Conducţia căldurii în regim nestaţionar · 2011. 8. 5. · Transferul de căldură - Curs Cap....

Transferul de căldură - Curs Cap. 2: Conducţia căldurii în regim nestaţionar

Conducţia căldurii în regim nestaţionar

Ecuaţia diferenţială a conducţiei în regim nestaţionar cu izvoare interioare de căldură este:

p

v2c

qtat⋅

+∇⋅=∂∂

ρτ&

; ( )τ,z,y,xtt =

În cazul corpurilor fără izvoare interioare de căldură ( q ), rezultă ecuaţia lui Fourier:

0v =&

tat 2∇⋅=∂∂τ

Soluţia ecuaţiei diferenţiale (câmpul de temperaturi) poate fi determinată prin metode analitice, numerice, grafice sau de analogie.

Corpuri cu capacitate termică concentrată Sunt corpurile caracterizate de rezistenţă termică internă neglijabilă, având conductivitatea termică mare (metalele) şi cel puţin o dimensiune foarte mică (table, sârme, bile, particule fine) pentru care se poate admite că temperatura este uniformă în tot volumul.

Cazul corpului care se răceşte

Ipoteze: ρ ( )tf,,c, p ≠αλ t ( )τt= t fini tt >>

Notaţii: ftt −=θ

Fig. 2.86: Schiţa corpului

Ghiaus A.-G. 1


Soluţia generală a câmpului de temperaturi se determină din ecuaţia de bilanţ termic:

cvQdQ &=τ

δ

( ) ( )fpfcvpp

ttSd

tdcVttSQ

tdcVtdcmQ−⋅⋅=⋅⋅⋅−⇒

−⋅⋅=

⋅⋅⋅−=⋅⋅−=α

τρ

α

ρδ

&

θατθ

ρ ⋅⋅=⋅⋅⋅− SddcV p → τρ

αθθ d

cVSd

p⋅

⋅⋅⋅

−=

ClncV

Slnp

+⋅⋅⋅⋅

−= τρα

θ → τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅= p

cVS

eCθ

τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅+= p

cVS

f eCtt [ºC]

Remarcă: Expresia ScV p

⋅

⋅⋅

α

ρ are dimensiunea [s] şi este denumită

constantă de timp.

Soluţia particulară a câmpului de temperaturi şi constanta C se determină din impunerea condiţiei de unicitate (iniţiale). la 0=τ → t ; θ init= finiini tt −==θ

inif0 tCtt =+==τ → C inifini tt θ=−=

τ

ρα

θθ⋅

⋅⋅⋅

−⋅= p

cVS

ini e → ( )τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅−+= p

cVS

finif etttt [ºC]

Remarcă: Temperatura are o variaţie exponenţial descrescătoare.

Ghiaus A.-G. 2


Se defineşte temperatura adimensională, θ , ca raportul dintre θ şi θ : ini

fini

f

ini tttt−

−==

θθ

θ

τ

ρα

θ⋅

⋅⋅⋅

−= p

cVS

e [-]

Fig. 2.87: Distribuţia temperaturii

Cazul corpului care se încălzeşte

Ipoteze: ρ ( )tf,,c, p ≠αλ t ( )τt= t fini tt


θατθ

ρ ⋅⋅−=⋅⋅⋅ SddcV p → τρ

αθθ d

cVSd

p⋅

⋅⋅⋅

−=

ClncV

Sln +⋅⋅⋅⋅

−= τρα

θp

→ τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅= p

cVS

eCθ

τρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅+= p

cVS

f eCtt [ºC]

Remarcă: Câmpul de temperaturi are aceeaşi expresie atât la încălzirea cât şi la răcirea corpului.

Soluţia particulară a câmpului de temperaturi şi constanta C se determină din impunerea condiţiei de unicitate (iniţiale). la 0=τ → t ; θ init= finiini tt −==θ

inif0 tCtt =+==τ → C inifini tt θ=−=

τ

ρα

θθ⋅

⋅⋅⋅

−⋅= p

cVS

ini e → ( )τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅−+= p

cVS

finif etttt

( )τ

ρα

⋅⋅⋅⋅

−⋅−−= p

cVS

iniff etttt [ºC]

Remarcă: Temperatura are o variaţie exponenţial crescătoare.

