Aula 6. Inferência para duas populações normais.

Capítulo 13,Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

nxxx ,,, 21

amostra 1

população 1

população 2myyy ,,, 21

1

21 ,,,

DistX

X

XXX

i

i

n

independentes

2

21 ,,,

DistY

Y

YYY

i

i

m

independentes

amostra 2

Dist1 e Dist2 são iguais?

nxxx ,,, 21

amostra 1

população 1normal

população 2normal myyy ,,, 21

),(

,,,

211

21

NX

X

XXX

i

i

n

independentes

),(

,,,

222

21

NY

Y

YYY

i

i

m

independentes

amostra 2

μ1 = μ2? e σ1 = σ2?

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

21

210

:

:

A

H

estimador de σ12

1

)(1

2

21

n

xxs

n

ii

estimador de σ22

1

)(1

2

22

m

yys

m

ii

estatística de teste para σ12

212

1

21)1(

n

Sn

estatística de teste para σ22

212

2

22)1(

m

Sn

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

21

210

:

:

A

H como comparar σ12 e σ2

2 ?

1. comparar σ12 - σ2

2 com 0

2. comparar σ12 / σ2

2 com 1

não sei como fazer

sabemos como fazer

22

22

22

21

21

21

22

21

)1()1(

)1()1(

Smm

Snn

S

S

)1(

)1(

)1(

)1(2

1

21

21

22

21

21

m

n

m

n

m

n

m

n

1;121

21

)1(

)1(

mnm

n

F

m

n

1;122

21

mnFS

Sestatística do teste é

21

22

21

21

)1(

)1(

m

n

m

n

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Distribui%C3%A7%C3%A3o_F-Snedcor&action=edit&redlink=1http://en.wikipedia.org/wiki/F-distributionhttp://davidmlane.com/hyperstat/F_table.html - on-line tabela

Se a hipótese nula é verdadeira

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

1;122

21

mnFS

S

11;12/12

2

211;1

2/mnmn f

S

SfP

22

21

0 s

sf 1. calculamos

2. se f0 em região (), então aceitamos H0

se f0 em região (), então aceitamos A

Teste de hipótese

Exemplo. (p.359, [1]) Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de máquina A e 8 peças de máquina B, e obtivemos as seguintes resistências: de máquina A 145; 127; 136; 142; 141; 137 de máquina B 143; 128; 132; 138; 142; 133; 134; 138:

21

210

:

:

A

H

1. calcularemos sA2=40, sB

2=26.6 (maior dividimos pelo menor)

40/26.6=1.51>1 F(6-1;8-1)=F(5;7)

2. para α=10% pela tabela (usaremos α/2=5%), o valor crítico deu 3.97

3. a razão 40/26.6=1.51 menor de que o valor crítico – aceitamos hipótese nula

As hipóteses a serem testadas são

df2/df1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120

1 161.44 199.50 215.70 224.58 230.16 233.98 236.76 238.88 240.54 241.88 243.90 245.94 248.01 249.05 250.09 251.14 252.19 253.25

2 18.512 19.000 19.164 19.246 19.296 19.329 19.353 19.371 19.384 19.395 19.412 19.429 19.445 19.454 19.462 19.470 19.479 19.487

3 10.128 9.5521 9.2766 9.1172 9.0135 8.9406 8.8867 8.8452 8.8123 8.7855 8.7446 8.7029 8.6602 8.6385 8.6166 8.5944 8.5720 8.5494

4 7.7086 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 6.0942 6.0410 5.9988 5.9644 5.9117 5.8578 5.8025 5.7744 5.7459 5.7170 5.6877 5.6581

5 6.6079 5.7861 5.4095 5.1922 5.0503 4.9503 4.8759 4.8183 4.7725 4.7351 4.6777 4.6188 4.5581 4.5272 4.4957 4.4638 4.4314 4.3985

6 5.9874 5.1433 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 4.2067 4.1468 4.0990 4.0600 3.9999 3.9381 3.8742 3.8415 3.8082 3.7743 3.7398 3.7047

7 5.5914 4.7374 4.3468 4.1203 3.9715 3.8660 3.7870 3.7257 3.6767 3.6365 3.5747 3.5107 3.4445 3.4105 3.3758 3.3404 3.3043 3.2674

