Métodos Matemáticos IIICorrección de los problemas puntuados: hoja 1

Á. Aitor Balmaseda Martín

4 de diciembre de 2012

El único error que he conseguido encontrar es un signo cambiado al escribir la ecuación del calor. Enla ecuación (1.1) de mi problema 1 se lee

Cρ∂T

∂t+ κ∇2T = f (x, y, z, t)

cuando en realidad debería decir

Cρ∂T

∂t− κ∇2T = f (x, y, z, t) .

Este error se ha ido propagando en las ecuaciones (1.2), (1.3) y (1.10) aunque por algún motivo —yasea despiste o bien que consulté la ecuación en algún otro lugar mientras resolvía el ejercicio— en laecuación (1.12) no aparece el error. Esta «corrección espontánea» en la ecuación (1.12) ha debido serel principal motivo por el que no me he dado cuenta del cambio de signos. Si no hubiese sido así, nohabría salido una exponencial decreciente como era de esperar, sino una función trigonométrica, y estome habría hecho darme cuenta de que había algún error en algún punto del ejercicio.

Así pues, los errores en las ecuaciones antes citadas han conducido a un error en el signo del resultadofinal, donde aparece

T (x, y, z, t) = T0 +∞∑

m,n,l=1

8q sin(mπ2)

sin(nπ2)

sin(lπ2)

λmnlκL3 e−χ|λmnl|t sin(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)

λmnl = −π2

L2

(m2 + n2 + l2

)Si escribimos λmnl = − |λmnl| dado que λmnl < 0, la primera de las dos expresiones anteriores deviene

T (x, y, z, t) = T0 −∞∑

m,n,l=1

8q sin(mπ2)

sin(nπ2)

sin(lπ2)

|λmnl|κL3 e−χ|λmnl|t sin(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)la cual parece indicar que, según el tiempo aumenta la temperatura esté aumentando —Cada vez se lesustrae una cantidad más pequeña— y esto es, evidentemente inaceptable. No obstante, al estar el signomenos «camuflado» dentro de los autovalores no he caído en la cuenta.

Adjunto a continuación una versión del problema en la que se han corregido los errores antes citadosy se llega, por tanto, al resultado correcto con el mismo razonamiento.

1

Problema 1.Un foco térmico mantiene a temperatura T0 las paredes de un cubo de ladoL. En el centro del cubo se encuentra una fuente puntual que suministra, desde t = −∞,una cantidad de calor por unidad de tiempo q hasta que en t = 0 la fuente se apaga.Hallar T (x, y, z, t) para t > 0.

La evolución de una distribución de temperaturas T (x, y, z, t) sobre un cuerpo1 de conductividadtérmica uniforme κ, calor específico C, densidad ρ y con una densidad de fuentes f (x, y, z, t) viene dadapor la ecuación

Cρ∂T

∂t− κ∇2T = f (x, y, z, t) . (1.1)

En nuestro caso, para todo t > 0, f (x, y, z, t) = 0 y en la frontera del cubo T = T0. Como sólo nosinteresa calcular la solución con t > 0, si llamamos T ∗ (x, y, z, t) = T (x, y, z, t)−T0 y lo sustituimos en laecuación (1.1) y en las condiciones de contorno nuestro problema se reduce a resolver la EDP homogénea

∂T ∗

∂t= χ∇2T ∗ (t > 0) , (1.2)

donde χ ≡ κ/Cρ, con condiciones de contorno homogéneas.

Así pues, si conociésemos la distribución de temperaturas en el instante inicial, T ∗ (x, y, z, t = 0), po-dríamos resolver completamente el problema. Para encontrar estas condiciones iniciales haremos la si-guiente consideración: al estar encendida la fuente de calor un largo tiempo, el sistema habrá podidollegar, en t = 0, a un equilibrio.2 Por tanto, podemos afirmar que T ∗ (x, y, z, t = 0) = T ∗0 (x, y, z) y comof (x, y, z, t = 0) = qδ (x− L/2) δ (y − L/2) δ (z − L/2) se cumplirá que

∇2T ∗ = − qκδ (x− L/2) δ (y − L/2) δ (z − L/2) (1.3)

con las condiciones de contorno T ∗ (x = 0, y, z) = T ∗ (x = L, y, z) = 0T ∗ (x, y = 0, z) = T ∗ (x, y = L, z) = 0T ∗ (x, y, z = 0) = T ∗ (x, y, z = L) = 0

(1.4)

Consideremos el espacio L2 (Ω) de funciones de cuadrado integrable definidas sobre el dominioΩ =

(x, y, z) ∈ R3 : x, y, z ∈ [0, L]

tales que se anulan en los puntos de la frontera de Ω. Evidentemente,

las condiciones de contorno de nuestro problema nos garantiza que T ∗ pertenecerá a dicho espacio.

Sean g, h dos funciones pertenecientes al espacio tratado en el párrafo anterior. Definiremos el productointerno como

〈g|h〉 =∫∫∫

Ωg (x, y, z)h (x, y, z) dxdydz, (1.5)

donde la barra sobre g (x, y, z) representa su complejo conjugado.

Es fácil demostrar que el laplaciano es autoadjunto en el espacio que hemos definido3 y, por tan-to, podremos expandir la función T ∗ —como cualquier otra que pertenezca al espacio en que estamostrabajando— en la base de las autofunciones del laplaciano.

