Capitulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

Capítulo 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta una importante herramienta para el desarrollo del análisis de regresión multivariante como lo son los sistemas de ecuaciones lineales. Se exponen los 3 principales métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales consistentes como lo son la Eliminación de Gauss, la Eliminación de Gauss-Jordan y la Regla de Crámer, así como también se presentan aplicaciones como el Modelo de Insumo-Producto de Leontief. 3.2. DEFINICIONES, PROPIEDADES Y EJEMPLOS. Definición 3.1. Sean Aij, Yi∈K, con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, m, n∈ℵ*. Se define como sistema de ecuaciones lineales (SEL) de m ecuaciones con n incógnitas al siguiente conjunto de ecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

YXAXAXA

YXAXAXAYXAXAXA

K

M

K

K

Este conjunto de ecuaciones se puede escribir de forma matricial de la siguiente manera:

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

YXAXAXA

YXAXAXAYXAXAXA

=+++

=+++=+++

K

M

K

K

⇒

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

m

2

1

n

2

1

mn2m1m

n22221

n11211

Y

YY

X

XX

AAA

AAAAAA

MM

L

MMM

L

L

⇒ AX = Y Donde A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km. La matriz A se denomina matriz de coeficientes y los vectores X e Y se denominan vector de incógnitas y vector de términos independientes del SEL, respectivamente. La matriz particionada 1x2 [A | Y]∈Mmx(n+1)(K) se denomina matriz ampliada o aumentada del SEL. Un vector Z∈Kn se dice que es una solución del SEL si verifica la ecuación matricial que lo define, es decir, si AZ = Y.

ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS

99

Se dice que el SEL es consistente si el sistema tiene al menos una solución. En caso contrario, se dice que es inconsistente. Si Y = θmx1 se dice que el SEL es homogéneo. En tal caso, el sistema es consistente y la solución X = θnx1 se dice que es la solución trivial de dicho SEL. Ejemplo 3.1. El conjunto de ecuaciones:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−−=++=+−=+−

5X4XX24XXX38X2X3X7X2XX2

321

321

321

321

Es un SEL de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. Dicho sistema se puede escribir matricialmente de la siguiente forma:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

54 8 7

XXX

4121 1 32 312 12

3

2

1

Este SEL es consistente ya que:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=∈∃

54 8 7

2 11

4121 1 32 3 12 12

:2 11

X ;KX 3

Definición 2.2. Sean Aij, Yi∈K, con 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, m, n∈ℵ*. Consideremos el SEL siguiente:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

YXAXAXA

YXAXAXAYXAXAXA

K

M

K

K

(1)

Sean C1, C2,…, Cm∈K. La ecuación:

(C1A11+…+CmAm1)X1 +…+ (C1A1n+…+CmAmn)Xn = C1Y1 +…+CmYm (2)

Se dice que es una combinación lineal de las ecuaciones del SEL.

CAPÍTULO 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

100

Observación: Cualquier solución del SEL (1) es solución de la ecuación (2). Ejemplo 3.2. En el ejemplo 3.1., una combinación lineal de las ecuaciones del SEL es: (2C1 + C2 + 3C3 + 2C4)X1 + (-C1 – 3C2 + C3 – C4)X2 + (2C1 + 2C2 + C3 – 4C4)X3

= 7C1 + 8C2 + 4C3 – 5C4 Al sustituir una solución del SEL; X1 = 1, X2 = -1 y X3 = 2 se obtiene que también es solución de la combinación lineal de las ecuaciones del SEL: (2C1+ C2 +3C3 + 2C4).1 + (-C1 – 3C2 +C3 – C4).(-1) + (2C1 +2C2 +C3 – 4C4).(2)

= 2C1+ C2 +3C3 + 2C4 +C1 + 3C2 – C3 + C4 + 4C1 +4C2 + 2C3 – 8C4 = (2+1+4)C1+ (1+3+4)C2 + (3–1+2)C3 + (2+1–8)C4

= 7C1+ 8C2 + 4C3 – 5C4

Definición 3.3. Sean A, B∈Mmxn(K), X∈Kn e Y, Z∈Km. Se dice que los SEL AX = Y y BX = Z son equivalentes si cada solución del SEL AX = Y es solución del SEL BX = Z y viceversa. Ejemplo 3.3. Los SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=+−=+−

0XXX14XX3X222X4X2X

321

321

321

y ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−=++

10XX2X14X2X2X8XXX3

321

321

321

Son equivalentes ya que tienen una única solución común X1 = 2; X2 = -2 y X3 = 4. Teorema 3.1. Sean A, A’∈Mmxn(K), X∈Kn e Y, Y’∈Km. Si la matriz particionada [A’ | Y’] se obtiene de la matriz particionada [A | Y] aplicándole una operación elemental de filas entonces los sistemas AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Demostración Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp → rp + crs, con c ≠ 0. Luego,


101

[A | Y] = ⇒+→⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

spp

mmn2m1m

ssn2s1s

ppn2p1p

1n11211

crrr

YAAA

YAAA

YAAA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++++

mmn2m1m

ssn2s1s

spsnpn2s2p1s1p

1n11211

YAAA

YAAA

cYYcAAcAAcAA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

= B’ = [A’ | Y’]

Se obtiene así el sistema

A’X = Y’ ⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

+=++++++

=+++

mnmn22m11m

snsn22s11s

spnsnpn22s2p11s1p

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

cYYX)cAA(...X)cAA(X)cAA(

YXA...xAXA

M

M

M

Ahora bien, el SEL AX = Y es:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...xAXA

M

M

M

Supongamos que Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ

M es solución del SEL AX = Y. Luego,


102

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por c en la s-ésima ecuación y luego con la ecuación obtenida sumamos a ambos lados de la igualdad con la p-ésima ecuación se obtiene que:

mnmn22m11m

snsn22s11s

spnsnpn22s2p11s1p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

cYYZ)cAA(...Z)cAA(Z)cAA(

YZA...ZAZA

=+++

=+++

+=++++++

=+++

M

M

M

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ

M es solución del SEL A’X = Y’.

