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Cours de mathématiques ECT 2ème année Chapitre 2 Famille de variables aléatoires finies Adrien Fontaine Année scolaire 2018–2019

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Cours de mathématiques

ECT 2ème année

Chapitre 2

Famille de variables aléatoiresfinies

Adrien Fontaine

Année scolaire 2018–2019

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Dans tout ce chapitre Ω désigne un univers fini. Ainsi, les variables aléatoires considéréesprennent un nombre fini de valeurs.

1. COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES FINIES

1.1. Loi d’un couple de variables aléatoires

Définition 1 :

On appelle couple de variables aléatoires, tout couple (X,Y) où X et Y désignent deux variablesaléatoires définies sur un même espace.

Exemples :

1. On lance deux dés équilibrés à 6 faces (l’un est bleu, l’autre blanc). On appelle X (res-pectivement Y) le numéro obtenu avec le dé bleu (respectivement blanc). Comme Xet Y sont des variables aléatoires, alors (X,Y) est un couple de variables aléatoires.

2. On lance les mêmes dés que dans l’exemple précédent. Cette fois, on appelle X le pluspetit des deux numéros obtenus et Y le plus grand numéro obtenu (si les numérossont égaux, X et Y prennent la valeur commune). Comme X et Y sont des variablesaléatoires, alors (X,Y) est un couple de variables aléatoires.

Définition 2 :

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. On appelle loi conjointe du couple (X,Y) la donnéedes probabilités P([X = x]∩ [Y = y]) pour tout (x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω).

Méthode 1 : Donner la loi conjointe d’un couple de variables aléatoires

• On donne les ensembles X(Ω) et Y(Ω) des valeurs prises par X et Y.• On calcule toutes les probabilités P([X = x]∩ [Y = y]) pour tout (x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω).

On résume souvent les résultats sous la forme d’un tableau.

Exemples : Donnons la loi conjointe des couples (X,Y) pour les deux exemples ci-dessus :

1.

X = 1 X = 2 X = 3 X2 = 4 X = 5 X = 6

Y = 1 136

136

136

136

136

136

Y = 2 136

136

136

136

136

136

Y = 3 136

136

136

136

136

136

Y = 4 136

136

136

136

136

136

Y = 5 136

136

136

136

136

136

Y = 6 136

136

136

136

136

136

Autrement, pour tout k et l appartenant à J1;6K, on a P([X = k]∩ [Y = l ]) = 136 .

2. Tout d’abord, il est clair que X ne peut être plus grand que Y. Ainsi, si k > l , alorsP([X = k]∩ [Y = l ]) = 0.Par ailleurs, notons A le résultat du dé bleu et B le résultat du dé blanc. Pour k < l , ona :

P([X = k]∩ [Y = l ]) =P([A = k]∩ [B = l ])+P([A = l ]∩ [B = k]) =1

36+

1

36=

2

36=

1

18

2

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Enfin, si k = l , alorsP([X = k]∩[Y = l ]) = 136 . On en déduit le tableau de la loi conjointe :

X = 1 X = 2 X = 3 X2 = 4 X = 5 X = 6

Y = 1 136 0 0 0 0 0

Y = 2 236

136 0 0 0 0

Y = 3 236

236

136 0 0 0

Y = 4 236

236

236

136 0 0

Y = 5 236

236

236

236

136 0

Y = 6 236

236

236

236

236

136

Remarque :

• On abrège souvent « loi conjointe du couple » en « loi du couple ».• On note parfois P([X = x], [Y = y]) au lieu de P([X = x]∩ [Y = y]), ou, encore plus sim-

plement P(X = x,Y = y).

1.2. Lois marginales

Définition 3 :

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. La loi de X est appelée première loi marginale ducouple, et celle de Y est appelée deuxième loi marginale du couple.

Proposition 1 :

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur Ω. On a les résultats suivants :• Pour tout réel x ∈ X(Ω), on a :

P(X = x)=∑

y∈ΩP(X = x,Y = y)

• Pour tout réel y ∈ Y(Ω), on a :

P(Y = y)=∑

x∈X(Ω)P(X = x,Y = y)

Méthode 2 : Comment déterminer les lois marginales avec la loi du couple?

Une fois que l’on a déterminé la loi du couple, on peut déterminer les lois marginales. La loi de Xs’écrit par exemple :

∀x ∈ X(Ω) , P(X = x) =∑

y∈Y(Ω)P(X = x,Y = y)

Lorsque la loi d’un couple (X,Y) est donnée sous la forme d’un tableau à double entrée, on obtientles lois de X et de Y en sommant les éléments d’une même ligne ou d’une même colonne, selon lescas.

Exemples : Déterminer les lois marginales des variables aléatoires X et Y pour les deuxexemples ci-dessus :

1. Pour obtenir la loi de X, on fait la somme de chacune des colonnes. On obtient :

xi 1 2 3 4 5 6

P(X = xi ) 16

16

16

16

16

16

3

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Pour obtenir la loi de Y, on fait la somme de chacune des lignes. On obtient :

xi 1 2 3 4 5 6

P(Y = xi ) 16

16

16

16

16

16

2. Pour obtenir la loi de X, on fait la somme de chacune des colonnes. On obtient :

xi 1 2 3 4 5 6

P(X = xi ) 116

936

736

536

336

136

Pour obtenir la loi de Y, on fait la somme de chacune des lignes. On obtient :

xi 1 2 3 4 5 6

P(Y = xi ) 136

36

536

736

936

1136

Remarque : On ne peut en revanche pas obtenir, en général, la loi conjointe du couple (X,Y)à partir des lois de X et Y.

1.3. Lois conditionnelles

Définition 4 : Loi conditionnelle

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. Pour tout y ∈ Y(Ω) tel que P(Y = y) 6= 0), on appelle loide X conditionnellement à l’évènement [Y = y] la donnée de

P[Y=y ]([X = x])=P([X = x]∩ [Y = y])]

P(Y = y)

pour tout x ∈ X(Ω).

