Manual pentru clasa a 11-a

F1

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

Manualul a fost aprobat prin Ordinul ministrului Educaiei i Cercetrii nr. 4446 din 19.06.2006

n urma evalurii calitative organizate de ctre Consiliul Naional pentru Evaluarea i Difuzarea

Manualelor i este realizat n conformitate cu programa analitic prin Ordin al ministrului

Educaiei i Cercetrii nr. 3252 din 13.02.2006.

FIZIC Manual pentru clasa a XI-a: F1

Constantin MANTEA, Mihaela GARABET

Copyright 2006, 2008, 2012 ALL

Toate drepturile asupra prezentei ediii aparin Editurii ALL.

Nicio parte din acest volum nu poate fi copiat fr permisiunea scris a editurii.

Drepturile de distribuie n strintate aparin n exclusivitate editurii.

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale

MANTEA, CONSTANTIN

Fizic: manual pentru clasa a XI-a: F1 / Constantin Mantea,

Mihaela Garabet. Bucureti: ALL, 2006

Bibliogr.

ISBN (10) 973-571-674-7; ISBN (13) 978-973-571-674-5

I. Garabet, Mihaela

53(075.35)

Refereni: prof. gr. I Liviu Blanariu

prof. gr. I Daniela Beuran

Redactor: Mihaela Garabet

Coperta coleciei: Alexandru Novac

Tehnoredactare: Niculina Stoica

Editura ALL Bd. Constructorilor nr. 20A, et. 3,

sector 6, cod 060512 Bucureti

Tel. : 021 402 26 00

Fax : 021 402 26 10

Distribuie: Tel. : 021 402 26 30; 021 402 26 33

Comenzi: comenzi@all.ro

URL: http://www.all.ro

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

CK

CK

Capitolul

Oscilaii i unde mecanice

1

n acest capitol vei studia:

1.1. Oscilatorul mecanic

1.1.1. Fenomene periodice. Procese oscilatorii n natur i n tehnic

1.1.2. Mrimi caracteristice micrii oscilatorii

1.1.3. Oscilaii mecanice amortizate

1.1.4. Modelul oscilatorului liniar armonic

1.1.5. Compunerea oscilaiilor paralele.

Compunerea oscilaiilor perpendiculare*

1.2. Oscilatori mecanici cuplai

1.2.1. Oscilaii mecanice ntreinute. Oscilaii mecanice forate

1.2.2. Rezonana

1.2.3. Consecinele rezonanei

1.3. Unde mecanice

1.3.1. Propagarea unei perturbaii ntr-un mediu elastic.

Transferul de energie

1.3.2 Modelul und plan. Periodicitatea spaial i temporal

1.3.3 Reflexia i refracia undelor mecanice

1.3.4. Unde seismice

1.3.5. Interferena undelor

1.3.6. Acustic

1.3.7. Difracia undelor mecanice* studiu calitativ

1.3.8. Ultrasunete i infrasunete. Aplicaii n medicin, industrie,

tehnic militar

Activiti de evaluare

* Subcapitole cu caracter opional

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

4

1

CK

CK

1.1. Oscilatorul mecanic

1.1.1. Fenomene periodice. Procese oscilatorii n natur i n tehnic

n secolul al XVI-lea, Galileo Galilei cronometra

oscilaia unui candelabru din Catedrala din Pisa cu

ajutorul propriului su puls. El constata c micarea

acestuia este din ce n ce mai puin ampl, datorit

forelor de rezisten ntmpinate la naintare. n natur

apar multe tipuri de oscilaii. De la vibraia corzilor

vocale la cea din corzile i tuburile instrumentelor

muzicale, de la ticitul ceasurilor clasice, la legnatul

n balansoare, de la micarea de agitaie termic care

duce la nclzirea cetii n care s-a turnat ceai fierbinte,

la micrile scoarei terestre n timpul seismelor, avem

de-a face cu existena unei surse de oscilaie.

De cte ori o for acioneaz asupra unui corp

scondu-l din poziia de echilibru stabil, acesta va oscila

sub aciunea unei fore de revenire pn la restabilirea ei.

Atunci cnd deplasarea fa de poziia de echilibru este

mic, fora de revenire depinde liniar de deplasare (ntr-o

aproximaie destul de bun) i oscilaia se numete armonic

fiind descris cu ajutorul funciilor armonice sin sau cos.

Exemple:

1. O bil metalic este lsat liber la marginea

unui recipient semisferic. Ea va efectua o micare

oscilatorie, n jurul poziiei sale de echilibru stabil, aflate

n poziia cea mai joas a recipientului (figura 1.1.1.1).

Fora care va readuce bila spre poziia de echilibru

este componenta tangenial a greutii sale, Gt, care

reprezint cauza acestei oscilaii (figura 1.1.1.2).

Fig. 1.1.1.2 Fora de revenire n poziia de echilibru

este componenta tangenial a greutii

Fig. 1.1.1.1 Micare oscilatorie

Fig. 1.1.1.4 Semnalul corespunztor oscilaiei sonore LA a

diapazonului

2. Alt oscilator este diapazonul lovit cu un ciocnel

de lemn. Vibraia pe care o produce se va propaga prin

aerul atmosferic, din aproape n aproape, dnd natere

la ceea ce numim und sonor. Oscilaia diapazonului

din figura 1.1.1.3, acordat pentru a emite nota LA, a

fost nregistrat spre a fi vizualizat cu ajutorul unui

microfon (exploratorul sonic din figura 1.1.1.3) cuplat

cu o plac de achiziie de semnal, instalat ntr-un

computer. Amplitudinea semnalului nregistrat este

proporional cu amplitudinea oscilaiei diapazonului

(figura 1.1.1.4).

Acest sistem de achiziie de semnale va fi prezent

n mai multe experimente descrise n acest manual.

Dac vom studia sunete vom utiliza ca senzori

microfoane, dac vom studia alte tipuri de oscilaii

mecanice vom utiliza ali senzori cuplai cu placa de

achiziie de semnal din computer.

Sistemele reale oscileaz amortizat: amplitudinile

scad treptat din cauza aciunii forelor de frecare i a

forelor de rezisten la naintarea prin mediu.

Micrile oscilatorii pot fi ntlnite n tehnic, n

timpul funcionrii unor maini precum ciocanul

pneumatic, ciocanul hidraulic etc. Motoarele vehicu-

lelor grele produc trepidaii ale pieselor componente,

ale pereilor cldirilor pe lng care trec. Efectele

distructive ale trepidaiilor trebuie mpiedicate prin

utilizarea de amortizoare.

Fig. 1.1.1.3 Exploratorul sonic utilizat pentru

vizualizarea sunetelor emise de diapazon

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

5

1

CK

CK

ACTIVITATE EXPERIMENTAL

Realizai dispozitivele din figura 1.1.1.5.

Scoatei corpurile din poziia de echilibru, aa cum

se indic n figur i, apoi, lsai-le libere. Ce observai?

n toate cazurile se constat c:

a) micarea este periodic;

b) corpul se deplaseaz mereu pe aceeai traiectorie;

c) micarea se realizeaz simetric fa de poziia

de echilibru;

d) micarea se efectueaz ntre dou poziii limit,

numite puncte de ntoarcere, situate de o parte i de

cealalt a poziiei de echilibru. Fig. 1.1.1.5

a b c d

pendulgravitaional

pendulcu arc

pendul cuarc lamelar

oscilaiacoloaneide ap

a b c d

Definiie: Se numete micare periodic a unui punct material acea micare care se repet la intervale de

timp egale.

Observaie: n clasa a 9-a ai studiat o astfel de micare periodic: micarea circular uniform.

Definiie: Se numete micare oscilatorie acea micare periodic a unui sistem fizic care se efectueaz pe

aceeai traiectorie, de o parte i de alta a poziiei sale de echilibru.

Observaie: Cnd sistemul parcurge traiectoria complet, i ntr-o parte i n cealalt, se spune c a efectuat o

oscilaie complet.

1.1.2. Mrimi caracteristice micrii oscilatorii

Vom defini cteva mrimi fizice necesare studiului micrii oscilatorii. Unele dintre ele au fost prezentate i

n clasa a 9-a, n lecia intitulat Micarea circular uniform. Este vorba despre perioad i frecven.

Definiie: Se numete perioad a micrii oscilatorii mrimea fizic notat T definit de relaia:

N

t

T

= ,

unde t este timpul n care sistemul efectueaz N oscilaii complete, [T ]SI = 1 s.

Observaie: Pentru N = 1 rezult T = t. Deci: perioada T este timpul necesar efecturii unei oscilaii complete.

Definiie: Se numete frecven a micrii oscilatorii mrimea fizic scalar definit de relaia:

t

N

= ,

Observaii:

1) Lund t = 1 s rezult = N. Deci: frecvena msoar numrul de oscilaii efectuate ntr-o secund.

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

6

1

CK

CK

Observaie: Amplitudinea este, conform definiiei,

pozitiv ntotdeauna. Ea reprezint distana dintre

poziia de echilibru i punctul de ntoarcere (figura

1.1.2.1).

Definiie: Se numete micare oscilatorie neamortizat

acea micare oscilatorie n care amplitudinea nu se

schimb de la o oscilaie la alta. Fig. 1.1.2.1

O F = kx

A A

x

Micarea oscilatorie neamortizat este un model ideal. n practic, datorit frecrilor, sistemul pierde energie

i, corespunztor, amplitudinea oscilaiilor devine din ce n ce mai mic.

2) Unitatea de msur a frecvenei se numete Hertz (Hz): 1

SI[ ] 1s 1 Hz = = .

3) Din definiiile perioadei i a frecvenei rezult c 1= T .

Definiie: Se numete elongaie a micrii oscilatorii, notat cu x sau y, deplasarea oscilatorului, la un moment

dat, fa de poziia sa de echilibru.

Observaie: [x]SI = 1 m.

Definiie: Se numete amplitudine a micrii oscilatorii mrimea fizic scalar A egal cu modulul elongaiei

maxime xmax

pe care o poate avea oscilatorul n cursul oscilaiei:

max

xA = .

Fig. 1.1.3.1 Sistem computerizat pentru achiziii de semnale

utilizat n studiul micrii oscilatorii a unui pendul elastic

n timpul micrilor oscilatorii sistemele pierd

energie prin interaciunea cu mediul, ceea ce duce la

scderea amplitudinii, adic la amortizarea lor i

implicit la stingerea treptat a oscilaiilor.

Oscilaia a crei amplitudine scade n timp se

numete oscilaie amortizat.

Prin utilizarea plcii de achiziie de semnal instalat

n computer am nregistrat spre a vizualiza semnalul

generat de un senzor de for, n crligul cruia a fost

suspendat un pendul elastic care oscileaz (figura

1.1.3.1). Senzorul de for indic valoarea forei elastice

din resortul pendulului, deci semnalul pe care l achizi-

ioneaz este proporional cu elongaia oscilaiei

acestuia. Micarea pendulului a avut loc iniial n aer,

apoi n ap. Observai semnalele nregistrate n figurile

1.1.3.2.i 1.1.3.3.

Ce se ntmpl cu amplitudinea de oscilaie?

1.1.3. Oscilaii mecanice amortizate

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

7

1

CK

CK

n timpul micrii, asupra corpului suspendat de resort

acioneaz o for de rezisten la naintarea prin mediu.

Evident, fora este mai puternic n ap dect n aer,

ceea ce produce amortizarea vizibil n figura 1.1.3.3.

Disiparea energiei oscilatorului n mediu este un

proces complex care, n general, nu se face numai sub

aciunea acestei fore. ntr-o aproximare suficient de

bun, fora de rezisten la naintarea prin fluid este

direct proporional cu viteza corpului i poate fi descris

de relaia:

R r v=

unde r este coeficientul de rezisten la naintarea prin

fluid,

[ ] 1SI

kg

r

s

=

Valoarea acestui coeficient, n cazul cnd fluidul

este aerul, este suficient de mic pentru a considera

fora R neglijabil.

Dac fluidul utilizat este apa, amplitudinea oscilaiei

scade n timp dup legea:

0

b t

A A e

= unde A este amplitudinea la momentul de timp t, A

0

este amplitudinea la momentul iniial, iar b este

coeficientul de amortizare, o alt mrime caracteristic

micrilor oscilatorii amortizate.

[ ] 11SI

b s=

n cazul cnd oscilaia are loc n ap, urmrim dup

cte oscilaii complete (N0) amplitudinea scade la

jumtate. Definim decrementul logaritmic D prin

relaia:

,

D b T=

Unde T este perioada de oscilaie n ap.

Decrementul logaritmic D se poate calcula n practic

Fig. 1.1.3.2 Fig. 1.1.3.3

Fig. 1.1.3.4 Dependena de timp a amplitudinii micrii

oscilatorii amortizate

din relaia:

0

ln2

D

N

=

O alt mrime caracteristic oscilaiilor amortizate

este timpul de via , care msoar intervalul de timpnecesar pentru ca amplitudinea s scad de e = 2,718

ori.

Dac amplitudinea este mic, b

8

1

CK

CK

Fig. 1.1.3.11 Fig. 1.1.3.12

Fig. 1.1.3.10 Fig. 1.1.3.9

Fig. 1.1.3.7 Fig. 1.1.3.8

Fig. 1.1.3.6 Fig. 1.1.3.5

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

9

1

CK

CK

Vei studia oscilaiile unui pendul elastic cu masa

cunoscut, n medii precum aerul i apa. Vei calcula

perioada sa de oscilaie n aer T, i respectiv n ap T,

cronometrnd 10-20 de oscilaii i utiliznd relaia:

t

T

N

=

Pentru micarea sa amortizat n ap vei calcula

coeficientul de rezisten la naintarea prin ap, r,

coeficientul de amortizare, b i decrementul logaritmic

D. Numrai dup cte oscilaii complete, N0, ampli-

tudinea scade la jumtate. Calculai nti decrementul

logaritmic:

0

ln2

D

N

=

apoi coeficientul de amortizare i timpul de via:

'

D

b

T

= 1

b

=

i coeficientul de rezisten:

2r m b= Materiale necesare sunt: pendulul elastic (figura

LUCRARE DE LABORATOR

Studiul amortizrii oscilaiilor mecanice

Fig. 1.1.3.13

a. Montajul experimental pentru

determinarea valorilor ampli-

tudinii de oscilaie n ap, a unui

pendul elastic

b. Reprezentarea grafic a depen-

denei de timp a amplitudinii

Fig. 1.1.4.1

a ntins

b Relaxat

c Comprimat

m

F 0=

m

m

x +xO

x

F kx=

F kx=

1.1.4. Modelul oscilatorului liniar armonic

Cel mai simplu exemplu de micare oscilatorie este

micare unui punct material de mas m sub aciunea

unei fore de revenire elastice (figura 1.1.4.1).

Definiie: Se numete oscilator liniar armonic un

punct material care se mic rectiliniu sub aciunea

unei fore de forma F = ky (sau F = kx).

Observaie: Oscilatorul armonic liniar este un model

teoretic ideal pentru oscilatoarele reale. Micarea sa

de oscilaie este numit micare oscilatorie armonic.

Din ecuaia principiului al II-lea al mecanicii,

amykF == , rezult c ym

k

a = .

Experiment virtual: la adresa: http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/applist/damped/d.htm putei investiga efectul forelor de rezisten

la naintare n cazul unui pendul elastic virtual. Modificai valorile parametrilor pentru a ilustra regimurile de oscilaie ale pendulului!

Nr. oscilaiei 1 2 3 4 5 6 7

Amplitudinea

1.1.3.13), un stativ cu suport, un vas transparent cu ap i un cronometru. Alegei un resort i un corp suficient de greu

pentru a v asigura c n ap vei obine cel puin 6-7 oscilaii complete. Deviai pendulul din poziia vertical de

echilibru astfel nct s aib o amplitudine pe care s o putei uor nregistra. Notai valorile descresctoare ale

amplitudinii ntr-un tabel de forma alturat. Avnd n vedere c micarea se repet periodic i simetric, ncercai

reprezentarea grafic a dependenei de timp a elongaiei pendulului elastic. Dac avei posibilitatea, utilizai o foaie

de calcul tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date experimentale i pentru a realiza reprezentarea grafic.

a

b

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

10

1

CK

CK

Proiecia punctului P pe axa Oy (punctul Q), va

executa o micare cu acceleraie egal cu proiecia

acceleraiei centripete pe ax, adic:

2 2

sincpa A y= = .

Pentru a urmri micarea punctului Q cu ajutorul

unui punct material de mas m, asupra acestuia trebuie

s acioneze o for:

2

,cp yF m a m y= =

Se constat c proiecia unui punct aflat n micare

circular uniform pe un diametru al cercului traiectorie

efectueaz o micare oscilatorie liniar armonic sub

aciunea unei fore F de tip elastic. Comparnd aceast

relaie cu relaia de definiie rezult:

2= mk .

Deoarece

T

== 22 , rezult c perioada oscila-

torului armonic liniar este dat de relaia:

k

m

T = 2 .

Fig. 1.1.4.2

y

x

Q

A

A

P

A

A

t

O

ycpF ,

cpF

Deci: micarea oscilatorie armonic este o micare

cu acceleraie variabil, proporional cu elongaia i de

sens opus acesteia.

Considerm un punct material P, n micare circular

uniform, cu viteza unghiular , pe un cerc de raz A(figura 1.1.4.2).

Acceleraia punctului P va fi:

2

cpa A=

r

r

Pendulul gravitaional

Pendulul gravitaional este format dintr-un punct

material de mas m suspendat de un fir inextensibil de

mas neglijabil i de lungime L (figura 1.1.4.3). Dac

pendulul este deplasat din poziia sa vertical de

echilibru i este lsat liber, el oscileaz n plan vertical

sub aciunea forei de greutate. Traiectoria descris de

punctul material este un arc de cerc. n figura 1.1.4.3

s-au reprezentat i forele care acioneaz asupra

punctului material. Fora de revenire, care tinde s

readuc pendulul n poziia de echilibru este

== singmGFt

.

Fig. 1.1.4.3

Fora de revenire nu este proporional cu , ci cu sin i, de aceea, micarea pendulului gravitaional nu esteo micare armonic.

Pentru unghiuri mici, dac este exprimat n radiani, se poate arta csin .

De exemplu, pentru = 0,1 rad (aproximativ = 5,73), sin = 0,0998. Diferena este de 2. Pentru unghiurimai mici de 6 diferena ntre i sin este suficient de mic pentru a fi neglijat. Folosind aproximaia discutatexpresia forei de revenire devine: = gmF , unde s-a folosit i urmtoarea convenie.

Convenie: Pentru poziiile pendulului situate la dreapta poziiei de echilibru unghiul este considerat pozitiv,iar pentru poziiile situate la stnga poziiei de echilibru unghiul este considerat negativ.

Deoarece unghiul este exprimat n radiani,

L

x= ,

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

11

1

CK

CK

unde x este lungimea corzii care subntinde arcul de cerc cuprins ntre poziia de echilibru, O, i poziia, A,

ocupat de punctul material. Atunci expresia forei de revenire ia forma

xkx

L

gm

F = ,

ceea ce arat c, pentru oscilaii de mic amplitudine (unghiuri < 6o) fora de revenire este de tip elastic imicarea pendulului este o micare oscilatorie armonic.

Perioada T de oscilaie a pendulului este dat de relaia

k

m

T = 2 .

Folosind aici relaia k = (mg)/L, se obine pentru perioada de oscilaie a pendulului gravitaional expresia

g

L

T = 2 ,

unde:

L este lungimea pendulului, [L]SI = m;

g este acceleraia gravitaional, [g]SI = m/s

2.

Observaii:

1) Aceast expresie a perioadei pendulului gravitaional este adevrat n cazul micilor oscilaii, adic atunci

cnd firul pendulului se abate de la vertical cu un unghi mai mic de 6.2) Perioada pendulului gravitaional este independent de masa sa.

3) Deoarece perioada pendulului gravitaional nu depinde nici de amplitudinea oscilaiilor, pendulul poate fi

folosit la msurarea timpului.

4) Deoarece L i T pot fi uor i precis msurate, pendulul gravitaional poate fi folosit la determinarea valorii

acceleraiei gravitaionale g.

LUCRARE DE LABORATOR

Studiul experimental al unor oscilatori mecanici simpli

Pendulul gravitaional

Vei determina perioada de oscilaie a unui pendul

bifilar (figura 1.1.4.4) utiliznd relaia:

t

T

N

=

Pentru aceasta vei cronometra intervalul de timp tnecesar efecturii unui numr N de oscilaii complete.

Pendulul gravitaional oscileaz n condiii de izocronism

(amplitudine unghiular mic) cu perioada:

Fig. 1.1.4.4 Montaj experimental pendul bifilar

Experiment virtual: la adresa http://www.walter-fendt.de/ph14ro/pendulum_ro.htm putei investiga micarea oscilatorie a unui pendul

gravitaional virtual. Modificai valorile parametrilor i vizualizai dependenele de timp ale elongaiei, ale vitezei, ale acceleraiei, ale forei de

revenire a pendulului n poziia de echilibru i respectiv a energiei acestuia!

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

12

1

CK

CK

Dac n aceast relaie se cunosc valorile determinate ale perioadei de oscilaie T i respectiv ale lungimii

firului, l, atunci se poate calcula valoarea acceleraiei gravitaionale a locului:

2

2

4

g

T

= l

Materiale necesare sunt: pendulul bifilar, un stativ cu suport i un cronometru.

Deviai pendulul din poziia vertical de echilibru astfel nct s nu aib amplitudine unghiular mai mare de

10-15. Din punct de vedere strict matematic ar trebui s ne limitm la 5 pentru a fi valabil aproximaiaunghiurilor mici, dar extinderea propus pn la 15 nu afecteaz considerabil rezultatul obinut i uureaznumrarea oscilaiilor complete ale pendulului.

Cronometrai de fiecare dat un numr de 10-20 de oscilaii complete.Introducei datele ntr-un tabel de

forma indicat n continuare, calculai valoarea medie a perioadei pendulului, erorile absolut i relativ nregistrate.

Calculai apoi valoarea acceleraiei gravitaionale a locului unde a oscilat pendulul.

l(m) t (s) N T(s) T med

(s) g(m/s2) g

med(m/s

2)

Reluai experimentul pentru diferite lungimi ale firului i calculai valorile obinute pentru perioadele de

oscilaie. Reprezentai grafic perioada T ca funcie de l i calculai panta dreptei obinute (p= tg ). Calculaiapoi valoarea acceleraiei gravitaionale din relaia:

2

2

4

g

p

= l

Comparai rezultatele obinute!

Dac avei posibilitatea, utilizai o foaie de calcul tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date experimentale.

Fig. 1.1.4.5 Montaj experimental pendul elastic

Pendulul elastic

Vei determina constanta elastic a unui resort prin

metoda dinamic, apoi vei verifica experimental

formula de calcul a constantei elastice a resorturilor

cuplate serie sau paralel. Pendulul elastic oscileaz n

plan vertical (figura 1.1.4.5) cu o perioad:

T

N

=

t

(1)

unde t este timpul necesar efecturii unui numr N deoscilaii complete.

Perioada se poate calcula i din relaia:

2

m

T

k

=

(2)

unde m este masa corpului i k constanta elastic a

resortului.

Determinnd perioada pendulului cu prima relaie

vei putea calcula constanta elastic a resortului din

relaia:

2

2

4 m

k

T

=

(3)

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

13

1

CK

CK

Fig. 1.1.4.6 Montaj experimental pendul elastic cu

resorturi cuplate n paralel

Fig. 1.1.4.8

P

P0

Ecuaiile micrii oscilatorului liniar armonic

Considerm din nou punctul material P n micare

circular uniform, cu viteza unghiular , pe un cercde raz A, sub aciunea forei centripete:

AmFcp

rr

= 2 .

Presupunem c la momentul iniial punctul material

se afl n poziia P0 (figura 1.1.4.8), vectorul su de

poziie fa de centrul cercului traiectorie fcnd

unghiul 0 cu axa Ox. La momentul t punctul se afl n

poziia P, vectorul su de poziie fcnd unghiul t +

0 cu axa Ox. Corespunztor, proiecia sa pe axa Oy

este dat de relaia:

( ) ( )0

sin += tAty ,

Pentru cuplajele de resorturi identice vei calcula

perioadele de oscilaie cu relaiile (1) i (2). n relaia

(2) se va utiliza pentru cuplaj serie constanta:

1 2

1 2

;

2

s s

k k k

k k

k k

= =+

, pentru resorturi identice

1 2

; 2p p

k k k k k= + = , pentru resorturi identice (4)Materialele necesare sunt: un postament cu tij i

mufe, dou resorturi identice, un corp metalic cu crlig,

un cronometru i o bar metalic etalonat (prghie

din trus).Realizai montajele experimentale din figurile

1.1.4.5.-1.1.4.7, scoatei corpul de mas m din poziia

de echilibru i cronometrai un anumit numr de

oscilaii.

nregistrai datele n tabel i calculai perioada de

oscilaie n cele trei cazuri cu formula (1).

Aplicai formula (3) pentru calculul constantei

elastice n versiunea experimental kexp

.

Aplicai relaiile (4) pentru calculul teoretic al

acelorai constante elastice kteor

i comparai rezultatele

obinute.

Efectuai 10-12 msurtori pentru fiecare caz.

Cuplajul N t(s) T(s) kexp

(N/m) kteor

(N/m)

Identificai sursele de erori i propunei soluii pentru

micorarea lor.

Dac avei posibilitatea, utilizai o foaie de calcul

tabelar (Excel) pentru a realiza tabelul de date

experimentale. Fig. 1.1.4.7 Montaj experimental pendul elastic cu

resorturi cuplate n serie

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

14

1

CK

CK

Din legea de micare a oscilatorului liniar armonic, folosind relaia ya = 2 , se deduce uor legea acceleraiei:

( ) ( )0

2

sin += tAtaunde:

- a(t) este acceleraia micrii oscilatorii la momentul t, [a]SI = 1 m/s

2;

-2= Aa

M

este acceleraia maxim a micrii oscilatorii.

Folosind legea de micare n relaia de definiie a vitezei:

( ) ( )mic foarte pentru , t

t

tytty

v

+= ,

se poate obine i legea vitezei oscilatorului liniar armonic:

( ) ( )0

cos += tAtvunde:

- v(t) este viteza micrii oscilatorii la momentul t, [v]SI = m/s;

- = AvM

este viteza maxim a micrii oscilatorii.

Exerciiul 1.1.4.1. Deducei legea vitezei oscilatorului liniar armonic utiliznd metoda prezentat

anterior.

Fig. 1.1.4.9 Reprezentare fazorial pentru viteza i

acceleraia oscilatorului liniar armonic

2 A

unde:

- y(t) este elongaia micrii oscilatorii a proieciei Q la momentul t, [y]SI

= 1 m;

- A este amplitudinea micrii oscilatorii, [A]SI= 1 m;

- ( )0

+= tt este faza micrii oscilatorii (la momentul t), []SI = 1 rad;

- este pulsaia micrii oscilatorii; ea reprezint viteza de variaie a fazei, []SI = 1 rad/s;

- 0 este faza iniial a micrii oscilatorii, ( ).0t

0==

Aceasta este legea de micare a oscilatorului liniar armonic.

Observaie: Aceast asociere a micrii oscilatorii armonice a punctului Q cu micarea circular uniform a

punctului P a permis fizicianului francez Augustin Fresnel s introduc reprezentarea fazorial a mrimilor care

variaz dup o lege sinusoidal ca cea de mai sus. Fazorul este un vector care are modulul egal cu amplitudinea

A a oscilaiei i care se rotete n jurul originii sistemului de coordonate cu o vitez unghiular egal cu pulsaia a micrii oscilatorii. Este vectorul OP din figura 1.1.4.8.

Putei observa c legea vitezei i cea a acceleraiei

pot fi scrise i n forma:

( )

( ) ( ) .sin

,

2

sin

0

2

0

++=

++=

tAta

tAtv

Din figura 1.1.4.9 putei observa c viteza este

defazat nainte cu /2 fa de elongaie, iar acceleraiaeste i ea defazat nainte cu fa de elongaie.

n figura 1.1.4.10 sunt reprezentate grafic depen-

denele de timp ale elongaiei y(t), vitezei v(t) i

acceleraiei a(t) pentru micarea oscilatorie a unui punct

material avnd faza iniial 0 = 0.

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

15

1

CK

CK

Conform enunului problemei, condiiile iniiale ale micrii sunt

( ) ( ) .00,00

== vyy

Folosind cele dou ecuaii n aceste condiii rezult c .0cos ,sin000

== yA

De aici se gsete c . ,

2

00yA ==

Ecuaia micrii ia atunci forma ( ) ( ) .coscos2

sin000

==

+= tm

k

ytytyty

Folosind aici valorile numerice se obine n final expresia ( ) ( ) . 4cosm1,0 tty =

Pentru viteza maxim se gsete c m/s. 4,00

===m

k

yAvM

Exerciiul 1.1.4.2. Un corp avnd masa de

0,5 kg, legat de un perete vertical printr-un resort

elastic de constant de elasticitate k = 8 N/m,

se poate deplasa fr frecare pe un plan

orizontal. La momentul iniial, t0 = 0, corpul

se afl la o distan y0 = 10 cm de poziia de echilibru

i este lsat liber. Aflai: a) ecuaia micrii oscilatorii

a corpului; b) viteza maxim vM

.

Soluie: Scriem legea de micare i legea vitezei

( ) ( )( ) ( ) .cos

,sin

+=+=tAtv

tAty

Exerciiul 1.1.4.3. Reprezentai grafic ecuaia micrii oscilatorii obinut la exerciiul 1.1.4.2. Scriei

ecuaia unei micri oscilatorii defazate cu /3 n urma oscilaiei precedente. Reprezentai graficecuaia obinut.

Exerciiul 1.1.4.4. Un corp oscileaz vertical fiind suspendat de dou resorturi ideale identice, avnd

fiecare constanta de elasticitate k, legate mai nti n serie i, apoi, n paralel. Aflai raportul r al

lungimilor celor dou pendule matematice care oscileaz sincron cu corpul n cele dou situaii.

Soluie: Cnd resorturile sunt legate n serie, constanta de elasticitate echivalent ks

este dat de

relaia:

kkkks

2111

21

=+=

deci ks

= k/2, iar cnd sunt legate n paralel, constanta de elasticitate echivalent kp

este: kp

= k1

+ k2

= 2 k.

n primul caz, perioada oscilaiilor este: ,2

s

s

k

m

T =

Perioada pendulului matematic care oscileaz sincron cu corpul este: .2

g

L

Ts

s

=

Din aceste dou relaii rezult c: .

s

s

k

gm

L

=

Fig. 1.1.4.10 Dependena elongaiei y, a vitezei v i a

acceleraiei a ale unui punct materiale aflat n micare

oscilatorie armonic

Elongaia, y

Acceleraia, a

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

16

1

CK

CK

Energia oscilatorului armonic

Energia mecanic a oscilatorului armonic liniar se poate calcula pornind de la relaia

22

2

1

2

1

ykvmEEEpc

+=+= .

Folosind aici ecuaia vitezei i legea de micare rezult c

( ) ( )0

22

0

222

sin

2

1

cos

2

1 +++= tAktAmE .

De aici, folosind relaia k = m2 , rezult n final c energia oscilatorului armonic liniar este dat de relaia

. 2

2

1

2

1

sin

2

1

cos

2

12222222222

mAAmAktAktAkEEEpc

===+=+=

n mod analog, pentru cazul n care resorturile sunt legate n paralel, se obine: .

p

p

k

gm

L

=

Raportul r cerut este atunci dat de relaia: .4

2

2 ===k

k

k

k

L

L

r

s

p

p

s

Exerciiul 1.1.4.5. Un corp de mas m = 200 g execut oscilaii armonice. Valoarea extrem a forei

elastice care acioneaz asupra corpului este F = 200 N. Energia total a oscilatorului este E = 40 J.

Considerai ca origine a timpului momentul n care corpul trece prin poziia de echilibru n sensul

pozitiv al axei alese. Scriei ecuaia de micare a corpului.

Soluie: Conform enunului problemei 0 = 0, deci ecuaia de micare este de forma ( ) ( )tAty = sin .

Deoarece AkF = i 2/2AkE = rezult c .2

F

E

A

=

Pe de alt parte, ,

2

2

E

F

A

F

k

== deci .

22

2

Em

F

Em

F

m

k

=

==

Aceast expresie arat c energia oscilatorului

armonic liniar este constant n timp dei energiile

cinetic i potenial variaz ca n figura 1.1.4.11-a.

n figura 1.1.4.11-b sunt reprezentate energia

cinetic, energia potenial i energia total n funcie

de elongaia y. Din acest al doilea grafic se desprind

dou concluzii importante.

Mai nti, se vede explicit c micarea este limitat

la segmentul (A, +A): n caz contrar energia potenial

ar depi valoarea energiei totale, ceea ce este

imposibil. De aceea se spune c micarea oscilatorului

are loc ntr-o groap de energie potenial, cu referin

la forma curbei care reprezint grafic Ep.

n al doilea rnd, se constat c n timpul micrii

oscilatorii are loc un schimb permanent de energie. Fig. 1.1.4.11

Considernd modelul corp de mas m plus resort (figura 1.1.4.1) vedem c energia cinetic a corpului de mas m

se transform n energie potenial a resortului elastic atunci cnd corpul se mic de la poziia de echilibru spre

poziia de maxim deformare a resortului. Cnd corpul se mic n sens invers are loc transferul invers de energie:

energia potenial elastic a resortului scade i se transform n energie cinetic a corpului de mas m. Un astfel

de sistem este numit sistem mecanic oscilant: energia oscileaz ntre cei doi acumulatori de energie, resortul

i respectiv, corpul de mas m.

EAkEEpc

=== 2max,max,

2

1

tEE

tEE

EAkEEEE

cc

pp

pcpc

=

=

====+

2

max,

2

max,

2

max,max,

sin

cos

2

1

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

17

1

CK

CK

Considerm cazul n care punctul material execut simultan dou oscilaii avnd aceeai direcie i aceeai

pulsaie , dar amplitudini i faze iniiale diferite:( ) ( ) ;sin

0111+= tAty

( ) ( ) .sin0222

+= tAtyMicarea rezultant va fi dat de relaia:

( ) ( ) ( )tytyty21

+= .Folosim cele dou expresii precedente n aceast relaie i obinem:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .coscoscos

sinsin

sincoscos

cossinsinsincoscos

sincoscossinsincoscossin

sinsin

022011

022011

022011

022011022011

022022011011

022011

+

+++=

=+++==+++=

=+++=

t

AA

AA

tAA

tAAtAA

tAtAtAtA

tAtAty

Notm:1 01 2 02

1 01 2 02

sin sin

tg

cos cos

A A

A A

+ = + .

Atunci relaia precedent poate fi rescris n forma:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]

( ) ,sin

cossincossin

cos

coscos

cos

cos

sin

sincoscos

022011

022011

+=

=+

+=

=

++=

tA

tt

AA

ttAAty

unde s-a notat:1 01 2 02

cos cos

.

cos

A A

A

+ =

1.1.5. Compunerea oscilaiilor paralele.

Compunerea oscilaiilor perpendiculare*

Exerciiul 1.1.4.6. S se afle elongaia y a unui oscilator armonic n momentul n care energia sa

cinetic este egal cu cea potenial. Amplitudinea oscilaiilor este A = 14,14 cm.

Soluie: Energia total a oscilatorului este 2

2

1

AkEEEpc

=+= .

Condiia din problem este 2

2

1

ykEEpc

== . nlocuind aceste expresii n relaia precedeent rezult c

22

1

2

1

2

22A

yAkyk == . Corespunztor, numeric se obine cm 10=y .

Atunci se obine: ( ) ( ) . 50sinm4,02

sin

2

t

Em

tF

F

E

ty =

= (m).

Experiment virtual: la adresa: http://www.walter-fendt.de/ph14ro/resonance_ro.htm putei investiga micarea oscilatorie a unui pendul

elastic virtual. Modificai valorile parametrilor i vizualizai dependenele de timp ale elongaiei, ale vitezei, ale acceleraiei, ale forei de

revenire a pendulului n poziia de echilibru i respectiv a energiei acestuia!

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

18

1

CK

CK

Observm c micarea rezultant este tot o oscilaie armonic, avnd aceeai direcie i aceeai pulsaie ,dar avnd faza iniial definit mai sus i avnd amplitudinea:

( )010221

2

2

2

1cos2 ++= AAAAA .

Expresia amplitudinii A se obine calculnd cos din expresia lui tg i nlocuind rezultatul n definiia lui A.

Observaii:

1) dac ( )K 2, 1, 0,= ,20102

kk = , ( ) 12cos cos +== k i obinem:21

AAA += .

Concluzie: Dac ( )K 2, 1, 0,= ,20102

kk = , amplitudinea oscilaiei rezultante este egal cu sumaamplitudinilor A

1 i A

2 ale oscilaiilor componente. Se spune c oscilaiile sunt n faz.

2) dac ( ) ( )K 2, 1, 0,= ,121002

kk += , ( ) 112cos cos =+= k i obinem 12

AAA = .

Concluzie: Dac ( ) ( )K 2, 1, 0,= ,120102

kk += , amplitudinea oscilaiei rezultante este egal cuvaloarea absolut a diferenei amplitudinilor, A

2 i A

1, ale oscilaiilor componente. Se spune c oscilaiile sunt

n opoziie de faz.

micri oscilatorii. La momentul iniial cei doi fazori ncep s se roteasc n sens trigonometric cu viteza unghiular

w. Proieciile lor pe axa Oy depind de timp conform celor dou relaii de mai sus.

Micarea rezultant va fi dat de relaia: ( ) ( ) ( ).21tytyty +=

Aa cum se vede din figur y(t) este proiecia pe axa Oy a fazorului:

.

