Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades ... · CV X µ σ = Coeficiente de ...

Capítulo 3:

Elementos de Estatística e Probabilidades aplicados à Hidrologia

Prof. Dr. Doalcey Antunes RamosDepartamento de Engenharia Civil

3.1 - Objetivos3.1 - Objetivos

• Séries de variáveis hidrológicas como precipitações, vazões, evaporação e outras, quando observadas ao longo do tempo, apresentam variações sazonais. Estas variações não são entretanto absolutamente regulares.

• A observação de séries longas de dados hidrológicos revelará a ocorrência de extremos (máximos e mínimos) e diferentes seqüências de valores, que caracterizam as variáveis hidrológicas como ALEATÓRIAS.

• Portanto, variáveis hidrológicas sempre estarão associadas a uma probabilidade de excedência.

• Conseqüentemente, obras hidráulicas devem sempreser dimensionadas para um determinado risco de falha.

• O objetivo da estatística é o de extrair informações significativas de uma dada massa de dados.

• As técnicas utilizadas em Estatística, aplicadas àHidrologia, permitem avaliar a probabilidade de excedência de um fenômeno hidrológico em determinada magnitude.

• As variáveis aleatórias podem ser classificadas em:

• Discretas: só podem assumir valores inteiros• Ex.: nº de dias chuvosos em um ano

• Contínuas: podem assumir qualquer valor numérico real em um intervalo.

• Ex.: vazões médias diárias de um rio em uma determinada seção fluvial

Ano Vazão (m³/s)1973 5681974 6891975 3561976 2581977 7451978 8951979 4591980 2561981 4581982 5641983 6521984 5981985 5891986 6351987 5881988 7211989 6931990 5421991 6541992 4591993 6581994 7011995 6331996 5481997 4881998 7061999 5622000 5882001 4992002 766

HIDROGRAMA DE VAZÕES MÁXIMAS ANUAIS

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1970 1980 1990 2000

Q (m³/s)

3.2 – Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas3.2 – Tratamento Estatístico de Variáveis Hidrológicas

Histograma de Frequências Absolutas Simples

2

0

1

3

4

7

6

5

1 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900

Intervalos de Vazões (m³/s)

m

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta200 to 270 2270 to 340 0340 to 410 1410 to 480 3480 to 550 4550 to 620 7620 to 690 6690 to 760 5760 to 830 1830 to 900 1

Ano Vazão (m³/s)1973 5681974 6891975 3561976 2581977 7451978 8951979 4591980 2561981 4581982 5641983 6521984 5981985 5891986 6351987 5881988 7211989 6931990 5421991 6541992 4591993 6581994 7011995 6331996 5481997 4881998 7061999 5622000 5882001 4992002 766

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa200 to 270 2 0,067270 to 340 0 0,000340 to 410 1 0,033410 to 480 3 0,100480 to 550 4 0,133550 to 620 7 0,233620 to 690 6 0,200690 to 760 5 0,167760 to 830 1 0,033830 to 900 1 0,033

n 30

Histograma de Frequências Relativas Simples

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900


m/n

Ano Vazão (m³/s)1973 5681974 6891975 3561976 2581977 7451978 8951979 4591980 2561981 4581982 5641983 6521984 5981985 5891986 6351987 5881988 7211989 6931990 5421991 6541992 4591993 6581994 7011995 6331996 5481997 4881998 7061999 5622000 5882001 4992002 766

A freqüência relativa simples representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe.

[ ] nmxXxP ji =≤≤

[ ] %1313,0550480 3 ==≤≤ smQP

Histograma de Frequências Relativas Simples

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900


m/n

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Cresc.200 to 270 2 0,067 0,067270 to 340 0 0,000 0,067340 to 410 1 0,033 0,100410 to 480 3 0,100 0,100480 to 550 4 0,133 0,333550 to 620 7 0,233 0,567620 to 690 6 0,200 0,767690 to 760 5 0,167 0,933760 to 830 1 0,033 0,967830 to 900 1 0,033 1,000

n 30

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9001,000

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900

m/n

Intervalo de Vazões (m³/s)

Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900

m/n


Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Crescente

A freqüência relativa acumulada crescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X seja menor do que o limite superior do intervalo de classe considerado.