Remarque :

• On dit aussi « loi conditionnelle de X sachant que [Y = y] est réalisé » ou plus simple-ment « loi de X sachant [Y = y] ».

• On définit de manière similaire la loi conditionnelle de Y sachant [X = x].

Exemples : Dans les deux exemples ci-dessus, on aP(Y = 1) 6= 0. Déterminer alors la loi condi-tionnelle de X sachant [Y = 1] dans les deux cas :

1. On a vu que l’on a P(Y = 1) = 16 et que pour tout k ∈ J1;6K, P([X = k]∩ [Y = 1]) = 1

36 . Ona donc, pour tout k ∈ J1;6K :

P[Y=1]([X = k]) =

1

361

6

=1

36×

6

1=

1

6

Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :

xi 1 2 3 4 5 6

P[Y=1](X = xi ) 16

16

16

16

16

16

4

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2. On a vu que l’on a P(Y = 1) = 136 et que pour tout k ∈ J2;6K, P([X = k]∩ [Y = 1]) = 0. On

a donc, pour tout k ∈ J2;6K :

P[Y=1]([X = k]) =01

36

= 0

Par ailleurs, P([X = 1]∩ [Y = 1]) =1

36donc

P[Y=1]([X = 1]) =

1

361

36

= 1

Ce que l’on peut résumer par le tableau suivant :

xi 1 2 3 4 5 6

P[Y=1](X = xi ) 1 0 0 0 0 0

Proposition 2 : Loi marginale et loi conditionnelle

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. Si l’on connaît la loi marginale de Y, ainsi que la loiconditionnelle de X sachant [Y = y], alors la loi de X est déterminé par :

∀x ∈ X(Ω) , P(X = x)=∑

y∈Y(Ω)P(Y = y)P[Y=y ](X = x)

Exemple : On a calculé la loi conditionnelle de X sachant [Y = 1]. Si on calculait les lois condi-tionnelles de X sachant [Y = 2], [Y = 3] , etc, dans les deux exemples précédents, alors onpourrait retrouver la loi marginale de X grâce à la proposition ci-dessus.

1.4. Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 5 : Indépendance

On dit que deux variables aléatoires discrètes X et Y sont indépendantes lorsque :

∀(x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω) , P(X = x,Y = y)=P(X = x)P(Y = y)

Remarque : Ainsi, dans le cas de deux variables aléatoires indépendantes, on peut détermi-ner la loi du couple (X,Y) à partir des lois de X et de Y.

Exemples : Tester l’indépendance des variables aléatoires X et Y pour les deux exemples ci-dessus :

1. Il est clair, au vu du tableau de la loi conjointe, et des tableaux des lois marginales, quel’on a pour tout k et l appartenant à J1;6K,

P([X = k]∩ [Y = l ]) =P([X = k])×P([Y = l ])

Ainsi, les variables aléatoires X et Y sont indépendantes.

5

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2. On a :P([X = 2]∩ [Y = 1]) = 0

Mais,

P([X = 2]) =9

36et P([Y = 1]) =

1

36On a donc

P([X = 2]∩ [Y = 1]) 6=P([X = 2])×P([Y = 1])

Ainsi, les variables X et Y ne sont pas indépendantes.

Proposition 3 :

SI l’une des deux variables aléatoires X ou Y est constante, alors X et Y sont indépendantes.

2. ESPÉRANCE

2.1. Espérance d’une somme

Proposition 4 :

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur Ω. On a l’égalité suivante :

E(X+Y) = E(X)+E(Y)

Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur J1;9K et Y une variablealéatoire qui suit la loi binomiale B(8, 1

4 ). Calculer l’espérance de la variable aléatoire Z =X+Y.

Puisque X suit la loi uniforme sur J1;9K, on a E(X) =9+1

2= 5. Par ailleurs, puisque Y suit la

loi binomiale B(8, 14 ), on a E(Y) = 8×

1

4= 2. Ainsi,

E(Z) = E(X)+E(Y) = 5+2= 7

Proposition 5 : Linéarité de l’espérance

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur Ω et a et b deux réels. On a l’égalité suivante :

E(aX+bY)= aE(X)+bE(Y)

Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur J1;12K et Y une variablealéatoire qui suit la loi binomiale B(7, 1

3 ).Calculer l’espérance de la variable aléatoire Z = 2X−Y.

On a E(X) =12+1

2=

13

2et E(Y) = 7×

1

3=

7

3. Ainsi,

E(Z) = 2E(X)−E(Y) = 2×13

2−

7

3= 13−

7

3=

39

3−

7

3=

32

3

6

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2.2. Espérance d’un produit

Proposition 6 :

Soient X et Y deux variables aléatoires définies sur Ω. On a l’égalité suivante :

E(XY) =∑

(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)x y P(X = x,Y = y)

Exemple :

• Un sac contient 4 boules numérotées de 1 à 4. On effectue deux tirages successifsd’une boule, avec remise. On note X1 le numéro de la première boule, X2 le numérode la deuxième boule et Y le plus grand des deux numéros obtenus. Compléter lestableaux suivants, donnant les lois des couples (X1,X2) et (X1,Y) :

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4

X1 = 1 116

116

116

116

X1 = 2 116

116

116

116

X1 = 3 116

116

116

116

X1 = 4 116

116

116

116

Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4

X1 = 1 116

116

116

116

X1 = 2 0 216

116

116

X1 = 3 0 0 316

116

X1 = 4 0 0 0 416

En déduire E(X1X2) et E(X1Y).

