Aplicaciones de la derivada

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MATEMTICA IIIIIMODULO III- iV Derivada APLICACIONES DE LA DERIVADA

Derivada

INTERPRETACION GEOMETRICALa pendiente de la RECTA SECANTE es igual a la tangente trigonomtrica de

Recta Secante

y f(x + x) - f(x) tg = = x x

La recta tangente es aquella que corta a una curva en dos o mas puntos

Derivada

INTERPRETACION GEOMETRICARecta Tangente

La pendiente de la RECTA TANGENTE es igual a lmite cuando x tiende a cero del cociente incremental. A esta expresin lo conoceremos como DERIVADA

y f(x + x) - f(x) tg = lim = lim x0 x x0 x

Derivada

DEFINICIONLa derivada de una funcin es igual al lmite cuando el incremento (x) tiende a cero del cociente incremental y f(x + x) - f(x) y = lim = lim de la diferencia de la funcin x 0 x x 0 x incrementada [f(x+x)] menos la funcin [f(x)] sin incrementar dividido el incremento (x).

Derivadas APLICACIONES DE LAS Derivadas

EL ANALISIS GRFICO DE UNA FUNCINComo se observa en el grfico, la funcin tiene un MXIMO en x2 y en x6. Adems tiene un MNIMO en x4. La funcin es creciente en (0; x2) y en (x4; x6). La funcin es decreciente en (x2; x4) y en (x6; x7).

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ANALISIS DEL CRECIMIENTO FUNCIONALEn x1 la funcin es creciente y la recta tangente forma un ngulo menor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es positivo Caso contrario en x3 la funcin es decreciente y la recta tangente forma un ngulo mayor que 90 con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es negativo

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ANALIS DEL CRECIMIENTO - EJEMPLOHallemos la derivada de la funcin1 f(x) = x2 4x + 6 2 1 (x) = .2x 4 = x - 4 f 2

Analicemos en x=1f(1) = 1 4 = -3es negativo por lo tanto

la funcin es decreciente Analicemos en x=7 f(7) = 7 4 = 3 es positivo por lo tanto la funcin es creciente

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ANALISIS DE LOS MXIMOS Y MNIMOSEn x2 y en x6 la funcin tiene un mximo y la recta tangente forma un ngulo de 0 por ser paralelas con el eje x. Por lo tanto la derivada en ese punto es cero. f(x) = 0 Tambin en x4 la recta tangente a la funcin forma un ngulo de 0 con el eje x por ser paralelo pero aqu existe un mnimo. Por lo tanto la derivada tambin es cero. f(x) = 0

Derivada das APLICACIONES DE LAS Derivadas

ANALISIS DE LOS PUNTOS DE INFLEXINUn punto de inflexin es aquel donde la funcin cambia de curvatura. Como vemos la recta tangente tambin forma un ngulo de 0 con el eje x por ser paralela. Tambin la primera derivada da cero.

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PUNTOS CRTICOSMAXIMOS

PUNTOS DE INFLEXIN

MINIMO

En conclusin tanto los puntos mximos, mnimos como puntos de inflexin dan como valor en la primera derivada cero. A estos puntos los llamaremos PUNTOS CRTICOS y necesitamos analizarlos utilizando otra herramienta que no sea la primera derivada.

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Graficas de primera, segunda y tercera derivadaFuncin original Primer derivadaMximo

Segunda derivada

Mximo

Puntos de inflexin Cero

Cero

Mnimos

1 4 f(x) = x 2x2 4

Mnimo

f(x) = x3 4x

f(x) = 3x2 4

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Regla prctica para determinar puntos crticos.PRIMER PASO Hallamos la 1era. Derivada y lo igualamos a cero. SEGUNDO PASO TERCER PASO Ahora se reemplaza los Para hallar los valores hallados en la puntos de inflexin, segunda derivada. igualamos a cero la Si f(x) = 1 x 4 2x2 f(x) = 3x2 4 segunda derivada y 4 En x=0 hallamos las races. f(x) = x3 4x lo igualo 3 f(0) = 3.02 4 = -4 Max. f(x) = 3x2 4 =0 a cero. x 4x = 0 4 2 x(x2 4 ) = 0 De aqu En x=-2 3x = 4 x = 2 3 f(2) = 3.2 4 = 8 Min. tenemos que las Entonces en x=1,15 soluciones son x=0; En x=-2 2 f(-2) = 3.(- 2) 4 = 8 Min y en x=-1,15 x=2; x=-2

LAS Derivadas APLICACIONES DE LAS Derivadas

POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOSA partir de una plancha de hojalata cuadrada de lado igual a 20 cm., determinar las dimensiones del envase que se puede construir de manera que sta tenga el mximo volumen y la base sea cuadrada.

Derivadas APLICACIONES DE LAS Derivadas

POBLEMAS CON MAXIMOS Y MINIMOSHallamos la frmula de volumen: Vol. de un prisma = sup. de la base x altura del cuerpo. En nuestro caso: V=(20-2x)2.x=[202-2.20.2x+(2x)2].x= =[400-80x+4x2].x=400x-80x2+4x3 Ordenando queda V=4x3-80x2+400x Derivamos la funcin volumen y luego lo igualamos a cero. V=4x3-80x2+400x derivamos V`=12x2-160x+400160 1602 4.12.400 12x -160x+400, se aplica la resolvente x = 2.122

Haciendo los clculos tenemos x1=3,33 y x2=10 El valor que nos da el volumen mximo es x=3,33.