00000000

    00000000

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    e

    eeee

    eeee

    eeee

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    d

    .

  • 56

    Na famlia dos elementos finitos tetradricos, o membro seguinte o elemento de 10 ns representado na figura 8.2. Os monmios utilizados na interpolao podem ser obtidos atravs da pirmide de Pascal representada na mesma figura.

    22

    2

    1

    zyzy

    xzxy

    x

    zy

    x

    Figura 8.2 O correspondente em 3D ao quadriltero de 4 ns o hexaedro de 8 ns representado na figura 8.3.

    Figura 8.3

  • 57

    9. Bibliografia NP-761 - Teoria das Estruturas - Vocabulrio, 1969. Lus MSS Castro, Elementos Finitos para a Anlise Elstica de Lajes, Instituto Superior Tcnico, Lisboa, 2001. JAC Martins, O Princpio dos Trabalhos Virtuais e o Mtodo dos Elementos Finitos na Anlise de Placas e Lajes, Relatrio CMEST DT 2/1988. Pedro GSV Parreira, Introduo ao Mtodo dos Elementos Finitos, Edio da Associao de Estudantes do Instituto Superior Tcnico, Lisboa, 1989. JN Reddy, An Introduction to the Finite Element Method, McGraw-Hill, 2 edio, Singapura, 1993. CA Mota Soares, Elementos Finitos em Mecnica dos Slidos, Instituto Superior Tcnico, Lisboa, 1982. OC Zienkiewicz e RL Taylor, The Finite Element Method - Basic Formulation and Linear Problems, Volume 1, 4 edio, McGraw-Hill, Berkshire, 1989. OC Zienkiewicz e RL Taylor, The Finite Element Method - Solid and Fluid Mechanics, Dynamics and Non-Linearity, Volume 2, 4 edio, McGraw-Hill, Berkshire, 1991.