E(X1X2) = 1×1×1

16+1×2×

1

16+·· ·+4×4×

1

16

=1+2+3+4+2+4+6+8+3+6+9+12+4+8+12+16

16

=100

16=

25

4

E(X1Y) = 1×1×1

16+1×2×

1

16+·· ·+4×4×

4

16

=1+2+3+4+8+6+8+27+12+64

16

=135

16

• Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires discrètes tel que :

∀(i , j ) ∈ J1;2K2 , P(X = i ,Y = j ) =

i4 si i = j14 si i < j

0 si i > j

Calculer E(XY).Récapitulons la loi de (X,Y) dans un tableau :

Y = 1 Y = 2

X = 1 14

14

X = 2 0 12

7

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On a donc :

E(XY) = 1×1×1

4+1×2×

1

4+2×1×0+2×2×

1

2

=1+2+8

4

=11

4

Proposition 7 :

Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On a l’égalité suivante :

E(XY) = E(X)E(Y)

Exemple : On reprend l’exemple ci-dessus : un sac contient 4 boules numérotées de 1 à 4.On effectue deux tirages successifs d’une boule, avec remise. On note X1 le numéro de lapremière boule, X2 le numéro de la deuxième boule et Y le plus grand des deux numérosobtenus.

1. Déterminer les lois marginales de X1, X2 et Y.Grâce aux tableaux des lois conjointes de (X1,X2) et de (X1,Y), on obtient les tableauxdes lois marginales de X1, X2 et Y :

xi 1 2 3 4

P(X1 = xi ) 14

14

14

14

xi 1 2 3 4

P(X2 = xi ) 14

14

14

14

xi 1 2 3 4

P(Y = xi ) 116

316

516

716

2. En déduire les valeurs de E(X1), E(X2) et E(Y).On a donc :

E(X1) = 1×1

4+2×

1

4+3×

1

4+4×

1

4=

10

4=

5

2

E(X2) = 1×1

4+2×

1

4+3×

1

4+4×

1

4=

10

4=

5

2

E(Y) = 1×1

16+2×

3

16+3×

5

16+4×

7

16=

50

16=

25

8

3. Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indépendantes? Et les variables X1 et Y ?Les variables X1 et X2 sont indépendantes. En effet, on peut facilement vérifier quepour tout k et l dans J1;4K, on a :

P([X1 = k]∩ [X2 = l ]) =P([X1 = k])×P([X2 = l ])

Par ailleurs, on a vu que

E(X1Y) =135

166= E(X1)×E(Y) =

5

25

8=

125

16

Donc, les variables X1 et Y ne sont pas indépendantes.

8

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BATTENTION !B

On peut avoir l’égalité E(XY) = E(X)E(Y) sans que X et Y ne soient indépendantes.

3. COVARIANCE, CORRÉL ATION LINÉAIRE

3.1. Covariance de deux variables aléatoires

Définition 6 : Covariance

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. On appelle covariance de X et Y, le réel, noté Cov(X,Y),défini par :

Cov(XY)= E ((X−E(X)) (Y−E(Y)))

Théorème 1 : Formule de Huygens

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires. On a :

Cov(X,Y)= E(XY)−E(X)E(Y)

Preuve. On développe le produit à l’intérieur de l’espérance :

E((X−E(X))(Y−E(Y))) = E(XY−XE(Y)−E(X)Y+E(X)E(Y))

= E(XY)−E(X)E(Y)−E(X)E(Y)+E(X)E(Y)

= E(XY)−E(X)E(Y)

Méthode 3 : Comment calculer directement une covariance?

Pour calculer la covariance de deux variables aléatoires X et Y :• on calcule E(XY), E(X) et E(Y) ;• on applique la formule de Huygens.

Exemples : On reprend les deux exemples de la partie 2.21. Calculer Cov(X1,X2) et Cov(X1,Y).

On a :

Cov(X1,X2) = E(X1X2)−E(X1)E(X2) =25

4−

5

5

2= 0

Cov(X1,Y) = E(X1Y)−E(X1)E(Y) =135

16−

5

25

8=

135

16−

125

16=

10

16=

5

8

2. Calculer Cov(X,Y).À partir du tableau de la loi conjointe, on en déduit les lois marginales de X et Y :

xi 1 2

P(X = xi ) 12

12

xi 1 2

P(Y = xi ) 14

34

On en déduit :

E(X) = 1×1

2+2×

1

2=

3

2E(Y) = 1×

1

4+2×

3

4=

7

4

9

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Dès lors,

Cov(X,Y)= E(XY)−E(X)E(Y) =11

4−

3

7

4=

22

8−

21

8=

1

8

Proposition 8 : Propriétés de la covariance

• La covariance est symétrique :Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

• Lien entre la covariance et la variance :

Cov(X,X)=V(X)

• Si a ∈R, alorsCov(X, a)= 0

Proposition 9 : Linéarité à gauche et à droite de la covariance

Pour tout (a,b)∈R2, on a :

Cov(aX1+bX2,Y) = aCov(X1,Y)+bCov(X2,Y)

Cov(X, aY1+bY2) = aCov(X,Y1)+bCov(X,Y2)

Proposition 10 :

Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, alors Cov(X,Y)= 0.

Remarque :

• C’est une conséquence directe de la Proposition 7.• La réciproque est fausse. On peut avoir Cov(X,Y) = 0 sans que X et Y ne soient indé-

pendantes.

3.2. Variance d’une somme

Proposition 11 :

Soient X et Y deux variables aléatoires. On a :

V(X+Y) =V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)

Méthode 4 : Comment calculer la variance d’une somme?