Si partimos de que Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ

M es solución del SEL A’X = Y’, luego

multiplicamos a ambos lados de la igualdad de la s-ésima ecuación por (-c) y finalmente con la ecuación obtenida sumamos a ambos lados de la igualdad con la p-esima ecuación se obtiene que:

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M


103

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ

M es solución del SEL AX = Y.

Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp → crp, con c ≠ 0. Luego,

[A | Y] = ⇒→⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

pp

mmn2m1m

ssn2s1s

ppn2p1p

1n11211

crr

YAAA

YAAA

YAAA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmn2m1m

ssn2s1s

ppn2p1p

1n11211

YAAA

YAAA

cYcAcAcA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

= B’ = [A’ | Y’]


A’X = Y’ ⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

cYXcA...XcAXcA

YXA...xAXA

M

M

M



104

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...xAXA

M

M

M

Supongamos que Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Si multiplicamos a ambos lados de la igualdad por c en la p-ésima ecuación se obtiene que:

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

cYZcA...ZcAZcA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ



⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


multiplicamos a ambos lados de la igualdad de la p-ésima ecuación por c-1 se obtiene que:


105

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. Supongamos que sobre la matriz [A | Y] se aplica la operación elemental de filas rp ↔ rs. Luego,

[A | Y] = ⇒↔⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

sp

mmn2m1m

ssn2s1s

ppn2p1p

1n11211

rr

YAAA

YAAA

YAAA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmn2m1m

ppn2p1p

ssn2s1s

1n11211

YAAA

YAAA

YAAA

YAAA

L

MMMM

L

MMMM

L

MMMM

L

= B’ = [A’ | Y’]


A’X = Y’ ⇒

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

pnpn22p11p

snsn22s11s

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...xAXA

M

M

M


106


⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

=+++

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...XAXA

YXA...xAXA

M

M

M

Supongamos que Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Si intercambiamos las ecuaciones s-ésima y p-ésima se obtiene que:

mnmn22m11m

pnpn22p11p

snsn22s11s

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ



107


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


intercambiamos las ecuaciones p-ésima y s-ésima se obtiene que:

mnmn22m11m

snsn22s11s

pnpn22p11p

1nn1212111

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

YZA...ZAZA

=+++

=+++

=+++

=+++

M

M

M

Es decir, Z =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Z

ZZ


Por consiguiente los SEL AX = Y y A’X = Y’ son equivalentes. 3.3. ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDAN. Sean A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km con Rango(A) = r. Si R = [RA | Z] es la matriz escalonada reducida por filas de [A | Y] entonces por el teorema anterior los sistemas AX = Y y RAX = Z son equivalentes. El sistema RAX = Z tiene la forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

+

+

m

1r

r

2

1

n

1r

r

2

1

rn

n2

n1

)1r(r

)1r(2

)1r(1

Z

ZZ

ZZ

X

XX

XX

0

0R

RR

0000

0000R100

R010R001

M

M

M

M

L

M

L

L

M

L

L

L

MMMM

L

K

MMMM

L

L

Por lo tanto se reduce a:


108

0Z...ZZ

ZXRX

ZXRX

ZXRX

m2r1r

r

n

1rjjrjr

2

n

1rjjj22

1

n

1rjjj11

====

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=+

=+

=+

++

+=

+=

+=

∑

∑

∑

M

Como R = [RA | Z] es escalonada reducida por filas puede ocurrir lo siguiente:

1. Zr+1 = 1. Esto contradice la igualdad anterior. Luego, el SEL AX = Y es inconsistente.

2. Zr+1 = 0 ó Zr+1 no existe. En este caso el SEL AX = Y es consistente y las soluciones se obtienen dando valores arbitrarios a las incógnitas Xr+1, Xr+2,…, Xn. Además si r = n entonces el sistema tiene una única solución X1 = Z1, X2 = Z2,… , Xn = Zn y si r < n entonces el sistema tiene infinitas soluciones las cuales son generadas por exactamente n – r + 1 vectores.

Ejemplo 3.4. Consideremos el SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=++

4X2X4X22X3XX21XX2X

321

321

321

Utilizando la Eliminación de Gauss-Jordan, determinemos si este SEL es consistente:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−→

−→

−→

−→

1 0 1

0 005

1101 21

2 0 1

00 015012 1

421

24 231212 1

Y|A33

22

133

122

r21r

r51r

r2rr

r2rr

]Z|R[1 0 0

0 005

1105

7 01

1 0 0

0 005

1101 21

Ar2rrrrr 211311 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯ −→−→

Como se puede observar Rango(A) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 1. En consecuencia, el SEL es inconsistente. Ejemplo 3.5. Consideremos el SEL:


109

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−+−=+−

7X2X3XX2X22XX3X

31

321

321


[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−=

→

−→

−→

9 8

7 2

1 3 08

31 01 31

9 7 2

1 3 038 01 31

7 3 2

2 0 112 21 31

Y|A22

133

122 r81r

rrr

r2rr

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

−→

+→→−→

311

32233233

rrr

r83rrr

178rr3rr

3 8

7 2

1 0 08

31 01 31

851

87 2

817 0 0

831 01 31

]Z|R[321

100010001

3 2 5

10 001 0031

Ar3rr 211 =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−+→

Como se puede observar RA = I3 y Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL es consistente y como Rango(A) = 3 = n entonces tiene una única solución la cual es X1 = Z1 = 1; X2 = Z2 = 2; X3 = Z3 = 3. Ejemplo 3.6. Consideremos el SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=++