Para calcular las autofunciones del laplaciano se ha de resolver su ecuación de autovalores, esto es,

∇2v = λv. (1.6)

Proponiendo las soluciones de la forma v (x, y, z) = X (x)Y (y)Z (z) y λ < 0 el conjunto de solucionesformada por las vmnl = sin (kmx) sin (kny) sin (klz), cada una de ellas asociada al autovalor λmnl =−(k2m + k2

n + k2l

)con kj = jπ

L , j = m,n, l ∈ N.1Se supone así que las coordenadas espaciales (x, y, z) están restringidas al volumen de dicho cuerpo.2Estamos considerando aquí t = 0 el instante inmediatamente anterior al apagado de la fuente mientras que cuando

tratemos la ec. (1.2) nos referiremos con t = 0 al instante inmediatamente posterior.3Basta con plantear la expresión para

⟨g|∇2h

⟩e integrar por partes dos veces por cada una de las tres integrales.

2

Entonces, según lo dicho antes, podemos escribir

T ∗ (x, y, z, 0) =∞∑

m,n,l=1Amnl sin

(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)(1.7)

con Amnl unos ciertos coeficientes, desconocidos por ahora. No obstante, el miembro a la derecha deligual en la ecuación (1.3) también pertenece al espacio de funciones del que hemos hablado hasta ahora,podemos expandirlo en la base de los vmnl, es decir, digamos que

q

κδ (x− L/2) δ (y − L/2) δ (z − L/2) =

∞∑m,n,l=1

Bmnl sin(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)(1.8)

Si multiplicamos por vm′n′l′ e integramos sobre Ω a ambos lados del igual y usamos la relación deortogonalidad

∫∫∫Ω vmnlvm′n′l′ dxdydz = L3

8 δmm′δnn′δll′ obtenemos la relación

Bmnl = 8L3

∫∫∫Ω

q

κδ (x− L/2) δ (y − L/2) δ (z − L/2) sin

(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)dxdydz

Bmnl = 8qκL3 sin

(mπ2

)sin(nπ

2

)sin(lπ

2

) (1.9)

En los coeficientes se observa un comportamiento que era de esperar: los coeficientes Bmnl se anulanpara valores de m, n, l pares. Esto se debe a la simetría que se encuentra debido a que la fuente puntualestá situada en el centro del cubo.

Si sustituimos ahora ambos miembros de la ecuación (1.3) por sus expansiones en la base de los vmnl,los multiplicamos por vm′n′l′ , los integramos sobre Ω y aplicamos la misma relación de ortogonalidadque antes obtenemos el resultado

Amnl = 8q|λmnl|κL3 sin

(mπ2

)sin(nπ

2

)sin(lπ

2

)(1.10)

Por lo tanto, usando la expresión (1.7) y sustituyendo este resultado tenemos una expresión paraT ∗ (x, y, z, 0).

Ahora, conocida la ecuación que rige la evolución de T ∗ (x, y, z, t), la condición inicial y las condicionesde contorno, la solución a nuestro problema está unívocamente determinada. Para encontrarla nos basare-mos en un razonamiento simple: las condiciones de contorno (1.4) que debe cumplir la solución implicanque, si fijamos un tiempo t, la distribución de temperaturas para ese tiempo pertenecerá a L2 (Ω). Estonos lleva a la conclusión de que para cada instante t la distribución de temperaturas T ∗ podrá expandirseen la base de las vmnl, cambiando los coeficientes al cambiar t. Esto es,

T ∗ (x, y, z, t) =∞∑

m,n,l=1umnl (t) sin

(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)(1.11)

Sustituyendo en (1.2) y simplificando,

umnl (t) = χλmnlumnl (t) (1.12)

con lo queumnl (t) = Cmnle

χλmnlt

Pese a su apariencia, dado que λmnl = −(k2m + k2

n + k2l

)< 0 las funciones umnl (t) son exponenciales

decrecientes. En adelante resaltaremos este hecho escribiendo λmnl = − |λmnl|.

3

Para finalizar la resolución del problema nos queda determinar los valores de las constantes Cmnl, queajustaremos para obtener los valores iniciales apropiados. Sabemos que

T ∗ (x, y, z, t) =∑∞m,n,l=1 Cmnle

−χ|λmnl|t sin(mπL x)

sin(nπL y)

sin(lπL z)

T ∗ (x, y, x, 0) =∑∞m,n,l=1Amnl sin

(mπL x)

sin(nπL y)

sin(lπL z) (1.13)

Haciendo t = 0 en la primera ecuación de (1.13) y siguiendo la estrategia que ya se ha seguido antes paraaprovechar la ortogonalidad de las funciones vmnl e igualar término a término llegamos a la conclusiónde que

Cmnl = Amnl.

Resumiendo, la distribución de temperaturas en función del tiempo para cualquier punto del cubo es:

T (x, y, z, t) = T0 +∞∑

m,n,l=1

8q sin(mπ2)

sin(nπ2)

sin(lπ2)

|λmnl|κL3 e−χ|λmnl|t sin(mπLx)

sin(nπLy)

sin(lπ

Lz

)

λmnl = −π2

L2

(m2 + n2 + l2

)

4