Ayudantía 1 - .homogénea de largo y masa , ... rigidez ). a) Encuentre ... barra con respecto a...

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    UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

    DEPARTAMENTO DE FSICA

    Ayudanta 1 Fsica General III (FIS130)

    Movimiento Armnico Simple Ayudante: Nicols Corte Daz

    Pregunta 1

    Una persona se balancea en un columpio; cuando esta persona est sentada en el columpio oscila con una

    frecuencia . Si a continuacin al lado de la persona se sientan dos personas ms, calcule la nueva frecuencia del columpio.

    (Asuma que la masa de cada persona es y el sistema columpio posee un peso despreciable)

    SOLUCIN:

    El sistema Columpio Persona, con la masa del columpio despreciable,

    puede ser representado como un pndulo simple, como se muestra en el DLC:

    Donde corresponde a la tensin sobre la persona causada por el

    columpio, luego:

    = sin = (1)

    Donde es la aceleracin tangencial del movimiento circular de la persona.

    Expresando y en funcin del ngulo en la ecuacin (1) se tiene:

    sin =

    Asumiendo que la persona se balancea con oscilaciones pequeas ( 0), entonces sin , por lo tanto la

    ecuacin 1 queda:

    =

    Despejando se tiene la Ecuacin Diferencial del Movimiento:

    +

    = 0

    De esta ecuacin se obtiene la frecuencia angular:

    2 =

    =

    Pero = 2, entonces:

    = 1

    2

    La ltima expresin corresponde a la frecuencia del Pndulo Simple la cual no depende de la masa. Por lo tanto,

    independiente de la cantidad de personas que se suban al columpio y se balanceen todos aplicando pequeas oscilaciones,

    la frecuencia no cambiar.

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    UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

    DEPARTAMENTO DE FSICA

    Pregunta 2

    Hallar la frecuencia para pequeas oscilaciones de la barra

    homognea de largo y masa , considerando que el sistema est en

    equilibrio en la posicin horizontal. (Considere que el resorte posee una

    rigidez ).

    a) Encuentre la ecuacin del movimiento para pequeas

    oscilaciones mediante energa y sumatoria de torques.

    b) Encuentre la frecuencia angular de la Oscilacin.

    SOLUCIN:

    a) ENERGA

    El sistema posee solo 1 grado de libertad que corresponde al giro

    de la barra en el apoyo simple o punto . El grado de libertad se

    medir por el ngulo , medido desde la horizontal de equilibrio

    del largo natural del resorte, tal como se muestra en la figura,

    donde es el largo natural del resorte y es la deformacin

    que sufre el resorte.

    Se tiene que en la barra solo actan fuerzas conservativas (la gravitacional y la del resorte), por lo que la energa

    mecnica del sistema se conserva, es decir:

    + =

    Donde es la Energa Cintica y la energa cintica potencial.

    La energa se conforma por:

    = + = 1

    2/

    2 +1

    2

    2

    Donde / es la velocidad del centro de masa () de la barra con respecto a , la inercia rotacional de la

    barra con respecto a un eje perpendicular que pasa por el centro de masa y la velocidad angular de la barra:

    = / =

    2 =

    1

    122

    Las expresiones anteriores tienen valides si la masa de la barra se distribuye de forma uniforme.

    Reemplazando en la expresin de :

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    DEPARTAMENTO DE FSICA

    =1

    2(

    2)

    2

    +1

    2(1

    122) 2 =

    1

    6()

    2

    Por otro lado la energa potencia est conformada por:

    = +

    Tomando como eje de referencia la recta horizontal que indica la posicin de equilibrio del sistema se tiene que

    la energa queda expresada como:

    =

    2sin() +

    1

    2( + )

    2 =

    2sin() +

    1

    2( + sin())

    2

    Recordar que se mide con respecto al centro de masa de la barra.

    Donde es el largo inicial que presenta el resorte en la posicin de equilibrio.

    Como el movimiento analizado es para pequeas oscilaciones 0, se puede decir que sin() , entonces:

    =

    2 +

    1

    2( + )

    2

    Por lo tanto se tiene:

    + =1

    6()

    2

    2 +

    1

    2( + )

    2 =

    Derivando esta ltima expresin con respecto al tiempo (

    ):

    1

    32

    2 + +

    2 = 0

    [1

    32 + (2) +

    2] = 0

    La expresin se puede obtener del equilibrio inicial del

    sistema.

    Haciendo sumatoria de torque en se obtiene:

    =

    2= 0

    =

    2

    2

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    DEPARTAMENTO DE FSICA

    Entonces se tiene que:

    [1

    32 + (2)] = 0

    = 0 1

    3(2) + (2) = 0

    La primera opcin se descarta, pues indica que el sistema se encuentra en equilibrio, en cambio la segunda opcin

    corresponde a la Ecuacin Diferencial del Movimiento (EDM).

