APLICACIONES DEL ENSAYO TRIAXIAL

1. TRAYECTORIA DE TENSIONES 2. MODELO HIPERBÓLICO

Artemio Cuenca Payá

Laboratorio de Carreteras

Servicio Territorial de Carreteras

ALICANTE

__________________________________________________________

La experiencia cotidiana ha demostrado que muchos

profesionales de la Geotecnia suelen huir de los ensayos

triaxiales, ya que lo consideran como un gasto superfluo si

con un corte, más barato, van a obtener el mismo resultado.

Esto es porque, en el triaxial, se limitan a tirar unas

tangentes a los círculos de Mohr, y llegar simplemente a

una cohesión y un ángulo de rozamiento interno. Eso es un

desperdicio de información, por lo que en las siguientes

líneas intentaré exponer algunas de las posibilidades de

ese ensayo, haciendo hincapié en sus aplicaciones

prácticas, con la intención de que los alumnos adquieran

una base complementaria a la que reciben en clase.

___________________________________________________________

TEMA 1º

TRAYECTORIA DE TENSIONES

En un ensayo de compresión triaxial, las fuerzas externas

que actúan sobre la probeta pueden definirse según dos

componentes:

a.- La presión isotrópica, definida como la media de las

tres tensiones principales en efectivas, es decir

1 2 3

3´ ´ ´

pσ +σ +σ

=

Dado que σ´2 = σ´3 tendremos

1 323

´ ´p

σ + σ=

b.- El desviador, que es simplemente

q = σ 1 σ 3

A partir de los datos de laboratorio es sencillo llegar a

estos parámetros planteando una tabla como la siguiente:

Def σ1 u ∆u σ'1 σ'3 p' q A 0 900 600 0 300 300 300 0 1 989 740 140 249 160 190 89 1.57 2 1008 760 160 248 140 176 108 1.48 3 1021 772 172 249 128 168 121 1.42 4 1034 777 177 257 123 168 134 1.32 5 1043 780 180 263 120 168 143 1.26 6 1051 780 180 271 120 170 151 1.19 7 1058 780 180 278 120 173 158 1.14 8 1063 778 178 285 122 176 163 1.09 9 1068 778 178 290 122 178 168 1.06

10 1072 778 178 294 122 179 172 1.03

La primera columna es la deformación. En la siguiente están

los valores de la suma de presión en cola (600 kPa),

presión de consolidación (300 kPa), y desviador, con el

formato en que suelen presentarla muchos laboratorios.

A continuación, en la tercera, están las de lecturas de

presión intersticial, partiendo de la presión en cola.

Restándole el valor constante de esta última, se llega a la

de ∆u.

La quinta columna se obtiene restando, fila a fila, la

tercera de la segunda, y la sexta restándole al valor

constante de 900 kPa los diferentes valores de u, ya que

estos 900 kPa se mantienen invariables durante todo el

ensayo.

Las dos siguientes se calculan mediante las fórmulas para

p’ y q indicadas al principio, mientras que la última, el

parámetro A de Skempton, no es más que el cociente entre

sobrepresión intersticial (∆u) y desviador (q).

Como todo esto queda algo esotérico, vamos a representarlo

gráficamente.

0 50 100 150 200 250 300 350 400p' (kPa)

0

50

100

150

200

q (k

Pa)

1

M = 0.85

∆u

EfectivasTotales

1

3LEC

Figura 1

Este ya es el plano de tensiones, en el que nos aparecen

los puntos (p’,q) que hemos obtenido para cada deformación

de la probeta de 300 kPa, unidos mediante una curva que va

hacia arriba y a la izquierda, hasta que a partir de un

valor de p’ próximo a 165 kPa, cambia a una trayectoria

vertical, y comienza a desplazarse hacia la derecha. Es el

momento en que entra en fluencia, al alcanzar la Línea de

Estado Crítico (LEC), y que podemos considerar como la

envolvente por encima de la cual no hay estados posibles.