Se defineşte temperatura adimensională, θ , ca raportul dintre θ şi θ : ini

inif

f

f tttt

−

−=

ini

f

ini tttt−

−==

θθ

θ

τ

ρα

θ⋅

⋅⋅⋅

−= p

cVS

e [-]

Fig. 2.89: Distribuţia temperaturii

Ghiaus A.-G. 4


Criteriile adimensionale Fourier şi Biot

Se definesc: - difuzivitatea termică, , raportul între conductivitatea termică şi produsul dintre densitate şi căldură specifică la presiune constantă:

a

pca

⋅=ρλ [m2/s]

- lungimea caracteristică, l , raportul dintre volumul şi suprafaţa corpului: c

SVlc = [m]

- criteriul Fourier, , raportul între produsul dintre difuzivitatea termică şi timp şi lungimea caracteristică la pătrat:

Fo

2cl

aFo τ⋅= [-]

- criteriul Biot, , raportul între produsul dintre coeficientul de convecţie şi lungimea caracteristică şi conductivitatea termică:

Bi

λα clBi ⋅= [-]

Observaţie: Din punct de vedere fizic, criteriul Biot reprezintă raportul dintre rezistenţa termică conductivă (internă) şi rezistenţa termică convectivă (la suprafaţa corpului).

cvcdc

RR

1lBi ==αλ

Rezultă:

SV

VS

cSV

VS

cVS

cVS

2

2

ppp⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

λα

τρλ

λλ

τρα

τρα

FoBill

acV

S c2cp

⋅=⋅

⋅⋅

=⋅⋅⋅⋅

λατ

τρα

FoBie ⋅−=θ [-]

Remarcă: Pentru valori mici ale criteriului Biot ( ), rezistenţa termică conductivă este mică în raport cu cea convectivă iar temperatura în interiorul corpului ajunge rapid la valoarea temperaturii suprafeţei.

1,0Bi <

Concluzie: Corpurile cu reziztenţă termică internă neglijabilă sunt caracterizate de valori mici ale criteriului Biot.

Ghiaus A.-G. 5


Corpuri solicitate termic simetric

Placa plană

Se consideră o placă plană omogenă şi izotropă cu grosimea mult mai mică decât celelalte două dimensiuni, fără izvoare interioare de căldură, care se imersează instantaneu într-un mediu fluid cu temperatura mai mică decât cea iniţială a plăcii.

Ipoteze: t = ( )τ,xt δδ ≤≤− x 0qv =& t fini tt ≥≥

22

2

xdtdt =∇

Notaţii: ftt −=θ

Fig. 2.90: Schiţa plăcii Determinarea soluţiei generale a câmpului de temperaturi:

2

2

xtat

∂

∂⋅=

∂∂τ

→ 22

xa

∂

∂⋅=

∂∂ θτθ

Se aplică metoda separării variabilelor:

( ) ( ) (ττθ TxX,x ⋅= )

2

2

xdXdTa

dTdX ⋅⋅=⋅τ

→ 222

mxdXd

X1

dTd

Ta1

−=⋅=⋅⋅ τ

Observaţie: Constanta m nu poate lua valoarea zero. Dacă rezultă 0m =

, 0t =∂∂ τ şi deci conducţia are loc în regim staţionar. 0dTd =τ

Ghiaus A.-G. 6


2md

TdTa

1−=⋅

⋅ τ → τdma

TTd 2 ⋅⋅−= → T τ⋅⋅−⋅=

2ma1 eC

22

2m

xdXd

X1

−=⋅ → 0XmxdXd 22

2=⋅+

( ) ( )xmcosCxmsinCX 32 ⋅⋅+⋅⋅=

( ) ( )[ ]xmcosCxmsinCeC 32ma12

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= ⋅⋅− τθ

( ) ([ ]xmcosCxmsinCeCtt 32ma1f2

⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+= ⋅⋅− τ ) [ºC] Soluţia particulară a câmpului de temperaturi şi constantele C , C şi C se determină din impunerea condiţiilor de unicitate (simetrie, la limită şi iniţiale).

