Capitulo 2 (deformacion)

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CAPÍTULO 2 DEFORMACIÓN

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  1. 1. CAPTULO 2 DEFORMACIN
  2. 2. Al aplicar cargas a un slido, ste se deforma. Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro del slido son pequeasde manera tal que, la geometra del slido antes y despus de deformarse es, a efectos prcticos, la misma. Slido deformadoSlido sin deformar
  3. 3. DEFORMACION LONGITUDINAL 0 L l l =
  4. 4. ( ) PQ PQQP limP x x = 0 ( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +++== ( ) ( ) uPuQuPQQP == ( ) P 0x x dx du x u limP == x Configuracin sin deformar Configuracin deformada x = posicin geomtrica u = desplazamiento experimentado
  5. 5. s ss AB = * lim nalong ( ) 1 1 + s s ss * * a lo largo de n Slido no deformado Slido deformado A B n s A* B* s*
  6. 6. DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL, DE CORTE O DE CIZALLADURA h tg yzyz = yz yx z yz h
  7. 7. [ ] = RPQnguloQPRngulo PR PQ P lim [ ] = RPQngulo PR PQ P 2 lim Configuracin sin deformar Configuracin deformada
  8. 8. Las tensiones tangenciales actuando en un punto elstico son la causa de aparicin de las deformaciones angulares. Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientos o acortamientos del punto elstico sino que, simplemente, distorsionan su geometra. yx x y xy yx x y xy 2 2 2 + 2
  9. 9. Considerando un punto elstico (dimensiones infinitesimales), podemos determinar sus dimensiones finales as como los ngulos girados por sus lados xy 2 yz 2 zx 2 (1+x)dx (1+y)dy (1+z)dz Punto elstico antes de deformarse: Punto elstico deformado y x z dx dy dz ydy zdz 2/yz
  10. 10. CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w) DENTRO DE UN SLIDO z y x j i k P Q P* Q*Q P d r d r* 0 P P* Q Q* Vector desplazamiento en P = PP* = P Vector desplazamiento en Q = QQ* = Q kwjviuP rrrr ++= kwjviuQ rrrr ''' ++= u=u(x,y,z) v=v(x,y,z) w=w(x,y,z) Funciones continuas de x,y,z
  11. 11. Relacin entre (u,y,z) y (u,v,w): u' = u + u x dx + u y dy + u z dz v' = v + v x dx + v y dy + v z dz w' = w + w x dx + w y dy + w z dz [ ] rdMPQ rrr += [ ] = z w y w x w z v y v x v z u y u x u M
  12. 12. [ ] = z w y w x w z v y v x v z u y u x u M [ ] [ ] 44444444 344444444 2144444444 344444444 21 simtricaDicahemisimtrW z w z v y w z u x w y w z v y v y u x v x w z u x v y u x u z v y w z u x w y w z v y u x v x w z u x v y u + + + + + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 = Descomposicin de la matriz [M] P Q P* Q*Q P d r d r* [ ] rdMPQ rrr += [ ] [ ]( ) rdDWPQ rrr ++= d r r = d r r + r Q r P [ ] [ ] rdDrdWrdrd rrrr ++= [ ] [ ]( ) [ ] rdDrdWIrd rrr ++=
  13. 13. a) Traslacin de definida por b) Giro definido por la matriz hemisimtrica c) Deformacin definida por la matriz 1QPPQ 21 QPQP QPQP 2 Descomposicin de movimientos
  14. 14. Los pasos a) y b) son comunes (traslacin + giro) para todos los puntos del entorno del punto P, por lo que no producen variacin relativa alguna (deformacin) de las distancias entre el punto P y dichos puntos. Slo el paso c) es el que produce deformaciones en el entorno del punto P y el tensor correspondiente, que admite una representacin a travs de la matriz [D] respecto al sistema de coordenadas que estamos empleando, se denomina Tensor de Deformaciones
