Aplicaciones del C alculo diferencial e...

Aplicaciones del Calculo diferencial e integralEcuaciones diferenciales “elementales”http://euler.us.es/~renato/

R. Alvarez-NodarseUniversidad de Sevilla

Aplicaciones EDOs de 1o orden

R. Alvarez-Nodarse Universidad de Sevilla Aplicaciones del Calculo diferencial e integral

¿Que es la modelizacion?

0 π/2 π 3π/2 2πφ

v (cm/s)

¿Como explicar y predecir Movimiento de gotas de lıquidolos fenomenos naturales? sobre una placa en movimiento

Una polemica muy antigua.

VSFourier: El estudio profundo de lanaturaleza es el campo mas fertil pa-ra los descubrimientos matematicos.Ese estudio ofrece no solo la venta-ja de un objetivo bien definido, sinotambien la de excluir cuestiones va-gas y calculos inutiles. Es un mediopara construir el analisis en sı mismoy para descubrir que ideas importanverdaderamente y cuales debe pre-servar la ciencia.Theorie analytique de la chaleur, 1822

Jacobi: Es cierto que Fourier pien-sa que el objeto prioritario de lamatematica es la utilidad publicay la explicacion de los fenomenosnaturales; pero un cientıfico comoel deberıa saber que el unico obje-to de la ciencia es rendir honor alespıritu humano y sobre esta baseuna cuestion de teorıa de numeroses tan importante como una cues-tion acerca del sistema del mundoCarta a Legendre, 2/7/1830.

Una polemica muy antigua

Hardy: Nunca he hecho nada“util”. Ningun descubrimientomıo ha supuesto [...] la masmınima alteracion en el bienes-tar del mundo.

Lobachevsky: No hay rama dela Matematica, por abstractaque sea, que no se aplique algundıa a los fenomenos del mundoreal.

Curiosidad: Resultados de Hardy se usan en criptografıa y engenetica.

Una polemica muy antigua

Hardy: Nunca he hecho nada“util”. Ningun descubrimientomıo ha supuesto [...] la masmınima alteracion en el bienes-tar del mundo.

Lobachevsky: No hay rama dela Matematica, por abstractaque sea, que no se aplique algundıa a los fenomenos del mundoreal.

Curiosidad: Resultados de Hardy se usan en criptografıa y engenetica.

En gran auge de la las mates: El teorema de Galileo

Galileo: La filosofıa [natural] esta escrita en ese

grandioso libro que tenemos abierto ante los

ojos, (quiero decir, el universo), pero no se pue-

de entender si antes no se aprende a entender

la lengua, a conocer los caracteres en los que

esta escrito. Esta escrito en lengua matematica

y sus caracteres son triangulos, cırculos y otras

figuras geometricas, sin las cuales es imposible

entender ni una palabra; sin ellos es como girar

vanamente en un oscuro laberinto. (Il Saggia-tore, 1623)

Einstein: El que no posee el don de maravillarse

ni de entusiasmarse mas le valdrıa estar muerto,

porque sus ojos estan cerrados.

Esta curiosidad por entender el mundo y sulenguaje es lo que hace que muchos de no-sotros estudiemos fısica y matematicas.

El misterio

Einstein: En Geometrıa y Experiencia (1921)Einstein comento: “Es increible que la ma-tematica, habiendo sido creada por la men-te humana, logre describir la naturaleza contanta precision”.

Wigner: En un artıculo de 1960 titulado: Un-reasonable Effectiveness of Mathematics inthe Natural Sciences, Wigner escribio: “Elmilagro de la adecuacion del lenguaje de lasmatematicas para la formulacion de las leyesde la fısica es un regalo maravilloso que nientendemos ni merecemos”.

El misterio

No debemos olvidar que ...

Riqueza de la Matematica = Problemas puros⋃

aplicados

Hacer/estudiar Matematicas, tanto utiles (Fourier) como inutiles(Hardy) sin olvidar nunca el espıritu de Lobachevsky y Galileo.

Las Matematicas, y en particular el analisis, son el verdaderolenguaje de la naturaleza

aplicados

EDOs lineales

La ecuacion

(1)d y(x)

dx+ a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denominaecuacion homogenea y si b(x) 6= 0, ecuacion no homogenea.

Susolucion general se expresa por

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

∫e∫a(x) dx b(x) dx

Para probarlo basta sustituir la funcion y(x) anterior en la EDO yusar el Teorema fundamental del Calculo.