8 5.3177 4.4590 4.0662 3.8379 3.6875 3.5806 3.5005 3.4381 3.3881 3.3472 3.2839 3.2184 3.1503 3.1152 3.0794 3.0428 3.0053 2.9669

9 5.1174 4.2565 3.8625 3.6331 3.4817 3.3738 3.2927 3.2296 3.1789 3.1373 3.0729 3.0061 2.9365 2.9005 2.8637 2.8259 2.7872 2.7475

10 4.9646 4.1028 3.7083 3.4780 3.3258 3.2172 3.1355 3.0717 3.0204 2.9782 2.9130 2.8450 2.7740 2.7372 2.6996 2.6609 2.6211 2.5801

11 4.8443 3.9823 3.5874 3.3567 3.2039 3.0946 3.0123 2.9480 2.8962 2.8536 2.7876 2.7186 2.6464 2.6090 2.5705 2.5309 2.4901 2.4480

12 4.7472 3.8853 3.4903 3.2592 3.1059 2.9961 2.9134 2.8486 2.7964 2.7534 2.6866 2.6169 2.5436 2.5055 2.4663 2.4259 2.3842 2.3410

13 4.6672 3.8056 3.4105 3.1791 3.0254 2.9153 2.8321 2.7669 2.7144 2.6710 2.6037 2.5331 2.4589 2.4202 2.3803 2.3392 2.2966 2.2524

14 4.6001 3.7389 3.3439 3.1122 2.9582 2.8477 2.7642 2.6987 2.6458 2.6022 2.5342 2.4630 2.3879 2.3487 2.3082 2.2664 2.2229 2.1778

15 4.5431 3.6823 3.2874 3.0556 2.9013 2.7905 2.7066 2.6408 2.5876 2.5437 2.4753 2.4034 2.3275 2.2878 2.2468 2.2043 2.1601 2.1141

16 4.4940 3.6337 3.2389 3.0069 2.8524 2.7413 2.6572 2.5911 2.5377 2.4935 2.4247 2.3522 2.2756 2.2354 2.1938 2.1507 2.1058 2.0589

17 4.4513 3.5915 3.1968 2.9647 2.8100 2.6987 2.6143 2.5480 2.4943 2.4499 2.3807 2.3077 2.2304 2.1898 2.1477 2.1040 2.0584 2.0107

18 4.4139 3.5546 3.1599 2.9277 2.7729 2.6613 2.5767 2.5102 2.4563 2.4117 2.3421 2.2686 2.1906 2.1497 2.1071 2.0629 2.0166 1.9681

19 4.3807 3.5219 3.1274 2.8951 2.7401 2.6283 2.5435 2.4768 2.4227 2.3779 2.3080 2.2341 2.1555 2.1141 2.0712 2.0264 1.9795 1.9302

20 4.3512 3.4928 3.0984 2.8661 2.7109 2.5990 2.5140 2.4471 2.3928 2.3479 2.2776 2.2033 2.1242 2.0825 2.0391 1.9938 1.9464 1.8963

21 4.3248 3.4668 3.0725 2.8401 2.6848 2.5727 2.4876 2.4205 2.3660 2.3210 2.2504 2.1757 2.0960 2.0540 2.0102 1.9645 1.9165 1.8657

22 4.3009 3.4434 3.0491 2.8167 2.6613 2.5491 2.4638 2.3965 2.3419 2.2967 2.2258 2.1508 2.0707 2.0283 1.9842 1.9380 1.8894 1.8380

23 4.2793 3.4221 3.0280 2.7955 2.6400 2.5277 2.4422 2.3748 2.3201 2.2747 2.2036 2.1282 2.0476 2.0050 1.9605 1.9139 1.8648 1.8128

24 4.2597 3.4028 3.0088 2.7763 2.6207 2.5082 2.4226 2.3551 2.3002 2.2547 2.1834 2.1077 2.0267 1.9838 1.9390 1.8920 1.8424 1.7896

25 4.2417 3.3852 2.9912 2.7587 2.6030 2.4904 2.4047 2.3371 2.2821 2.2365 2.1649 2.0889 2.0075 1.9643 1.9192 1.8718 1.8217 1.7684

40 4.0847 3.2317 2.8387 2.6060 2.4495 2.3359 2.2490 2.1802 2.1240 2.0772 2.0035 1.9245 1.8389 1.7929 1.7444 1.6928 1.6373 1.5766