2X2X4X22X3XX21XX2X

321

321

321


[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−→

−→

−→

0 0 1

0 005

1101 21

0 0 1

00 015012 1

221

24 231212 1

Y|A22

133

122 r51r

r2rr

r2rr

]Z|R[0 0 1

0 005

1105

7 01

Ar2rr 211 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯ −→

Como se puede observar Rango(A) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 0. En consecuencia, el SEL es consistente. Como Rango(A) = 2 < n = 3 el SEL tiene


110

infinitas soluciones generadas por exactamente n – r + 1 = 3 – 2 + 1 = 2 vectores. Dichos vectores se obtienen de la siguiente manera:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

−=⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=+⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−32

31

32

31

X51X

X571X

0X51X

1X57X

0 0 1

0 005

1105

7 01

Luego, la solución del SEL toma la forma:

ℜ∈

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

33

3

3

3

3

2

1

X ;1 5

1 5

7

X001

X

X51

X571

XXX

Los vectores que generan las soluciones son Z1 = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001

y Z2 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1 5

1 5

7

y el

conjunto de infinitas soluciones del SEL es S = { }ℜ∈+=ℜ∈ c;cZZZ:Z 213 . Ejemplo 3.7. Consideremos el SEL:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+=+−=++=+−

6X3X21XX2X4XXX22X3X2X

32

321

321

321


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=→

−→

−→

6 10 2

3 202001103 21

6 10 2

3 202005503 21

6142

320121112321

]Y|A[22

133

122 r51r

rrr

r2rr

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

⎯⎯⎯ →⎯ −→−→−→ 34433244 r5rrr

21rr2rr

6 2

10 2

5 001 001103 21

6 10 2

5 002001103 21


111

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−→

−→→

411

43344

r2rr

r21rrr

72r

1 2

10 2

0 001 001103 21

27 2

10 2

0 001 001103 21

]Z|R[

1 0 0 0

000100010001

1 0 0 0

000100010021

1 0 0 0

0 001 001103 21

Ar2rr

r3rr

rrr211

311

322

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+→−→

+→

Como se puede observar Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 = 1. En consecuencia, el SEL es inconsistente. Ejemplo 3.8. Consideremos el SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=−++=++−

1XXX2X4X2XXX22XX3X2X

4321

4321

4321


⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

→

−→

−→22

133

122 r51r

rrr

r2rr

1 0 2

0 20 0455 01 3 21

1 4 2

1 121211 21 321

]Y|A[

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

−→

+→−→

311

32233

r3rr

rrrr21r

21

0 2

0 1 0 05

411 01 3 21

1 0 2

0 20 05

411 01 3 21

]Z|R[

21

21

23

0 1005

40105

3001

21

21

21

0 10 05

401 01 021

Ar2rr 211 =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+→

Como se puede observar Rango(A) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4. Como Z4 no existe entonces el SEL es consistente. Como Rango(A) = 3 < n = 4 el SEL tiene infinitas soluciones generadas por exactamente n – r + 1 = 4 – 3 + 1 = 2 vectores. Dichos vectores se obtienen de la siguiente manera:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=

+=

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=−

=−

⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21X

X54

21X

X53

23X

21X

21X5

4X2

3X53X

21

21

23

0 1005

40105

3001

3

42

41

3

42

41


112

Luego, la solución del SEL toma la forma:

ℜ∈

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

44

4

4

4

4

3

2

1

X ;

105

45

3

X

02

12

12

3

X2

1X5

42

1X5

32

3

XXXX

Los vectores que generan las soluciones son Z1 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

02

12

12

3

y Z2 =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

105

45

3

y el

conjunto de infinitas soluciones del SEL es S = { }ℜ∈+=ℜ∈ c;cZZZ:Z 214 . Teorema 3.2. (Teorema de Rouché-Frobenius) Sean A∈Mmxn(K), X∈Kn e Y∈Km. El SEL AX = Y es consistente si y sólo si Rango(A) = Rango([A | Y]). Demostración CN (⇒): Si el SEL AX = Y es consistente entonces Rango(A) = Rango([A | Y]). Sea R = [RA | Z] la matriz escalonada reducida por filas de [A | Y] y supongamos que Rango(A) = r. Si el SEL AX = Y es consistente entonces Zr+1 = 0 en cuyo caso el número de filas no nulas de R es igual a r, es decir, Rango([A | Y]) = r = Rango(A). CS (⇐): Si Rango(A) = Rango([A | Y]) entonces el SEL AX = Y es consistente. Si Rango(A) = Rango([A | Y]) entonces Zr+1 = 0. Por lo tanto el SEL AX = Y es consistente. Teorema 3.3. Sean A∈Mnxn(K) y X∈Kn. A es no singular si y sólo si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución (la solución trivial). Demostración CN(⇒): Si A es no singular entonces el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución. El SEL AX = θnx1 es consistente. La solución trivial X = θnx1 es solución de este sistema. Veamos que esta solución es única.