El PVI correspondiente a la ecuacion (1) es el problema

d y(x)

dx+ a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) ∈ CI , y(x0) = y0.

EDOs lineales

La ecuacion

(1)d y(x)

dx+ a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) ∈ CI .

se denomina EDO lineal de primer orden. Si b(x) ≡ 0 se denominaecuacion homogenea y si b(x) 6= 0, ecuacion no homogenea.Susolucion general se expresa por

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

d y(x)

EDOs lineales

La ecuacion

(1)d y(x)

dx+ a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) ∈ CI .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

d y(x)

EDOs lineales

La ecuacion

(1)d y(x)

dx+ a(x)y(x) = b(x), a(x), b(x) ∈ CI .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

d y(x)

EDOs con Maxima

Para resolver EDOS analıticamente con Maxima usamos elcomando ode2 cuya sintaxis es

ode2(eqn, variable dependiente, variable independiente)

y que resuelve EDOs de primer y segundo orden.

Por ejemplo, resolvamos la EDO z ′ = −z + x :

ode2(’diff(z,x)=x-z,z,x)$

Para resolver el PVI z ′ = −z + x , y(0) = 1 hay que usar elcomando ic1 cuya sintaxis es

ic1(solucion, valor de x, valor de y)

donde solucion es la solucion general que da el comando ode2 yel valor de x y el valor de y, son los valores que toma la ycuando x = x0, i.e., los valores iniciales. Ası tenemos

expand(ic1(%,x=1,z=2));

EDOs con Maxima

Ejemplo: Encontrar la solucion de la EDO lineald y

d x+ x y = 2x .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

y = Ce−x2

2 + e−x2

2 2x dx = Ce−x2

2 + 2e−x2

2 = Ce−x2

2 + 2.

Resolver la EDO anterior con la condicion inicial y(0) = 1.

Como la solucion general es y(x) = Ce−x2

2 + 2, tenemos

y(0) = 1 = C + 2, de donde C = −1 y y(x) = 2− e−x2

Ejercicio: Resuelve la EDO y ′ = x − y y el PVI cuando y(1) = 2.

EDOs con Maxima

d x+ x y = 2x .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

y = Ce−x2

2 + e−x2

2 2x dx = Ce−x2

2 + 2e−x2

2 = Ce−x2

2 + 2.

2 + 2, tenemos

EDOs con Maxima

d x+ x y = 2x .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

y = Ce−x2

2 + e−x2

2 2x dx = Ce−x2

2 + 2e−x2

2 = Ce−x2

2 + 2.

2 + 2, tenemos

EDOs con Maxima

d x+ x y = 2x .

y(x) = Ce−∫a(x) dx + e−

∫a(x) dx

y = Ce−x2

2 + e−x2

2 2x dx = Ce−x2

2 + 2e−x2

2 = Ce−x2

2 + 2.

2 + 2, tenemos

EDOs con Maxima

Supongamos que la funcion f (x , y) en la EDO

y ′ = f (x , y)

admite la factorizacion f (x , y) = a(x)b(y). Cuando esto ocurre sedice que la EDO es separable.

En general tenemos

dx= a(x)b(y) ⇐⇒ dy

b(y)= a(x)dx ⇐⇒

b(y)dy =

∫a(x)dx .

Luego la solucion de la ecuacion separable es

G [y(x)] = A(x) + C ,

donde G (y) es una primitiva de 1/b(y) y A(x) de a(x).

EDOs con Maxima

y ′ = f (x , y)

En general tenemos

b(y)= a(x)dx ⇐⇒

b(y)dy =

∫a(x)dx .

G [y(x)] = A(x) + C ,

EDOs con Maxima

y ′ = f (x , y)

En general tenemos

b(y)= a(x)dx ⇐⇒

b(y)dy =

∫a(x)dx .

G [y(x)] = A(x) + C ,

EDOs con Maxima

Ejemplo: Resolver la ecuacion y ′ = x/y .

Usando lo anterior tenemos

ydy = xdx ⇐⇒ y2 = x2 + C .

La expresion anterior define una familia de curvas en R2 que sonsolucion de la ecuacion diferencial propuesta.

En general la solucion es y(x) = ±√C + x2, donde el signo + o −

dependera de las condiciones iniciales. Por ejemplo, si nos interesael PVI con la condicion y(0) = 3, entonces C = 9 y la solucionsera y(x) =

√9 + x2.