Puesto que estamos en efectivas, es obvio que pasa por el

origen.

La pendiente de esta LEC (CSL en la literatura

internacional) se representa convencionalmente como Μ,

letra griega Mu mayúscula, aunque ya nadie se preocupa de

ese detalle, y se escribe como latina normal.

M está relacionada con el ángulo de rozamiento interno en

efectivas por la siguiente expresión:

36

´ Msin

Mϕ =

+

Dado que, en este caso, M vale 0,85, encontramos un ángulo

de 21.9º.

La LEC se dibuja a ojo, desde el origen hasta seguir el

trazado de los puntos de fluencia, o uniendo los puntos de

máxima presión intersticial. En este caso no aparece muy

bien definida esa fluencia, por lo que se ha seguido el

segundo criterio. Para ello se ha incluido en el gráfico,

en línea discontinua, la trayectoria que seguiría un ensayo

drenado o en totales, y que siempre llevará una pendiente

de valor 3. Esta constancia se deduce a partir de las

fórmulas definitorias de p’ y q, y teniendo en cuenta que

σ3 permanece constante.

Es evidente que la separación entre la recta de totales y

la curva de efectivas, medida en la escala de p’,

proporciona la variación de presión intersticial. Y si

dividimos estos intervalos por sus correspondientes

ordenadas en q, obtenemos los valores del parámetro A de

Skempton.

Como ejemplo de un caso en el que se sigue el criterio de

fluencia, tenemos el siguiente:

0 100 200 300 400p´ (kPa)

0

50

100

150

200

q (k

Pa)

Figura 2

Todo esto puede parecer complicado a primera vista, pero

una vez automatizado en una hoja de cálculo, y vinculado a

un procesador de gráficos, permite una visión detallada de

la información proporcionada por el ensayo triaxial.

Para comprobarlo, podemos pasar a lo que se denomina

trayectoria de tensiones. Es un concepto que se cita en

algunos manuales, pero nunca viene bien explicado.

Utilizando el ejemplo anterior de la probeta de 300 kPa,

podemos dibujar el siguiente gráfico:

0 50 100 150 200 250 300 350

p' (kPa)

0

50

100

150

200

250

q (k

Pa)

M = 0,85

φ' = 21,9º

A

B

C

D

Figura 3

Con el punto A representamos el estado del suelo a 22

metros de profundidad, con el nivel freático a 1.5 metros

de la superficie, y un peso específico húmedo de 15.2

kN/m3.

En esas condiciones tenemos que σ’1 valdrá 134 kPa,

mientras que σ’3 lo podemos calcular aplicando la fórmula

de Jaky, en el supuesto de que el suelo se encuentre en esa

condición

( ) ( )3 1 1 134 1 21 9 84´ ´ sin ´ sin . kPaσ = σ − ϕ = − =

Podemos ahora calcular los valores de p’ y q para el estado

inicial, resultando:

p’ = 101 kPa

q = 50 kPa

Al sacarla del tomamuestras podemos estimar, aunque solo

sea como aproximación, que las presiones se anulan, pasando

la muestra al punto B.

Durante el ensayo se la somete a una compresión isotrópica

de 300 kPa para consolidarla, con desviador nulo, por lo

que, al final del proceso, se encontrará en el punto C.

Por último, al aplicar el desviador hasta rotura, se la

lleva al punto D.

Hemos definido así la trayectoria que ha seguido la muestra

desde su posición in situ hasta el final del ensayo, y

aunque el método de trayectorias de tensiones se utiliza

para problemas más complejos, este esbozo nos ha permitido

una toma de contacto con su fundamento.

Vamos a dar una vuelta de rosca y pasar a algo menos

evidente que lo tratado hasta ahora.

