Aula 22 Conversão Sigma-Delta (continuação)

A estrutura mostrada na figura A.22.1 é chamado modulador Sigma-Delta (Σ-∆). Esta estrutura, além de ser mais simples, pode ser considerada como uma versão “suavizada” do modulador delta de 1 bit.

O nome modulador Sigma-Delta vem do fato do integrador (sigma) ser colocado na frente do modulador delta. Algumas vezes, o modulador Σ-∆ é referido como um codificador interpolado. A característica do ruído de quantização é dependente da freqüência em contraste com o modulador delta. Como será discutida adiante, esta propriedade de “shaping” ruído é bem adequada para aplicações de processamento de sinais.

Figura A.22.1 Diagrama em bloco do Modulador Sigma-Delta.

Como o modulador Delta, o Modulador Σ-∆ usa um simples comparador. Entretanto, diferente da modulação delta este sistema codifica a integral do sinal e desta forma o seu desempenho é insensível à razão de mudança do sinal de entrada.

O princípio do “shaping noise” está ilustrado na figura A.22.2 para um modelo simplificado no domínio s de um modulador de primeira ordem Σ-∆. O nó de soma do lado direito do integrador representa o comparador. É neste ponto onde o processo de amostragem ocorre e, portanto, é onde o ruído de quantização é adicionado.

Figura A.22.2 Análise no domínio das freqüências (s) do modulador Σ-∆.

A função de transferência da razão sinal ruído (S/N) mostrada na figura A.22.2 ilustra a principal ação do modulador. Como a malha de realimentação integra o erro entre o sinal amostrado e sinal de entrada implica num filtro passa-baixas para o sinal e passa-altas para o ruído de quantização. Em outras palavras, o sinal de entrada não se altera desde que este contenha freqüência dentro da banda do filtro passa baixa, mas a malha do Σ-∆ empurra o ruído de quantização para altas freqüências. Assim, temos dois efeitos:

• A sobreamostragem faz com que a densidade de ruído de quantização se espalhe por uma larga banda de freqüência;

• A característica “shaping noise” do modulador Σ-∆ modifica esta densidade de ruído de maneira que este aumenta em altas freqüências e diminui em baixas freqüências.

A conseqüências disso é que a densidade de ruído de quantização em baixas freqüências (banda base) decresce significativamente.

A figura A.22.3 mostra graficamente os efeitos descritos acima na densidade de ruído de quantização.

É importante notar que este efeito pode ainda ser mais pronunciado se utilizarmos moduladores Σ-∆ de ordem maior do que 1. O que consiste numa espécie de efeito cascata.

Figura A.22.3 Modificação na densidade espectral de ruído de quantização do modulador Σ-∆.

A figura A.22.4 mostra o diagrama em bloco de modulador (oversampled) Σ-∆ de primeira ordem. A saída digital de 1 bit do modulador alimenta um filtro decimador digital que produz na sua saida uma precisão maior (16 bits) do sinal de entrada na freqüência de amostragem fS.

η

fB -fB Fs/2=kfs Fs/2=-kfs

η

fB -fB Fs/2=kfs Fs/2=-kfs

Efeito da sobreamostragem

( )12

22q

F

fdffN

S

Bf

fB

B

B

•==∫−

BB NN <<`

Efeito do “shaping noise”

Embora o erro de quantização em todo instante de amostragem seja alto, devido ao quantizador de dois níveis (0 1), a ação do modulador Σ-∆ é gerar uma saída ±1 que pode ser filtrada em vários períodos de amostra de entrada para produzir um resulta preciso. A filtragem ou média é realizada pelo filtro de decimação mostrado na figura (64x).

Figura A.22.4 Diagrama em bloco de um conversor Sigma-Delta de primeira ordem.

As formas de ondas de x(t) e y(t) deste modulador são mostradas na figura A.22.5 quando o sinal de entrada é uma senóide. Em cada ciclo de clock o valor da saída do modulador ou é mais ou menos o fundo de escala de acordo com o conversor A/D de 1 bit. Quando a senóide de entrada está próxima do fundo de escala positivo, a saída é positiva durante mais ciclos de clock. De forma similar para o caso da senóide de entrada é próxima do fundo de escala negativo. Em ambos os casos, a média local da saída do modulador acompanha o sinal de entrada.

Quando a entrada está próxima de zero, o valor da saída do modulador varia rapidamente entre ± o fundo de escala com media próxima de zero.

Figura A.22.5 Entrada e Saída de um Modulador Sigma-Delta de primeira ordem.

Análise da Modulação Sigma-Delta no domínio da Transformada Z Considere a malha de primeira ordem mostrada na figura A.22.6. A função de transferência no domínio da freqüência de um integrador é denotada por I(z) e um quantizador de 1 bit é modelado como uma fonte de ruído aditivo. A análise discreta no tempo produz:

[ ])()()()()( 1 zYzzXzIzQzY −−+= (A.22.1)

Figura A.22.6 Análise no domínio Z de Modulador Σ-∆.

E pode ser resolvido para Y(z) como:

11 )(1

1)(

)(1

)()()(

−− ++

+=

zzIzQ

zzI

zIzXzY (A.22.2)

Para um integrador ideal, temos

11

1)(

−−=

zzI (A.22.3)

)()1()()( 1 zQzzXzY −−+= (A.22.4)

Desde que o ruído de quantização é assumido ser randômico, o diferenciador (1-z-1) mostrado na equação (A.22.4) dobra a potência do ruído de quantização. Entretanto, o erro é maior em altas freqüências devido ao efeito do diferenciador (1-z-1). Portanto, desde que o sinal de entrada analógica é sobreamostrado, o ruído de quantização em altas freqüências pode ser removido por um filtro digital passa-baixas sem afetar a característica do sinal de entrada na banda base. Esse filtro passa-baixas é parte de um processo de decimação.

Assim, após um processo de filtragem digital, a saída terá somente componentes entre 0 Hz e fB. O desempenho de um modulador Σ-∆ pode ser comparado com um amostrador (“sampler”) convencional de 1 bit Nyquist e o tipo sigma-delta sobreamostrado. A figura A.22.7 mostra o espectro de um modulador Σ-∆ de primeira ordem descrito na figura A.22.6. Como pode ser observado, o ruído na banda base (fB) de conversor Σ-∆ apresenta-se muito menor que os conversores Nyquist ou Moduladores Delta.

Entretanto, para um modulador Σ-∆ de primeira ordem, ainda não é menor que -96 dB necessário para um conversor de 16 bits.

Figura A.22.7 Espectro de um Modulador Σ-∆ de primeira ordem.

Moduladores de ordem maior de um podem ser obtidos simplesmente cascateando moduladores Σ-∆, num arranjo chamado “feed-forward”. O diagrama em bloco de moduladores Σ-∆ de segunda e terceira ordem é mostrado na figura A.22.8. Quando múltiplas malhas Σ-∆ são cascateadas para obter moduladores de alta ordem, é possível mostrar que o sinal de saída é dado por:

)()1()()( 1 zQzzXzYN

N−−+= (A.22.5)

Onde N é ordem do modulador e QN(z) é o ruído de quantização do n-ésimo modulador de primeira ordem.

Figura A.22.8 “Shapers” (núcleo do conversor) Sigma-Delta de segunda e terceira ordem.

Portanto, moduladores Σ-∆ com mais que uma ordem um, tal como os sistemas de terceira ordem mostrados na figura A.22.8, desempenham uma operação diferencial de maior ordem e produzem um erro bem menor em baixas freqüências.

Figura A.22.9 “Shaper” Sigma-Delta de múltiplas ordem.

A figura A.22.9 compara o espectro dos “shaper” de segunda e terceira ordem com o de primeira ordem. A potência do erro de quantização do sistema de terceira ordem é claramente menor que o de primeira ordem.

O desempenho de um sistema de terceira ordem com estrutura cascateada como mostrado na figura A.22.8 também pode ser comparado quando a entrada é um sinal senoidal. A figura A.22.10 mostra a resposta em freqüência dos três moduladores. O intervalo da freqüência no eixo x é a metade da freqüência de amostragem (3.2 MHz para 6.4 MHz de taxa de amostragem). Note que a freqüência de interesse é uma pequena porção do gráfico.