Ejercicio: Resuelve la EDO y ′ = 1 + y2 y el PVI cuando y(0) = 0.

EDOs con Maxima

ydy = xdx ⇐⇒ y2 = x2 + C .

√9 + x2.

EDOs con Maxima

ydy = xdx ⇐⇒ y2 = x2 + C .

√9 + x2.

EDOs con Maxima

ydy = xdx ⇐⇒ y2 = x2 + C .

√9 + x2.

EDOs con Maxima

Esta orden ode2 no siempre funciona como es el caso de la EDOz ′ = x − sen z , en cuyo caso la salida es “false”

En ese caso hay que usar algun metodo numerico. Por ejemploMaxima tiene dos comandos: el comando runge1 y el rk.Para usar el primero hay que cargar el paquete numerico diffeq.La sintaxis de runge1 es la siguiente

runge1(f, x0, x1, h, y0)

donde f es la funcion f (x , y) de la ecuacion y ′ = f (x , y), x0 y x1

los valores inicial, x0, y final, x1, de la variable independiente,respectivamente, h es la la longitud (o paso) de los subintervalos ey0 es el valor inicial y0 que toma y en x0. El resultado es una listaque a su vez contiene tres listas: la primera contiene las abscisas x ,la segunda las ordenadas y y tercera las derivadas y ′.

EDOs con Maxima

Esta orden ode2 no siempre funciona como es el caso de la EDOz ′ = x − sen z , en cuyo caso la salida es “false”

En ese caso hay que usar algun metodo numerico. Por ejemploMaxima tiene dos comandos: el comando runge1 y el rk.Para usar el primero hay que cargar el paquete numerico diffeq.La sintaxis de runge1 es la siguiente

runge1(f, x0, x1, h, y0)

donde f es la funcion f (x , y) de la ecuacion y ′ = f (x , y), x0 y x1

los valores inicial, x0, y final, x1, de la variable independiente,respectivamente, h es la la longitud (o paso) de los subintervalos ey0 es el valor inicial y0 que toma y en x0. El resultado es una listaque a su vez contiene tres listas: la primera contiene las abscisas x ,la segunda las ordenadas y y tercera las derivadas y ′.

EDOs con Maxima

kill(all);

load(diffeq);

A continuacion definimos la funcion f , y el paso h, para, acontinuacion, invocar la orden runge1

f(x,y):=1+y; h:1/20;

solnum:runge1(f,0,1,h,1);

wxplot2d([discrete,solnum[1],solnum[2]])$

Como esta ecuacion es exactamente resoluble podemos compararsus graficas. Usamos ode2 e ice1 para resolver el PVI:

sol: expand(ode2(’diff(w,x)=1+w,w,x));

expand(ic1(sol,x=0,w=1));

define(solw(x),second(%));

Y ahora dibujamos ambas graficas

plot2d([[discrete,solnum[1],solnum[2]],solw(x)],[x,0,1])$

EDOs con Maxima

Para usar el comando rk cargamos el paquete dynamics. Susintaxis para el PVI y ′ = f (x , y), y(x0) = y0 es

rk(f,y,y0,[x,x0,x1,h])

donde f es la funcion f (x , y), x0 y x1 los valores inicial, x0, y final,x1, de la variable independiente, respectivamente, h es la lalongitud de los subintervalos e y0 es el valor inicial y(x0) = y0.

El resultado es una lista con los pares [x , y ] de las abscisas x y lasordenadas y .

Ejemplo: Resolver la EDO z ′ = x − sen z (intentar con ode2)

load(dynamics)$

h:1/20;kill(x,y);

numsolrk:rk(x-sin(y),y,1,[x,0,1,h]);

wxplot2d([discrete,numsolrk],[color,blue])$

Aplicaciones

Aplicaciones geometricas

Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la

tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x , y) dibujadoentre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox .

y′ = 2y/x

P(x,y)

(x/2,0)

Encontrar una familia de curvas y(x) tal que el segmento de la

tangente t a la curva y en un punto cualquiera P(x , y) dibujadoentre P y el eje 0y quede bisecado por el eje Ox . y′ = 2y/x

P(x,y)

(x/2,0)

Ejemplo

Encontrar una familia de curvas y(x) tal que la pendiente de latangente t a la curva y en cada punto sea la suma de lascoordenadas del punto. Encuentra ademas la curva que pasa por elorigen.

y ′ = y + x

Se sabe que la intensidad i de circuito esta gobernada por la EDO

dt+ Ri = U,

donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje.Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0.Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t.

Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios).

Realizar el mismo estudio si U = U0 sen(ωt). Dibujar si L = 1H(henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios) y ω = 50Hz (hercios)

Se sabe que la intensidad i de circuito esta gobernada por la EDO

dt+ Ri = U,

donde L es la impedancia, R la resistencia y U el voltaje.Supongamos que el voltaje U es constante y que i(0) = i0.Encontrar la dependencia de i respecto al tiempo t.

Dibujar si L = 1H (henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios).

Realizar el mismo estudio si U = U0 sen(ωt). Dibujar si L = 1H(henrio), R = 1Ω (ohmio), V = 3V (voltios) y ω = 50Hz (hercios)

Ejemplo

La ecuacion barometrica de Pascal es la EDO

p′(h) = −λp(h), λ > 0,

donde p es la presion en funcion de la altura h. Si h = 0, la presiones la presion al nivel del mar (usualmente 1 atm o 760 mm demercurio). ¿Como varıa la presion con la altura?

La solucion: p(h) = p0e−h/h0

Usemos el valor de h0 = 8000m.

Pico San Cristobal Torre CerredoGrazalema (Cadiz) Picos de Europa (Cantabria)

1654m, 0.81atm 2648m, 0.71atm

Mulhacen EverestSierra Nevada (Granada) Himalaya (Nepal / China)

3478m, 0.64atm 8848m, 0.32atm

Aplicaciones EDOs de 1o orden. EDOs separables.

Ejemplo

Sea una esfera hueca homogenea de radio interior r1 y radioexterior r2. Supongamos que la temperatura de la cara interior esT1 y la exterior es T2. Encontrar la temperatura en la esfera enfuncion del radio.

Sea Q es la cantidad de calor que pasa entre la esfera “interior”(en blanco) y la exterior (sombreada). Asumiendo que Q esconstante tenemos

1 Q = −κr2 dTdr, κ > 0

dT ⇐⇒ 1

r+ C =

T (r),

dT ⇐⇒ 1

r+ C =

T (r),

pero T (r1) = T1, luego C = κQT1 − r1, de donde deducimos

r− 1

(T (r)− T1) .

Ahora bien, como ha de ser T (r2) = T2, podemos eliminar Q en laecuacion (el cual en general no es conocido) para obtener

Q = κ(T2−T1)r1r2r2−r1

T (r) = T1 +(T2 − T1)r1r2

r2 − r1

r− 1

Ejemplo

Supongamos que tenemos una reaccion quımica A + B → C

y que en t = 0 la concentracion de A es a y la de B es b. Se sabeque la velocidad la velocidad de formacion de C es proporcional ala concentracion de A y B. Lo anterior nos conduce a la EDO

x ′ = κ(a− x)(b − x), x(0) = 0.

Asumamos que a 6= b. ¿Como varıa x con el tiempo?

(a− x)(b − x)= κdt V log

a− x

b − x= (a− b)κt + C ,

como x(0) = 0, C = a/b, luego x(t) = ab1− e(a−b)κt

b − a e(a−b)κt.

Si b > a entonces lımt→∞

x(t) = a y si b < a, lımt→∞

x(t) = b.

Lo anterior es “evidente” pues la reaccion acabara cuando se acabeuno de los dos reactivos A o B.

La velocidad de escape vE de la Tierra

Ejemplo

Queremos encontrar vE al espacio ex-terior de un cuerpo que se encuentreen la superficie de la Tierra. Usandola ley de Newton

dt= −GMT

r2= −gR2

G es la constante universal gravitato-ria, MT es la masa de la tierra y g laaceleracion de la gravedad.

Como r varıa con el tiempo la ecuacion anterior es, en general,complicada de resolver. Usando la regla de la cadena

dv/dt = (dr/dt)(dv/dr) = v dv/dr , luego vdv

dr= −gR2

La solucion de esta EDO usando el metodo de separacion devariables es v2 = 2gR2/R + C . Llamando v0 la velocidad inicial delcuerpo sobre la superficie terrestre obtenemos

v2(r) =2gR

r+ v20 − 2gR.

Si queremos enviar una nave y que esta escape de la gravedadterrestre necesitamos que ∀r > R, v2 ≥ 0. De hecho para queescape definitivamente de la tierra es suficiente que v ≥ 0 cuandor →∞, i.e.,

lımr→∞

v(r) ≥ 0 V v20 − 2gR ≥ 0

Sustituyendo los datos R = 6400000 metros y g = 9,8m/s2

obtenemos v0 = 11200m/s = 11,2Km/s.

