PROBABILIDADES E INTRODUÇÃO A PROCESSOS · PDF fileDistribuição...

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  • 11MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    PROBABILIDADES EPROBABILIDADES E

    INTRODUO A PROCESSOS INTRODUO A PROCESSOS

    ESTOCSTICOSESTOCSTICOS

    Aula Aula 77 11 e 12 abril11 e 12 abril 20072007

  • 22MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    Distribuies DiscretasDistribuies Discretas1. Distribuio Bernoulli

    2. Distribuio Binomial

    3. Distribuio Geomtrica

    4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa

    5. Distribuio Hipergeomtrica

    6. Distribuio Poisson. Aplicaes

  • 33MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    1. Distribuio Bernoulli1. Distribuio BernoulliSeja um experimento com espao amostral S. Seja A um evento tal que:

    Se A acontece, temos um xito tal que P(A) = p

    Se A no acontece, temos um fracasso tal que P(Ac) = q, onde p + q = 1.

    Seja X uma v.a. discreta com a funo p(x) definida:

    ==

    ===1,00

    01

    )(][xxqxp

    xpxXP

  • 44MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    1. Distribuio Bernoulli 1. Distribuio Bernoulli -- ParmetrosParmetros

    Para uma v.a. X ~ Bernoulli (p) demonstre que:

    Valor Esperado de X :

    E(X) = p

    Variana de X:

    V(X) = pq

  • 55MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    2. Distribuio Binomial2. Distribuio BinomialSeja um experimento com espao amostral S.

    Seja A um evento tal que se A acontece, temos um xito tal que P(A) = p.

    Se A no acontece, temos um fracasso tal que P(Ac) = q,

    (onde p + q = 1) e ambas as probabilidades constantes.

    Exemplo:

    a) Lanamentos sucessivos de uma moeda e o evento de interesse o nmero de caras.

    b) Nascimento de crianas e o evento de interesse o nmero de meninas.

  • 66MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    2. Distribuio Binomial2. Distribuio Binomial

    Considere n repeties independentes do experimento i.e. uma sequncia de n experimentos Bernoulli.

    Seja X : nmero de vezes que o evento A acontece nas n repeties.

    A v.a. X assim definida tem a funo de probabilidade:

    nxqpxn

    xpxXP xnx ,....1,0)(][ =

    ===

  • 77MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    2. Distribuio Binomial 2. Distribuio Binomial -- ParmetrosParmetros

    Para uma v.a. X ~ Binomial (n,p) demonstre:

    Valor Esperado de X :

    E(X) = np

    Variana de X:

    V(X) = npq

    Usar E(x2) = E[x (x 1)] + E(x)

  • 88MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    3. Distribuio Geomtrica3. Distribuio Geomtrica

    Seja um experimento com espao amostral S. Seja A um evento tal que se A acontece, temos um xito tal que P(A) = p. Se A no acontece, temos um fracasso tal que P(Ac) = q, (onde p + q = 1) e ambas as probabilidades constantes.

    Considere n repeties independentes do experimento i.e. uma sequncia de n experimentos Bernoulli.

    Seja X : nmero de repeties do experimento necessrias para obter a primeira ocorrencia do evento A, nele se incluindo essa ltima.

  • 99MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    3. Distribuio Geomtrica3. Distribuio Geomtrica

    A v.a. X assim definida tem a funo de probabilidade:

    Exemplos:

    a) Nmero de provas atlticas at conseguir quebrar uma marca.

    b) Nmero de lmpadas ensaidas at encontrar a primeira defeituosa.

    ,..2,.1)(][ 1 ==== xqpxpxXP x

  • 1010MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    3. Distribuio Geomtrica3. Distribuio GeomtricaExemplo: Joo deve a Antonio R$130,00. Cada viagem de Antonio casa de Joo custa R$20,00 e a probabilidade de Joo ser encontrado em casa 1/3. Se Antonio encontrar a Joo conseguir cobrar a dvida.

    a) Qual a probabilidade de Antonio ter de ir mais de trs vezes casa de Joo para conseguir cobrar a dvida?

    b) Se na segunda vez que Antonio foi casa de Joo ainda no o encontrou, qual a probabilidade de conseguir cobrar na terceira vez? Qual propriedade poderia utilizar para dar uma resposta direta? Prop. de Perda de Prop. de Perda de Memria da Distribuio Geomtrica.Memria da Distribuio Geomtrica.

  • 1111MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    3. Distribuio Geomtrica3. Distribuio GeomtricaDesafios:Desafios:

    1. Pesquisar sobre a Prop. de Perda de 1. Pesquisar sobre a Prop. de Perda de Memria da Distribuio Geomtrica.Memria da Distribuio Geomtrica.