Figura A.22.10 Resposta em freqüência para uma senoide de entrada

com freqüência igual a 5 kHz.

Filtragem – Decimação Digital

Dois principais objetivos da filtragem de ruído são: 1)evitar que “aliasing” pode ocorrer para banda base; 2) tornar uma seqüência (stream) de dados de 1 bit e transformá-lo em maior resolução (16 bits, por exemplo) numa menor taxa de amostragem. Este processo segundo objetivo é chamado de decimação. Essencialmente, decimação tem ambas as funções: média e redução da taxa de amostragem simultaneamente.

Duas tarefas básicas são realizada na seção de filtro de um conversor Σ-∆:

1. Remover o ruído de quantização: como a maior parte do ruído está presente em altas freqüência, o filtro deve remover esta porção de ruído fora da banda base. Reduzir a quantidade de ruído na banda base significa aumento de resolução do conversor.

2. Decimação (redução de taxa de amostragem): após a filtragem do ruído de quantização fora da banda base, é possível e é conveniente reduzir a taxa de amostragem para a freqüência de Nyquist. Isto minimiza a quantidade de informação redundante).

O mais simples e econômico filtro para realizar as tarefas acima é o chamado “Comb-Filter”. Nenhuma multiplicação é necessária nesse filtro porque todos os seus coeficientes são unitários. Normalmente os conversores Sigma-Delta atuais utilizam três a cinco filtros “Comb” cascateados e um filtro digital adicional. A figura A.22.11 mostra esta topologia.

Figura A.22.11 Processo de decimação digital.

A estrutura de um filtro Comb Um filtro “Comb” de comprimento N é um filtro FIR (resposta ao impulso finita) com todos os seus coeficientes iguais a 1. A função transferência de um filtro “Comb” é:

)()(

)(1

0 zX

zYzzH

N

n

n == ∑−

=

− (A.22.6)

Para N = 4 a equação (A.22.6 ) torna-se

)3()2()1()()( −+−+−+= nxnxnxnxny (A.22.7)

Claramente o filtro é um simples acumulador que realiza uma média móvel. Usando a fórmula para uma soma geométrica a equação (A.22.7) pode ser escrita como

)4()3()2()1()1( −+−+−+−=− nxnxnxnxny

e

)4()1()()( −−−+= nxnynxny (A.22.8)

Ou no espaço z, para qualquer N

1

)1(

1

1

1

1

)(

)()(

11

NN z

zz

z

zX

zYzH

−

−−

− −−

=−−== (A.22.9)

A figura A.22.12 mostra o diagrama em bloco do processo de filtragem de um estágio “Comb”.

Figura A.22.12 Diagrama em bloco do filtro “Comb”.

A função de transferência de um filtro “Comb” para N = 16 é mostrada na figura A.22.13. seguido por um processo de decimação.

Figura A.22.13 Função de transferência de um filtro “Comb”.

Como pode ser observado um único filtro “Comb” não tem uma atenuação suficiente na banda de atenuação (stop band). Entretanto, como já falamos, cascateando três a cinco estágios desse filtro atingimos a atenuação necessária.

A figura A.22.14 mostra a estrutura de um filtro “Comb”de quatro seções e o espectro resultante comparados filtros de ordem menores.

Figura A.22.14 Estrutura cascateada de um filtro “Comb”.

A figura A.22.15 a) mostra um “shaper” Σ-∆ de terceira ordem; a resposta do filtro “Comb”de quatro estágios é mostrado na figura A.22.15 b). Assim, o ruído de quantização teórico filtrado pelo filtro “Comb” de 4 ordem pode ser computado como mostrado na figura A.22.15 c). Após um processo de decimação de 16:1, o ruído na banda

de 200 kHz a 1.6 MHz poderá ser superposto (“aliasing”) para banda base até 200 kHz.

Figura A.22.15 Ruído na saída do Filtro “Comb” de um Σ-∆ de terceira

ordem.