Trabajos experimentales llevados a cabo en las décadas de

los 50 y 60 del pasado siglo, demostraron que muestras de

suelo llevadas a la misma consolidación, por ejemplo al

punto A de la figura 4, descargadas hasta B, y cargadas de

nuevo bajo diferentes configuraciones de p’ y q, alcanzaban

la fluencia en unos puntos del plano de tensiones que

dibujaban una curva parecida a una elipse de ecuación

2

2 20

p Mp M

=+ η

Aquí p’0 es la presión de consolidación y η el cociente

entre q y p’.

Este es el modelo planteado por la escuela de Cambridge

(Modelo Cam Modificado). Hay otros más sofisticados, pero

la simplicidad de la ecuación de la elipse hace que sea

este el utilizado mayoritariamente.

Cualquier incremento positivo de p’ hará que la elipse

crezca, y p’0 se desplace a una nueva posición, más hacia

la derecha, que será la actual carga de preconsolidación,

olvidándose la anterior. Las trayectorias dentro de la

elipse son reversibles, e implican deformaciones que se

aproximan a condiciones elásticas, mientras que aquellas

que salen de ella, agrandándola, son plásticas.

0 50 100 150 200 250 300 350p' (kPa)

0

50

100

150

200

250

300

350

q (k

Pa)

M

1

η

1

A

B

P

R

p'0

Q

Figura 4

Vayamos a la figura 5, y supongamos que un elemento de

suelo, en una masa normalmente consolidada, se encuentra a

una profundidad tal que su posición en el plano de

tensiones es A. Si se produce una excavación en superficie,

disminuirán tanto σ´1 como σ´3, pasando al punto B. Podemos

decir que en este momento se crea el espacio interior a la

elipse, en el que el suelo tendrá un comportamiento que

conocemos como sobreconsolidado.

Si sobre esta muestra en B realizamos un triaxial, el suelo

responderá como un material casi elástico, y seguirá una

trayectoria vertical con p’ constante. Esto es poco

intuitivo, pero podemos recordar que la trayectoria drenada

o en totales seguía una recta de pendiente 3, y el

parámetro A de Skempton vale 1/3 para condiciones

elásticas, lo que, en presiones efectivas, nos lleva a esa

trayectoria.

Si el desviador es suficientemente elevado, se alcanzará el

punto P, que es límite de la respuesta elástica, y se

producirá la rotura. Como ya muchos habrán interpretado, el

punto P define lo que se conoce como resistencia pico.

En la figura 6 tenemos el ejemplo de una probeta de un

suelo con una preconsolidación próxima a los 250 kPa. Se

puede ver la trayectoria vertical hasta alcanzar la elipse,

momento en que rompe de forma frágil, sin las grandes

deformaciones plásticas de los casos representados en las

figura 1 y 2.

0 50 100 150p' (kPa)

0

50

100

150

q (k

Pa)

Figura 5 Si realizáramos un ensayo de corte directo sobre el suelo

sobreconsolidado, por ejemplo en el estado B, aplicando

unos valores de carga vertical de 50, 100 y 200 kPa, y

suponiendo un estado isotrópico dentro de la caja de corte,

así como teniendo en cuenta que q es el doble del máximo

cortante, la rotura del suelo se produciría en los puntos

P, Q y R de la figura 5, lo que nos llevaría al siguiente

resultado en el plano de Mohr.

0 40 80 120 160 200

σ1 (kPa)

0

50

100

τ (k

Pa)

c' = 35 kPa

φ' = 14º

P

Q

R

Figura 6

Esto sería lo que obtendríamos en el ensayo de corte

directo. Un gráfico que todos estamos acostumbrados a ver.

Los puntos P y Q se han alcanzado por rotura en el campo

elástico, dentro de la elipse, mientras que al R se ha

llegado mediante fluencia plástica. Es evidente que los

procesos físicos no son comparables, pero sin embargo, los

integramos dentro de un modelo de respuesta unitario que

llamamos de Mohr-Coulomb. Y conviene recordar que la

cohesión es un concepto derivado del estudio de materiales

duros, con resistencia a tracción.