1 2 3

la 0x = → 0xt=

∂∂ → 0

x=

∂∂θ

la δ=x → ( )fttxt

−⋅=∂∂

⋅− αλ → θλαθ⋅−=

∂∂

x

la 0=τ → t ; θ init= finiini tt −==θ

( ) ( )( ) 0xmsinCxmcosCmeCx 0x

32ma

10x

2=⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=

∂∂

=

⋅⋅−

=

τθ

0emCC2ma

21 =⋅⋅⋅⋅⋅− τ → 0C

0C0m

21

=⇒

≠≠

( ) ( )xmcoseCxmcosCeC22 ma

43ma

1 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅− ττθ

( )( )δδ

τ

δθ

λαθ

==

⋅⋅⋅−

=⋅−=⋅−⋅⋅⋅=

∂∂

xx

ma4

xxmsinmeC

x2

( ) ( )δλα

δ ττ ⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅−⋅⋅− mcoseCmsineCm22 ma

4ma

4

( )Bi

mmmmctg δ

λδαδ

αλ

δ⋅

=⋅⋅

=⋅

=⋅

Ghiaus A.-G. 7


Se notează cu produsul dintre şi δ : µ m δµ ⋅= m

µµ ⋅=Bi1ctg → ( )Bif=µ

( ) ini0

ma40 xmcoseC

2θθ

τ

ττ =⋅⋅⋅=

=

⋅⋅−=

( ) ini4 xmcosC θ=⋅⋅ → ( )xmcosini

4 ⋅=

θC

( ) ( )xmcose2ma ⋅⋅⋅⋅− τ

xmcosini ⋅⋅

=θ

θ

θθ ⋅−⋅= maini e

τ⋅2

2µ⋅2

a

ini e δτ

θθ

⋅−

⋅=

Foini e

⋅−⋅=θθ

inif tttt −+=

( )Bif

( ) ( )BifFof e ⋅−⋅ [ºC] Fig. 2.91: Distribuţia temperaturii τ 00123 =>>> τττ În calculele inginereşti se utilizează temperatura adimensională θ , care se determină cu ajutorul nomogramelor în funcţie de criteriile Biot şi Fourier.

( )BifFo

f

f et

⋅−=iniini t

tt−

−==

θθ

θ

( )Fo,Bif p=θ

Observaţie: Temperatura adimensională este în scară logaritmică iar criteriul Fourier în scară liniară cu pas variabil.

Fig. 2.92: Nomogramă pentru ionale determinarea temperaturii adimens

Ghiaus A.-G. 8


Cilindrul plin

Se consideră un cilindru plin omogen şi izotrop, cu diametrul mult mai

Ipoteze:

mic decât lungimea sa, fără izvoare interioare de căldură care se imersează instantaneu într-un mediu fluid cu temperatura mai mică decât cea iniţială a cilindrului.

( )τ,rtt = 0 Rr ≤≤ q 0v =& t ≥ fini tt≥

⋅⋅=∇

rdtdr

rdd

r1t2

Notaţii:

Fig. 2.93: Schiţa cilindrului

Determinarea soluţiei generale a câmpului de temperaturi:

ftt −=θ

∂∂⋅+

∂

∂⋅=

∂∂⋅

∂∂

⋅⋅=∂∂

rt

r1

rta

rtr

rr1at 2

2

τ →

∂∂⋅+

∂

∂⋅=

∂∂

rr1

ra 2

2 θθτθ

Se aplică metoda separării variabilelor:

)

( ) ( ) (ττθ TrR,r ⋅=

⋅⋅+⋅⋅=⋅

rdRd

r1T

rdRdTa

dTdR 2

2

τ → 22

2m

rdRd

r1

rdRd

R1

dTd

Ta1

−=

⋅+⋅=⋅

⋅ τ

2m

dTd

Ta1

−=⋅⋅ τ

→ τdmaTTd 2 ⋅⋅−= →

τ⋅⋅−⋅=2ma

1 eCT

22

2m

rdRd

r1

rdRd

R1

−=

⋅+⋅ → 0Rm

rdRd

r1

rdRd 22

2=⋅+⋅+

Ghiaus A.-G. 9


Soluţia ecuaţiei diferenţiale este o funcţie de tip Bessel de variabilele şi :