113

Supongamos que X1∈Mnx1(K) es también solución del SEL homogéneo AX = θnx1. Luego se cumple que:

AX1 = θnx1 ⇒ A-1AX1 = A-1θnx1

⇒ X1 = θnx1

La cual es la solución trivial. Por tanto el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución. CS(⇐): Si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución entonces A es no singular. Si el SEL homogéneo AX = θnx1 tiene una única solución entonces Rango(A) = n. Por consiguiente A es no singular. Teorema 3.4. Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Km. Si A es no singular entonces el SEL AX = Y tiene una única solución y ésta es X = A-1Y. Demostración Si A es no singular entonces Rango(A) = n. Por lo tanto, el SEL es consistente y tiene además una única solución. Esta solución es:

AX = Y ⇒ A-1AX = A-1Y ⇒ X = A-1Y

Ejemplo 3.9. En el ejemplo 3.5., se puede verificar que la matriz de coeficientes A es no singular y su matriz inversa es:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−

178

173

172

173

171 17

517

117

6 174

A 1

Luego, el SEL es consistente con una única solución y dicha solución es:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−== −

321

7 3 2

178

173

172

173

171 17

517

117

6 174

YAX 1


114

3.4. USO DE LA FACTORIZACIÓN LU PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. Sean A∈Mnxn(K), X∈Mnx1(K) e Y∈Mmx1(K). Supongamos que A es no singular. En ese caso existen matrices únicas L∈Mnxn(K) triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) triangular superior tales que A = LU. Luego el SEL AX = Y se puede escribir de la forma LUX = Y. Como L y U son matrices no singulares entonces la única solución del SEL consistente AX = Y es X = U-1L-1Y. Igualmente si existe una matriz de permutación P∈Mnxn(K) tal que PA = LU, siendo L∈Mnxn(K) una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) una matriz triangular superior, entonces el SEL AX = Y se puede escribir de la forma PAX = PY, es decir, LUX = PY. Como L y U son matrices no singulares entonces la única solución del SEL consistente AX = Y es X = U-1L-1PY. 3.5. ELIMINACIÓN DE GAUSS. Teorema 3.5. Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. A es no singular si y sólo si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0. Demostración CN (⇒): Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. Si A es no singular entonces ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0. Utilicemos el método de reducción al absurdo. Supongamos que A es triangular y no singular y que ∃ i = 1, 2,… , n tal que Aii = 0. Supongamos que A es triangular superior y sin pérdida de generalidad que para i = n se cumple que Aii = 0. Luego A tiene la última fila nula. Sea B∈Mnxn(K) la matriz inversa de A. En ese caso se cumple que AB = BA = In. Pero,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000

AA0AAA

AB n222

n11211

L

MMM

L

L

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nn2n1n

n22221

n11211

BBB

BBBBBB

L

MMM

L

L

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑

∑∑∑

===

===

000

BABABA

BABABA

n

2rrnr2

n

2r2rr2

n

2r1rr2

n

1rrnr1

n

1r2rr1

n

1r1rr1

L

MMM

L

L

Es decir:


115

In =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑

∑∑∑

===

===

000

BABABA

BABABA

n

2rrnr2

n

2r2rr2

n

2r1rr2

n

1rrnr1

n

1r2rr1

n

1r1rr1

L

MMM

L

L

Lo cual es una contradicción. De forma análoga se demuestra si A es triangular inferior. CS (⇐): Sea A∈Mnxn(K) tal que A es una matriz triangular. Si ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0 entonces A es no singular. Sea R la matriz escalonada reducida por filas de A. Si A es triangular y ∀ i = 1, 2,… , n se cumple que Aii ≠ 0 entonces R = In. Por consiguiente, A es no singular. Observación: Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Kn tales que A es triangular superior y no singular. Consideremos el SEL AX = Y, es decir:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

n

2

1

nn

n222

n11211

Y

YY

X

XX

A00

AA0AAA

MM

L

MM

L

L

Luego,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=++=+++

nnnn

2nn2222

1nn1212111

YXA

YXA...XA YXA...XAXA

M

Por lo tanto,

nn

nn A

YX =

Haciendo sustitución hacia atrás se despejan las restantes incógnitas:

)1n)(1n(

nn)1n(1n1n A

XAYX

−−

−−−

−=

En general,


116

ii

n

1ijjiji

i A

XAYX

∑+=

−

= ; i = n-1, n-2,… , 1

De forma análoga se despejan las incógnitas cuando A es triangular inferior. Definición 3.4. Sea C∈Mnxn(K). Se dice que C es una matriz escalonada por filas si se verifican las siguientes condiciones:

1. ∃ r∈ℵ, 1 ≤ r ≤ n, tal que las primeras r filas de C son no nulas y las restantes n – r filas son nulas.

2. Si el pivote de la i-ésima fila de C pertenece a la columna si, i = 1, 2,… , p entonces s1 < s2 < … < sp.

3. Todos los elementos de la columna si, i = 1, 2,… , p correspondientes a las filas i+1, i+2,… , n son nulos.

Observaciones:

1. Una matriz escalonada por filas es una matriz triangular superior. 2. Sea A∈Mnxn(K). Entonces A siempre es equivalente por filas a una

matriz escalonada por filas C∈Mnxn(K). Además Rango(A) = r si y sólo si la matriz C tiene r filas no nulas.

3. Sea A∈Mnxn(K), X∈Mnx1(K) e Y∈Mnx1(K). La matriz aumentada [A | Y] es equivalente por filas a una matriz particionada [C | Z]. Por consiguiente, los SEL AX = Y y CX = Z son equivalentes.

