Ejercicio 4 caso el diagrama queda como se muestra en la siguiente figura: 2. Determinar ecuaciones

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Transcript of Ejercicio 4 caso el diagrama queda como se muestra en la siguiente figura: 2. Determinar ecuaciones

  • Ejercicio  4.18 

    El poste de teléfonos AB con peso W descansa en un agujero de 2L de profundidad. Si la fuerza de contacto  entre el poste y el borde del agujero está limitada a P, Cuál es el máximo valor seguro del ángulo α ?,  Desprecie la fricción. 

     

     

     

     

     

     

     

     

    1. D.C.L 

    Lo primero que se debe hacer para analizar el problema es determinar el diagrama de cuerpo libre. En este  caso el diagrama queda como se muestra en la siguiente figura: 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    2. Determinar ecuaciones de equilibro. 

    Para que un cuerpo se encuentre en equilibrio, es necesario que todas las partículas que lo conforman, se  encuentren en equilibro, es decir 

    ∑  = 0 

    Esto se puede también subentender prácticamente como que la sumatoria de fuerzas en cada uno de los  ejes en los que se encuentra nuestro problema debe ser igual a cero, quedando con las siguientes dos  ecuaciones para el eje horizontal y vertical respectivamente: 

    ∑  = 0 

    ∑  = 0 

  • Es también necesario acotar que si un cuerpo se encuentra en equilibro existe la posibilidad de que el  cuerpo rote sin moverse horizontal ni verticalmente, debido a esto necesitamos una tercera ecuación la  cual nos bridará la seguridad de determinar que el cuerpo efectivamente se encuentra en equilibro, esta  tercera ecuación es la ecuación de momento o torque y se encuentra definida por: 

    ∑  = 0 

    Para poder tener una mejor comprensión del problema, consideraremos nuevos ejes X' e Y', además de  información adicional con respecto a los ángulos en los que se encuentran nuestras fuerzas y reacciones,  como se ve en la siguiente figura: 

     

     

                           

     

     

     

     

     

     

     

    En este  caso se usará la ecuación de momento en el punto A, donde se encuentran las reacciones Ax y Ay,  este punto es escogido ya que, al realizar momento en ese punto ambas reacciones se anulan ya que pasan  por ese mismo punto y no existe brazo de giro para generar un torque. 

    ∑  = 0 

    ( W * cos   ‐ α * 4L ) ‐ (P   ) = 0 

    ↓ 

    (P   ) = ( W * sen α * 4L ) 

    ↓ 

    sen α *cosα =   P L

     

    ↓ 

     sen 2α =   P L

     

    ↓ 

    α =  

     

     

     

  • Aplicando la ecuación obtenida para los datos propuestos en el libro, se obtiene lo siguiente: 

    • α =  

               →                α =  21°      ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐     

    Determinación de trazo  : 

    sen   ‐ α =   

    cos α =   

    =   

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  • Ejercicio 

    Calcule el ángulo θ   en el cual la barra estará en equilibrio. Suponga que el peso de la barra es despreciable  en relación con la carga aplicada  P . 

     

    El procedimiento seguido es: 

    Primer Paso: Constucción del DCL para reconocer todas las fuerzas que actúan en la barra, en un dibujo en  un espacio libre 

    Segundo Paso: Encontrar todas las fuerzas en forma literal (con incógnitas de letras). 

    Para encontrar estas fuerzas hay que ocupar 3 condiciones que representan en un sistema cartesiano    las  fuerzas horizontal, verticales, y torques. 

    Las condiciones son las siguientes: 

    •  0=∑ xF   Suma de las fuerzas horizontales igual a cero 

    •  0=∑ yF   Suma de las fuerzas verticales igual a cero 

    •  0=∑τ    Suma de las fuerzas que producen torque respecto a un punto arbitrario, en particular  se pueden utilizar los puntos A,B y C. 

    Tercer Paso: Remplazar las incógnitas en las ecuaciones para obtener un resultado numérico. 

    Diagrama de cuerpo libre 

     

    Donde  

    º30cos º30sin

    ⋅= ⋅=

    AAv AAh

         y      º60cos º60sin

    ⋅= ⋅=

    ABv ABh

     

     

     

  • Segundo Paso ∑ Fx=0 : A·sin30 – B·sin60 + P·sin θ = 0

    P·sin θ = B·sin60 - A·sin30

    P

    30A·sin - B·sin60sin =θ         (*)

     

    ∑ Fy=0 : A·cos30 + B·cos60 - P·coss θ = 0

    P·sin θ = B·cos60 + A·cos30

    P

    30A·cos B·scos60cos +=θ    (**)

    Dividiendo estas expresiones

    3 3

    30 A·cos B·cos60 30A·sin - B·sin60tan

    AB AB

    + −

    = +

    ∑ Tc=0 : A·cos30 (L/2)= B·cos60 (L/2)

    A·cos30 = B·cos60

    3 602cos

    º30cos AAB ==

    Tercer Paso Juntamos los resultados anteriores y tenemos

    3 1

    33 3tan =

    + −

    = AA AAθ

        

    Entonces 

       º30

    3 1arctan =⎟⎟ ⎠

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ =θ  

     

     

     

     

     

  • Ejercicio 

    3.99  La barra AB en la fig. está sostenida por un rodillo en C y por una pared lisa en A. La barra es  uniforme, tiene una masa de m y una longitud de 6L. ¿Qué fuerza vertical es necesario agregar en B para  equilibrar la barra? 

     

    1)D.C.L. 

           

     

    Calculemos las distancias d, h y x. De los esquemas  

    3 4

    30cos 2 LLd ==     LLh

    3 3230tan2 =⋅=     LLx

    2 3330cos3 =⋅=  

    Condiciones de  equilibrio 

    ∑Fx=0 

     A‐N Sen30°=0, implica   AN 2=  

  • ∑Fy=O 

    N Cos 30°‐F‐mg=0,  implica   mgNF −= 2 3

     

    De estas dos expresiones se deduce que   mgAF −= 3  

    Por lo tanto, debemos calcular la reacción A o la reacción N. Una observación del DCL, permite ver que el  cálculo de torques respecto al punto Q nos permite obtener N. 

     

    ∑TQ=0 

    0)(230cos30sin =−⋅⋅−⋅⋅+⋅ LxNhNxmg  de donde  

    mgN ⎟⎟ ⎠

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ + =

    179 72381

       remplazando  en    mgNF −= 2 3

      se obtiene 

    mgF ⎟⎟ ⎠

    ⎞ ⎜⎜ ⎝

    ⎛ −=

    358 115

    179 336

     

    Considerando los datos del problema, que son la masa de la barra m=20 kg  y  g=9,8 m/s2, al remplazar se  tiene  

    ][314,5 NF =  

     

     

     

     

     

     

     

     

     

  • EJERCICIO 3.108:

    Encuentre la Fuerza que ejerce el perno A sobre la placa rectangular mostrada en la figura:

    Para este caso tenemos como datos conocidos: T; distancias 5L, 4L.

    Debemos comenzar construyendo el Diagrama de Cuerpo Libre, para lo cual debemos preguntarnos quién o qué ejerce la fuerza? y correspondientemente preguntar qué fuerza?:

    Luego llevar las fuerzas al plano Cartesiano, donde podemos descomponer cada una de estas en los ejes X e Y:

  • Es aquí donde obtenemos lo siguiente:

    Para T, descomponemos en x e y, como sigue;

    : -T senα i‐T cosα j 0

    Y para TD, lo hacemos de la misma forma,

    : -TD sen θ i TD cos θ j 0

    Entonces, para el equilibrio sostenemos que:

    ∑ 0; + + =0

    Ahora agrupando coordenadas x e y, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    ∑ : 0= Ax -T sen α ‐ TD sen θ

    ∑ : 0= Ay ‐ T cos α TD cos θ

    Por lo tanto, al despejar A (x e y) tenemos:

    Ax=T sen α TD sen θ

    Ay T cos α ‐ TD cos θ

    Después, buscamos hacer Torque en un punto arbitrario, el cual de preferencia es por donde pasan más proyecciones de fuerzas. Para esto también se aplica la ecuación de torque. En esta condición la resultante total que actúa sobre el cuerpo debe ser CERO.

    Si tomamos como punto de Torque A, nos queda así:

    ∑τA 0

    Para lo cual se buscan las proyecciones de los puntos que se interceptan perpendicularmente con respecto al punto A. obteniendo resultantes entre distancias y fuerzas.

    Lo que nos queda:

  • ∑τA: 8L TD cos θ 4L T cos α 5L T sen α 1/L

    Eliminamos las “L”, y acomodamos la expresión para disponernos a despejar TD,

    8 TD c