) [ºC] Soluţia particulară a câmpului de temperaturi ş , şi cele ale funcţiei Bessel se determină din impunerea cond unicitate (simetrie, la limită şi iniţiale).

m r

( )ma2 ⋅⋅− τ

( )r,mfR B=

(

r,mfeC B1 ⋅⋅=θ

i constantele r,mfeCtt B

ma1f

2⋅⋅+= ⋅⋅− τ

iţiilor de1C m

la 0r = → 0rt=

∂∂ → 0

r=

∂∂θ

fr la → Rr = ( )ttt −⋅=

∂∂

⋅− αλ θλαθ⋅−=

∂∂

r →

la → ; Soluţia particulară are o formă semănătoare cu cea de la placa plană:

finif tttt −+=

În calculele inginereşti se utilizează temperatura adimensional

0=τ initt = finiini tt −==θθ

Fig. 2.94: Distribuţia temperaturii 00123 =>>> ττττ

a

( )BifFoini e

⋅−⋅= θθ

( ) ( )BifFoe ⋅−⋅ [ºC]

ă

de criteriile Biot şi Fourier.

( )BifFofini

f

inie

tttt ⋅−=−

−==

θθ

θ

θ , care se etermină cu ajutorul nomogramelor în funcţie d

( )Fo,Bifc=θ

Fig. 2.95: Nomogramă pentru determinarea temperaturii adimensionale

Ghiaus A.-G. 10


Sfera plină Se consideră o sferă plină omogenă şi izotropă, fără izvoare interioare de căldură, care este în contact direc emperatură mai scăzută. t cu un fluid cu t

Ipoteze: ( )τ

,rtt = Rr0 ≤≤

0q =&

1∇

v tt fini t ≥≥

r( )tr

dd

rt 2

22 ⋅⋅=

Notaţii: θ

Determinarea soluţiei generale a câmpului de temp

Fig. 2.96: Schiţa sferei

ftt −=

eraturi:

∂∂ rrrrr

22

∂∂⋅+

∂ rr2

r 22 θθ

:

( )

∂∂⋅+

∂⋅=⋅

∂⋅⋅=

∂∂ t2tatr1at 22τ

→ ∂⋅=

∂∂ aτθ

Se aplică metoda separării variabilelor

)( ) ( ) (ττθ TrR,r ⋅=

⋅⋅+⋅⋅=⋅rdRd

r2T

rdRdTa

dTdR 2τ

222

mrdRd

r2

rdRd

R1

dTd

Ta1

−=

⋅+⋅=⋅

⋅ τ

a−

2 →

2md

TdTa

1−=⋅

⋅ τ → τdm

TTd 2 ⋅⋅= τ⋅⋅−⋅=

2ma1 eCT

rdr=

⋅rdr2

⋅+

→

22

2mRd2

rdRd

R1

−

+⋅ 0RmRd2

rdRd 22 =⋅+ →

Soluţia ecuaţiei diferenţiale este o funcţie de tip Bessel de variabilele şi :

) [ºC]

m r

ma 2 ⋅⋅− τ

( )r,mfR B=

(

( )r,mfeC B1 ⋅⋅=θ

r,mfeCtt Bma

1f2

⋅⋅+= ⋅⋅− τ

Ghiaus A.-G. 11


Soluţia particulară a câmpului de temperaturi ş , şi cele ale funcţiei Bessel se determină din impunerea condiţiilor de unicitate (simetrie, la limită şi iniţiale).

i constantele 1C m

la 0r = → 0rt=

∂∂ → 0

r=

∂∂θ

la Rr = → − αr

=τ =θ

( )fttt −⋅=∂∂

⋅λ θλαθ⋅−=

∂∂

r

Soluţia particular

→

la → ; ă are o formă asemănătoare cu cea de la cilindrul plin:

Fo⋅−

finif tttt −+=

Remarcă

0 initt = finiini tt −=θ

Fig. 2.97: Distribuţia temperaturii 0ini0123 ==>>> τττττ

( )Bifini e⋅= θθ

( ) ( )BifFoe ⋅−⋅ [ºC]

∞→τ

În calculele in

: După un timp suficient de lung ( ), temperatura din interiorul corpului devine constantă şi egală cu temperatura fluidului.

ginereşti se utilizează temperatura adimensional

ă

fu e de criteriile Biot şi Fourier.

