Aplicaciones de las Pruebas Chi cuadrada Geografia
38
Unidad II: La distribución ji cuadrada (χ 2 ). Características y Aplicaciones sobre variables cualitativas. Pruebas de hipótesis de bondad de ajustes y Análisis de Tablas de contingencia. I.- CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA En estadística , la distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria que se describe a continuación: donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno. Esta distribución se expresa habitualmente Donde el subíndice k es le número de sumandos, se denomina grados de libertad de la distribución.
-
Upload
argenis-mora -
Category
Education
-
view
8.736 -
download
2
Transcript of Aplicaciones de las Pruebas Chi cuadrada Geografia
Unidad II: La distribución ji cuadrada (χ2). Características y Aplicaciones sobre variables cualitativas. Pruebas de hipótesis de bondad de ajustes y Análisis de Tablas de contingencia.
I.- CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN JI-CUADRADA
En estadística, la distribución ji-cuadrado, también denominada ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro k que representa los grados de libertad de la variable aleatoria que se describe a continuación:
donde Zi son variables de distribución normal, de media cero y varianza uno.
Esta distribución se expresa habitualmente
Donde el subíndice k es le número de sumandos, se denomina grados de libertad de la distribución.
La Distribución ji-cuadrado, tiene por función de densidad
Donde el parámetro k se denomina grados de libertad de la distribución.
La Distribución ji-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.
Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito:
Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.
Valores de Valores de χχ22
ProbabilidadProbabilidad
Grados de libertadGrados de libertad
Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para χχ22 = 0, se hace infinito. Para el resto de los valores de k, para χχ22 = 0, la función vale 0.
Uso De la tabla de la Distribución Ji-cuadrado y Prueba de hipótesis sobre una varianza
En la tabla de distribución ji-cuadrado se pueden encontrar algunos cuantiles o valores tabulados de la distribución para diferentes grados de libertad. Para calcular la probabilidad de que una variable distribuida como una ji-cuadrado con grados de libertad sea mayor o igual a un cierto valor se procede de la siguiente forma:
•Se busca en la tabla la fila que corresponde a los grados de libertad de la distribución y dentro de esa fila se localiza (de manera exacta o aproximada) el valor x.x. •Luego se lee la probabilidad buscada mirando el encabezamiento de la columna correspondiente.
Por ejemplo, si X se distribuye como una χ2 con 5 grados de libertad entonces:p( X ≥ 9,24) = 0.1Como ejercicio de uso de la tabla encontrar:a) p( X ≥ 6,26) si X se distribuye como una χ2 con 15 grados de libertad.b) p(S2(n-1) /σ2 ≥ 16,93) si S2 fue obtenido a partir de una muestra de tamaño 10.
P(χ2 ≥) = α
grados
libertad 0.995 0.99 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 17.28 19.68 21.92 24.72 26.76
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00
21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80
23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
p (X ≥ χ2) = α
III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificación
Tipos de Accidentes
FO (frecuencia observada)
Arrollamiento (A) 12
Colisión (C) 15
Objeto Fijo (OF) 23
Total Observados 50
III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificación
Tipos de Accidentes
Proporciónesperada
Arrollamiento (A) 0,333Colisión (C) 0,333Objeto Fijo (OF) 0,333
Total 1,00
III.- APLICACIÓN DE LA JI- CUADRADA EN PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE
Análisis de Tablas de contingencia con un criterio de clasificación
Tipos de Accidentes
Proporciónesperada
Arrollamiento (A) 0,333Colisión (C) 0,333Objeto Fijo (OF) 0,333
Total 1,00
La prueba de bondad de ajuste radica en la comparación de las frecuencias observadas con aquellas frecuencias esperadas (por la hipótesis nula)
Ho : P1 = P2 = P3 = 0,333, es decir Ho: Los tipos de accidentes registraron igual proporción de ocurrencia. En porcentaje se leería en un 33,3 % igual para cada categoría de accidente. Por tanto, las frecuencias esperadas (FE) se calcularían multiplicando la proporción planteada en la hipótesis nula (en este ejemplo, P = 0,333) por el número total de frecuencias observadas (en este ejemplo, FO total = 50).