60 4.0012 3.1504 2.7581 2.5252 2.3683 2.2541 2.1665 2.0970 2.0401 1.9926 1.9174 1.8364 1.7480 1.7001 1.6491 1.5943 1.5343 1.4673

120 3.9201 3.0718 2.6802 2.4472 2.2899 2.1750 2.0868 2.0164 1.9588 1.9105 1.8337 1.7505 1.6587 1.6084 1.5543 1.4952 1.4290 1.3519

Inf 3.8415 2.9957 2.6049 2.3719 2.2141 2.0986 2.0096 1.9384 1.8799 1.8307 1.7522 1.6664 1.5705 1.5173 1.4591 1.3940 1.3180 1.2214

α=10% → α/2=5%

F(5,7)

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

1;122

21

mnFS

S

1;121

21

22

21

21

22

22

22

21

21

21

22

21

21

22

21

)1(

)1(/

/

)1(

)1(

mnm

n

m

n

F

m

nS

S

S

S

m

nS

S

11;12/12

2

21

21

221;1

2/mnmn f

S

SfP

sobre a hipótese nula σ12 = σ2

2

12

1

221;1

2/121

22

21

221;1

2/ S

Sf

S

SfP mnmn

21

221;1

2/121

22

1;12/

1 ;1

S

Sf

S

S

fIC mn

nm

Intervalo de Confiânça

Exemplo. (p.359, [1]) Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de máquina A e 8 peças de máquina B, e obtivemos as seguintes resistências: de máquina A 145; 127; 136; 142; 141; 137 de máquina B 143; 128; 132; 138; 142; 133; 134; 138:

calcularemos sA2=40, sB

2=26.6

construir intervalo de confiânça com coeficiente de confiança de 90% para σA

2/σB2 e para σB

2/σA2

1;122

22

21

21

/

/mnFS

S

21

221;1

2/121

22

21

221;1

2/1 S

Sf

S

SfIC mnmn

2

27;5%952

2

2

27;5

%5%90A

B

A

B

A

B

S

Sf

S

SfIC

40

6.2697.3

40

6.262

27;5

%5%90A

BfIC

como achar quantil de 5%? teria que existir tabela para 95%. http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html?sttable.html&1

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

1;12/1;12

mn

mn fFP

1;12/1;1

11mn

mn fFP

1;12/

1;1

1mnnm f

FP

21

11;1

2/1;1

mnnm fFP

2

11;12/11;1

nm

nm fFP

1;12/11;1

2/

1 nm

mnf

f

como achar quantil ?7;5%5f

1. acharemos quantil

5;7%95/1 f2. invertemos ele

5;7%95f

df2/df1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120

1 161.44 199.50 215.70 224.58 230.16 233.98 236.76 238.88 240.54 241.88 243.90 245.94 248.01 249.05 250.09 251.14 252.19 253.25

2 18.512 19.000 19.164 19.246 19.296 19.329 19.353 19.371 19.384 19.395 19.412 19.429 19.445 19.454 19.462 19.470 19.479 19.487

3 10.128 9.5521 9.2766 9.1172 9.0135 8.9406 8.8867 8.8452 8.8123 8.7855 8.7446 8.7029 8.6602 8.6385 8.6166 8.5944 8.5720 8.5494

4 7.7086 6.9443 6.5914 6.3882 6.2561 6.1631 6.0942 6.0410 5.9988 5.9644 5.9117 5.8578 5.8025 5.7744 5.7459 5.7170 5.6877 5.6581

5 6.6079 5.7861 5.4095 5.1922 5.0503 4.9503 4.8759 4.8183 4.7725 4.7351 4.6777 4.6188 4.5581 4.5272 4.4957 4.4638 4.4314 4.3985

6 5.9874 5.1433 4.7571 4.5337 4.3874 4.2839 4.2067 4.1468 4.0990 4.0600 3.9999 3.9381 3.8742 3.8415 3.8082 3.7743 3.7398 3.7047

7 5.5914 4.7374 4.3468 4.1203 3.9715 3.8660 3.7870 3.7257 3.6767 3.6365 3.5747 3.5107 3.4445 3.4105 3.3758 3.3404 3.3043 3.2674

8 5.3177 4.4590 4.0662 3.8379 3.6875 3.5806 3.5005 3.4381 3.3881 3.3472 3.2839 3.2184 3.1503 3.1152 3.0794 3.0428 3.0053 2.9669

9 5.1174 4.2565 3.8625 3.6331 3.4817 3.3738 3.2927 3.2296 3.1789 3.1373 3.0729 3.0061 2.9365 2.9005 2.8637 2.8259 2.7872 2.7475

10 4.9646 4.1028 3.7083 3.4780 3.3258 3.2172 3.1355 3.0717 3.0204 2.9782 2.9130 2.8450 2.7740 2.7372 2.6996 2.6609 2.6211 2.5801

11 4.8443 3.9823 3.5874 3.3567 3.2039 3.0946 3.0123 2.9480 2.8962 2.8536 2.7876 2.7186 2.6464 2.6090 2.5705 2.5309 2.4901 2.4480

12 4.7472 3.8853 3.4903 3.2592 3.1059 2.9961 2.9134 2.8486 2.7964 2.7534 2.6866 2.6169 2.5436 2.5055 2.4663 2.4259 2.3842 2.3410

13 4.6672 3.8056 3.4105 3.1791 3.0254 2.9153 2.8321 2.7669 2.7144 2.6710 2.6037 2.5331 2.4589 2.4202 2.3803 2.3392 2.2966 2.2524

14 4.6001 3.7389 3.3439 3.1122 2.9582 2.8477 2.7642 2.6987 2.6458 2.6022 2.5342 2.4630 2.3879 2.3487 2.3082 2.2664 2.2229 2.1778

15 4.5431 3.6823 3.2874 3.0556 2.9013 2.7905 2.7066 2.6408 2.5876 2.5437 2.4753 2.4034 2.3275 2.2878 2.2468 2.2043 2.1601 2.1141

16 4.4940 3.6337 3.2389 3.0069 2.8524 2.7413 2.6572 2.5911 2.5377 2.4935 2.4247 2.3522 2.2756 2.2354 2.1938 2.1507 2.1058 2.0589

17 4.4513 3.5915 3.1968 2.9647 2.8100 2.6987 2.6143 2.5480 2.4943 2.4499 2.3807 2.3077 2.2304 2.1898 2.1477 2.1040 2.0584 2.0107

18 4.4139 3.5546 3.1599 2.9277 2.7729 2.6613 2.5767 2.5102 2.4563 2.4117 2.3421 2.2686 2.1906 2.1497 2.1071 2.0629 2.0166 1.9681

19 4.3807 3.5219 3.1274 2.8951 2.7401 2.6283 2.5435 2.4768 2.4227 2.3779 2.3080 2.2341 2.1555 2.1141 2.0712 2.0264 1.9795 1.9302

20 4.3512 3.4928 3.0984 2.8661 2.7109 2.5990 2.5140 2.4471 2.3928 2.3479 2.2776 2.2033 2.1242 2.0825 2.0391 1.9938 1.9464 1.8963

21 4.3248 3.4668 3.0725 2.8401 2.6848 2.5727 2.4876 2.4205 2.3660 2.3210 2.2504 2.1757 2.0960 2.0540 2.0102 1.9645 1.9165 1.8657

22 4.3009 3.4434 3.0491 2.8167 2.6613 2.5491 2.4638 2.3965 2.3419 2.2967 2.2258 2.1508 2.0707 2.0283 1.9842 1.9380 1.8894 1.8380

23 4.2793 3.4221 3.0280 2.7955 2.6400 2.5277 2.4422 2.3748 2.3201 2.2747 2.2036 2.1282 2.0476 2.0050 1.9605 1.9139 1.8648 1.8128

24 4.2597 3.4028 3.0088 2.7763 2.6207 2.5082 2.4226 2.3551 2.3002 2.2547 2.1834 2.1077 2.0267 1.9838 1.9390 1.8920 1.8424 1.7896

25 4.2417 3.3852 2.9912 2.7587 2.6030 2.4904 2.4047 2.3371 2.2821 2.2365 2.1649 2.0889 2.0075 1.9643 1.9192 1.8718 1.8217 1.7684

40 4.0847 3.2317 2.8387 2.6060 2.4495 2.3359 2.2490 2.1802 2.1240 2.0772 2.0035 1.9245 1.8389 1.7929 1.7444 1.6928 1.6373 1.5766