    Expresando la EDM de otra forma se obtiene:

    +32

    2 = 0

    Esta es la Ecuacin Diferencial del Movimiento Armnico Simple.

    SUMATORIA DE TORQUE:

    En el siguiente Diagrama de Cuerpo Libre (DCL) se muestran las

    fuerzas que actan sobre la barra, menos las fuerzas del apoyo.

    Recordando que = , se tiene que:

    =

    2cos() cos() =

    =

    2cos() [( + )] cos() =

    =

    2cos() [( + sin()] cos() =

    Recordar que el torque se calcula en el sentido del grado de libertad.

    Como el movimiento analizado es para pequeas oscilaciones 0 , se puede decir que sin() y

    cos() 1, entonces:

    2 + (

    2) =

    Y del anlisis echo anteriormente:

    2

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    DEPARTAMENTO DE FSICA

    =

    2

    Entonces:

    (2) =

    Luego la inercia es:

    =1

    32

    La cual puede obtenerse a travs del Teorema de Steiner o de los ejes paralelos:

    = +(

    2)2

    =1

    122 +(

    2)2

    =1

    32

    Reemplazando en la ecuacin:

    (2) =1

    32

    +32

    2 =

    Con lo que se obtiene la Ecuacin Diferencial del Movimiento del Movimiento Armnico Simple.

    b) A partir de la EDM se puede rescatar la frecuencia angular del sistema, la cual es:

    2 =32

    2 =

    3

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    DEPARTAMENTO DE FSICA

    Pregunta 3

    Una barra de masa y largo 2 est articulada por su punto medio de forma que puede girar sin rozamiento

    alrededor de . Un extremo de esta barra est conectado al suelo por medio de un resorte de constante elstica ,

    adems en cada extremo de la barra se hallan dos cargas puntuales de masa . El sistema est en equilibrio en la posicin

    horizontal. Se pide calcular el periodo del sistema mediante:

    a) El periodo del sistema mediante Energa

    b) La frecuencia del sistema mediante Torque.

    SOLUCIN:

    a) El sistema posee solo 1 grado de libertad correspondiente al giro de la barra con respecto al apoyo o punto . Tal

    grado de libertad se mide mediante el ngulo como se muestra en la figura donde es el largo natural del

    resorte y es la deformacin que sufre el resorte.

    Se tiene que en la barra solo actan fuerzas conservativas (la gravitacional y la del resorte), por lo que la energa

    mecnica del sistema se conserva, es decir:

    + =

    Donde es la Energa Cintica y la energa cintica potencial.

    La energa se conforma por:

    = + = 1

    2/

    2 +1

    2/

    2 +1

    2

    2

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    Donde / es la velocidad trasnacional de cada masa con respecto a , la inercia rotacional de la barra

    con respecto a un eje perpendicular que pasa por suponiendo que la masa de la barra se distribuye de forma

    uniforme y la velocidad angular de la barra.

    = / = =1

    12(2)2 =

    1

    32

    Reemplazando en la expresin de :

    = ()2+1

    2(1

    32) 2 =

    7

    6()

    2

    Por otro lado la energa potencia est conformada por:

    = +

    Tomando como eje de referencia la recta horizontal que indica el largo natural del resorte y para por el pivote

    se tiene que la energa queda expresada como:

    =

    2sin() +

    2sin() +

    1

    2()2 =

    1

    2( sin())2

    Asumiendo que las oscilaciones son pequeas, se puede decir que sin() , entonces:

    =1

    2()2

    Finalmente se tiene que la energa mecnica del sistema se expresa como:

    + =7

    6()

    2+1

    2()2 =

    Derivando esta ltima expresin con respecto al tiempo (

    ):

    7

    32 + 2 = 0

    [7

    3 + ] = 0

    Entonces se tiene que:

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    DEPARTAMENTO DE FSICA

    = 0 7

    3 + = 0

    La primera opcin se descarta, pues indica que el sistema se encuentra en equilibrio, en cambio la segunda opcin

    corresponde a la Ecuacin Diferencial del Movimiento (EDM) del Movimiento Armnico Simple.

    Expresando la EDM de otra forma:

    +3

    7

    = 0

    De esta ltima ecuacin diferencial se obtiene la frecuencia angular del sistema:

    2 =3

    7

    =

    3

    7

    Por otro lado la frecuencia angular se define como:

    =2

    =

    2

    Entonces se tiene que el periodo es:

    = 27

    3

    b) En el siguiente DLC se muestran las fuerzas externas que actan sobr