Unidade 4

Análise dimensional e semelhança mecânica

Vamos inicialmente

discutir quais as vantagens de recorrermos a

análise dimensional e semelhança.

Introdução

esfera

Teorema

experiência

Análise Dimensionale semelhança mecânica

17/4/2005 - v4

vantagens

força de arraste

"pi"

viscosímetro

Estuda-se em laboratório a força de resistência (força de arraste) que um dado fluido (ρ1 e µ1) exerce no deslocamento de uma esfera (de

diâmetro D) em seu meio.

A experiência realizada para o referido estudo é representada pela figura do

próximo slide

Variando-se a velocidade v1 , para uma dada esfera de diâmetro D1 e para um dado fluido (ρ e µ1), pode se obter a tabela

apresentada a seguir:

Através da tabela anterior, obtém-se a curva representada a seguir

Podemos constatar facilmente que a curva representada no slide anterior é uma curva particular, mesmo porque apresenta, tanto na ordenada como na abscissa, grandezas dimensionais.

Objetivo - Generalizar as informações obtidas em laboratório.

Para que possamos exemplificar o objetivo mencionado anteriormente, vamos supor que nos seja dirigida a

seguinte questão:

“Qual a força exercida em uma esfera de

diâmetro D2 ; quando esta se desloca no

mesmo fluido com a velocidade v2?”

Condição: A resposta da questão deve ser obtida sem se recorrer a ensaios.

É justamente para satisfazer esta condição

que recorremos à análise dimensional.

E para sua introdução deve-se inicialmente definir a função que

caracteriza o fenômeno

Temos as seguintes variáveis que caracterizam o fenômeno: F - força de arraste D - diâmetro da esfera v - velocidade da esfera ou velocidade do fluido ρ - massa específica do fluido µ - viscosidade do fluido

A análise dimensional determina os números adimensionais (números

puros) que definem o fenômeno estudado. Para o exemplo anterior, temos:

Pelo fato das duas situações: a ensaiada em laboratório e a é

questionada, serem semelhantes, podemos afirmar que ambas são

caracterizadas pelas mesmas variáveis, o que equivale a dizer

que π1 e π2 definem as duas situações.

Podemos a partir dos dados obtidos no ensaio, obter a tabela

representada a seguir:

A partir da tabela anterior, podemos obter a curva universal do

fenômeno, que é aquela que tanto na ordenada como na abscissa, temos

números adimensionais (números universais); o que equivale a dizer que, valem tanto para o fenômeno

ensaiado em laboratório como para o fenômeno que é questionado.

Pela condição de semelhança, podemos escrever que:

Para o fenômeno questionado, temos os seguintes dados: ρ2 = ρ1; µ2 = µ1 ; D2 e v2, e isto nos permite calcular:

Pela condição de semelhança é igual a )ensaiado.

Sabendo que π2)q = π2)e na abscissa da curva universal, podemos ler, na ordenada π1)ensaiado, que pela condição de semelhança e igual a π1)questionado.

e isto permite calcular a força F2 sem recorrer a ensaios, já que:

Teorema dos

É o teorema que nos permite determinar os

números adimensionais a partir da função

característica.

Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, D) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a

seguinte seqüência:

1º PASSO: Determinar o número de grandezas que influenciam o fenômeno - n n = 5

2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das grandezas. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T2 [µ] = F x L-2 x T [D] = L

3º PASSO:

Determinamos o número de grandezas fundamentais envolvidas no fenômeno - K. K = 3

4º PASSO: Determinamos o número de números adimensionais que caracterizam o fenômeno - m m = n - K ∴ m = 2

5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais.

Definição de base - É um conjunto de K variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes.

Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes.

Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D.

6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada.

π1 = ρα1 . Vα2 . Dα3 . F

π2 = ργ1 . Vγ2 . Dγ3 . µ

Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional.Para 1 tem-se:

Para 2 tem-se:

Condição de semelhança Completa Para que possamos obter as informações do protótipo (fenômeno não ensaiado), através das informações obtidas no ensaio do modelo, ambos devem ser caracterizados pela mesma função características, o que equivale a dizer, que tanto o protótipo, como o modelo, serão definidos pela mesma função equivalente [ (π1 , π2 , π3 ....)=0].

A condição de semelhança completa estabelece que:

π1m = π1p

π2m = π2p

π3m = π3p   . . . Escala de Semelhança

A escala de semelhança de uma propriedade α qualquer é sempre definida como sendo a relação entre αm e αp.

Exemplo: