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Chapitre 6

Couples de variables alatoires

6.1 Gnralits

Dans cette section, on fixe un espace probabilis (,A, P), et on considre deux variablesalatoires X et Y. On veut savoir comment caractriser le comportement de ces deux va-riables alatoires conjointement.

Dfinition 6.1.1On appelle couple de variables alatoires X et Y, not (X, Y) lapplication

Dfinition 6.1.2On appelle tribu associe au couple (X, Y) la plus petite tribu contenant tous les vne-ments

On la note A(X,Y)

Dfinition 6.1.3On appelle loi du couple alatoire (X, Y) la donne de fonction F(X,Y) : R2 R, appelefonction de rpartition conjointe, dfinie par

On dira donc que deux couples alatoires suivent la mme loi conjointe sils ont les mmesfonctions de rpartitions conjointes.

On a le thorme (admis) suivant

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24 CHAPITRE 6. COUPLES DE VARIABLES ALATOIRES

Thorme 6.1.4Soient X1, Y1, X2, Y2 quatre variables alatoires. Soit g C0(R2, R) .Alors si les couples (X1, Y1) et (X2, Y2) ont la mme loi, alors

EXEMPLE

On admet que la fonction (x, y) x + y est continue. Alors si deux couples (X1, Y1) et(X2, Y2) ont la mme loi, les variables alatoires X1 + Y1 et X2 + Y2 ont la mme loi.

On va maintenant, aprs quelques rappels sur lindpendance de variables alatoires, seconcentrer sur les variables alatoires discrtes.

6.2 Rappels sur lindpendance

Dfinition 6.2.1Deux vnements A et B sont dits indpendants si

Cest trivialement quivalent, quand P(A) = 0, dire que PA(B) = P(B).

Dfinition 6.2.2Deux variables alatoires X et Y sont indpendantes si pour tous x, y R, les vnements(X x) et (Y y) sont indpendants, i.e.

Proposition 6.2.3Soient X et Y deux variables alatoires. Sont quivalentes :

i X et Y sont indpendantes

ii Pour tous I,J intervalles de R,

P(X I Y J) =

iii pour tous vnements A Ax et B AY,

P(A B) =. Pour la dfinition de la continuit dune fonction de plusieurs variables, on renvoie le lecteur au chapitre

concern. On rappelle que AX est la plus petite tribu contenant les vnements X x

CHAPITRE 6. COUPLES DE VARIABLES ALATOIRES 25

Proposition 6.2.4Deux variables alatoires X et Y sont indpendantes si pour toutes fonctions f et g, f (X) etf (Y) sont indpendantes.

Dans le cas de variables alatoires discrtes, on peut caractriser simplement lindpen-dance :

Proposition 6.2.5Si X et Y sont discrtes, alors X et Y sont indpendantes si et seulement si

x X(), y Y(), P(X = x Y = y) =

Dans le cas dindpendance, on peut facilement calculer des esprances conditionnelles

Proposition 6.2.6Si X et Y sont discrtes et indpendantes, alors pour tout vnement B AY de probabilitnon nulle,

E(X | B) =

Dmonstration. On a, par dfinition desprance conditionnelle

E(X | B) =

=

=

=

6.3 Couples de variables alatoires discrtes

Dans cette section, X et Y sont deux variables alatoires discrtes. On note {xi | i I}(resp. {yj | j J}) limage de X (resp. Y).Daprs la dfinition, la loi de (X, Y) est entirement dtermine par la donne de

i I, j J, pi,j =

Dans le cas o X et Y sont finies, on pourra donc reprsenter la loi conjointe sous formedun tableau :


(X, Y)Valeurs de Y

y1 y2 yp

Val

eurs

deX

x1 p1,1 p1,2 p1,p

x2 p2,1 p2,2 p2,p...

...... . . .

...

xn pn,1 pn,2 pn,p

EXERCICE

On lance simultanment deux ds. On note X le plus petit des deux ds, et Y le plusgrand. Dterminer la loi conjointe de (X, Y).

Rciproquement :

Proposition 6.3.1Une suite double (pi,j)iI,jJ est la loi conjointe dun couple alatoire discret si et seulementsi

i I, j J, pi,j 0 la srie double iI jJ pi,j converge absolument vers 1.

Dmonstration. Le sens direct est facile : les pi,j tant des probabilits, ils sont forcmentpositifs. De plus, les vnements (X = xi) (Y = yj) forment un systme complet, et doncla somme de leurs probabilits vaut 1.

Le sens rciproque est admis.

Dfinition 6.3.2On appelle lois marginales du couple (X, Y) les lois de X et de Y.

Il est facile de trouver les lois de X et Y partir de la loi conjointe :

Proposition 6.3.3La loi de X est donne par

i I, P(X = xi) = jJ

pi,j.