A la vista de lo expuesto, podemos llegar a la conclusión

de que tanto la cohesión como el ángulo de rozamiento

interno obtenidos en el ensayo de corte, dependerán de la

posición de los puntos P, Q y R sobre la elipse y la línea

de estado crítico, ubicación que estará ligada a los

valores que adoptemos para σ´1 en ese ensayo.

Para comprobarlo, realicemos el corte aplicando presiones

verticales de 50, 150 y 250 kPa. El nuevo resultado será:

0 100 200 300

σ1 (kPa)

0

50

100

150

τ (k

Pa)

c' = 29 kPa

φ' = 16.3º

Figura 7

En definitiva, que los valores de c’ y φ’ que nos

proporciona un ensayo de corte directo sobre un suelo

sobreconsolidado, no son parámetros intrínsecos de ese

suelo, sino que dependen de la trayectoria de tensiones que

haya seguido, y de las condiciones que adoptemos para

realizar el ensayo. De todas formas, esto no es nuevo, pues

ya lo propuso Skempton en 1964, por las fechas en que en

Cambridge se pusieran a desarrollar sus modelos de estados

críticos.

En cualquier caso, para la mayoría de los problemas

cotidianos, es suficiente con la aproximación dada por el

corte. Pero hay ocasiones en las que puede ser más rentable

invertir un poco más de dinero en un triaxial, ya que la

información que proporciona creo que ha quedado claramente

de manifiesto.

Y puesto que hemos hablado de trayectoria de tensiones,

vamos a terminar con un ejemplo sencillo, para buscar una

aplicación práctica a todo lo anterior. Se trata de una

simplificación de un problema de ejecución de un terraplén

de ocho metros de altura sobre una capa de suelo blando.

Consideremos un punto del suelo a doce metros de

profundidad, con un φ’ de 30º, equivalente a M = 1.2, y un

valor para el parámetro A de Skempton de 0,6. Por encima

tiene una capa con peso específico aparente de 16.5 kN/m3,

con el nivel freático a 1,5 metros de profundidad, y a la

que le suponemos suficiente resistencia como para soportar

las cargas; puede suponerse que se trata de una zona

mejorada con columnas de grava. La intensidad de la carga

vertical a esa profundidad de diez metros será de 150 kPa.

Asumiendo una distribución de tensiones isótropa, los

valores de σ´1 y σ´3 en el comienzo de la capa blanda por

efecto del peso propio del terreno son

σ´1 = 95 kPa

σ´3 = 95 kPa

que proporcionan

p’ = 95 kPa

q = 0 kPa

Esto corresponde al punto A de la figura 8.

0 50 100 150 200p' (kPa)

0

50

100

150

200

q (k

Pa)

A

BC

DE

FG

H

Figura 8

Al aplicar la carga de 150 kPa, y suponiendo condiciones

drenadas, llegaríamos al punto B según

p’B = p’ + 150/3

qB = q + 150

Pero la sobrepresión intersticial generada para ese

incremento del desviador será

∆u = 150 * 0.6 = 90 kPa

que habrá que restarle a p’B, con lo que la trayectoria

real será la de A hasta C. Vemos que es imposible, ya que

alcanza la línea de estado crítico, y entrará en fluencia

plástica.

En estas circunstancias podemos plantear la construcción

del terraplén por etapas, con una inicial hasta alcanzar la

altura de cuatro metros, seguida por otras dos hasta seis y

ocho metros. El primer escalón de carga hace que σ´1 se

incremente en 81 kPa, por lo que, siguiendo el mismo

procedimiento, el nuevo estado en una trayectoria drenada

llevará hasta E, con los siguientes valores:

p´E = 122 kPa

qE = 81 kPa

Para este desviador, ∆u vale 49 kPa, que al restarlos a p´E

lleva hasta el punto D, próximo a la línea de estado

crítico, pero sin alcanzarla. Si dejamos esta carga parcial

durante tiempo suficiente, la sobrepresión intersticial irá

disipando, hasta que llegamos al punto E, en el que esa

sobrepresión ha desaparecido, y el suelo trabaja en

efectivas.