60 4.0012 3.1504 2.7581 2.5252 2.3683 2.2541 2.1665 2.0970 2.0401 1.9926 1.9174 1.8364 1.7480 1.7001 1.6491 1.5943 1.5343 1.4673

120 3.9201 3.0718 2.6802 2.4472 2.2899 2.1750 2.0868 2.0164 1.9588 1.9105 1.8337 1.7505 1.6587 1.6084 1.5543 1.4952 1.4290 1.3519

Inf 3.8415 2.9957 2.6049 2.3719 2.2141 2.0986 2.0096 1.9384 1.8799 1.8307 1.7522 1.6664 1.5705 1.5173 1.4591 1.3940 1.3180 1.2214

1. acharemos quantil 5;7%95f = 4.8759

5;7%95/1 f2. invertemos ele =1/ 4.8759=0.2051

Exemplo. (p.359, [1]) Queremos verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para isso, sorteamos duas amostras de seis peças de máquina A e 8 peças de máquina B, e obtivemos as seguintes resistências: de máquina A 145; 127; 136; 142; 141; 137 de máquina B 143; 128; 132; 138; 142; 133; 134; 138:

calcularemos sA2=40, sB

2=26.6

construir intervalo de confiânça com coeficiente de confiança de 90% para σA

2/σB2 e para σB

2/σA2

1;122

22

21

21

/

/mnFS

S

21

221;1

2/121

22

21

221;1

2/1 S

Sf

S

SfIC mnmn

2

27;5%952

2

2

27;5

%5%90A

B

A

B

A

B

S

Sf

S

SfIC

40

6.2697.3

40

6.262

27;5

%5%90A

BfIC

Comparação das Variâncias de Duas Populações Normais

40

6.2697.3

40

6.2620.0

2

2

%90A

BIC

64.213.0

2

2

%90A

BIC

Comparação das Médias de Duas Populações Normais. Caso de Mesma Variância.

nxxx ,,, 21

myyy ,,, 21

),( 21 NX i

),( 22 NYi

amostra 1

amostra 2

21

210

:

:

A

H estimador de X1estimador de Y2

nXVarXE /][,][ 21

mYVarYE /][,][ 22

YX 21

mnmnYXVarYXE

11][][ 2

22

21

mnNYX

11, 2

21

1,011

)( 21 N

mn

YX

Se n e m grandes então estimando desvio padrão podemos usar essa aproximação

Comparação das Médias de Duas Populações Normais. Caso de Mesma Variância.

usando dois estimadores s12 e s2

2 podemos construir um estimador comum para σ2

2

)()(

2

)1()1( 1122

212

mn

YYXX

mn

SmSnS

m

ii

n

ii

p

222

2)2(

mn

pSmn

221

11

)(

mn

p

t

mnS

YXT

2

)2(

11

)(

11

)(

2

2

21

21

mn

Smn

mn

YX

mnS

YXT

pp

22

2

2

)1,0(

mn

mn

t

mn

N

Exemplo. (pp.363-364 [1]) Duas técnias de venda são aplicadas por dois grupos de vendedores: a técnica A; por 12 vendedores, e a técnica B; por 15 vendedores. Espera-se que a técnica B produza melhores resulatdos. No final de um mês, observam-se os resultados da tabela

Comparação das Médias de Duas Populações Normais. Caso de Mesma Variância.

técnica A técnica Bmédia 68 76variância 50 75vendedores 12 15

Vamos testar, para o nível de significância de 5%. Informações adicionais permitem supor que as vendam sejam normalmente distribuidas, com variância comum σ2; desconhecida.

hipóteseBA

BA

A

H

:

:0

estatística do teste21512

151

121

7668

11

)(

t

Smn

S

YXT

pp

BA

Comparação das Médias de Duas Populações Normais. Caso de Mesma Variância.

6421512

75)115(50)112(

2

)1()1( 22

212

mn

SmSnS p

864 pS

56.2

151

121

8

7668

t

http://www.statsoft.com/textbook/stathome.html?sttable.html&1

= -1.71

-2.56

0:

:0

BA

BA

A

H

=2.06

-2.06-2.56

= -1.71

-2.56

0:

:0

BA

BA

A

H

0:

:0

BA

BA

A

H

Comparação das Médias de Duas Populações Normais. Caso de Mesma Variância.

UNILATERAL

BILATERAL