[ ] ( )∑=≤ nmxXP j

[ ] %3,33333,0550 3 ==≤ smQP

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9001,000

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900

m/n


Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente

Vazões (m³/s) Freq. Absoluta Freq. Relativa Freq. Rel. Acum Decresc.200 to 270 2 0,067 1,000270 to 340 0 0,000 0,933340 to 410 1 0,033 0,933410 to 480 3 0,100 0,900480 to 550 4 0,133 0,800550 to 620 7 0,233 0,667620 to 690 6 0,200 0,433690 to 760 5 0,167 0,233760 to 830 1 0,033 0,067830 to 900 1 0,033 0,033

n 30

A freqüência relativa acumulada decrescente representa a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X seja maior do que o limite inferior do intervalo de classe considerado.

[ ] ( )∑−=≥ nmxXP i 1

[ ] %7,66667,0550 3 ==≥ smQP

0,0000,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9001,000

200 to

270

270 to

340

340 to

410

410 to

480

480 to

550

550 to

620

620 to

690

690 to

760

760 to

830

830 to

900

m/n


Histograma de Frequências Relativas Acumuladas Decrescente

• PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA:

• PROBABILIDADE DE EXCEDÊNCIA:

[ ] nmxXxP ji =≤≤

[ ] ( )∑−=≥ nmxXP i 1

[ ] %7,66667,0550 3 ==≥ smQP

[ ] %1313,0550480 3 ==≤≤ smQP

Função Densidade de Probabilidade

( ) ( )∫=≤≤b

a

x dxxfbxaP

( )

( ) 1

0

=

≥

∫∞

∞−

dxxf

xf

x

x

Propriedades:

A função densidade de probabilidade fornece a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória X esteja entre os valores limites de um certo intervalo de classe, por exemplo, entre “a” e “b”.

Fonte: Naghettini e Pinto, 2007.

Medidas Descritivas PopulacionaisMedidas Descritivas Populacionais

[ ] ∑== )( iXiX xpxXE µ

Valor Esperado:Valor Esperado:

[ ] dxxfxXE XX ∫∞

∞−

== )(µ

V.A. discreta:V.A. discreta:

V.A. contínua:V.A. contínua:

O Valor Esperado é uma medida de tendência central

[ ] ( )[ ] [ ]( )[ ]222

2 XEXEXEXVar XX −=−=== µµσ

Variância:Variância:

[ ] ( )222

2 ][][ XEXEXVar X −=== µσ

Medidas de dispersão em torno da medida centralMedidas de dispersão em torno da medida central

Desvio-padrão:Desvio-padrão:

[ ] ( )( )22 ][][ XEXEXVarX −==σ

[ ] ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−==

2

2 )()( dxxfxdxxfxXVar XXXσ

Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação

X

XXCV

µσ=

Coeficiente de Assimetria:Coeficiente de Assimetria:

Coeficiente de CurtoseCoeficiente de Curtose

( )( )[ ]

( )3

3

33

X

X

X

XE

σµ

σµγ −==

( )( )[ ]

( )4

4

44

X

X

X

XE

σµ

σµκ −==

Medidas Descritivas AmostraisMedidas Descritivas Amostrais

∑=

=N

iix

NX

1

1

Média Aritmética Simples:Média Aritmética Simples:

Média Aritmética Ponderada:Média Aritmética Ponderada:

∑∑==

==+++=k

iii

k

iii

kk xpxNNN

xNxNxNX

11

2211 1...

• Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de ocorrência de valores superiores e inferiores são as mesmas e iguais a 50%

• Moda : valor de x que possui a máxima probabilidade, ou em outras palavras, é o mais frequente.

• Mediana : valor de x para o qual as probabilidades de ocorrência de valores superiores e inferiores são as mesmas e iguais a 50%

• Moda : valor de x que possui a máxima probabilidade, ou em outras palavras, é o mais frequente.

