Unidade 4 Anlise dimensional e semelhan§a mec¢nica

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  • Unidade 4 Anlise dimensional e semelhana mecnica
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  • Vamos inicialmente discutir quais as vantagens de recorrermos a anlise dimensional e semelhana.
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  • Estuda-se em laboratrio a fora de resistncia (fora de arraste) que um dado fluido (1 e 1) exerce no deslocamento de uma esfera (de dimetro D) em seu meio. A experincia realizada para o referido estudo representada pela figura do prximo slide
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  • Variando-se a velocidade v 1, para uma dada esfera de dimetro D1 e para um dado fluido ( e 1), pode se obter a tabela apresentada a seguir:
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  • Atravs da tabela anterior, obtm-se a curva representada a seguir
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  • Podemos constatar facilmente que a curva representada no slide anterior uma curva particular, mesmo porque apresenta, tanto na ordenada como na abscissa, grandezas dimensionais. Objetivo - Generalizar as informaes obtidas em laboratrio.
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  • Para que possamos exemplificar o objetivo mencionado anteriormente, vamos supor que nos seja dirigida a seguinte questo: Qual a fora exercida em uma esfera de dimetro D 2 ; quando esta se desloca no mesmo fluido com a velocidade v 2 ? Condio: A resposta da questo deve ser obtida sem se recorrer a ensaios. justamente para satisfazer esta condio que recorremos anlise dimensional. E para sua introduo deve-se inicialmente definir a funo que caracteriza o fenmeno
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  • Temos as seguintes variveis que caracterizam o fenmeno: F - fora de arraste D - dimetro da esfera v - velocidade da esfera ou velocidade do fluido - massa especfica do fluido - viscosidade do fluido
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  • A anlise dimensional determina os nmeros adimensionais (nmeros puros) que definem o fenmeno estudado. Para o exemplo anterior, temos:
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  • Pelo fato das duas situaes: a ensaiada em laboratrio e a questionada, serem semelhantes, podemos afirmar que ambas so caracterizadas pelas mesmas variveis, o que equivale a dizer que 1 e 2 definem as duas situaes.
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  • Podemos a partir dos dados obtidos no ensaio, obter a tabela representada a seguir:
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  • A partir da tabela anterior, podemos obter a curva universal do fenmeno, que aquela que tanto na ordenada como na abscissa, temos nmeros adimensionais (nmeros universais); o que equivale a dizer que, valem tanto para o fenmeno ensaiado em laboratrio como para o fenmeno que questionado. Pela condio de semelhana, podemos escrever que:
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  • Para o fenmeno questionado, temos os seguintes dados: 2 = 1 ; 2 = 1 ; D 2 e v 2, e isto nos permite calcular: Pela condio de semelhana igual a )ensaiado. Sabendo que 2 )q = 2 )e na abscissa da curva universal, podemos ler, na ordenada 1 )ensaiado, que pela condio de semelhana e igual a 1 )questionado.
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  • e isto permite calcular a fora F2 sem recorrer a ensaios, j que:
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  • Teorema dos
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  • o teorema que nos permite determinar os nmeros adimensionais a partir da funo caracterstica. Partindo-se da funo caracterstica, f (F, V, , , D) = 0, a aplicao do teorema dos respeita a seguinte seqncia: 1 PASSO: Determinar o nmero de grandezas que influenciam o fenmeno - n n = 5 2 PASSO: Escrevemos a equao dimensional de cada uma das grandezas. [F] = F [V] = L x T -1 [] = F x L -4 x T 2 [] = F x L -2 x T [D] = L
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  • 3 PASSO: Determinamos o nmero de grandezas fundamentais envolvidas no fenmeno - K. K = 3 4 PASSO : Determinamos o nmero de nmeros adimensionais que caracterizam o fenmeno - m m = n - K m = 2 5 PASSO: Estabelecemos a base dos nmeros adimensionais. Definio de base - um conjunto de K variveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceo dos seus expoentes. Variveis independentes- So aquelas que apresentam as suas equaes dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, , D ou F, V, , D como variveis independentes. e como variveis dependentes.
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  • Bases possveis para o exemplo: V F; V D; F V D; V F; V D. Para obtermos os adimensionais j estabelecidos para os estudos de Mecnica dos Fluidos, geralmente adotamos a base V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base V D. 6 PASSO : Escrevemos os nmeros adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variveis que restaram na funo caracterstica aps a sua retirada. 1 = 1. V 2. D 3. F 2 = 1. V 2. D 3.
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  • Para obtermos os expoentes da base, substitumos cada uma das variveis por sua respectiva equao dimensional, inclusive o nmero adimensional. Para 1 tem-se:
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  • Para 2 tem-se:
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  • Condio de semelhana Completa Para que possamos obter as informaes do prottipo (fenmeno no ensaiado), atravs das informaes obtidas no ensaio do modelo, ambos devem ser caracterizados pela mesma funo caractersticas, o que equivale a dizer, que tanto o prottipo, como o modelo, sero definidos pela mesma funo equivalente [ (1, 2, 3....)=0].
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  • A condio de semelhana completa estabelece que: 1m = 1p 2m = 2p 3m = 3p... Escala de Semelhana A escala de semelhana de uma propriedade qualquer sempre definida como sendo a relao entre m e p.
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  • Exemplo: