Chapitre 4 : Les angles
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Chapitre 4 : Les angles
1. Rappels Définition :
Notation :
Angles particuliers :
0α = °
90α = °
180α = ° 360α = °
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Angles aigus – Angles obtus
Angles saillants – Angles rentrants
Les angles sont mesurés à l’aide du
rapporteur :
0 90° ≤ α < ° 90 180° < α < °
0 180° ≤ α < °
180 360° < α ≤ °
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2. Bissectrice d’un angle
Construction de la bissectrice avec un compas et une règle (non graduée) :
- Puis on trace deux arcs de cercle de même rayon, l’un de centre A, l’autre de centre B
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3. Angles adjacents – complémentaires – supplémentaires
et sont adjacents
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4. Angles opposés par le sommet Définition :
Deux angles sont opposés par le sommet si :
Propriété 1 :
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5. Angles correspondants
Propriété 2
Réciproque de la propriété 2
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6. Angles alternes-internes
Propriété 3
Réciproque de la propriété 3
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7. Rappels sur les triangles
Démonstration : Soit ABC un triangle
quelconque.
Il faut montrer que : 180A B C+ + = ° . On
prolonge le côté [ ]AB et on mène par le
sommet B la droite ( )BE parallèle au côté
opposé[ ]AC .
• Les angles C ACB= et CBE sont égaux car ils sont alternes-internes par
rapport aux parallèles (AC), (BE) et à la sécante (BC) ;
• les angles A CAB= et EBD sont aussi égaux car ils sont correspondants par
rapport aux mêmes parallèles et à la sécante (AB).
• Donc :
180
A CAB
EB
B ABC
AB
C ACB
CBE
ABD
D C
+ + = + +
= + +
= = °
Triangles particuliers
a) Triangle isocèle : c’est un triangle
ayant 2 côtés de même longueur
Propriétés :
AB=AC
Propriété des angles d’un triangle :
La somme des trois angles d’un triangle quelconque est 180° .
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b) Triangle équilatéral : c’est un triangle ayant 3 côtés de même longueur
Propriétés
c) Triangle rectangle : c’est un triangle ayant 2 côtés perpendiculaires
Propriété : Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires.
Démonstration. Soit ABC un triangle rectangle en A, comme sur la figure ci-dessus.
Comme 180A B C+ + = ° et 90A = ° , on a 90B C+ = ° , c.-à-d. B et C sont
complémentaires.
AB = BC = CA
Si un triangle a 3 angles égaux, alors il est équilatéral.
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8. Quadrilatères
Démonstration : Soit ABCD un quadrilatère quelconque, convexe (figure 1) ou
concave (figure 2).
Il faut montrer que : 360A B C D+ + + = ° .
On partage le quadrilatère en deux triangles, à l’aide de la diagonale [AC].
La somme des angles du triangle ABC est 180° :
1 1 180A B C+ + = °
La somme des angles du triangle ADC est 180° :
2 2 180A D C+ + = °
Donc, en faisant la somme de tous les angles :
( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2
360
360
360
A B C A D C
A A B C C D
A B C D
+ + + + + = °
⇔ + + + + + = °
⇔ + + + = °
Propriétés des angles d’un parallélogramme :
Démonstration : exercice
Propriété des angles d’un quadrilatère :
La somme des 4 angles d’un quadrilatère quelconque est 360° .
quadrilatère convexe : toutes les diagonales sont à l’intérieur
quadrilatère concave : l’une des diagonales (ici [BD]) est à l’extérieur
Dans un parallélogramme ABCD :
• deux angles opposés sont égaux, donc : A C= et B D=
• deux angles consécutifs sont supplémentaires, donc p.ex. : 180A B+ = ° .