MATEMTICA IIIIIMODULO III- iV Derivada APLICACIONES DE LA DERIVADA

Derivada

INTERPRETACION GEOMETRICALa pendiente de la RECTA SECANTE es igual a la tangente trigonomtrica de

Recta Secante

y f(x + x) - f(x) tg = = x x

La recta tangente es aquella que corta a una curva en dos o mas puntos

Derivada

INTERPRETACION GEOMETRICARecta Tangente

La pendiente de la RECTA TANGENTE es igual a lmite cuando x tiende a cero del cociente incremental. A esta expresin lo conoceremos como DERIVADA

y f(x + x) - f(x) tg = lim = lim x0 x x0 x

Derivada

DEFINICIONLa derivada de una funcin es igual al lmite cuando el incremento (x) tiende a cero del cociente incremental y f(x + x) - f(x) y = lim = lim de la diferencia de la funcin x 0 x x 0 x incrementada [f(x+x)] menos la funcin [f(x)] sin incrementar dividido el incremento (x).

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EL ANALISIS GRFICO DE UNA FUNCINComo se observa en el grfico, la funcin tiene un MXIMO en x2 y en x6. Adems tiene un MNIMO en x4. La funcin es creciente en (0; x2) y en (x4; x6). La funcin es decreciente en (x2; x4) y en (x6; x7).

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ANALISIS DEL CRECIMIENTO FUNCIONALEn x1 la funcin es creciente y la recta tangente forma un ngulo menor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es positivo Caso contrario en x3 la funcin es decreciente y la recta tangente forma un ngulo mayor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es negativo

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ANALIS DEL CRECIMIENTO - EJEMPLOHallemos la derivada de la funcin1 f(x) = x2 4x + 6 2 1 (x) = .2x 4 = x - 4 f 2

Analicemos en x=1f(1) = 1 4 = -3es negativo por lo tanto

la funcin es decreciente Analicemos en x=7 f(7) = 7 4 = 3 es positivo por lo tanto la funcin es creciente

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ANALISIS DE LOS MXIMOS Y MNIMOSEn x2 y en x6 la funcin tiene un mximo y la recta tangente forma un ngulo de 0 por ser paralelas con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es cero. f(x) = 0 Tambin en x4 la recta tangente a la funcin forma un ngulo de 0 con el eje x por ser paralelo pero aqu existe un mnimo. Por lo tanto la derivada tambin es cero. f(x) = 0

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ANALISIS DE LOS PUNTOS DE INFLEXINUn punto de inflexin es aquel donde la funcin cambia de curvatura. Como vemos la recta tangente tambin forma un ngulo de 0 con el eje x por ser paralela. Tambin la primera derivada da cero.

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PUNTOS CRTICOSMAXIMOS

PUNTOS DE INFLEXIN

MINIMO

En conclusin tanto los puntos mximos, mnimos como puntos de inflexin dan como valor en la primera derivada cero. A estos puntos los llamaremos PUNTOS CRTICOS y necesitamos analizarlos utilizando otra herramienta que no sea la primera derivada.

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Graficas de primera, segunda y tercera derivadaFuncin original Primer derivadaMximo

Segunda derivada

Mximo

Puntos de inflexin Cero

Cero

Mnimos

1 4 f(x) = x 2x2 4

Mnimo

f(x) = x3 4x

f(x) = 3x2 4

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Regla prctica para determinar puntos crticos.PRIMER PASO Hallamos la 1era. Derivada y lo igualamos a cero. SEGUNDO PASO TERCER PASO Ahora se reemplaza los Para hallar los valores hallados en la puntos de inflexin, segunda derivada. igualamos a cero la Si f(x) = 1 x 4 2x2 f(x) = 3x2 4 segunda derivada y 4 En x=0 hallamos las races. f(x) = x3 4x lo igualo 3 f(0) = 3.02 4 = -4 Max. f(x) = 3x2 4 =0 a cero. x 4x = 0 4 2 x(x2 4 ) = 0 De aqu En x=-2 3x = 4 x = 2 3 f(2) = 3.2 4 = 8 Min. tenemos que las Entonces en x=1,15 soluciones son x=0; En x=-2 2 f(-2) = 3.(- 2) 4 = 8 Min y en x=-1,15 x=2; x=-2

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POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOSA partir de una plancha de hojalata cuadrada de lado igual a 20 cm., determinar las dimensiones del envase que se puede construir de manera que sta tenga el mximo volumen y la base sea cuadrada.

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POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOSHallamos la frmula de volumen: Vol. de un prisma = sup. de la base x altura del cuerpo. En nuestro caso: V=(20-2x)2.x=[202-2.20.2x+(2x)2].x= =[400-80x+4x2].x=400x-80x2+4x3 Ordenando queda V=4x3-80x2+400x Derivamos la funcin volumen y luego lo igualamos a cero. V=4x3-80x2+400x derivamos V`=12x2-160x+400160 1602 4.12.400 12x -160x+400, se aplica la resolvente x = 2.122

Haciendo los clculos tenemos x1=3,33 y x2=10 El valor que nos da el volumen mximo es x=3,33.