21AAA

rrr

+=Acest fazor se rotete odat cu fazorii componeni cu aceeai vitez unghiular , i reprezint micarea

oscilatorie rezultant:

( ) ( )sin .y t A t= + Conform regulii paralelogramului, modulul fazorului rezultant, care d amplitudinea micrii de oscilaie

rezultant, este dat de relaia:

( ) . cos2010221

2

2

2

1++= AAAAA

Faza iniial a micrii rezultante este dat de unghiul 0 pe care l face iniial fazorul rezultant A

r

cu axa

Ox. Aa cum se vede din figur:

1 2 1 01 2 02

1 2 1 01 2 02

sin sin

tg .

cos cos

y y y A A

x x x A A

+ + = = =+ +

Astfel, compunnd fazorial oscilaiile armonice paralele, se regsesc rezultatele obinute prin metoda analitic.

Metoda fazorial

Considerm cazul n care punctul material execut

simultan dou micri oscilatorii pe aceeai direcie i

cu aceeai pulsaie , dar avnd amplitudini i fazeiniiale diferite

( ) ( ) ( ) ( ) . sin ,sin02220111

+=+= tAtytAtyReprezentm aceste oscilaii cu ajutorul fazorilor

1A

r

i 2

A

r

(figura 1.1.5.1). Aceti vectori se afl iniial

n poziiile din figura 1.1.5.1, fazele iniiale fiind

unghiurile pe care ei le fac cu axa Ox. Modulele acestor

vectori sunt amplitudinile de oscilaie ale celor dou Fig. 1.1.5.1

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

19

1

CK

CK

Soluie: Ecuaiile celor dou micri oscilatorii sunt:

( ) ( )

( ) ( ) .sin2

2sin3

,sin

3

2

2sin4

222

111

+

+=

+

+=

tatty

tatty

Oscilaia rezultant are ecuaia: y(t) = y1

(t) + y2(t) = A sin (t + ).

Amplitudinea A a micrii oscilatorii rezultante este dat de relaia:

76,6

3

2

2

cos221

2

2

2

1=

++= aaaaA cm,

iar faza iniial, , se obine din relaia: 1 1 2 21 1 2 2

sin sin

tg 3,23.

cos cos

a a

a a

+ = = +

Deci = arctg 3,23.Ecuaia micrii oscilatorii rezultante este, deci, urmtoarea: y(t) = 6,76 sin (2 t arctg 3,23) (cm).

Compunerea oscilaiilor perpendiculare de aceeai frecven*

Un punct material P, este supus simultan aciunii a dou oscilaii perpendiculare cu aceeai frecven, ca n

figura 1.1.5.3:

x = A 1

sin (t + 1) (1)

y = A 2

sin (t + 2) (2)

Punctul material va descrie o traiectorie ale crei ecuaii parametrice sunt ecuaiile (1) i (2). Vom elimina

timpul ntre ecuaiile:

Fig. 1.1.5.3

Fig. 1.1.5.2 Bti

Fenomenul intitulat bti se produce atunci cnd

un punct material este supus simultan la dou oscilaii

paralele de frecvene puin diferite. Micarea lui nu mai

este o oscilaie armonic, amplitudinea rezultant este

variabil (figura 1.1.5.2).

1 1 2

1

sin cos cos sin cos

x

t t

A

= +

2 2 1

2

sin cos cos sin cos

y

t t

A

= +

Prin scderea lor membru cu membru se obine

ecuaia (3):

2 1

1 1

cos cos cost

yx

A A

= (3)

Exerciiul 1.1.5.1. Un corp este supus

simultan la dou micri oscilatorii armonice

paralele: y1

(t) = 4 sin 2(t + 1/3) (cm) iy2

(t) = 3 sin 2(t + 1/4) (cm). Aflai ecuaiamicrii oscilatorii rezultante.

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html

20

1

CK

CK

1 2

2

1

0,

y Ax

y x

A A A

= =

deci traiectoria punctului material este o dreapt care

trece prin originea sistemului de axe utilizat,

reprezentnd diagonala dreptunghiului din figura

1.1.5.4.

Cnd k = 0, 1 =

2 =

, elongaia micrii oscilatorie

rezultante se poate obine din relaia:

( )2 2 2 21 2

sin OP x y A A t= + = + + deci pulsaia micrii oscilatorii a punctului P este

identic cu pulsaiile iniiale.

Fig. 1.1.5.4

Procednd analog prin nmulirea ecuaiilor cu sin 2, respectiv sin

1 se obine ecuaia (4):

( )2 1 2 1

1 2

sin sin sin sin

yx

t

A A

= (4)

Ecuaiile (3) i (4) vor fi ridicate la ptrat i adunate membru cu membru, rezultnd ecuaia (5):

( ) ( )1 2

22

2

2 1 2 12 2

1 2

2

cos sin

y xyx

A A A A

+ = (5)

Ea reprezint ecuaia unei elipse nscrise n dreptunghiul cu laturile 2 A1 i respective 2A

2.

n funcie de valorile diferenei de faz = 2

1, traiectoria micrii rezultante poate avea diferite forme.

1) = 2 k, unde k = 0, 1, 2, 3, ..., ecuaia (5) devine:

2) = (2 k + 1), unde k = 0, 1, 2, 3, ..., ecuaia (5) devine:

1 2

2

1

0,

y Ax

y x

A A A

+ = =

adic, tot micare oscilatorie a punctului P dar pe cealalt diagonal a dreptunghiului din figura 1.1.5.4.

3) 2

= micrile oscilatorii sunt la cvadratur:

( )

( )1 1

2 1 2 1

sin

sin cos

2

x A t

y A t A t

= + = + + = + +

Acum micarea punctului P se va face pe o elips

(figura 1.1.5.5) de ecuaie:

22

2 2

1 2

1

yx

A A

+ =

Dac A1 = A

2= A, elipsa devine cerc:

2 2 2

x y A+ = Fig. 1.1.5.5

http://www.all.ro/fizica-f1-manual-pentru-clasa-a-xi-a.html