Il y a deux options :• Si on connaît la loi de la somme X+Y, on peut calculer la variance avec la formule de König-

Huygens :V(X+Y) = E((X+Y)2)−E(X+Y)2

• Si on ne connaît pas la loi de la somme X+Y, on utilise la formule précédente :

V(X+Y) =V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)

Exemples : On reprend les deux exemples de la partie 2.2

10

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1. Calculer V(X1 +X2) et V(X1 +Y).On a :

V(X1 +X2) =V(X1)+V(X2)+2Cov(X1,X2)

On connaît déjà Cov(X1,X2). Il nous reste à calculer V(X1) et V(X2). D’après la formulede König-Huygens,

V(X1) = E(X21)−E(X1)2

V(X2) = E(X22)−E(X2)2

Il nous reste donc à calculer E(X21) et E(X2

2). On a :

E(X21) = E(X2

2) = 12 ×1

4+22 ×

1

4+ +42 ×

1

4=

30

4=

15

2

Ainsi, V(X1) =V(X2) =15

2−

(

5

2

)2

=5

4. Et donc,

V(X1 +X2) =5

4+

5

4+2×0=

10

4=

5

2

De même, pour calculer V(X1+Y), il nous faut calculer V(Y). Pour cela, on commencepar calculer E(Y2) :

E(Y2) = 12 ×1

16+22 ×

3

16+32 ×

5

16+42 ×

7

16=

170

16=

85

8

Dès lors, d’après la formule de König-Huygens,

V(Y) = E(Y2)−E(Y)2 =85

8−

(

25

8

)2

=55

64

Et donc,

V(X1 +Y) =5

4+

55

64+2×

5

8=

215

64

2. Calculer V(X+Y)).On a :

E(X2) = 12 ×1

2+22 ×

1

2=

5

2et E(Y2) = 12 ×

1

4+22 ×

3

4=

13

4Dès lors,

V(X) = E(X2)−E(X)2 =5

2−

(

3

2

)2

=1

4

V(Y) = E(Y2)−E(Y)2 =13

4−

(

7

4

)2

=3

16

Et donc,

V(X+Y) =V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) =1

4+

3

16+2×

1

8=

11

16

Remarque : À noter que l’on peut également calculer la covariance de X et Y à l’aide deV(X+Y), V(X) et de V(Y) puisque :

Cov(X,Y) =V(X+Y)−V(X)−V(Y)

2

11

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Cours de mathématiques ECT2

Proposition 12 :

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires indépendantes. Alors :

V(X+Y) =V(X)+V(Y)

3.3. Coefficient de corélation linéaire

Définition 7 : Coefficient de corrélation linéaire

On appelle coefficient de corrélation linéaire de X et Y, le réel :

ρ(X,Y) =Cov(X,Y)

pV(X)

pV(Y)

Exemples : On reprend les deux exemples de la partie 2.21. Calculer ρ(X1,X2) et ρ(X1,Y).

On a :

ρ(X1,X2) =Cov(X1,X2)

pV(X1)

pV(X2)

=0

5

5

4

= 0

ρ(X1,Y) =Cov(X1,Y)

pV(X1)

pV(Y)

=

5

8√

5

55

64

=

5

85p

11

16

=5

16

5p

11=

2p

11

2. Calculer ρ(X,Y).On a :

ρ(X,Y) =

1

8√

1

3

16

=

1

8p3

8

=1p

3

Proposition 13 :

Soient X et Y deux variables aléatoires :∣

∣ρ(X,Y)∣

∣É 1

Remarque : Le coefficient de corrélation mesure la dépendance linéaire entre deux variables :• S’il est égal à 1 ou −1, X et Y sont corrélées linéairement.• S’il est égal à 0, X et Y sont dites non corrélées.

12

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Cours de mathématiques ECT2

4. SUITES DE VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES FINIES

4.1. Indépendance d’une famille de variables aléatoires

Définition 8 :

Soit n Ê 2 un entier. Soient X1, X2, ... , Xn des variables aléatoires définies sur Ω.On dit que les variables aléatoires X1, X2, ..., Xn sont mutuellement indépendantes lorsque pourtout (x1, x2, . . . , xn) ∈ X1(Ω)×X2(Ω)×·· ·×Xn(Ω) :

P([X1 = x1]∩ [X2 = x2]∩·· ·∩ [Xn = xn]) =P(X1 = x1)×P(X2 = x2)× . . .P(Xn = xn)

Définition 9 :

Soit (Xn)nÊ1 une suite de variables aléatoires définies sur Ω. On dit que la suite (Xn)nÊ1 est unesuite de variables aléatoires mutuellement indépendantes si, et seulement si, pour tout m de N

∗,les variables aléatoires X1, X2, ... , Xm sont mutuellement indépendantes.

Exemple : On lance une pièce équilibrée jusqu’à obtenir pile. Pour tout n de N∗, on note Xn

la variable aléatoire égale à 1 si on a obtenu pile au n-ième lancer et égale à 0 sinon.Alors, la suite (Xn)nÊ1 est une suite de variables aléatoires indépendantes.

4.2. Espérance et variance d’une famille de variables aléatoires

Théorème 2 :

Soit n Ê 2 un entier. Soient X1, X2, ... , Xn des variables aléatoires définies sur Ω. On a l’égalitésuivante :

E

(

n∑

k=1Xk

)

=n∑

k=1E(Xk )

Autrement dit,E(X1 +X2 +·· ·+Xn) = E(X1)+E(X2)+·· ·+E(Xn)

Exemple : On considère une suite (Xk )k∈N∗ de variables aléatoires indépendantes, dont la loi(commune) est donnée, pour tout k ∈N

∗, par :

P(Xk = 1) =1

3et P(Xk = 2) =

2

3

Pour tout n ∈N∗, on pose Sn =

n∑

k=1

Xk . Calculer E(Sn).