Desvio-Padrão Amostral:Desvio-Padrão Amostral:

( ) ( )

−

−=

−−

== ∑∑−−

222

11 11X

N

x

N

N

N

Xxs i

NN σ

Coeficiente de Variação AmostralCoeficiente de Variação Amostral

X

sC N

V1−=

Coeficiente de Assimetria Amostral:Coeficiente de Assimetria Amostral:

( )( )

+⋅−

−−= ∑∑ XX

N

x

N

x

NN

Ng 2

²3

³

21

2


• A correlação entre duas variáveis aleatórias é uma técnica muito utilizada em Hidrologia. Muitas análises se baseiam nesta estatística.

• A teoria da regressão e da correlação visa determinar a melhor relação de dependência entre as variáveis e estabelecer qual é o grau dessa dependência estocástica.

REGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEISREGRESSÃO E CORRELAÇÃO ENTRE VARIÁVEIS

• Utilização das técnicas de regressão e correlação em hidrologia:

• Extensão de séries• Previsão hidrológica• Regionalização hidrológica• Curva-chave

( )??0

==−=

na

hhaQ n

• Problema Estatístico ou de CORRELAÇÃO:

• Qual é o grau de dependência estocástica entre x e y ? • Qual é o coeficiente de correlação R entre x e y ?

• Problema Geométrico ou de REGRESSÃO:

• Qual é a melhor relação entre x e y ? • Qual é o lugar geométrico dos pontos (xi , yi ) que tornam

mínimos os desvios entre os pontos observados e estimados ?

• 1º Problema: R = ?

• 2º Problema: a = ?b = ?

Fonte: Naghettini, 1999.

-1 ≤ R ≤ 1

R = 0 não existe correlação

R = 1 relação funcionalR = -1relação funcional

Fonte: Naghettini, 1999.

Modelos de Regressão:

• Simples :

• Linear: y = a X + b

• Não linear: y = a X b

• Múltipla :

• Linear: y = a X + b Z + c T + ...

• Não linear: y = a X m . Z n . T p

• Seqüência para a regressão simples:

• Agrupar as 2 amostras convenientemente• Verificar o sentido físico• Plotar os pontos (x , y)• Escolher o modelo de regressão, ou seja, a forma

da equação• Resolver matematicamente o problema• Verificar se os resultados estão de acordo com os

princípios físicos

• Covariância

( )( )∑ −−= YyXxN

YX ii

1),cov(

YXYX

YXR

σσρ

.

),cov(2, ==

• Coeficiente de Correlação

Linearização de Funções: anamorfose logaritmica

Função

Transf. Y

Transf. X

Forma

linearizada

BAXY =

( )Ylog

( )Xlog

( ) ( ) ( )XBAY logloglog +=

3.3 – Determinação da Probabilidade de um Evento Hidrológico ser Excedido

3.3 – Determinação da Probabilidade de um Evento Hidrológico ser Excedido

Problema:

Qual é a probabilidade P de uma variável hidrológica Xser igualada ou excedida em um ano qualquer ?

Exemplo:

Vazão em uma seção: P [ Q ≥ 40 m³/s ] = ?

Altura de chuva: P [ h ≥ 120 mm] = ?

Nível d’água: P [ y ≥ 4,0 m ] = ?

Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência): Período de Retorno ( ou Tempo de Recorrência):

Intervalo de tempo, em anos, em que uma variável hidrológica é igualada ou excedida, em mem méédiadia.

T ( em anos) = 1/P

É calculado como o inverso da probabilidade de excedência da variável aleatória hidrológica

• Se uma vazão Q tem um período de retorno de 50 anos isto significa que, em média(!), esta vazão éigualada ou excedida a cada 50 anos.

• Em outros termos: A vazão Q tem uma probabilidade P = 1/T = 1/50 = 0.02 (ou 2%) de ser igualada ou excedida, em um ano qualquer.

• OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:– Período de Retorno é um conceito probabilístico (não significa

periodicidade!)

– O período de retorno, T, é o inverso da probabilidade de excedência de um certo valor da variável aleatória.