( )BifFofini

f

inie

tttt ⋅−=−

−==

θθ

θ

θ , care se determină cu ajutorul nomogramelor în

ncţi

( )Fo,Bifs=θ

Fig. 2.98: Nomogramă pentru determinarea temperaturii adimensionale

Observaţie: Temperatura adimensională este în scară logaritmică iar as variabil. criteriul Fourier în scară liniară cu p

Ghiaus A.-G. 12


Metoda numerică a diferenţelor finite

rezintă o distribuţie c ecuaţie cu

iferenţe finite care are soluţii numai în puncte discrete şi numai la anumite

Metoda constă în înlocuirea ecuaţiei diferenţiale, care rep

ontinuă a temperaturii atât în spaţiu cât şi în timp, cu o dmomente de timp.

Fig. 2.99: Reţea nodală spaţiu - timp

τ∆τ

p1p ttt −=

∂∂ +

( )2i1i

2

2

xt2t

xt

∆+ +⋅−=

∂

∂

1− it

Metoda explicită de calcul Temperaturta unui nod la pasul de timp rmător se exprimă în funcţie de temperaturile nodului respectiv şi a nodurilor vecinate la timpul curent.

uîn

pppp1pi tt2ttt+ +⋅−−

( )21ii1ii

xa

∆τ∆−+⋅=

p

( )( )

( )pii2

p1i

p1i2

1pi ttx

a2ttx

at +⋅⋅⋅−+⋅⋅= −++

∆

τ∆

∆

τ∆

( ) ( ) pip 1ip 1i1pi tFo21ttFot ⋅⋅−++⋅= −++

( ) ( ) ττττ∆τ i1i1ii tFo21ttFot ⋅⋅−++⋅= −++

( )2xaFo∆

τ∆⋅= unde Fo reprezintă criteriul Fourier:

Ghiaus A.-G. 13


În acest mod se calculează, pas cu pas, temperaturile nodale începând de ală. rgenţă a sol ţiei este:

la valorile iniţiale şi până la starea fin Condiţia de stabilitate şi conve u

0Fo21 ≥− → 1Fo ≤ 2

2 Pentru 1Fo = rezultă: ttt 1i1i

τττ∆τ −++ +=

2 i Alegerea incremenţilor (paşilor) reţelei se face prin impunerea

sp ţ lcularea celui de ti p din condiţia de stabilitate şi onvergenţă:

incrementului a ial x∆ şi ca mc

( )a2x 2∆

τ∆ ≤

Observaţie: În cazul propagării bi-direcţionale, condiţia de stabilitate este

41Fo ≤ , iar în cazul propagării tri-dimensionale 61Fo ≤

Metoda implicită de calcul Derivatele spaţiale ale temperaturii se ă la pasul de timp următor.

.

calculeaz

( )2x∆

1p1i

1pi

1p1i

pi

1pi tt2ta

tt +

τ∆

+−

+++

+−⋅=

−

( ) pi1p 1i1pi1p 1i1pi ttt2tFot =+−⋅− +−++++

ilă

Rezultă un sistem de n ecuaţii cu n necunoscute , care poate fi rezolvat cu metoda relaxării, metoda matricia sau metoda Gauss-

eidel.

)n,,2,1i(t 1p L=+

Remarcă: Metoda implicită nu mai impune con i convergenţă.

Sdiţii de stabilitate ş

Formula generalizată de calcul

ττ∆τ + ( ) ( ) ( )τ∆ττ∆ττ∆ττττ ββ +−+++−+ +−⋅−⋅++−⋅⋅=− 1i1i1i1ii1iii tt2t1Fott2tFott

- rezultă metoda implicită; - rezultă metoda explicită;

-

pt. 0=β pt. 1=βpt. 21=β rezultă metoda Crank-Nicholson.

Ghiaus A.-G. 14

Conducţia căldurii în regim nestaţionar · 2011. 8. 5. · Transferul de căldură - Curs Cap....

Documents

Transcript of Conducţia căldurii în regim nestaţionar · 2011. 8. 5. · Transferul de căldură - Curs Cap....