BIOFIZIKAMEHANIKA − kinematika

Akademik, prof. dr Jovan P. Setraj ci c

jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs

Univerzitet u Novom Sadu

Departman za fiziku PMF

Powered by LATEX 2ε! – p. 1/13

Mehanika

PODELA

Uzrok kretanjaKinematika ⇐⇒ Dinamika + Statika

1 – p. 2/13

Mehanika

PODELA

Uzrok kretanjaKinematika ⇐⇒ Dinamika + Statika

Predmet kretanjaTacka ⇐⇒ Kruto teloFluidi ⇐⇒ Kontinum

1 – p. 2/13

Kinematika

POLOZAJ

Radius-vektor~r = x~ex + y ~ey + z ~ez

r ≡ |~r| =√

x2 + y2 + z2 [m]

M( , , )x y z

0

y

y

y

z

z

z

x

x

x

ze

zeye

rye

xexe

1 – p. 3/13

Kinematika

POLOZAJ

Radius-vektor~r = x~ex + y ~ey + z ~ez

r ≡ |~r| =√

x2 + y2 + z2 [m]

jedna cine kretanja :

~r = ~r(t) ⇐⇒

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

M( , , )x y z

0

y

y

y

z

z

z

x

x

x

ze

zeye

rye

xexe

1 – p. 3/13

Kinematika

BRZINA

srednja brzina : ~v =∆~r

∆t;

v ≡ ∆r

∆t=

∆s

∆t

[m

s

]

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

DrDs

r’

u

1 – p. 4/13

Kinematika

BRZINA

srednja brzina : ~v =∆~r

∆t;

v ≡ ∆r

∆t=

∆s

∆t

[m

s

]

trenutna brzina :

~v ≡ ~v∣

∣

∆t→0= d

dt≡ ~r ;

v ≡ v(t) = drdt

≡ r = dsdt

≡ s[

ms

]

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

DrDs

r’

u

1 – p. 4/13

Kinematika

Brzina kretanja :

~v = vx ~ex + vy ~ey + vz ~ex ;

vx ≡ x , vy ≡ y , vz ≡ z

v =√

v2x + v2

y + v2z

v = v(t) ⇔ vx,y,z = vx,y,z(t)

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

DrDs

r’

u

1 – p. 5/13

Kinematika

UBRZANJE

srednje ubrzanje :

~a =∆~v

∆t M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

aD

r’ ’

uu

u

1 – p. 6/13

Kinematika

UBRZANJE

srednje ubrzanje :

~a =∆~v

∆t

trenutno ubrzanje :

~a ≡ ~a∣

∣

∣

∆t→0=

ddt

≡ ~v ≡ ~r

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

aD

r’ ’

uu

u

1 – p. 6/13

Kinematika

Ubrzanje kretanja :

~a = ax ~ex + ay ~ey + az ~ex , a =√

a2x + a2

y + a2z

ax ≡ vx ≡ x , ay ≡ vy ≡ y , az ≡ vz ≡ z

~a = ~at + ~an

a =√

a2t + a2

n

[

ms2

]

at = dvdt

[

ms2

]

, an = v2

r

[

ms2

]

M( )t

0y

z

x

rn

aa ta

1 – p. 7/13

Kinematika

ROTACIJAUgaoni pomeraj

∆ϕ: ~r′ → ~r za ∆t:∆~ϕ = ∆ϕ~eϕ ,

∆ϕ = ∆ϕ(t) [rad]

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

Df

Dsr’

fe

r

w

Df

u

fe

1 – p. 8/13

Kinematika

ROTACIJAUgaoni pomeraj

∆ϕ: ~r′ → ~r za ∆t:∆~ϕ = ∆ϕ~eϕ ,

∆ϕ = ∆ϕ(t) [rad]

Ugaona brzina

~ω =d~ϕ

dt:

ω ≡ ω(t) =dϕ

dt

[

rad

s

]

M( )t

M ( )’ t- tD

0y

z

x

r

Df

Dsr’

fe

r

w

Df

u

fe

1 – p. 8/13

Kinematika

Ugaono ubrzanje

~α =d~ω

dt≡=

d2~ϕ

dt2: α = α(t)

[

rad

s2

]

1 – p. 9/13

Kinematika

Ugaono ubrzanje

~α =d~ω

dt≡=

d2~ϕ

dt2: α = α(t)

[

rad

s2

]

Veza izmedu linearnih u ugaonih veli cina

∆s = r ∆ϕ , ~v = ~ω × ~r ,

~at = ~α × ~r , ~an = −ω2~r

1 – p. 9/13

Kinematika

OBLICI KRETANJAPRAVOLINIJSKO

ravnomerno (jednoliko) kretanje :at = 0 , an = 0 , a = 0 , v = const

jednako (ravnomerno) promenljivo kretanje :at = a = const , an = 0

1 – p. 10/13

Kinematika

OBLICI KRETANJAPRAVOLINIJSKO

ravnomerno (jednoliko) kretanje :at = 0 , an = 0 , a = 0 , v = const

jednako (ravnomerno) promenljivo kretanje :at = a = const , an = 0

KRUZNOravnomerno (jednoliko) kretanje :an = a = const , ω = const

jednako (ravnomerno) promenljivo kretanje :at = const , an 6= 0 , α = const

1 – p. 10/13

Kinematika

PRAVOLINIJSKA KRETANJA

ravnomerno (jednoliko) :

a = 0 , v = const , s = v t

jednako (ravnomerno) promenljivo :

a = const , v = v0 ± a t , s = v0t ±a t2

2, v2 = v2

0 ± 2 a s

slobodan pad :

a = g , v = g t , h = g t2

2, v =

√2 g h

g = 9, 81[m

s2

]

hitac u vis :

v = v0 − g t , h = v0t −g t2

2, hmax =

v20

2g, tp =

v0

g

1 – p. 11/13

Kinematika

∗ Kosi hitac :

vx = v0x = v0 cos ϕ = const

vy = v0y − gt = v0 sin ϕ − gt

v =√

v2x + v2

y =√

vox + (v0y − gt)2

y = x tan ϕ − g x2

2 v20

cos2 ϕ

tp =v0 sin ϕ

g, tl = 2 tp = 2

v0 sin ϕ

g

Hmax =v2

0y

2g=

v2

0sin

2 ϕ

2g, D = xmax =

v2

0sin 2ϕ

g

j

0

0

y

H

D

max

x

u

1 – p. 12/13

Kinematika

KRUZNA KRETANJA

ravnomerno (jednoliko) :

α = 0 , ω = const ϕ = ω t , ω ≡ ϕ

t=

2π

T= 2π ν ,

T [s] , ν =1

T[Hz = s−1] , ν =

N

t

jednako (ravnomerno) promenljivo :

α = const , ω = ω0 ± α t

ϕ = ω0t ±α t2

2ω2 = ω2

0 ± 2α ϕ

1 – p. 13/13