Ejemplo 3.10. Utilizando la Eliminación de Gauss, determinemos si el SEL del ejemplo 3.4., es consistente:

[ ] ]Z|C[1 0 1

0 005

1101 21

2 0 1

00 015012 1

421

24 231212 1

Y|A33

22

133

122

r21r

r51r

r2rr

r2rr

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−→

−→

−→

−→

Como se puede observar Rango(C) = 2. Por lo tanto, Zr+1 = Z2+1 = Z3 = 1. En consecuencia, el SEL CX = Z es inconsistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es inconsistente. Ejemplo 3.11. Utilizando la Eliminación de Gauss, determinemos si el SEL del ejemplo 3.5., es consistente:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−

⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−=

→

−→

−→

9 8

7 2

1 3 08

31 01 31

9 7 2

1 3 038 01 31

7 3 2

2 0 112 21 31

Y|A 22

133

122 r81r

rrr

r2rr


117

]Z|C[3 8

7 2

1 0 08

31 01 31

851

87 2

817 0 0

831 01 31

33233

r178rr3rr =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−⎯⎯⎯ →⎯

→−→

Como se puede observar Rango(C) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL CX = Z es consistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es consistente. Haciendo sustitución hacia atrás se obtienen las incógnitas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−

−=+−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−

−=+−⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−

3X8

7)3(83X

2XX3X

3X8

7X83X

2XX3X

3 8

7 2

1 0 08

31 01 31

3

2

321

3

32

321

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=+−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=

−=+−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−

−=+−

3X2X

2XX3X

3X8

78

9X2XX3X

3X8

78

9X2XX3X

3

2

321

3

2

321

3

2

321

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=+−⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

−=+−⇒

3X2X1X

3X2X

236X

3X2X

236X

3X2X

23)2(3X

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3.6. REGLA DE CRAMER. Teorema 3.6. (Regla de Gabriel Cramer) Sean A∈Mnxn(K), X∈Kn e Y∈Kn tales que A es no singular y por consiguiente el SEL AX = Y es consistente con una única solución. Entonces dicha

solución es X = [X1 X2 … Xn]t, siendo n, 2,... ,1j ;)A(Det

))A(D(DetX j

j =∀= ,

donde D(A)j es la matriz D(A)j∈Mnxn(K) que se obtiene sustituyendo la j-ésima columna de A por la matriz columna Y. Demostración La solución única del sistema AX = Y es X = A-1Y. En consecuencia:

X = Y)A(Adj)A(Det

1

Ahora bien,

Adj(A)Y =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n

2

1

Y

YY

)nn(A)n2(A)n1(A

)2n(A)22(A)21(A)1n(A)12(A)11(A

M

L

MMM

L

L


118

⇒ Adj(A)Y =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

n21

n21

n21

Y)nn(A...Y)n2(AY)n1(A

Y)2n(A...Y)22(AY)21(AY)1n(A...Y)12(AY)11(A

M

Consideremos ahora la matriz D(A)j, es decir:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnn1n

n2221

n1111

j

AYA

AYAAYA

)A(D

LL

MMM

LL

LL

Por definición:

Det(D(A)j) = ∑=

+−n

1it,ijitj

ti )))A(D(M(Det))A(D()1(

Sea t = j. Luego,

Det(D(A)j) = ∑=

+−n

1ij,ijijj

ji )))A(D(M(Det))A(D()1(

Det(D(A)j) = (-1)1+j(D(A)j)1jDet(M(D(A)j)1,j)+ +…+(-1)n+j(D(A)j)njDet(M(D(A)j)n,j) = (-1)1+jY1Det(M(D(A)j)1,j)+…+(-1)n+jYnDet(M(D(A)j)n,j) = Y1(-1)1+jDet(M(D(A)j)1,j)+…+ Yn(-1)n+jDet(M(D(A)j)n,j) Pero Det(M(D(A)j)i,j) = Det(M(A)i,j) ∀ i = 1, 2,… , n. Luego, Det(D(A)j) = Y1(-1)1+jDet(M(A)1,j)+…+ Yn(-1)n+jDet(M(A)n,j) = Y1A(1|j) +… + YnA(n|j)

= A(1|j)Y1 +… + A(n|j)Yn Por consiguiente,

Adj(A)Y =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

))A(D(Det

))A(D(Det))A(D(Det

Y)nn(A...Y)n2(AY)n1(A

Y)2n(A...Y)22(AY)21(AY)1n(A...Y)12(AY)11(A

n

2

1

n21

n21

n21

MM

En consecuencia,


119

X = Y)A(Adj)A(Det

1 =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)A(Det))A(D(Det

)A(Det))A(D(Det

)A(Det))A(D(Det

))A(D(Det

))A(D(Det))A(D(Det

)A(Det1

n

2

1

n

2

1

MM

Es decir,

X = [X1 X2 … Xn]t, siendo n, 2,... ,1j ;)A(Det

))A(D(DetX j

j =∀=

Ejemplo 3.12. Consideremos el SEL del ejemplo 3.5.:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−+−=+−

7X2X3XX2X22XX3X

31

321

321

Este SEL es consistente con una única solución. Utilizando la Regla de Cramer determinemos la solución de dicho sistema:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

2 0 112 21 31

A ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

7 3 2

Y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

2 0 7 12 3 1 32

)A(D 1 ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

2 7 113 21 21

)A(D 2 ; ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−=

7 0 13 2 2231

)A(D 3

Se puede verificar fácilmente que:

Det(A) = 17, Det(D(A)1) = 17, Det(D(A)2) = 34 y Det(D(A)3) = 51 Luego,

11717

)A(Det))A(D(DetX 1

1 === ; 21734

)A(Det))A(D(DetX 2

2 === ;