Ejemplo

La velocidad v(t) de caıda de uncuerpo en un medio viscoso se pue-de modelizar mediante la ecuacion

v ′ = g − κv r , v(0) = v0,

donde g y κ son ciertas constantes(la gravedad y la viscosidad).

Resolvamos la ecuacion

g − κv r= dt V t−t0 =

g − κv r=

1− ω2v r, ω2 =

Escojamos r = 2, por ejemplo. Entonces

1− ω2v r=

2ωlog

(1 + ωv)

(1− ωv)

(1− ωv0)

(1 + ωv0)= g(t − t0).

Despejando v tenemos la solucion

v(t) =1

(1+ωv01−ωv0

)e2gω(t−t0) − 1(

1+ωv01−ωv0

)e2gω(t−t0) + 1

, ω =

Como ω > 0, entonces si t →∞ el cuerpo solo podra alcanzar lavelocidad lımite vmax = 1/ω independiente del valor v0 inicial.

Ejercicio

Resolver el caso r = 3.

La descomposicion radioactiva

N(t+h)−N(t) = −λN(t)h ⇐⇒ N(t + h)− N(t)

h= −λN(t).

N ′(t) = −λN(t), N(t0) = N0.

El perıodo de semi-desintegracion: el tiempo necesario paradisminuir en la mitad el numero de atomos,

2= N0e

−λT , V λ =log 2

0,693147

Elemento Perıodo T λ

Radio 226 → Plomo 214 1600 anos 0.000433217 1/anos

Plomo 214 → Plomo 210 47 min 0.0147478 1/min

Plomo 210 → Polonio 210 22 anos 0.0315067 1/anos

Polonio 210 → Plomo 206 138 dias .00502281 1/dias

Carbono 14 → Nitrogeno 14 5568 anos 0.000124488 1/anos

Uranio 238 → Torio 234 4,51109 anos 1,5101210−10 1/anos

En muchos casos un elemento radioactivo puede obtenerse de apartir de otros en lo que se denomina una cadena radioactiva.

Plomo 214Plomo 210Polonio 210Plomo 206

Uranio 238 Torio 234 Uranio 234 Radio 226

Cadena radioactiva

Si llamamos a esa aportacion r(t), entonces la ecuacion quegobierna la desintegracion del Plomo 210 es la siguiente

N ′(t) = −λN(t) + r(t), N(t0) = N0,

Las falsificaciones de H.A. Van Meegeren

Hagamos un parentesis cultural. Falsificaciones de obras de arte.

H.A. Van Meegeren fue un pintor holandes delsiglo XX que se hizo famoso por sus falsificacio-nes de obras del pintor flamenco del siglo XVIIJan Vermeer, especialmente por su cuadro “Losdiscıpulos de Emmaus” que vendio por 4 millo-nes de dolares.

Van Meegeren fue acusado de colabo-rar con los nazis en la II Guerra Mun-dial por la venta a Goering, a travesdel banquero nazi Miedl, de una obrade Vermer “Cristo y la adultera” por7 millones.

Hagamos un parentesis cultural. Falsificaciones de obras de arte.

H.A. Van Meegeren fue un pintor holandes delsiglo XX que se hizo famoso por sus falsificacio-nes de obras del pintor flamenco del siglo XVIIJan Vermeer, especialmente por su cuadro “Losdiscıpulos de Emmaus” que vendio por 4 millo-nes de dolares.

Van Meegeren fue acusado de colabo-rar con los nazis en la II Guerra Mun-dial por la venta a Goering, a travesdel banquero nazi Miedl, de una obrade Vermer “Cristo y la adultera” por7 millones.

Estando en prision Van Meegeren de-claro que esa obra, “Los discıpulos deEmmaus” y otras dos mas eran falsi-ficaciones propias. Para probarlo VanMeegeren comezo a pintar en prisionotra obra de Vermeer “Jesus entre losDoctores”.

Durante el proceso se entero que habıan cambiado su pena detraicion por la de falsificacion y se nego a terminarla dejando a losexpertos con la duda sobre la falsedad de la famosa pintura.

Finalmente, Van Meegeren fue condenado a un ano de prision porfalisificacion el 12 de octubre de 1947 pero no la cumplio pues el30 de diciembre de 1947 murio de paro cardıaco.