De mme, la loi de Y est donne par

j J, P(Y = yj) = iI

pi,j.

Dmonstration. Il suffit dappliquer la

NOTA

Dans le cas de lois finies, en reprsentant la loi du couple comme un tableau, il suffit desommer les lments des lignes (resp. des colonnes) pour trouver la loi de X (resp. Y).

(X, Y)Valeurs de Y Somme de

y1 y2 yp la ligne

Val

eurs

deX

x1 p1,1 p1,2 p1,p P(X = x1)

x2 p2,1 p2,2 p2,p P(X = x2)...

...... . . .

......

xn pn,1 pn,2 pn,p P(X = xn)

Somme de la colonne P(Y = y1) P(Y = y2) P(Y = yp) 1

EXERCICE

Dterminer les lois marginales de lexercice prcdent.

Il est donc facile de trouver les lois marginales partir de la loi conjointe. En revanche, ilest souvent trs difficile de faire lopration inverse : il ny a pas, dans le cas gnral, defaon simple de trouver la loi conjointe connaissant les lois marginales.

En revanche, si les variables sont indpendantes :

Proposition 6.3.4Si X et Y sont indpendantes, alors pour tous i, j

pi,j =

Dfinition 6.3.5Soit i I tel que P(X = xi) = 0. On appelle loi conditionnelle de Y sachant X = xi


lapplication{yj | j J} [0, 1]

yj PX=xi(Y = yj) =

On a alors, en appliquant directement la formule des probabilits totales

Proposition 6.3.6On suppose que tous les P(X = xi) et P(Y = yj) sont non nuls. Alors pour tous i, j

pi,j =

P(X = xi) =

P(Y = yj) =

Comme dit prcdemment, les lois marginales ne suffisent pas dterminer la loi conjointe,mais une loi marginale et les lois conditionnelles de lautre variables suffisent.

6.4 Fonctions de deux variables alatoires

Comme on la vu, on peut prendre la fonction dun couple de variable alatoire.

Proposition 6.4.1Si X et Y sont discrtes, alors pour toute fonction, g(X, Y) est discrte.

On considrera donc des variables comme X + Y, max(X, Y), min(X, Y), etc.

Pour trouver la loi de g(X, Y), i.e. pour calculer les P(g(X, Y) = z), il suffit de sommer lesP(X = x Y = y) pour tous les x, y tels que g(x, y) = z :

P(g(X, Y) = z) = g(x,y)=z

P(X = x Y = y).

On peut alors appliquer le thorme de transfert

Thorme 6.4.2 : de transfertLa variable alatoire Z = g(X, Y) admet une esprance si et seulement si la srie double g(x, y)P(X = x Y = y) converge absolument, et dans ce cas

E(Z) =


EXERCICE

En se servant du thorme de transfert, montrer la linarit de lesprance

E(X + Y) = E(X) + E(Y).

6.4.1 Somme de deux variables indpendantes

Proposition 6.4.3Si X et Y sont indpendantes, alors

P(X + Y = z) =

On dit alors que la loi de X + Y est le produit de convolution des lois de X de Y.

Dmonstration. On a vu comment trouver la loi de g(X, Y) :

P(X + Y = z) =

=

EXERCICE

On lance deux ds six faces quilibrs, et on regarde la somme S des valeurs indi-ques. Donner la loi de probabilit de S.

On a alors certains rsultats de stabilit.

Proposition 6.4.4Lensemble des lois de Poisson est stable.

Plus prcisemment, soient X P() et Y P(), indpendantes. Alors

X + Y P( + ).


Dmonstration. On a, daprs la formule prcdente

P(X + Y = n) =

=

On sait que P(X = i) = et P(Y = n i) = . Donc

P(X + Y = n) =

En appliquant la formule du binme, on obtient donc bien

P(X + Y = n) =

=

Proposition 6.4.5Lensemble des lois binomiales de probabilit p est stable.

Plus prcisemment, soient X B(m, p) et Y B(n, p) indpendantes. Alors

X + Y

Dmonstration. En revenant la dfinition de loi binomiale :

X correspond au nombre de succs dans la rptition de n preuves de Bernoulliindpendantes de paramtre p

Y correspond au nombre de succs dans la rptition de m preuves de Bernoulliindpendantes de paramtre p

X + Y est donc le nombre de succs dans la rptition de n + m preuves de Bernoulliindpendantes de paramtre p.

6.4.2 Maximum de deux variables

Proposition 6.4.6On a, pour tout z R,

(max(X, Y) z) =


Si X et Y sont indpendantes, on a alors

Fmax(X,Y)(z) =

Dmonstration. Le premier point est vident par dfinition du max.

Si X et Y sont indpendantes, on a alors

Fmax(X,Y)(z) =

=

=

On note que dans le cas du max, cest la fonction de rpartition qui nous donne la loi deprobabilit.

EXERCICE

En procdant de la mme faon, trouver la loi de min(X, Y).

6.5 Covariance et corrlation linaire

Dans cette section, on reprend les variables alatoires discrtes de la section prcdente.

Commenons par essayer de calculer lesprance dun produit de variables alatoires.

Proposition 6.5.1Si X, Y sont indpendantes, alors si X et Y admettent une esprance, alors XY aussi et

E(XY) =

Dmonstration. Daprs le thorme de transfert, il suffit dtudier la convergence et decalculer la somme double

iI,jJ

On a donc

=

=


Comme X et Y admettent une esprance, la somme converge bien, et donc XY admet uneesprance. De plus

iI,jJ

= iI

jJ

= iI

= E(X)E(Y)

EXERCICE

Montrer que, dans le cas o X et Y ne sont pas indpendantes mais admettent unmoment dordre 2, alors XY admet toujours une esprance.

6.5.1 Covariance

Dfinition 6.5.2Si x et Y admettent un moment dordre 2 , on appelle covariance de X et Y le nombre rel

Cov(X, Y) =

NOTA

Daprs lexercice prcdent, puisque X et Y ont un moment dordre 2, XY admet bienune esprance.

NOTA

On note que la covariance dune variable avec elle-mme est gale la variance.

Proposition 6.5.3 : Formule de HyugensSi X et Y admettent un moment dordre 2, alors

Cov(X, Y) =

Dmonstration.

. Cest quivalent dire quelles possdent une variance


La covariance est une fonction bilinaire, symtrique et positive :

Proposition 6.5.4On suppose que X, Y, Z admettent un moment dordre 2. Alors

Symtrie : Bilinarit :

R, R,

Positivit :

Dmonstration. La preuve est triviale en utilisant la linarit de lesprance.

Proposition 6.5.5Si X et Y admettent un moment dordre 2 et sont indpendantes, alors

NOTA

Attention ! La rciproque est fausse. La nullit de la covariance nest en aucun cas unecondition ncessaire et suffisante dindpendance. On pourra retenir le contre-exemplesuivant :Soit Z une variable qui vaut 1 et 1 avec probabilits respectives 12 . Soit X une variablealatoire discrte quelconque admettant une esprance et une variance, indpendantede Z.Alors X et Y = ZX ne sont pas indpendantes, mais

Cov(X, Y) = E(XY) E(X)E(Y) = E(X2Z) E(X)E(ZX) = 0.

On peut sen servir pour calculer, dans le cas dindpendance, la variance dune somme devariables alatoires.

Thorme 6.5.6Si X et Y admettent un moment dordre 2, alors X + Y admet un moment dordre 2, et

V(X + Y) =

En particulier, dans le cas o X et Y sont indpendantes, on a donc

V(X + Y) =. On dit que Z suit la loi de Rademacher


Dmonstration. Il suffit de calculer :

V(X + Y) =

=

=

=

NOTA

Dans le cas o on connat la loi de X+Y, on peut sen servir pour calculer la covariance :

Cov(X, Y) =

On va maintenant dfinir le coefficient de corrlation linaire : ce coefficient sert dterminersi deux mesures alatoires sont corrles ou non.NOTA

Attention ne pas confondre corrlation et causalit. Deux grandeurs peuvent tre trscorrles sans avoir de lien de causalit entre elles (par exemple, la consommation dechocolat et le nombre de prix Nobel dun pays sont trs corrls , mais a priori pas lispar un quelconque effet de causalit. On renvoie le lecteur intress au sophisme Cumhoc ergo propter hoc.

Dfinition 6.5.7On suppose que X et Y admettent une variance non nulle. On appelle coefficient de corr-lation entre X et Y le nombre rel

X,Y =

Commenons par regarder pour quelles variables on ne peut pas calculer le coefficient decorrlation, i.e. les variables de variance nulle.

Proposition 6.5.8La variance dune variable discrte X est nulle si et seulement siDans ce cas, la constante est E(X).

Dmonstration. Le sens rciproque est vident.

. Franz H. Messerli, Chocolate Consumption, Cognitive Function, and Nobel Laureates, The new en-gland journal of medicine.


Supposons donc que V(X) = 0. Par le thorme de transfert,

V(X) =

Comme chaque terme de la somme est positif, chacun est nul :

i I,Donc, pour tous les xi = E(X), on a P(X = xi) = 0, et donc ncessairement P(X = E(X)) =1.

Finalement, les seuls cas o on ne peut pas calculer le coefficient de corrlation sont quandune des deux variables est presque srement constante, ce qui arrive rarement.

Proposition 6.5.9 : Ingalit de Cauchy-SchwarzSi X et Y admettent des moments dordre 2, alors

Dmonstration. Cest une ingalit de Cauchy-Schwarz, aussi on tudie la fonction : t V(tX Y).On a V(tX Y) = : est un

On en dduit donc que 4 Cov(X, Y)2 4V(X)V(Y), et donc le rsultat.

Corollaire 6.5.10Le coefficient de corrlation est un rel de [1, 1].

On remarque que dans la preuve prcdente, on a galit si et seulement si le trinme sannule exactement une fois ; notons a le rel tel que V(aX Y) = 0. Mais alors aX Y estpresque srement constante gale un certain b. On a donc

Proposition 6.5.11Si |X,Y| = 1, alors

Plus prcisemment, a est du signe de

Dmonstration. On a dj vu le premier point.

Dans le cas o Y = aX + b presque srement, on a donc

Cov(X, Y)


Donc Cov(X, Y) et a sont de mme signe.

Finalement, plus le coefficient de corrlation entre deux variables est proche de 1 ou 1,plus la dpendance linaire entre les deux est grande (quand on trace le graphique de luneen fonction de lautre, on a presque une droite). Plus le coefficient est proche de zro,moins les variables sont linairement lies.

En revanche, cela ne nous dit rien sur une ventuelle corrlation quadratique, exponen-tielle, etc.

Le signe du coefficient indique quant lui le sens de corrlation : sil est positif, alors lesvariables voluent dans le mme sens, et sil est ngatif, elles voluent en sens contraire.


6.6 Exercices

Exercice 1. Soient X et Y deux variables alatoires valeurs dans N. On suppose que X suitune loi de Poisson de paramtre > 0 et que la loi de Y sachant X = n est binomialede paramtres n et p ]0, 1[.

a) Dterminer la loi conjointe de (X, Y).

b) Reconnatre la loi de Y.

Exercice 2. Soient X et Y deux variables alatoires valeurs dans N et p ]0, 1[.On suppose que la loi conjointe de X et Y vrifie

P(X = k, Y = n) =

(nk)a

n p(1 p)n si k n0 sinon

avec a R

a) Dterminer la valeur de a.

b) Dterminer la loi marginale de Y.

c) Sachant

x ] 1, 1[,+

n=k

nk

xnk =

1(1 x)k+1

Reconnatre la loi de X

d) Les variables X et Y sont elle indpendantes ?

Exercice 3. Soient X, Y P(). Les variables Z = min(X, Y) et T = max(X, Y) sont-ellesindpendantes ?

Exercice 4. Soient X une variable alatoire dfinie sur un espace probabilis fini (, P) et fune application dfinie sur X(). quelle condition les variables alatoires X et f (X)sont-elles indpendantes ?

Exercice 5. On suppose que le nombre de personnes qui se prsentent lentre dun ci-nma en une heure est une variable alatoire X P().Le cinma comporte N 3 caisses, et on suppose que chaque personne choisit auhasard sa caisse parmi les N. On note, pour i [1, N], Xi le nombre de personnesayant choisi la caisse i.

a) Dterminer la loi de Xi sachant X = n, puis en dduire la loi de Xi.

b) Dterminer, sans calculs, la loi de X1 + X2.

c) En dduire la covariance de X1 et X2.

d) Les variables X1 et X2 sont-elles indpendantes ?Indication : On pourra montrer que pour tous i, j, n tels que n i + j, 1n! (

ni )(

nij ) =

1i!j!(nij)!

e) Calculer le coefficient de corrlation linaire entre X1 et X.


Exercice 6. Soient U, V B(2, 12) indpendantes.

a) On pose S = (U 1)2 + (V 1)2. Dterminer la loi de S.b) On pose T = (U 1)(V 1) + 1. Calculer E(S(T 1)).c) Dterminer la loi de T.

d) Calculer la covariance de S et T. Sont-elles indpendantes ?

Exercice 7. Soient X et Y deux variables de Bernoulli.

a) Montrer que |Cov(X, Y)| 14 .b) Montrer quelles sont indpendantes si et seulement si leur covariance est nulle.

Exercice 8. Soient X, Y deux variables alatoires discrtes, indpendantes, admettant lamme esprance M = 0 et la mme variance V = 0.

a) Calculer lesprance et la variance de XY en fonction de M et V.

b) Les variables X + Y et XY sont-elles indpendantes ?

Exercice 9. On considre une urne contenant n boules numrotes de 1 n. On effectuedeux tirages indpendants avec remise, et on note X le numro de la premire bouleet Y celui de la seconde.

On note I le plus petit numro des deux, et S le plus grand.

a) Donner les lois de I et S.

b) Calculer les esprances, puis les variances de I et S.

c) Calculer V(I + S) et fonction de V(X) et V(Y). En dduire le coefficient de corr-lation linaire de I et S.

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