Commençons par calculer E(Xk ) pour tout k :

E(Xk ) = 1×1

3+2×

2

3=

5

3

Et donc,

E(Sn) = E

(

n∑

k=1

Xk

)

=n∑

k=1

E(Xk ) =n∑

k=1

5

3=

5n

3

13

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Théorème 3 :

Soit n Ê 2 un entier. Soient X1, X2, ... , Xn des variables aléatoires indépendantes définies sur Ω. Ona l’égalité suivante :

V

(

n∑

i=1Xi

)

=n∑

i=1V(Xi )

Autrement dit,V(X1 +X2 +·· ·+Xn)=V(X1)+V(X2)+·· ·+V(Xn )

Exemple : On reprend l’exemple précédent. Calculer V(Sn).Commençons par calculer V(Xk ). Pour cela, il nous faut calculer E(X2

k) :

E(X2k ) = 12 ×

1

3+22 ×

2

3=

9

3= 3

Donc, d’après la formule de König-Huygens,

V(Xk ) = E(X2k )−E(Xk )2 = 3−

(

5

3

)2

=2

9

Ainsi, puisque les variables X1, · · · , Xn sont indépendantes, on a :

V

(

n∑

k=1Xk

)

=n∑

k=1V(Xk ) =

n∑

k=1

2

9=

2n

9

14

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Cours de mathématiques ECT2

5. EXERCICES

2.1 Un sac contient 4 boules numérotées de 1 à 4. On effectue deux tirages successifs d’uneboule, avec remise.On note X1 le numéro de la première boule, X2 le numéro de la deuxième boule et Y le pluspetit des deux numéros obtenus.

1. Déterminer la loi du couple (X1,X2).

2. a. Déterminer la loi du couple (X1,Y).

b. En déduire la loi de Y.

c. Peut-on obtenir la loi de X1 de façon analogue?

2.2 On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note X le numéro obtenu.On choisit alors au hasard avec équiprobabilité un entier Y compris entre 1 et X.

1. Donner la loi de X.

2. Pour tout x ∈ X(Ω), donner la loi de Y sachant [X = x].

3. Déterminer la loi du couple (X,Y).

4. En déduire la loi de Y et retrouver la loi de X.

2.3 Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme surJ1;10K.

1. Déterminer la probabilité que la valeur prise par X soit supérieure ou égale à 7.

2. Déterminer la probabilité pour que la valeur prise par X soit paire.

3. Déterminer la probabilité pour que les valeurs prises par X et Y soient égales.

4. Déterminer la probabilité pour que la valeur prise par X soit inférieure ou égale à lavaleur prise par Y.

2.4 Soient X et Y deux variables aléatoires telles que Y = X2. On suppose que la loi de X estdonnée par le tableau suivant :

xi −2 −1 0 1 2

P(X = xi )1

6

1

4

1

6

1

4

1

6

1. Justifier que la variable aléatoire X est bien définie.

2. Déterminer la loi conjointe de X et Y.

3. Déterminer la loi de Y.

4. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes?

5. Calculer Cov(X,Y). Que peut-on en conclure?

15

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2.5 ESC 2018

Une urne contient une boule rouge et deux boules blanches. Un joueur effectue trois tiragessuccessifs d’une boule dans cette urne. Il remet la boule obtenue dans l’urne après chaquetirage.

À partir du deuxième tirage, le joueur reçoit un point à chaque fois que la couleur obtenueà un tirage n’est pas celle qui a été obtenue au tirage précédent. Dans le cas contraire, il nereçoit aucun point.

Ainsi, si les trois tirages successifs amènent : blanc, rouge, rouge, le joueur marque un pointau deuxième tirage et aucun au troisième tirage.

On introduit, pour tout entier k compris entre 1 et 3, les évènements Bk : « obtenir une bouleblanche au k-ième tirage » et Rk : « obtenir une boule rouge au k-ième tirage ».

1. Soit X2 la variable aléatoire de Bernoulli égale au gain du joueur lors du deuxièmetirage. C’est-à-dire que X2 est égale à 1 si le joueur marque un point lors du deuxièmetirage et que X2 est égale à 0 sinon.

a. Justifier que [X2 = 1] = (B1 ∩R2)∪ (R1 ∩B2). Calculer P(X2 = 1).

b. Donner E(X2) et V(X2).

2. Soit X3 la variable aléatoire de Bernoulli égale au gain du joueur lors du troisièmetirage.

a. Justifier que X3 suit la même loi que X2.

b. Soit G la variable aléatoire égale au nombre total de points marqués lors des troistirages. Exprimer G en fonction de X2 et X3. En déduire E(G).

3. a. Exprimer l’évènement [X2 = 1]∩ [X3 = 1] en fonction de B1, B2 B3 et R1, R2, R3. Endéduire que :

P([X2 = 1]∩ [X3 = 1]) =2

9

b. Compléter de la même manière le tableau suivant donnant la loi conjointe ducouple (X2,X3).

X3 = 0 X3 = 1X2 = 0X2 = 1

En déduire que :

Cov(X2,X3) =2

81

4. Calculer V(G).

16

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2.6 ESCP-Europe 2018

On suppose que l’on dispose d’un stock illimité de boules rouges et de boules blanches indis-cernables au toucher. Une urne contient initialement une boule rouge et une boule blancheindiscernable au toucher.

On effectue dans cette urne une succession d’expériences aléatoires selon le protocole sui-vant : on extrait une boule de l’urne et après chaque tirage, la bole tirée est remise dans l’urneet on ajoute dans l’urne une boule de la même couleur que la boule tirée.

Pour tout entier n Ê 1, on note Xn (respectivement Yn) la variable aléatoires égale au nombrede boules rouges (respectivement blanches) contenues dans l’urne à l’issue de la n-ième ex-périence, c’est-à-dire après le tirage d’une boule et la remise d’une boule supplémentaire.

Pour tout entier k Ê 1, on note Rk (respectivement Bk ) l’évènement : « tirer une boule rouge(respectivement blanche) lors du k-ième tirage ».

1. a. Justifier que X1(Ω) = J1;2K. Donner la loi de X1.Calculer E(X1) et V(X1).

b. Exprimer les évènements [X2 = 1], [X2 = 2] et [X2 = 3] en fonction des évènementsB1, B2, R1 et R2.

c. Montrer que X2 suit la loi discrète uniforme sur J1;3K.En déduire E(X2) et V(X2).

2. a. Donner sous forme de tableau la loi conjointe du couple (X1,X2).

b. Calculer la covariance de X1 et X2. Les variables aléatoires X1 et X2 sont-elles indé-pendantes?