31751

)A(Det))A(D(DetX 3

3 ===


120

3.7. APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Ejemplo 3.13. Un viajero recién llegado de Europa gastó en alojamiento por día $30 en Inglaterra, $20 en Francia y $20 en España. En comida, por día gastó $20 en Inglaterra, $30 en Francia y $20 en España. Adicionalmente desembolsó $10 por día en cada país por gastos varios. El registro del viajero indica que gastó un total de $340 en alojamiento, $320 en comida y $140 en gastos varios en su recorrido por estos 3 países. Determine si el registro esta correcto y en caso afirmativo determine el número de días que el viajero permaneció en cada país. Definamos las incógnitas: X1: Número de días que pasó el viajero en Inglaterra. X2: Número de días que pasó el viajero en Francia. X3: Número de días que pasó el viajero en España. Los datos del problema se pueden reducir en el siguiente cuadro:

Gasto/País Inglaterra Francia España Total Alojamiento 30 20 20 340 Comida 20 30 20 320 Varios 10 10 10 140

De allí se pueden extraer las siguientes ecuaciones: 30X1 + 20X2 + 20X3 = 340 20X1 + 30X2 + 20X3 = 320 10X1 + 10X2 + 10X3 = 140 Dando lugar al siguiente SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

140X10X10X10320X20X30X20340X20X20X30

321

321

321

Como la matriz de coeficientes es cuadrada (3x3) apliquemos eliminación de Gauss:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= −→

−→→

380

3280

334

310

3100

320

3500

32

321

140320

334

1010102030203

23

21

140320340

101010203020202030

]Y|A[133

12211

r10rr

r20rrr301r

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯→−→→

45

283

34

1005

2103

23

21

85

283

34

2005

2103

23

21

380

528

334

310

3100

5210

32

321

3323322 r21rr

310rrr

503r


121

Como se puede observar Rango(C) = 3. Por lo tanto, Zr+1 = Z3+1 = Z4 no existe. En consecuencia, el SEL CX = Z es consistente y al ser equivalente al SEL AX = Y, éste último también es consistente. Esto prueba que el registro del viajero esta correcto. Haciendo sustitución hacia atrás se obtienen las incógnitas:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=

=++

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==+

=++

⇒

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4XX5

25

28X3

34X32X3

2X

4X5

28X52X

334X3

2X32X

45

283

34

1005

2103

23

21

3

32

321

3

32

321

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=++⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

=++⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=

=++

⇒4X4X

334)4(3

2)4(32X

4X4X

334X3

2X32X

4X)4(5

25

28X3

34X32X3

2X

3

2

1

3

2

321

3

2

321

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==

−−=⇒

4X4X6X

4X4X

38

38

334X

3

2

1

3

2

1

El viajero permaneció 6 días en Inglaterra, 4 días en Francia y 4 días en España. 3.8. MODELO DE INSUMO-PRODUCTO DE LEONTIEF. Supongamos un sistema económico que tiene n industrias. Existen 2 tipos de demandas en cada industria: Primero, una demanda externa desde afuera del sistema y segundo, la demanda que hace una industria a otra industria en el mismo sistema. Supongamos que Ei representa la demanda externa ejercida sobre la i-ésima industria. Supongamos que Aij representa la demanda interna que la j-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria, es decir, Aij representa el número de unidades de producción de la i-ésima industria que se necesitan para producir una unidad de la j-esima industria. Sea Xi la producción de la i-ésima industria. Supongamos ahora que la producción de cada industria es igual a su demanda. La demanda total es igual a la suma de las demandas internas y externas. Igualando la demanda total a la producción de cada industria se obtiene el siguiente SEL:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++++

=++++=++++

nnnnn22n11n

22nn2222121

11nn1212111

XEXA...XAXA

XEXA...XAXAXEXA...XAXA

M

Dicho sistema se puede escribir también de la siguiente forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+−−−

=−−−+−=−−−−

nnnn22n11n

2nn2222121

1nn1212111

EX)A1(...XAXA

EXA...X)A1(XAEXA...XAX)A1(

M


122

La solución del sistema indica la producción de cada industria. Este modelo recibe el nombre de modelo de insumo-producto de Leontief en honor a su autor Wassily W. Leontief. Ejemplo 3.14. Las demandas externas de un sistema económico con 3 industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Se sabe que se requieren 0,2 unidades de la primera industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,4 unidades de la segunda industria y 0,25 unidades de la tercera industria para producir una unidad de la primera industria. También se conoce que se requieren 0,1 unidades de la segunda industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,5 unidades de la primera industria y 0,5 unidades de la tercera industria para producir una unidad de la segunda industria. Por último se sabe que se necesitan 0,15 unidades de la tercera industria para producir una unidad de dicha industria, mientras que se requieren 0,15 unidades de la primera industria y 0,3 unidades de la segunda industria para producir una unidad de la tercera industria. Determinemos la producción de cada industria de manera que la oferta sea exactamente igual a la demanda. En este caso, n = 3, A11 = 0,2, A21 = 0,4, A31 = 0,25, A22 = 0,1, A12 = 0,5, A32 = 0,5, A33 = 0,15, A13 = 0,15, A23 = 0,3. Luego, 1 – A11 = 0,8, 1 – A22 = 0,9 y 1 – A33 = 0,85. Luego, el SEL del modelo es:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+−=−−

20X85,0X5,0X25,025X3,0X9,0X4,010X15,0X5,0X8,0

321

321

321

Se resuelve el SEL y la solución es X1 = 110,30, X2 = 118,74 y X3 = 125,82. En consecuencia, la producción necesaria para que la oferta sea aproximadamente igual a la demanda es X1 = 110, X2 = 119 y X3 = 126.