“Los discıpulos de Emmaus”: la falsificacion perfecta.

El escandalo que provocaron las declaraciones de Van Meegerenfue mayusculo por lo que se busco una comision de expertos quedictaminara la falsedad o no de esta obra. Despues de muchasdiscusiones los expertos en arte decidieron que la obra no era unafalsificacion.

¿Y todo este “rollo” a que viene?

La solucion definitiva a si “Los discıpulos de Emmaus” era falsa ono se resolvieron finalmente usando metodos cientıficos, y porsupuesto matematicas.

¿Y todo este “rollo” a que viene?

La solucion definitiva a si “Los discıpulos de Emmaus” era falsa ono se resolvieron finalmente usando metodos cientıficos, y porsupuesto matematicas.

Falsificacion de obras de arte

Imaginemos que queremos saber si un cuadro es del siglo XVIII ouna falsificacion del XX. Por sencillez supongamos que r(t) ≈ r0.Entonces la solucion de la EDO N ′(t) = −λN(t) + r(t),N(t0)=N0 es

N(t) =r0λ

(1− e−λ(t−t0)) + N0e−λ(t−t0).

Obviamente hoy dıa podemos medir facilmente los valores de r0(que hemos supuesto no ha cambiado apenas en estos 300 anos) yN(t), no ası el valor N0 pues no sabemos la cantidad inicial dePlomo 210 que habıa en la muestra de pintura.

No obstante nuestra ecuacion si nos permite distinguir entre unaobra del siglo XVIII y una falsificacion reciente. Asumamos que ladiferencia de antiguedad es de unos 300 anos. De la expresionanterior tenemos

N(t) =r0λ

(1− e−λ(t−t0)) + N0e−λ(t−t0).

N(t) =r0λ

(1− e−λ(t−t0)) + N0e−λ(t−t0).

λN0 = N(t)eλ300 − r0(eλ300 − 1).

Existe un rango muy alto para la cantidad de Radio 226 en unamuestra de mineral de Plomo en funcion de las minas que va desde0.18 desintegraciones por minuto y gramo de mineral hasta 140desintegraciones por minuto y gramo.

Como el Plomo 210 esta en equilibrio con el Radio 226 ello nosindica que en funcion de la procedencia del pigmento usado (lacual ciertamente no la conocemos con exactitud) N0 puede variarsensiblemente. ¿Como proceder?

Es facil entender que si la pintura es realmente antigua, entoncesla cantidad de radioactividad procedente del Plomo 210 y delRadio 226 sera practicamente la misma, mientras que si es unafalsificacion moderna, entonces la aportacion del Plomo 210 seramucho mayor.

λN0 = N(t)eλ300 − r0(eλ300 − 1).

Como no podemos deducir el valor inicial N0 intentemos dar unacota del mismo lo suficientemente alta para estar seguros quetenemos una falsificacion.

Por ejemplo, si se supone que el Plomo 210 tenıa un ritmo dedecaimiento de 100 desintegraciones por minuto y gramo en lamuestra original entonces en la muestra habıa una concentraciondel 0.014 % de Uranio 238 (de la cual se sigue la del Radio 226) lacual es extremadamente alta pues la normal es de unos2,7× 10−4 %.

Ahora bien, como existen algunas minas con una concentracion deun 2 %-3 %, ası que para mayor seguridad en vez de 100 pongamos30000 desintegraciones por minuto y gramo. Esa cota para λN0

sera demasiado alta y podremos asegurar la falsedad de la obra.

Unas mediciones cuidadosas de la cantidad de desintegraciones porminuto y gramo del Radio 226 y del Plomo 210 en una muestra de“Los discıpulos” dio que r0 = 0,8 y N(t) = 8,5, luego usando laformula

λN0 = N(t)eλ300 − r0(eλ300 − 1), λ =log 2

tenemos

λN0 = 8,5e300/22 log 2−0,8(e300/22 log 2 − 1) = 98050,

que superaba con creces la cota (30000) impuesta. O sea, erarealmente ¡FALSA!

λN0 = N(t)eλ300 − r0(eλ300 − 1), λ =log 2

Como ejercicio decide si las obras1 “Mujer leyendo musica” (r0 = 0,3, N = 10,3) y2 “Mujer tocando la mandolina” (r0 = 0,17, N = 8,17)

de Van Vermeer son falsificaciones modernas o no.

Mujer leyendo musica Mujer tocando la mandolina

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