17

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6. CORRIGÉ DES EXERCICES

2.1

1. La loi du couple (X1,X2) est donnée par :

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4

X1 = 1 116

116

116

116

X1 = 2 116

116

116

116

X1 = 3 116

116

116

116

X1 = 4 116

116

116

116

2. a. Tout d’abord, Y étant le plus petit des deux numÃl’ros, Y ne peut pas être stricte-ment plus grand que X1. Ainsi, on a :

P(X1 = 1,Y = 2) = 0

Et de manière plus génrale, pour tout i et j dans J1;4K, si i < j , alors :

P(X1 = i ,Y = j ) = 0

Ensuite, si i 6= j , alors

P(X1 = i ,Y = j ) =P(X1 = i ,X2 = j ) =1

16

Enfin,

PP(X1 = 1,Y = 1) =P(X1 = 1,X2 = 1)+P(X1 = 1,X2 = 2)+P(X1 = 1,X3 = 1)+P(X1 = 1,X2 = 4)

=1

16+

1

16+

1

16+

1

16=

4

16

De même,

P(X1 = 2,Y = 2) =P(X1 = 2,X2 = 2)+P(X1 = 2,X2 = 3)+P(X1 = 2,X2 = 4) =1

16+

1

16+

1

16=

3

16

P(X1 = 3,Y = 3) =P(X1 = 3,X2 = 3)+P(X1 = 3,X2 = 4) =1

16+

1

16=

2

16

P(X1 = 4,Y = 4) =P(X1 = 4,X2 = 4) =1

16En résumé, la loi de (X1,Y) est donnée par :

Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4

X1 = 1 416 0 0 0

X1 = 2 116

316 0 0

X1 = 3 116

116

216 0

X1 = 4 116

116

116

116

b. On en déduit la loi de Y en faisant la somme de chacune des colonnes :x 1 2 3 4

P(Y = x) 716

516

316

116

c. On peut obtenir la loi de X1 en faisant la somme de chacune des lignes. Plus sim-plement, on peut constater directement que X1 suit une loi uniforme sur J1;4K.

18

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2.2

1. Il est clair que : X ∼U (J1;6K).

2. Pour tout x ∈ J1;6K, la loi de Y sachant [X = x] est une loi uniforme sur J1; xK. Ainsi,

x 1

P[X = 1](Y = x) 1

x 1 2

P[X = 2](Y = x) 12

12

x 1 2 3

P[X = 3](Y = x) 13

13

13

x 1 2 3 4

P[X = 4](Y = x) 14

14

14

14

x 1 2 3 4 5

P[X = 5](Y = x) 15

15

15

15

15

x 1 2 3 4 5 6

P[X = 6](Y = x) 16

16

16

16

16

3. Tout d’abord, il est clair que Y ne peut être strictement plus grand que X. Ensuite, ona, par exemple,

P(X = 3,Y = 2) =P(X = 3)×P[X = 3](Y = 2)=1

1

3

Et de manière générale, pour tout i et j dans J1;6K, si i Ê j , alors :

P(X = i ,Y = j ) =1

1

i

En résumé, la loi de (X,Y) est donnée par :

Y = 1 Y = 2 Y = 3 Y = 4 Y = 5 Y = 6

X = 1 16 0 0 0 0 0

X = 2 112

112 0 0 0 0

X = 3 118

118

118 0 0 0

X = 4 124

124

124

124 0 0

X = 5 130

130

130

130

130 0

X = 6 136

136

136

136

136

136

4. On en déduit la loi de Y en faisant la somme de chacune des colonnes :

x 1 2 3 4 5 6

P(Y = x) 294720

174720

114720

74720

44720

20720

On peut au passage vérifier que la somme des coefficients du tableau fait bien 1.Pour retrouver la loi de X, on fait somme de chacune des lignes :

x 1 2 3 4 5 6

P(X = x) 16

16

16

16

16

16

19

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Cours de mathématiques ECT2

Ainsi, on a bien X ∼U (J1;6K).

2.3

1. On a :

P(X Ê 7) =P(X = 7)+P(X = 8)+P(X = 9)+P(X = 10) =1

10+

1

10+

1

10+

1

10+

1

10=

4

10=

2

5

2. X est paire si et seulement si X prend la valeur 2, 4, 6, 8 ou 10. Ainsi, la probabilité pourque X soit paire est donnée par :

P(X = 2)+P(X = 4)+P(X = 6)+P(X = 8)+P(X = 10)=1

10+

1

10+

1

10+

1

10+

1

10+

1

10=

5

10=

1

2

3. On a :

P(X = Y) =10∑

k=1

P(X = k,Y = k) =10∑

k=1

1

10×

1

10= 10×

1

10×

1

10=

1

10

4. On a :

P(X É Y) =10∑

k=1

k∑

j=1P(X = j ,Y = k)

=10∑

k=1

k∑

j=1

1

100

=10∑

k=1

k

100

=1

100

10∑

k=1k

=1

100×

10(10+1)

2

=11

20

2.4

1. On a :1

6+

1

4+

1

6+

1

4+

1

6=

3

6+

2

4=

1

2+

1

2= 1

Ainsi, la variable X est bien définie.

2. Tout d’abord, puisque X(Ω) = J−2;2K et que Y = X2, on a Y(Ω) = 0;1;4. Ensuite, il estclair que les évènements [X =−2,Y = 0], [X =−2,Y = 1], · · · , [X = 2,Y = 0], [X = 2,Y = 1]sont impossibles. Ainsi,

P(x =−2,Y = 0)=P(X =−2,Y = 1) = ·· · =P(X = 2,Y = 0) =P(X = 2,Y = 1)= 0

Par ailleurs, on a :

[X =−2,Y = 4] = [X =−2] , [X =−1,Y = 1] = [X =−1] , · · · , [X = 2,Y = 4] = [X = 2]

Donc, la loi du couple (X,Y) est donnée par :

20

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Cours de mathématiques ECT2

X =−2 X =−1 X = 0 X = 1 X = 2

Y = 0 0 0 16 0 0

Y = 1 0 14 0 1

4 0

Y = 4 16 0 0 0 1

6

3. On obtient la loi de Y en faisant la somme de chacune des lignes :

x 0 1 4

P(Y = x) 16

12

13

4. On a par exemple :

P(X = 0,Y = 1) = 0 6=P(X = 0)×P(Y = 1) =1

1

2=

1

12

Donc, X et Y ne sont pas indépendantes.