    2. Mostre que para quaisquer dois inteiros 2. Mostre que para quaisquer dois inteiros positivos positivos ss e e tt, temos:, temos:

    P(X > P(X > s + ts + t/ X > / X > ss) = P(X > ) = P(X > tt))

  • 1212MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    3. Distribuio Geomtrica 3. Distribuio Geomtrica -- ParmetrosParmetros

    Para uma v.a. X ~ Geomtrica (p) demonstre:

    Valor Esperado de X :

    E(X) = 1/p

    Variana de X:

    V(X) = q/p2

    Usar E(x2) = E[x (x 1)] + E(x)

  • 1313MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa

    Seja um experimento com espao amostral S. Seja A um evento tal que se A acontece, temos um xito tal que P(A) = p. Se A no acontece, temos um fracasso tal que P(Ac) = q, (onde p + q = 1) e ambas as probabilidades constantes.

    Considere n repeties independentes do experimento i.e. uma sequncia de n experimentos Bernoulli.

    Seja X : nmero de repeties necessrias at que o enevto A ocorra pela r-sima vez. (r 1)

  • 1414MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa

    A v.a. X assim definida tem a funo de probabilidade:

    1,11

    )(][

    === rrxqprx

    xpxXP rxr

  • 1515MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa4. Distribuio Pascal ou Binomial NegativaExemplo:

    Uma companhia recebe uma encomenda para fundir tres peas complicadas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado 0,4; sendo o molde destrudo quando da retirada da pea. Qual a probabilidade de se fundir no mximo 6 peas para atender a encomenda?

    P(conseguir um molde adequado) = p = 0,4

    r = 3, pede-se calcular P(X 6).

    Comprove que P(X 6) = 0,4556

  • 1616MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa4. Distribuio Pascal ou Binomial Negativa

    Para uma v.a. X ~ Pascal (p) demonstre:

    Valor Esperado de X :

    E(X) = r/p

    Variana de X:

    V(X) = rq/p2

    A Distribuio Geomtrica um caso particular da Dist. Pascal quando r = 1.

  • 1717MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    5. Distribuio Hipergeomtrica5. Distribuio HipergeomtricaSeja um conjunto de N elementos nos quais r N possuem uma caracteristica . Supe-se que deste conjunto seja extrada uma amostra de n elementos sem reposio.

    Seja X : nmero de elementos com a caracteristica na amostra.

    A v.a. X assim definida tem a funo de probabilidade:

    =

    ===nrsernrsen

    xpara

    nN

    xnrN

    xr

    xpxXP ,...1,0)(][

  • 1818MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    5. Distribuio Hipergeomtrica5. Distribuio HipergeomtricaExemplo:

    O pessoal do departamento de Eletrnica estconstitudo de cinco engenheiros e 9 tcnicos. Escolhem-se aleatoriamente cinco indivduos para trabalharem em um projeto. Qual a probabilidade de que o grupo de projeto tenha exatamente dois engenheiros?

  • 1919MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    5. 5. DistDist. Hipergeomtrica . Hipergeomtrica -- ParmetrosParmetros

    Para uma v.a. X ~ Hipergeomtrica demonstre:

    Valor Esperado de X :

    E(X) = np

    Variana de X:

    V(X) = npq [(N n)/(N 1)]

    onde p = r/N

  • 2020MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    5. Dist. Hipergeomtrica 5. Dist. Hipergeomtrica -- PropriedadePropriedade

    Para N grande (N > 10n) a Dist. Hipergeomtrica pode ser aproximada a uma Dist. Binomial.

    Se N e n muito pequeno ento

    [(N n)/(N 1)] 1

    Neste caso V(X~Binomial) = V(X~Hipergeomtrica) e as probabilidades de extrao com reposio e sem reposio so equivalentes.

  • 2121MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    6. Distribuio Poisson6. Distribuio PoissonNo caso da distribuio binomial (e das outras estudadas at agora), a varivel de interesse o nmero de sucessos em um intervalo discreto (n observaes ou repeties). Muitas vezes,entretanto, o interesse o nmero de sucessos em um intervalo contnuo

    Exemplos:

    Em um call center chegam, em mdia, 3 ligaes por minuto;

    Em um determinado processo de fabricao de cabos, em mdia, aparece 1 falha a cada 400 metros.

    (aula do Prof. Rodrigo)

  • 2222MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    6. Distribuio Poisson6. Distribuio Poisson

    Def: Se X uma v.a. que igual ao nmero de sucessos em um intervalo contnuo, ento diz-se que esta segue uma distribuio de Poisson.

    A v.a. X assim definida tem a funo de probabilidade:

    ento X~Poisson ().

    ,.......2,1,0!

    )(][ ====

    xparax

    expxXPx

  • 2323MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    6. Distribuio Poisson 6. Distribuio Poisson -- ParmetrosParmetros

    Para uma v.a. X ~ Poisson () demonstre:

    Valor Esperado de X :

    E(X) =

    Variana de X:

    V(X) =

    Usar E(x2) = E[x (x 1)] + E(x)

  • 2424MOQ-12 Probabilidades e Int. a Processos Estocsticos

    6. Distribuio Poisson como aproximao 6. Distribuio Poisson como aproximao da Distribuio Binomialda Distribuio Binomial

    Qua