• Risco é a probabilidade de uma obra falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, n, para um certo período de retorno.

Risco associado a um Período de Retorno: Risco associado a um Período de Retorno:

• Exemplo:– Qual o risco da canalização de um rio falhar pelo menos uma

vez durante sua vida útil, estimada em 30 anos? Suponha que a obra tenha sido projetada para T = 100 anos.

– Resposta: r = 1 - (1 - 1/100)30 = 0,2603 = 26,03%

n

Tr

−−= 111

0

20

40

60

80

100 R

isco

(%)

0 10 20 30 40 50

Vida Útil (anos)

T = 5 anos

T = 10 anos

T = 50 anos

T = 100 anos

T = 500 anos

Fonte: Zahed e Mello, 2010.

Função de Distribuição Acumulada

( ) ( ) ( )bxPdxxfbFb

xx ≤== ∫∞−

A função de distribuição acumulada representa a probabilidade de não-excedência do valor b


Probabilidade de Excedência

[ ] [ ] ( ) ( )dxxfbFbXPbXPb

xx ∫∞−

−=−=≤−=> 111

Período de RetornoPeríodo de Retorno

[ ] [ ] ( ) ( )dxxfbFbXPbXP

T b

xx

∫∞−

−=

−=

≤−=

>=

1

1

1

1

1

11

Exemplo:Exemplo:

[ ] [ ] ( ) ( )dhhfFhPhP

T

hh

∫∞−

−=

−=

≤−=

>= 100

1

1

1001

1

1001

1

100

1

Qual o período de retorno de uma chuva de 100mm na cidade de Joinville?

Fator de Frequência:Fator de Frequência:

Chow (1964): TX Kxondexx ⋅=∆∆+= σµ

TXT Kx ⋅+=⇒ σµ

Usando as estimativas amostrais:

TXT KXx ⋅+= σ

KT é o fator de frequência associado ao modelo probabilístico e ao período de retorno T.

Funções de Distribuição Acumuladas mais utilizadas em Hidrologia

( ) ( ) ( )bxPdxxfbFb

xx ≤== ∫∞−



Distribuições:

Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais

Log-Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais

vazões máximas anuais e vazões máximas mensais

Gumbel: vazões máximas anuais e mensais

chuvas diárias máximas anuais e mensais

Log-Pearson III: vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais

Distribuições:

Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais

Log-Normal: vazões médias e totais de chuvas anuais e mensais

vazões máximas anuais e vazões máximas mensais

Gumbel: vazões máximas anuais e mensais

chuvas diárias máximas anuais e mensais

Log-Pearson III: vazões máximas e chuvas diárias máximas anuais

DISTRIBUIÇÃO NORMAL (ou de GAUSS)

É uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σÉ uma distribuição simétrica de 2 parâmetros: µ e σ

( )( )

∞<<∞−⋅=−−

xexfx

X

2

2

2

2

1 σµ

πσ



( )( )

dxedxxfxFx xx

X ∫∫∞−

−−

∞−

⋅== 2

2

2

2

1)( σ

µ

πσ



( ) ∫∞−

−=Φ⇒⋅=

z

Z

z

z dzzfzezf )()(2

1 2

2

π

σµ−= x

z

( )( )

∞<<∞−⋅=−−

xexfx

X

2

2

2

2

1 σµ

πσ

Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :

Variável central reduzida:Variável central reduzida:

Fonte: Pinto e outros, 1976.

XTT KXx σ+=

Nesse caso:

XT

XxzK

σ−==

DISTRIBUIÇÃO LOG-NORMAL

( ) ∫∞−

−=Φ⇒⋅=

z

Z

z

z dzzfzezf )()(2

1 2

2

π

• É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µy e σy

• É a distribuição normal dos logaritmos de X:

• É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: µy e σy

• É a distribuição normal dos logaritmos de X:

Y

Yyz

σµ−=

ii xy ln=

Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :Distribuição Normal Padrão N(0,1) – tabelada :

Variável central reduzida:Variável central reduzida:

YTT KYy σ+=

Nesse caso:

YT

YyzK

σ−==

TyT ex =

DISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL



É uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e βÉ uma distribuição assimétrica de 2 parâmetros: α e β

βα−= x

y

σσπ

β

σµβµα

⋅=⋅=

⋅−=⋅−=

7797,06

45,05772,0

Variável reduzida:Variável reduzida:

b

ax

eX exXPXF

−−−=≤= )()(

yeY eyF

−−=)(


σσµ

βα

7797,0

45,0+−=−= xxy

Variável reduzida:Variável reduzida:

yeY eyF

−−=)(

TeyFxXP

yeY

11)(1)( =−=−=≥

−−

−−−=T

y1

1lnln

yeeT −−−

=1

1

X

XXTT

XKXy

σσσ

7797,0

45,0+−+=

XTT KXx σ+=

X

XTT

Xxy

σσ

7797,0

45,0+−=

45,07797,0 += TT yK

Exemplo de aplicação:

Determinação de Q para um certo período de retorno T

Exemplo de aplicação:

Determinação de Q para um certo período de retorno T

1. Com o valor de TT desejado calcula-se yyTT

2. O valor de KKTT depende somente de yy

3. O valor de QQTT é então calculado por:

−−−=T

y T

11lnln

45,07797,0 −= TT yK

QTT KQQ σ⋅+=

DISTRIBUIÇÃO LOG-GUMBEL (ou FRÉCHET)

É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de X:É a distribuição de Gumbel dos logaritmos de X:

ii xz ln=

45,07797,0 −= yKT

−−−=T

y1

1lnln

ZTT KZz σ⋅+=Tz

T ex =

DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III

• É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o desvio-padrão σ , e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos logaritmos de X :

• É uma distribuição assimétrica de 3 parâmetros: a média µ, o desvio-padrão σ , e o coeficiente de assimetria g, aplicados aos logaritmos de X :

ii xy ln= ( )

( ) ( ) 23

1

2

1

3

2

−−

−⋅=

∑

∑

=

=

N

ii

N

ii

YyN

YyNg


DISTRIBUIÇÃO LOG-PEARSON III

YTT KYy σ+= TyT ex =


Exemplo numérico:

Calcular a vazão de 10 anos de período de retorno do Rio do Peixe

Exemplo numérico:

Calcular a vazão de 10 anos de período de retorno do Rio do Peixe

QmaxAno81.6194773.1194860.2194949.7195068.31951

114.5195289.9195340.4195444.6195568.7195659.6195767.7195870.3195947.0196069.4196148.8196233.9196371.5196493.5196579.51966

107.9196773.3196840.7196992.2197068.3197154.8197261.9197338.4197459.2197552.41976

Vazão média: Qm= 63,04 m3/s

Desvio padrão: σQ= 19,70 m3/s

TT KQ 70,1904,63 +=

1 – Usando a Distribuição Normal

QTT KQQ σ+=

QT

QQzK

σ−==

TT KQ 70,1904,63 +=

10,010

1110 ===⇒=

TPanosT

90,010,011 =−=− P

( ) 28,190,01 10 ==⇒=−⇒ KzPpara

( ) 28,190,01 10 ==⇒=−⇒ KzPpara

TT KQ 70,1904,63 +=

smQ

Q

Kpara

310

10

10

256,88

28,1.70,1904,63

28,1

=⇒

+=⇒

==⇒

Q10= 63,04 + 1,304x 19,70

Q10= 88,74 m3/sQ10= 88,74 m3/s

250,210

11lnln =

−−−=y

304,145,0250,2.7797,0 =−=TK

2 – Usando a Distribuição de Gumbel

y10= 2,250 Q10 = 89 m3/s

y100= 4,601 Q100 = 125 m3/s

y1000= 6,907 Q1000= 160 m3/s

Calculando y para outros valores de T

Para T= 10 anos:

Para T= 100 anos:

Para T= 1000 anos:

Papel de ProbabilidadePapel de Probabilidade

-1 1 3 5 7 9 variável reduzida (y)

Papel de Probabilidades de Gumbel

1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)