5. D’après la formule de Huygens,

Cov(X,Y)= E(XY)−E(X)E(Y)

On a :

E(XY) = 0× (−1)×0+0×0×0+·· ·+4×2×1

6=−

8

6−

1

4+

1

4+

8

6= 0

Par ailleurs,

E(X) =−2×1

6+ (−1)×

1

4+·· ·+2×

1

6= 0

E(Y) = 0×1

6+1×

1

2+4×

1

3=

11

6Donc,

Cov(X,Y)= 0−0×11

6= 0

On peut en conclure qu’il est possible d’avoir Cov(X,Y) = 0 sans que X et Y ne soientindépendantes.

2.5

1. a. Le joueur marque un point si et seulement si l’une des deux situations suivantesse réalise :• il a tiré une boule blanche au premier tirage puis une boule rouge au deuxième

tirage;• il a tiré une boule rouge au premier tirage puis une boule blanche au deuxième

tirage.Autrement dit, on a bien l’égalité :

[X2 = 1] = (B1 ∩R2)∪ (R1 ∩B2)

Dès lors, d’après la formule des probabilités totales,

P(X2 = 1) =P(B1)PB1 (R2)+P(R1)PR1 (B2)

=2

1

3+

1

2

3

=2

9+

2

9

=4

9

21

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Cours de mathématiques ECT2

b. Puisque P(X2 = 1) =4

9, on en déduit que P(X2 = 0) = 1−P(X2 = 1) = 1−

4

9=

5

9. On

peut ainsi résumer la loi de X2 dans le tableau suivant :

k 0 1

P(X2 = k) 59

49

Ainsi,

E(X2) = 0×5

9+1×

4

9=

4

9

Pour calculer V(X2), on commence par calculer E(X22) :

E(X22) = 02 ×

5

9+12 ×

4

9=

4

9

On applique ensuite la formule de König-Huygens,

V(X2) = E(X22)−E(X2)2 =

4

9−

16

81=

36

81−

16

81=

20

81

Remarque : On pouvait également remarquer que X2 suit une loi de Bernoulli de

paramètre p =4

9puis appliquer les formules du cours pour calculer E(X2) et V(X2) :

E(X2) = p =4

9

V(X2) = p(1−p) =4

5

9=

20

81

2. a. Comme les tirages sont avec remise, ce qui se passe aux deuxième et troisièmetirages est rigoureusement identique à ce qui se passe aux premier et deuxièmetirages. Donc, X3 suit la même loi que X2.En particulier,

E(X3) = E(X2) =4

9et V(X3) =V(X2) =

20

81

b. On a G = X2 +X3 donc

E(G) = E(X2)+E(X3) =4

9+

4

9=

8

9

3. a. L’évènement [X2 = 1] ∩ [X3 = 1] correspond au fait d’avoir marqué un point audeuxième et au troisième tirage. Cet évènement se réalise si et seulement si l’unede ces deux situations se réalise :• les trois tirages successifs donnent : blanc, rouge, blanc;• les trois tirages successifs donnent : rouge, blanc, rouge.

Autrement dit,

[X2 = 1]∩ [X3 = 1] = (B1 ∩R2 ∩B3)∪ (R1 ∩B2 ∩R3)

Dès lors, d’après la formule des probabilités totales,

P([X2 = 1]∩ [X3 = 1]) =P(B1 ∩R2 ∩B3)+P(R1 ∩B2 ∩R3)

=2

1

2

3+

1

2

1

3

22

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Cours de mathématiques ECT2

=6

27

=2

9

En conclusion,

P([X2 = 1]∩ [X3 = 1]) =2

9

b. De même,

P([X2 = 0]∩ [X3 = 0]) =P(R1 ∩R2 ∩R3)+P(B1 ∩B2 ∩B3)

=1

1

1

3+

2

2

2

3

=9

27

=1

3

P([X2 = 0]∩ [X3 = 1]) =P(R1 ∩R2 ∩B3)+P(B1 ∩B2 ∩R3)

=1

1

2

3+

2

2

1

3

=6

27

=2

9

P([X2 = 1]∩ [X3 = 0]) =P(R1 ∩B2 ∩B3)+P(B1 ∩R2 ∩R3)

=1

2

2

3+

2

1

1

3

=6

27

=2

9

D’où la loi conjointe du couple (X2,X3) :

X3 = 0 X3 = 1

X2 = 0 13

29

X2 = 1 29

29

Pour calculer Cov(X2,X3), commençons par calculer E(X2X3) :

E(X2X3) = 0×0×1

3+0×1×

2

9+1×0×

2

9+1×1×

2

9=

2

9

De plus, E(X2) = E(X3) =4

9donc d’après la formule de König-Huygens,

Cov(X2,X2) = E(X2X3)−E(X2)E(X3) =2

9−

4

4

9=

2

9−

16

81=

18

81−

16

81=

2

81

23

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Cours de mathématiques ECT2

4. D’après la question 2.(b), on sait que G = X2 +X3 donc

V(G) =V(X2 +X3)

=V(X2)+V(X3)+2Cov(X2,X3)

=20

81+

20

81+2×

2

81

=44

81

2.6

1. a. Après le tirage d’une boule et l’ajout d’une boule supplémentaire, il peut y avoirsoit une boule rouge (si on a tiré une boule blanche et donc rajouté une deuxièmeboule blanche) soit deux boules rouges (si on a tiré une boule rouge et donc rajoutéune deuxième boule rouge). Ainsi, X1 vaut soit 1 soit 2 et donc on a bien :

