3ème Maths Chapitre :Trigonometrie

1

Exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct )j,i,O( .

1. Représenter sur le cercle trigonométrique, l’ensemble des points M tels que :

2πOM,i

et ].,],2

3sin

2

2

2. Résoudre dans l’intervalle] –π, π], puis dans l’intervalle] 0, 2π], .2

3sin

2

2

Correction

1/ ].,],2

3sin

2

2

𝑀 ∈ [AB̂] ∪ [𝐶�̂�] (les arcs en bleu)

2π4

OA,i

et 2π3

OB,i

2/

],3

2[]

3,

4[]

4

3,]S ],]

]2,4

7[]

4

5,

3

2[]

3,0]S ]2,0]

Exercice 2

- Le plan est muni d'un repère orthonormé direct )j,i,O( .

1. Représenter sur le cercle trigonométrique, l’ensemble des points M tels que :

2πOM,i

et ].,],2

2cos

2

1

2. Résoudre dans l’intervalle] –π, π], puis dans l’intervalle] 0, 2π], .2

2cos

2

1

Correction

.2

2cos

2

1

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2

𝑀 ∈ [AB̂] ∪ [𝐶�̂�] (les arcs en bleu)

2π4

OA,i

et 2π3

OB,i

- 2/

]3

2,

4[]

4,

3

2[S ],]

]4

7,

3

4[]

3

2,

4[S ]2,0]

Exercice 3 3


1.Représenter sur le cercle trigonométrique, l’ensemble des points M tels que :

2πOM,i

et ].,],3tan

2. Résoudre dans l’intervalle] –π, π], puis dans dans l’intervalle] 0, 2π], .3tan

Correction

𝑀 ∈ [AB̂] ∪ [𝐶�̂�] \{A,B,C,D}

2π3

OD,i

3

2/

],2

][3

,2

][3

2,]S ],]

]2,2

3][

3

4,

2][

3,0]S ]2,0]

Exercice 4


1. Représenter l’ensemble des points M de coordonnées polaires (r, θ).

a. ;

]5,2[r

4

3

b.

]4,2[r

6 ;c.

4r

]3

,2

] ;d.

3r

]6

5,

4]

Correction

5OM2

4

3)OM,i(

]5,2[r

4

3

]AB[M avec (AB) d’équation : y=-x

4

b/ Ay

2

3

1

6tan

donc

3

2yA

)3

2,2(A

4OM2

6)OM,i(

]4,2[r

6

]AB[M avec (AB) d’équation : x3

2y

c/ 𝑀 ∈ [AB̂] \{A}

5

d/ 𝑀 ∈ [AB̂] \{A}

Exercice 5


Déterminer et représenter l’ensemble des points M de coordonnées polaires 0r),3

,r(

2. Déterminer et représenter l’ensemble des points M de coordonnées polaires (4, θ), θ ∈ ]–π, π].

Correction 1/

2π3

OM,i

𝑀 ∈ [𝑂𝐴) \{O}

6

2/A appartient au cercle de centre O et de rayon 4

Exercice 6


Déterminer les coordonnées polaires du point M défini par ses coordonnées cartésiennes.

a. )3,1(M ; b. )4,4(M ; c. )0,3(M

d. )2,0(M ; e. )1,3(M

Correction a/

)3,1(M

24)3(1OMr 22

]2[3

2

3sin

2

1cos

M est de coordonnées polaires )3

,2(

b/

)4,4(M

2432)4(4OMr 22

]2[4

2

2

24

4sin

2

2

24

4cos


,24(

c/ )0,3(M

7

M est de coordonnées polaires )0,3(

d/

)2,0(M

M est de coordonnées polaires )2,0(

e/

)3,1(M

241)3(OMr 22

]2[6

2

1sin

2

3cos


,2(

Exercice 18 Soit x un réel.

1. Montrer que )3

xcos(2xsinxcos3

2. Résoudre dans l'équation 2xsinxcos3

Correction

1/ xsinxcos3)xsin2

1xcos

2

3(2)

3sinxsin

3cosx(cos2)

3xcos(2

2/

2xsinxcos3 2)3

xcos(2

2

2)

3xcos(

4cos)

3xcos(

zk,k246

x

ou

zk,k246

x

zk,k212

5x

ou

zk,k212

x

}zk,k212

{}zk,k212

5{SIR

Exercice 19 1. Vérifier que pour tous réel x, x2sin1)xsinx(cos 2

2. Soit x un réel appartenant à ]2

,0[

vérifiant 2

2xsinxcos

a. Calculer sin2x

b. En déduire x

Correction a.

x2sin1xsinxcos21xsinxsinxcos2xcos)xsinx(cos 222

2/

8

2

2xsinxcos Signifie

2

1xsinxcos Signifie

2

1x2sin1

2

1x2sin1

2

1x2sin

b.

2

1x2sin

6sinx2sin

zk,k26

x

ou

zk,k26

x2

zk,k12

5x

ou

zk,k12

x

}12

5,

12{S

]2

,0[

Exercice 20 Soit x un réel appartenant à ]– π, π].

1. Déterminer x sachant que 7

2sinxsin

et 0xcos

2. Déterminer x sachant que 9

4cosxcos

et 0xsin

Correction 1.

7

2sinxsin

zk,k27

2x

ou

zk,k27

2x

zk,k7

5x

ou

zk,k7

2x

Comme x appartient à ]– π, π] alors 7

2x

ou

7

5x

cosx>0 alors }7

2{S ],]

2.

9

4cosxcos

zk,k29

4x

ou

zk,k29

4x

Comme x appartient à ]– π, π] alors 9

4x

ou

9

4x

sinx>0 alors }9

4{S ],]

9

Exercice 21 Résoudre dans [0, 2π[, chacune des équations ci-dessous.

2

1xcos.a )

3x2cos(xcos.b

x3cosxcos.c 02xcos3xcos2.d 2

Correction

2

1xcos.a

[2,0[x

2

1xcos

3

2x

ou

3

4x

)x23

2cos())

3x2(cos()

3x2cos(xcos.b

)x23

2cos(xcos

zk,k2)x23

2(x

ou

zk,k2x23

2x

zk,k23

2x

ou

zk,k23

2x3

zk,k23

2x

ou

zk,k3

2

9

2x

zk,k3

2

9

2x

et [2,0[x

2k3

2

9

20

2

9

2k

3

2

9

2

9

16k

3

2

9

2

3

8k

3

1

}2,1,0{k

Pour k=0 , 9

2x

Pour k=1 , 9

8

3

2

9

2x

Pour k=2 , 9

14

3

4

9

2x

}9

14,

9

8,

3

2,

9

2{S ]2,0[

xcosx3cos.b

zk,k2xx3

ou

zk,k2xx3

zk,k2x4

ou

zk,k2x2

zk,2

kx

ou

zk,kx

zk,2

kx

et [2,0[x

10

22

k0 4k0

}3,2,1,0{k

Pour k=0 , 0x

Pour k=1 , 2

x

Pour k=2 , x

Pour k=3 , 2

3x

}2

3,,

2,0{S ]2,0[

b)2cos²x + 3cosx – 2= 0.

On pose t=cos x l’equation devient :

2t2 + 3t – 2= 0.

= b2 – 4ac= 25

2

1

4

53

a2

b't

24

53

a2

b''t

impossible 2 = xcos

zk,2k3

- =ou x zk , 2k3

= xsignifie 2

1 = xcos

Donc

3

5,

3S ],0[

Exercice 22 Résoudre dans]- π, π], chacune des équations ci-dessous.

2

2xsin.a 1x2sin.b

)3

xsin(x2sin.c

)6

x2cos(x3sin.d

Correction

2

2xsin.a

4

3x

ou

4x

1x2sin.b zk,k22

x2

zk,k4

x

zk,k4

x

et ],]x

k4

k4

4

5k

4

3

4

5k

4

3

}1,0{k

11

Pour k=0 , 4

x

Pour k=1 , 4

3x

}4

3,

4{S ],]

)3

xsin()3

xsin(x2sin.c

zk,k23

xx3

ou

zk,k23

xx2

zk,k23

4x

ou

zk,k23

x3

zk,k23

4x

ou

zk,3

k2

9x

zk,3

k2

9x

et ],]x

3

k2

9

9

10

3

k2

9

8

3

5k

3

4

}1,0,1{k

Pour k=-1 , 9

7x

Pour k=0 , 9

x

Pour k=1 , 9

5x

}3

4,

9

5,

9,

9

7{S ],]

)3

2x2sin())

6x2(

3sin()

6x2cos(x3sin.b

zk,k23

2x2x3

ou

zk,k23

2x2x3

zk,k23

x

ou

zk,k23

2x5

zk,k23

x

ou

zk,5

k2

15

2x

zk,5

k2

15

2x

et ],]x

5

k2

15

2

15

13

5

k2

15

17

6

13k

6

17

}2,1,0,1,1,2{k

Pour k=-2 , 3

2

15

10x

Pour k=-1 , 15

4x

12

Pour k=0 , 15

2x

Pour k=1 , 15

8x

Pour k=2 , 15

14x

}15

14,

15

8,

3,

15

2,

15

4,

3

2{S ],]

Exercice 23

Résoudre dans]- π/2, π/2], chacune des équations ci-dessous.

3xtan.a 1)2

xtan(.b

2)xtan(xtan.c

Correction

3xtan.a

[2

,2

]x

3xtan zkk

3x

}3

{S[

2,

2]

}Zk,k3

{SIR

1)2

xtan(.b

4

tan)2

xtan(

[2

,2

]x

zk,k42

x

[2

,2

]x

zk,k4

x

}4

{S[

2,

2]

}Zk,k4

{SIR

2)xtan(xtan.c 2)xtan(xtan 2xtan2 1xtan )4

tan(xtan

[2

,2

]x

zk,k4

x

}4

{S[

2,

2]

}Zk,k4

{SIR

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