123

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Determine si los siguientes sistemas de ecuaciones lineales son

consistentes. En caso afirmativo determine su solución o su conjunto de todas las soluciones:

1.1. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=++=++

2XX2X6X51XX2X

0XX2X3

4321

321

421

1.2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++=+−

5XXX22XXX

1X2XX2

321

321

321

1.3.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++=+=−+=+−

0XXX50X4X3

0XXX0XX3X2

321

21

321

321

1.4.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+=++=−+−=−+

1X3X2X3XXX

1X2XX21X3XX

321

321

321

321

2. Discutir el sistema según los valores de k.

2.1.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+=++

−=−+=−+

215k16kX2kX3X

kX2XkX2k2kXkXX2

321

321

321

2.2.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=++=++

kX2

11X

4kX3XkXk2XkXX2

31

321

321

2.3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−++=+−=−+

2kX)14k(XX42X5XX34X3X2X

32

21

321

321

2.4. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+

+−=+−

kkXXX41kXXX

5k2XkXX2

321

321

321

3. Determine los valores de k para que el siguiente sistema de ecuaciones

lineales homogéneo tenga soluciones distintas de la solución trivial:


124

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=+++=+++

0XXX)1k(0X)1k(XX0XX)1k(X

321

321

321

4. Determine si el sistema AX = Y es consistente. En caso afirmativo

determine su solución o su conjunto de todas las soluciones:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

155315103133511111

A

4.1.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1121

Y

4.2.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1110

Y

4.3.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2102

Y

4.4.

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0201

Y

5. Para cada una de las matrices del ejercicio 6 del capítulo 2, verifique para

cada valor de λ que el sistema de ecuaciones lineales homogéneo (A–λIn)X = θnx1 tiene soluciones distintas de la solución trivial y determine además el conjunto de todas las soluciones para cada valor de λ.

6. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando la

Regla de Cramer:

6.1. ⎩⎨⎧

=+−−=+47X4X71X3X2

21

21

6.2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−

=++

11X5X2X85X3X2X3

6XXX2

321

321

321


125

6.3. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−=++=++

1X3XX0XX2X

7XX2X2

321

321

321

6.4. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+

=−+

1X5X2XX

4XXX2

32

31

321

6.5.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−−=−

=+=−

2X5X33XX4

2XX27XX

43

21

32

41

7. Considere el siguiente SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−+=+−

cX21X5X5bX5XX3 aX3XX2

321

321

321

Demuestre que el SEL es inconsistente si y sólo si c ≠ 2a – 3b.

8. Considere el siguiente SEL:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=−+

cX5X7X3bX3XX aXX3X2

321

321

321

Encuentre las condiciones sobre a, b y c para que el SEL sea inconsistente.

9. Suponga que las demandas externas en un sistema económico con 3

industrias son 10, 15 y 30, respectivamente. Suponga que 31a11 = ,

21a12 = ,

61a13 = ,

41a 21 = ,

41a 22 = ,

81a23 = ,

121a31 = ,

31a32 = y

61a33 = . Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea

igual a la demanda. 10. Suponga que las demandas externas en un sistema económico con 3

industrias son 10, 25 y 20, respectivamente. Suponga que 30,0a11 = , 40,0a12 = , 50,0a13 = , 25,0a21 = , 25,0a22 = , 20,0a23 = , 10,0a31 = ,

30,0a32 = y 15,0a33 = . Encuentre la producción de cada industria tal que la oferta sea igual a la demanda.


126

11. En cierta región existen 3 industrias A, B y C. Cada mes la industria A recibe una demanda de 20 unidades de las demás regiones del país y para producir cada unidad de su producto necesita 0,4 unidades del producto de la industria B y de 0,25 unidades del producto de la industria C. De igual manera la industria B tiene una demanda de 15 unidades de las demás regiones y para producir cada unidad de su producto necesita 0,5 unidades del producto A y 0,3 unidades del producto C. Finalmente de las demás regiones se origina una demanda mensual de 30 unidades del producto de la industria C, la cual para producir una unidad necesita 0,15 unidades del producto de A y de 0,7 unidades del producto de B. Suponiendo que para cada industria hay equilibrio entre la producción y la demanda, determinar las cantidades producidas mensualmente por cada industria de la región considerada.

12. Un inversionista le afirma a un corredor de bolsa que todas sus acciones

son de 3 empresas A, B y C y que hace 2 días el precio de sus acciones bajó en $350 pero que subió $600 el día de ayer. El corredor recuerda que hace 2 días el precio por acción de la empresa A bajó $1, que el de la empresa B bajó $1,5 pero que el precio de la empresa C subió $0,5. También recordó el corredor que el día de ayer los precios por acción de las 3 empresas se comportaron de la siguiente manera: subió el de la empresa A en $1,5, el de la empresa B bajó en $0,5 y el de la empresa C subió en $1. Demuestre que el corredor no posee información suficiente para calcular el número de acciones del inversionista. Si el inversionista dice que tiene 200 acciones de la empresa C, determine cuántas acciones tiene de las otras 2 empresas.

13. Una pequeña constructora ofrece 3 tipos de casas. El primer tipo requiere

3 unidades de concreto, 2 unidades de cerámica y 5 unidades de madera. Los tipos segundo y tercero requieren 2, 3, 5 y 4, 2, 6 unidades de concreto, cerámica y madera, respectivamente. Cada mes la compañía dispone de 150 unidades de concreto, 100 unidades de cerámica y 250 unidades de madera. ¿Cuántas casas de cada tipo podrá construir mensualmente si usa todos los materiales de que dispone? ¿Existe una solución única? Determine el número de casas de tipo 1 y de tipo 2 que se pueden construir mensualmente si usa todos los materiales de que dispone y construye 5 casas de tipo 3.