Tipos de Accidentes
FO(frecuencia observada)
FE(Frecuencia Esperada)
Arrollamiento (A) 12 16,7
Colisión (C) 15 16,7
Objeto Fijo (OF) 23 16,7
FE =P*FO total FE = 0,333*50 = 16,7
La Prueba estadística usada en esta situación se basa en la
distribución ji cuadrada y se describe a continuación
c
2cc
3
233
2
222
1
211
C
1i i
2ii2
c
FE
)FEFO(....
FE
)FEFO(
FE
)FEFO(
FE
)FEFO(
FE
)FEFO(
87,37,16
69,39
7,16
89,2
7,16
09,22
7,16
)7,1623(
7,16
)7,1615(
7,16
)7,1612(
FE
)FEFO(
222
C
1i i
2ii2
c
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2
De
nsid
ad
de
Pro
ba
bilid
ad
4.61
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2
De
nsid
ad
de
Pro
ba
bilid
ad
3.87 4.61
Región rechazo de Ho
Región aceptación de Ho
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2
De
nsid
ad
de
Pro
ba
bilid
ad
3.87 4.61
Región rechazo de Ho
Región aceptación de Ho
Aquí se verifica que el valor calculado es menor al valor 4.61 de la tablase acepta la hipótesis nula en la cual estadísticamente podemos afirmar que la proporción de accidentes fue igual entre categorías.
1.Supóngase que se realiza la siguiente pregunta en una encuesta: ¿conviene el cambio curricular?, y las respuestas establecidas son SI, NO y No Sé. Sí la indiferencia o el desconocimiento fuera total, la proporción de respuestas en cada categoría sería igual; pruébese al 10% de significancia sí la indiferencia prevalece en los encuestados.
Respuestas Fo
Si 55
No 35
No Sé 30
Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
TOTAL de FO / # categorías = 120 / 3 = 40 !!!!!!!!
Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
75,840
)4030(40
)4035(40
)4055(
FE
)FEFO(
222
C
1i i
2ii2
c
8,75
Ho: P(si) = P(no) = P(no sabe) ; La indiferencia prevaleceHa: P i ≠ P j ; La indiferencia NO prevalece , y si se tiene preferencia por alguna de las respuestas dadas.
Respuestas Fo FE
Si 55 40
No 35 40
No Sé 30 40
Se ha rechazado la hipótesis nula y se decide a favor de la HaConclusión?
Municipio Proporción de Habitantes en cada
municipio
FrecuenciasObservadas de
comercios en cada municipio
A 6% 30B 20% 106C 20% 103D 20% 103E 4% 28F 30% 146
Total 100% 516
Ho: La Proporción de comercios es igual a la Proporción de habitantes en cada municipio .Ha: La Proporción de comercios NO es igual a la Proporción de habitantes en cada municipio .
Municipio Proporción de Habitantes en cada
municipio
FrecuenciasObservadas de
comercios en cada municipio
A 6% 30B 20% 106C 20% 103D 20% 103E 4% 28F 30% 146
Total 100% 516
Sí la Ho es cierta entonces del total de 516 comercios en la región El 6% de ellos están en el municipio A = 31El 20% de ellos están en el municipio B = 103El 20% de ellos están en el municipio C = 103El 20% de ellos están en el municipio D = 103El 4% de ellos están en el municipio E = 21El 30% de ellos están en el municipio F = 155
Municipio Proporción de Habitantes en cada
municipio
FrecuenciasObservadas de
comercios en cada municipio
A 6% 30B 20% 106C 20% 103D 20% 103E 4% 28F 30% 146
Total 100% 516
Municipio Proporción de Habitantes en cada
municipio
FrecuenciasObservadas de comercios en
cada municipio
FrecuenciasEsperadas de comercios en
cada municipio
A 6% 30 31B 20% 106 103C 20% 103 103D 20% 103 103E 4% 28 21F 30% 146 155
Total 100% 516 516
Se acepta Ho, lo cual implica que:
Existe relación entre la proporción de comercios y la proporción de habitantes entre los municipios !!!!!
Municipio Proporción de Habitantes en cada
municipio
FrecuenciasObservadas de comercios en
cada municipio
FrecuenciasEsperadas de comercios en
cada municipio
A 6% 30 31B 20% 106 103C 20% 103 103D 20% 103 103E 4% 28 21F 30% 146 155
Total 100% 516 516
