Chapitre 4 : Les angles

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Chapitre 4 : Les angles 1. Rappels Définition : Notation : Angles particuliers : 0 α= ° 90 α= ° 180 α= ° 360 α= °

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Chapitre 4 : Les angles

1. Rappels Définition :

Notation :

Angles particuliers :

0α = °

90α = °

180α = ° 360α = °

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Chapitre 4 – Les angles

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Angles aigus – Angles obtus

Angles saillants – Angles rentrants

Les angles sont mesurés à l’aide du

rapporteur :

0 90° ≤ α < ° 90 180° < α < °

0 180° ≤ α < °

180 360° < α ≤ °

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2. Bissectrice d’un angle

Construction de la bissectrice avec un compas et une règle (non graduée) :

- Puis on trace deux arcs de cercle de même rayon, l’un de centre A, l’autre de centre B

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3. Angles adjacents – complémentaires – supplémentaires

et sont adjacents

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4. Angles opposés par le sommet Définition :

Deux angles sont opposés par le sommet si :

Propriété 1 :

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5. Angles correspondants

Propriété 2

Réciproque de la propriété 2

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6. Angles alternes-internes

Propriété 3

Réciproque de la propriété 3

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7. Rappels sur les triangles

Démonstration : Soit ABC un triangle

quelconque.

Il faut montrer que : 180A B C+ + = ° . On

prolonge le côté [ ]AB et on mène par le

sommet B la droite ( )BE parallèle au côté

opposé[ ]AC .

• Les angles C ACB= et CBE sont égaux car ils sont alternes-internes par

rapport aux parallèles (AC), (BE) et à la sécante (BC) ;

• les angles A CAB= et EBD sont aussi égaux car ils sont correspondants par

rapport aux mêmes parallèles et à la sécante (AB).

• Donc :

180

A CAB

EB

B ABC

AB

C ACB

CBE

ABD

D C

+ + = + +

= + +

= = °

Triangles particuliers

a) Triangle isocèle : c’est un triangle

ayant 2 côtés de même longueur

Propriétés :

AB=AC

Propriété des angles d’un triangle :

La somme des trois angles d’un triangle quelconque est 180° .

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b) Triangle équilatéral : c’est un triangle ayant 3 côtés de même longueur

Propriétés

c) Triangle rectangle : c’est un triangle ayant 2 côtés perpendiculaires

Propriété : Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.

Démonstration. Soit ABC un triangle rectangle en A, comme sur la figure ci-dessus.

Comme 180A B C+ + = ° et 90A = ° , on a 90B C+ = ° , c.-à-d. B et C sont

complémentaires.

AB = BC = CA

Si un triangle a 3 angles égaux, alors il est équilatéral.

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8. Quadrilatères

Démonstration : Soit ABCD un quadrilatère quelconque, convexe (figure 1) ou

concave (figure 2).

Il faut montrer que : 360A B C D+ + + = ° .

On partage le quadrilatère en deux triangles, à l’aide de la diagonale [AC].

La somme des angles du triangle ABC est 180° :

1 1 180A B C+ + = °

La somme des angles du triangle ADC est 180° :

2 2 180A D C+ + = °

Donc, en faisant la somme de tous les angles :

( ) ( )

1 1 2 2

1 2 1 2

360

360

360

A B C A D C

A A B C C D

A B C D

+ + + + + = °

⇔ + + + + + = °

⇔ + + + = °

Propriétés des angles d’un parallélogramme :

Démonstration : exercice

Propriété des angles d’un quadrilatère :

La somme des 4 angles d’un quadrilatère quelconque est 360° .

quadrilatère convexe : toutes les diagonales sont à l’intérieur

quadrilatère concave : l’une des diagonales (ici [BD]) est à l’extérieur

Dans un parallélogramme ABCD :

• deux angles opposés sont égaux, donc : A C= et B D=

• deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc p.ex. : 180A B+ = ° .