Unidad II: La distribucin ji cuadrada (2). Caractersticas y Aplicaciones sobre variables cualitativas. Pruebas de hiptesis de bondad de ajustes y Anlisis de Tablas de contingencia.

I.- CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIN JI-CUADRADA

En estadstica, la distribucin ji-cuadrado, tambin denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribucin de probabilidad continua con un parmetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria que se describe a continuacin:

donde Zi son variables de distribucin normal, de media cero y varianza uno.

Esta distribucin se expresa habitualmente

Donde el subndice k es le nmero de sumandos, se denomina grados de libertad de la distribucin.

La Distribucin ji-cuadrado, tiene por funcin de densidad

Donde el parmetro k se denomina grados de libertad de la distribucin.

La Distribucin ji-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.

Tngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la funcin de densidad para x = 0, se hace infinito:

Para el resto de los valores de k, para x = 0, la funcin vale 0.

Valores de 2ProbabilidadGrados de libertadTngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la funcin de densidad para 2 = 0, se hace infinito. Para el resto de los valores de k, para 2 = 0, la funcin vale 0.

Uso De la tabla de la Distribucin Ji-cuadrado y Prueba de hiptesis sobre una varianza

En la tabla de distribucin ji-cuadrado se pueden encontrar algunos cuantiles o valores tabulados de la distribucin para diferentes grados de libertad. Para calcular la probabilidad de que una variable distribuida como una ji-cuadrado con grados de libertad sea mayor o igual a un cierto valor se procede de la siguiente forma:

Se busca en la tabla la fila que corresponde a los grados de libertad de la distribucin y dentro de esa fila se localiza (de manera exacta o aproximada) el valor x. Luego se lee la probabilidad buscada mirando el encabezamiento de la columna correspondiente.

Por ejemplo, si X se distribuye como una 2 con 5 grados de libertad entonces:p( X 9,24) = 0.1Como ejercicio de uso de la tabla encontrar:a) p( X 6,26) si X se distribuye como una 2 con 15 grados de libertad.b) p(S2(n-1) /2 16,93) si S2 fue obtenido a partir de una muestra de tamao 10.

P(2 ) = gradoslibertad0.9950.990.9750.950.90.10.050.0250.010.00510.000.000.000.000.022.713.845.026.637.8820.010.020.050.100.214.615.997.389.2110.6030.070.110.220.350.586.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.067.789.4911.1413.2814.8650.410.550.831.151.619.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.241.642.2010.6412.5914.4516.8118.5570.991.241.692.172.8312.0214.0716.0118.4820.2881.341.652.182.733.4913.3615.5117.5320.0921.9591.732.092.703.334.1714.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.8715.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575.5817.2819.6821.9224.7226.76123.073.574.405.236.3018.5521.0323.3426.2228.30133.574.115.015.897.0419.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7921.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.267.268.5522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.917.969.3123.5426.3028.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0924.7727.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8625.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1211.6527.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4428.4131.4134.1737.5740.00218.038.9010.2811.5913.2429.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8532.0135.1738.0841.6444.18

p (X 2) =

III.- APLICACIN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Anlisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificacin

Tipos de AccidentesFO (frecuencia observada)Arrollamiento (A)12Colisin (C)15Objeto Fijo (OF)23Total Observados50

III.- APLICACIN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Anlisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificacin

Tipos de AccidentesProporcinesperadaArrollamiento (A)0,333Colisin (C)0,333Objeto Fijo (OF)0,333Total1,00

III.- APLICACIN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE Anlisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificacin

La prueba de bondad de ajuste radica en la comparacin de las frecuencias observadas con aquellas frecuencias esperadas (por la hiptesis nula)

Tipos de AccidentesProporcinesperadaArrollamiento (A)0,333Colisin (C)0,333Objeto Fijo (OF)0,333Total1,00

Ho : P1 = P2 = P3 = 0,333, es decir Ho: Los tipos de accidentes registraron igual proporcin de ocurrencia. En porcentaje se leera en un 33,3 % igual para cada categora de accidente. Por tanto, las frecuencias esperadas (FE) se calcularan multiplicando la proporcin planteada en la hiptesis nula (en este ejemplo, P = 0,333) por el nmero total de frecuencias observadas (en este ejemplo, FO total = 50).

Tipos de AccidentesFO(frecuencia observada)FE(Frecuencia Esperada)Arrollamiento (A)1216,7Colisin (C)1516,7Objeto Fijo (OF)2316,7 FE =P*FO totalFE = 0,333*50 = 16,7

La Prueba estadstica usada en esta situacin se basa en la distribucin ji cuadrada y se describe a continuacin

4.61

3.874.61Regin rechazo de HoRegin aceptacin de Ho

3.874.61Regin rechazo de HoRegin aceptacin de HoAqu se verifica que el valor calculado es menor al valor 4.61 de la tablase acepta la hiptesis nula en la cual estadsticamente podemos afirmar que la proporcin de accidentes fue igual entre categoras.

Supngase que se realiza la siguiente pregunta en una encuesta: conviene el cambio curricular?, y las respuestas establecidas son SI, NO y No S. S la indiferencia o el desconocimiento fuera total, la proporcin de respuestas en cada categora sera igual; prubese al 10% de significancia s la indiferencia prevalece en los encuestados.

RespuestasFoSi55No35No S30

Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.TOTAL de FO / # categoras = 120 / 3 = 40 !!!!!!!!

RespuestasFoFESi5540No3540No S3040

Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.

RespuestasFoFESi5540No3540No S3040

8,75

Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.Se ha rechazado la hiptesis nula y se decide a favor de la HaConclusin?

RespuestasFoFESi5540No3540No S3040

MunicipioProporcin de Habitantes en cada municipioFrecuenciasObservadas de comercios en cada municipioA6%30B20%106C20%103D20%103E4%28F30%146Total 100%516

Ho: La Proporcin de comercios es igual a la Proporcin de habitantes en cada municipio .Ha: La Proporcin de comercios NO es igual a la Proporcin de habitantes en cada municipio .

MunicipioProporcin de Habitantes en cada municipioFrecuenciasObservadas de comercios en cada municipioA6%30B20%106C20%103D20%103E4%28F30%146Total 100%516

S la Ho es cierta entonces del total de 516 comercios en la regin El 6% de ellos estn en el municipio A = 31El 20% de ellos estn en el municipio B = 103El 20% de ellos estn en el municipio C = 103El 20% de ellos estn en el municipio D = 103El 4% de ellos estn en el municipio E = 21El 30% de ellos estn en el municipio F = 155

MunicipioProporcin de Habitantes en cada municipioFrecuenciasObservadas de comercios en cada municipioA6%30B20%106C20%103D20%103E4%28F30%146Total 100%516

MunicipioProporcin de Habitantes en cada municipioFrecuenciasObservadas de comercios en cada municipioFrecuenciasEsperadas de comercios en cada municipio

A6%3031B20%106103C20%103103D20%103103E4%2821F30%146155Total 100%516516

Se acepta Ho, lo cual implica que:

Existe relacin entre la proporcin de comercios y la proporcin de habitantes entre los municipios !!!!!

MunicipioProporcin de Habitantes en cada municipioFrecuenciasObservadas de comercios en cada municipioFrecuenciasEsperadas de comercios en cada municipio

A6%3031B20%106103C20%103103D20%103103E4%2821F30%146155Total 100%516516