Prof. Dr. Kamel Zahed Filho Prof. Dr.Rubem La Laina Porto


-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 variável reduzida (z)

Papel de Probabilidades Normal

2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100001.1

T(anos)



-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 variável reduzida (z)

Papel de Probabilidades Log-Normal

2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100001.1

T(anos)





1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)



DISTRIBUIÇÃO DE GUMBELDISTRIBUIÇÃO DE GUMBEL



1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)


para T= 10 anos: y10= 2,250 Q10= 89 m3/s

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

para T= 100 anos: y100= 4,601 Q100= 125 m3/spara T= 1000 anos: y1000= 6,907 Q1000= 161 m3/s

Reta teórica

• Ordenar as vazões em ordem decrescente e atribuir a cada uma delas uma probabilidade empírica dada pela expressão:

P(q > Q) = m/(N+1)

como na Tabela:

Processo Gráfico

Número de Vazão Probabilidade Período deOrdem Retorno

m Q P(q >= Q) T = 1/P1 Q 1 1/(N+1) (N+1)

2 Q 2 2/(N+1) (N+1)/2

3 Q 3 3/(N+1) (N+1)/3

... ... ... ...

... ... ... ...

N Q N N/(N+1) (N+1)/N


QmaxAno81.6194773.1194860.2194949.7195068.31951114.5195289.9195340.4195444.6195568.7195659.6195767.7195870.3195947.0196069.4196148.8196233.9196371.5196493.5196579.51966107.9196773.3196840.7196992.2197068.3197154.8197261.9197338.4197459.2197552.41976

Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráficoTPacumQmaxAnoN. de Ordem

N+1m/N+1m31.000.03114.51952115.500.06107.91967210.330.1093.5196537.750.1392.2197046.200.1689.9195355.170.1981.6194764.430.2379.5196673.880.2673.3196883.440.2973.1194893.100.3271.51964102.820.3570.31959112.580.3969.41961122.380.4268.71956132.210.4568.31951142.070.4868.31971151.940.5267.71958161.820.5561.91973171.720.5860.21949181.630.6159.61957191.550.6559.21975201.480.6854.81972211.410.7152.41976221.350.7449.71950231.290.7748.81962241.240.8147.01960251.190.8444.61955261.150.8740.71969271.110.9040.41954281.070.9438.41974291.030.9733.9196330




1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)


20

40

60

80

100

120

140

160

180

200TPacumQmax

N+1m/N+131.000.03114.515.500.06107.910.330.1093.57.750.1392.26.200.1689.95.170.1981.64.430.2379.53.880.2673.33.440.2973.13.100.3271.52.820.3570.32.580.3969.42.380.4268.72.210.4568.32.070.4868.31.940.5267.71.820.5561.91.720.5860.21.630.6159.61.550.6559.21.480.6854.81.410.7152.41.350.7449.71.290.7748.81.240.8147.01.190.8444.61.150.8740.71.110.9040.41.070.9438.41.030.9733.9

Q100= 136 m3/s

Reta empírica

Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráfico

-1 1 3 5 7 9


1.1 2 5 20 100 500 2000 1000010 50 200 1000 5000

T(anos)

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200Reta empírica

Reta teórica

Aplicação do procedimento gráficoAplicação do procedimento gráfico

Fontes :

• Naghettini, M. Engenharia de Recursos Hídricos – Notas de Aula, Departamento de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, EE-UFMG, Belo Horizonte, 1999.

• Zahed Fº, K & Mello Jr. A. V. Material de Aulas - Disciplina PHD2307 -Hidrologia Aplicada, Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental, Poli-USP, São Paulo, 2010.

• Naghettini, M. e Pinto, E. J. A. Hidrologia Estatística, CPRM, Belo Horizonte, 2007.(in: http://www.cprm.gov.br).

. Pinto, N.L.S. e outros. Hidrologia Básica, Edit. Edgard Blucher, São Paulo, 1976.

Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades ... · CV X µ σ = Coeficiente de ...

Documents

Transcript of Capítulo 3: Elementos de Estatística e Probabilidades ... · CV X µ σ = Coeficiente de ...