X1(Ω) = J1;2K

Puisqu’au premier tirage, il y a une chance sur deux de tirer une boule rouge et unechance sur deux de tirer une boule blanche, on a :

P(X1 = 1) =P(B1) =1

2et P(X1 = 2) =P(R1) =

1

2

D’où la loi de X1 :

k 1 2

P(X1 = k) 12

12

On a alors :

E(X1) = 1×1

2+2×

1

2=

3

2Puis,

E(X21) = 12 ×

1

2+22 ×

1

2=

5

2

Et donc d’après la formule de König-Huygens,

V(X1) = E(X21)−E(X1)2 =

5

2−

9

4=

10

4−

9

4=

1

4

Remarque : On pouvait également remarquer que X1 suit la loi uniforme sur J1;2Ket utiliser les formules du cours pour calcuer l’espérance et la variance de X1 :

E(X1) =n +1

2=

2+1

2=

3

2et V(X1) =

n2 −1

12=

22 −1

12=

3

12=

1

4

b. À l’issue du deuxième tirage, il y a :• une seule boule rouge si on a tiré successivement deux boules blanches;• deux boules rouges si on a tiré une boule rouge soit au premier, soit au deuxième

tirage;• trois boules rouges si on a tiré successivement deux boules rouges.

24

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Cours de mathématiques ECT2

Ainsi, on a :[X2 = 1] = B1 ∩B2

[X2 = 2] = (B1 ∩R2)∪ (R1 ∩B2)

[X2 = 3] = R1 ∩R2

c. À l’aide de la question précédente, déterminons la loi de X2.Tout d’abord, on a X2(Ω) = J1;3K. Ensuite,• D’après la formule des probabilités composées,

P(X2 = 1) =P(B1 ∩B2) =P(B1)×PB1 (B2) =1

2

3=

1

3

• D’après la formule des probabilités totales,

P(X2 = 2) =P(B1)×PB1 (R2)+P(R1)×PR1 (B2)

=1

1

3+

1

1

3

=1

3

• D’après la formule des probabilités composées,

P(X2 = 3) =P(R1 ∩R2) =P(R1)×PR1 (R2) =1

2

3=

1

3

En résumé, on a :

k 1 2 3

P(X2 = k) 13

13

13

Ainsi, X2 suit bien la loi uniforme sur J1;3K.D’après le cours, on a alors :

E(X2) =n +1

2=

3+1

2= 2 et V(X2) =

n2 −1

12=

32 −1

12=

8

12=

2

3

2. a. Déterminons la loi conjointe du couple (X1,X2) :• L’évènement [X1 = 1,X2 = 1] signifie que le nombre de boule rouge n’a pas évo-

lué ni à l’issu du premier tirage ni à l’issu du deuxième tirage. Cela signife doncque l’on a pioché une boule blanche au premier et au deuxième tirage. Ainsi,

P(X1 = 1,X2 = 1)=P(B1 ∩B2) =1

2

3=

1

3

• L’évènement [X1 = 1,X2 = 2] signifie que l’on a d’abord pioché une boule blanche(puisque le nombre de boule rouge n’a pas évolué à l’issu du premier tirage),puis que l’on a tiré une boule rouge (puisque le nombre de boule rouge a aug-menté à l’issu du deuxième tirage). Ainsi,

P(X1 = 1,X2 = 2)=P(B1 ∩R2) =1

1

3=

1

6

• L’évènement [X1 = 1,X2 = 3] est impossible puisque l’on ne peut passer de 1 à3 boules rouges en un seul tirage. Ainsi,

P(X1 = 1,X2 = 3)= 0

25

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Cours de mathématiques ECT2

• L’évènement [X1 = 2,X2 = 1] est impossible puisque le nombre de boule rougene peut pas diminuer d’un tirage à l’autre. Ainsi,

P(X1 = 2,X2 = 1)= 0

• L’évènement [X1 = 2,X2 = 2] signifie que l’on a pioché une boule rouge au pre-mier tirage (puisqu’il y a deux boules rouges dans l’urne à l’issu du premiertirage), et une boule blanche au deuxième tirage (puisque le nombre de boulesrouges n’a pas évolué à l’issu du deuxième tirage). Ainsi,

P(X1 = 2,X2 = 2)=P(R1 ∩B2) =1

1

3=

1

6

• Enfin, l’événement [X1 = 2,X2 = 3] signifie que l’on a pioché une boule rougeau premier et au deuxième tirage. Ainsi,

P(X1 = 2,X2 = 3)=P(R1 ∩R2) =1

2

3=

1

3

On en déduit le tableau de la loi conjointe du couple :

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

X1 = 1 13

16 0

X1 = 2 0 16

13

Remarque : Au passage, on peut vérifier que la somme des probabilités vaut bien1.

b. Commençons par calculer E(X1X2) :

E(X1X2) = 1×1×1

3+1×2×

1

6+1×3×0+2×1×0+2×2×

1

6+2×3×

1

3

=10

3

Dès lors, d’après la formule de König-Huygens,

Cov(X1,X2) = E(X1X2)−E(X1)E(X2) =10

3−

3

2×2 =

1

3

Si les variables X1 et X2 étaient indépendantes, alors on aurait Cov(X1,X2) = 0. Cen’est pas le cas ici, donc X1 et X2 ne sont pas indépendantes.

26

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7. TABLE DES MATIÈRES

1 Couples de variables aléatoires finies 21.1 Loi d’un couple de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Indépendance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Espérance 62.1 Espérance d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Espérance d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Covariance, corrélation linéaire 93.1 Covariance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Variance d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Coefficient de corélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Suites de variables aléatoires discrètes finies 134.1 Indépendance d’une famille de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Espérance et variance d’une famille de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . 13

5 Exercices 15

6 Corrigé des exercices 18