14. Una empresa compra café en granos a cooperativas agrícolas, lo procesa

y lo vende. Utiliza dos tipos de granos: tipo A y tipo B. En el proceso de torrefacción y molienda se pierde el 5% del café de tipo A y el 7% del tipo B. Luego, se mezclan los granos molidos para producir el café superior que contiene 30% de granos de tipo A y 70% de granos de tipo B y el café familiar con un contenido de 60% de granos de tipo A y 40% de granos de tipo B. Actualmente la empresa tiene en existencia 1,2 toneladas de granos de tipo A y 1,75 toneladas de granos de tipo B. ¿Cuántos kilogramos de café superior y de café familiar puede producir la empresa para utilizar toda su existencia?

15. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de

alimentos a un lago que mantiene a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 2 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento


127

1, 4 unidades de alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada pez de la especie 3 consume cada semana un promedio de 2 unidades del alimento 1, 1 unidad del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se proporcionan al lago 15.000 unidades del alimento 1, 10.000 unidades del alimento 2 y 35.000 unidades del alimento 3. Suponiendo que los 3 alimentos se consumen completamente, ¿qué población de cada especie se encontrará en coexistencia en el lago? ¿Existe una solución única? Estime la población de la tercera especie.

16. En la caja de cierto banco hay cheques de Bs. 25.000, Bs. 50.000, Bs.

100.000 y Bs. 500.000. Todos los cheques suman en total Bs. 61.050.000. La cantidad de cheques de Bs. 25.000 es tres veces la cantidad de cheques de Bs. 500.000. Dos veces el número de cheques de Bs. 500.000 es la cantidad de cheques de Bs. 50.000. Por último se sabe que la cantidad de cheques de Bs. 25.000 es el doble de la cantidad de cheques de Bs. 100.000. Determine el número de cheques de cada monto que hay en la caja del banco.

17. Un granjero desea determinar la selección de ganado para su granja.

Puede comprar ovejas, reses o cabras. Cada oveja cuesta $20 y necesita 1 acre de pastura y $15 de alimentación y tratamiento. Para las reses estos valores son: $40, 4 acres y $30. Para las cabras estos valores son: $10, 0,5 acres y $5. La granja tiene 350 acres de pastura y el granjero dispone de $7.500 Por último el granjero ha fijado un límite inferior al número de animales que desea adquirir; este límite inferior es de 20 para las ovejas, 45 para las reses y 100 para las cabras. Determine el número de animales que debe criar el granjero para utilizar completamente sus recursos.

18. Se va a demoler un barrio de 15 acres y el gobierno municipal debe

decidir sobre un plan de desarrollo habitacional. Dispone de $4.020.000 y considera 3 tipos de viviendas: tipo A, B y C. Se pueden construir por acre 20 viviendas de tipo A ó 15 de tipo B ó 12 de tipo C. Los costos de construcción son de $12.000 para una vivienda de tipo A, $18.000 para una vivienda de tipo B y $21.000 para una vivienda de tipo C. Se estima que el mercado potencial combinado es de 225 viviendas. ¿Cuántas viviendas de cada tipo se deberán construir para utilizar todos los recursos y satisfacer la demanda?

19. Un joyero tiene 4 láminas de plata para fabricar 3 tipos de dijes. Con una

lámina de plata puede obtener 20 dijes de tipo 1 ó 15 de tipo 2 ó 25 de tipo 3. Los dijes de tipo 1 llevan una piedra azul, los de tipo 3 una piedra verde y los de tipo 2 pueden llevar una piedra azul o una piedra verde. El joyero dispone de 40 piedras azules y 20 piedras verdes. Para elaborar un dije de tipo 1 el joyero necesita 15 minutos, para fabricar un dije de tipo 2 necesita media hora y elaborar un dije de tipo 3 le toma 6 minutos. El joyero tiene 30 horas disponibles. Determinar el número de dijes de cada tipo que puede elaborar el joyero si quiere utilizar toda su materia prima así como todas las horas de trabajo disponibles.

20. Maira y María están confrontadas. Maira alega haber estado más tiempo

en Estados Unidos que María en sus vacaciones del invierno pasado. Ambas llegaron a ese país el mismo día, María a Chicago y Maira a Boston. En su viaje Maira gastó $1.590 en comida, $4.600 en compras y $1.190 en gastos varios. No gastó nada en alojamiento porque llegó a la


128

casa de un amigo en cada ciudad que visitó. Por su parte María gastó $4.260 en alojamiento, $1.360 en gastos varios, $1.370 en comida y $2.900 en compras. Se sabe que en Chicago María gastó $100 por día en comida, $300 por día en alojamiento, $150 por día en compras y $100 por día en gastos varios. En New York, en comida María gastó $75 por día y Maira $120 por día, en compras María $200 por día y Maira $300 por día, en gastos varios María $150 por día y Maira $100 por día y en alojamiento María $250 por día. En Boston, en comida María gastó $90 por día y Maira $110 por día, en compras María $50 por día y Maira $400 por día, en gastos varios María $20 por día y Maira $50 por día y en alojamiento María $320 por día. En Miami, María gastó en comida $100 por día, en compras $300 por día, en gastos varios $80 por día y en alojamiento $280 por día. Por último, Maira gastó en Philadelphia en comida $80 por día, en compras $200 por día y en gastos varios $85 por día. ¿Quién tiene la razón, Maira o María?

Capitulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales

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