  15. 15. INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL TENSOR DE DEFORMACIONES x = u x , y = v y , z = w z , xy = u y + v x , xz = u z + w x , yz = v z + w y D[ ]= x xy 2 xz 2 xy 2 y yz 2 xz 2 yz 2 z
  16. 16. tg = = v x tg = = u y xy = + = u y + v x x y P A B P* A* B* v udy dx dx x v xd x u u + dy y u dy y v v +
  17. 17. DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERA Vector deformacin unitaria: r [ ] [ ] [ ] [ ]uD dr rd D r r limD r rD lim 0r0r v rrr r ====
  18. 18. Deformacin longitudinal unitaria, n, definida como: Componentes intrnsecas de : [ ]( ) lnmnlmnml uuD=u=usobre.proy xzyzxy 2 z 2 y 2 xn n +++++= = rrrrrr Deformacin angular unitaria: n /2 2 n 2 n 2 4 1 += r Relacin: [ ]uD vr =
  19. 19. DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES Para qu direcciones el vector deformacin es perpendicular al plano correspondiente? = TICACARACTERISECUACION0ID 032 2 1 3 =+ III u yxxyyxxy 2 1 2 1 === [ ] [ ] 0 rr rr = = uID uuD xy//2 xy//2 xy//2 xy//2 x x yy Direccin 1 Direccin 2
  20. 20. 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 I zyz xzx zyz yzy yxy xyx 2 + + = I zyx1 ++= DI3 = 032 2 1 3 =+ III (Invariante lineal) (Invariante cuadrtico) (Invariante cbico)
  21. 21. 3 2 1 00 00 00 TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO EN EJES PRINCIPALES 3213 3132212 3211 = ++= ++= I I I Invariantes:
  22. 22. RELACIN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIN Y DEFORMACIN: Para un slido con comportamiento istropo elstico lineal: Si es cero, es tambin nula: Las direcciones principales de tensin Coinciden con las de deformacin. G = max, max min, min int, int
  23. 23. DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA inicialVol. inicialVol.-finalVol. eV = Volumen inicial= dx.dy.dz Volumen final= dx dy dz 1 + x( )1 + y( )1+ z( )= dx dy dz 1 + x + y + z + x y +.......[ ]( ) zyxV e ++= = I1 =
  24. 24. 4444 34444 21 44 344 21 4444 34444 21 desviadoraComp zyzxz yzyxy xzxyx avolumetricComp V V V ndeformaciodeTensor zyzxz yzyxy xzxyx e e e . . ' 2 1 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 2 1 ' 00 00 00 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 + = VzzVyyVxx zyxV eee e === ++= ';';'
  25. 25. ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD ( ) k)z,y,x(wj)z,y,x(vi)z,y,x(uz.y.x rrrr ++= Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarse arbitrariamente en funcin de x, y, z, sino que tendrn que verificar unas determinadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de deformaciones que experimenta el slido sean fsicamente posibles. + = = + + = = + + + = = + zyxzyxzxxz zyxyxzzyyz zyxxzyyxxy xyxzyzzxzzx xyxzyzyyzzy xyxzyzxxyyx 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ; ; ;
  26. 26. CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D) Conocidas las componentes del tensor de deformaciones (x,y,xy/2) en un punto referidas a un sistema cartesiano de referencia x,y, veamos cuales son las componentes de dicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x,y tal que, el su eje x, forma un ngulo . Llamemos (x,y,xy/2) a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia. x x y xy x y xy y xy
  27. 27. ( ) 2cos2sen 2sen 2 2cos 22 2sen 2 2cos 22 '' ' ' xyyxyx xyyxyx y xyyxyx x += + = + + + = xy / 2 xy / 2 yx / 2 yx / 2 x x y y
  28. 28. CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES /2 /2 2 4 2 '' 2 2 ' R yxyx x =+ + 42 R 2 xy 2 yx + = yx x y xy 2 2 xy xy CRITERIO DE SIGNOS:
  29. 29. x y xy x y /2 Direccin y Direccin x 1 2