Al aumentar la altura hasta seis metros, el incremento en

la tensión vertical es de 37 kPa, y el ∆u de 22 kPa, por lo

que repitiendo el mismo proceso de cálculo, ahora desde E,

llegamos a F, y al disipar ∆u se alcanza G. Por último, y

siguiendo el mismo procedimiento, se alcanza el estado

final en B sin que el suelo haya entrado en fluencia

plástica.

Como puede apreciarse, es un método sencillo y muy gráfico.

Cierto que no de uso cotidiano, pero muy útil cuando hay

que actuar en zonas con suelos blandos.

En este ejemplo, y para simplificar el modelo, se ha

supuesto que el suelo se encontraba inicialmente en

condiciones hidrostáticas, con σ´1 = σ´3, pero en un caso

real ambas tensiones estarán relacionadas a través de la

Ley de Jaky, tomando σ´3 el valor:

σ´3 = 47,5 kPa

lo que lleva al punto A de la figura 9.

p’A = 63,3 kPa

q A = 47,5 kPa

Al recibir la carga del terraplén, y en condiciones

drenadas, el suelo pasará al nuevo estado en B.

p’B = 113,3 kPa

q B = 197,5 kPa

0 50 100 150 200p' (kPa)

0

50

100

150

200

q (k

Pa)

A

B

Figura 9

Vemos que es imposible conseguir la estabilidad, por lo

que, en este caso, no sirve de nada la construcción

escalonada, aunque el problema puede resolverse mediante un

tratamiento de mejora del terreno, por ejemplo, con

columnas de grava (figura 10).

-20

-10

0

10

Altu

ra (

m)

Zona plásticaA

C

Figura 10

El punto que estamos estudiando se encuentra en A, justo

bajo la zona de influencia del tratamiento con columnas de

grava, que lo hemos llevado hasta una profundidad de 12

metros. El terreno dentro de la zona mejorada resiste por

las razones que apuntaremos más adelante, y hace que la

zona plastificada bajo el terraplén no pueda fluir, al

estar limitada, hacia arriba, por la propia capa tratada, y

lateralmente y hacia abajo por los empujes pasivos del

terreno circundante que no ha entrado en rotura. De esta

forma es posible mantener la estabilidad de la obra, aun

cuando las columnas no se apoyen en un substrato

resistente. Cierto que se producirán asientos relativamente

importantes en el terraplén, pero se elimina el riesgo de

colapso por punzonamiento o deslizamiento.

Antes hemos indicado que la zona tratada con columnas era

estable. Veamos ahora por qué.

El punto C de la figura 10 está a cinco metros de

profundidad bajo el eje del terraplén. Con los mismos datos

del ejemplo anterior, y suponiendo que se cumple la

condición de Jaky, su estado inicial será:

σ’01 = 48 kPa

σ’03 = 24 kPa

y en el plano de tensiones:

p’1 = 32 kPa

q 1 = 24 kPa

Es el punto 1 de la figura 11.

0 50 100 150 200

p´ (kPa)

-150

-100

-50

0

50

100

150

q (k

Pa)

1

2

3

LEC en

compr

esión

LEC en tracción

Figura 11

Resulta evidente que si se levanta el terraplén sin ningún

tipo de tratamiento, se alcanzará inmediatamente el estado

crítico. Ahora bien, al compactar la grava de las columnas

se produce un empuje lateral sobre el terreno circundante,

de forma que estamos en un proceso de extensión triaxial,

en el que σV se mantiene constante, y σH aumenta. Para

evitar confusiones, utilizamos los subíndices V y H, ya

que, desde un punto de vista formal, σ1 sería ahora la

tensión horizontal y σ3 la vertical.

Medidas realizada en los campos de columnas de la Vega Baja

del Segura, han mostrado que la presión lateral a la

semidistancia entre puntos de inyección, en tratamientos

densos, es del orden de 95-100 kPa, por lo que, tras la

ejecución de la columna, σV seguirá valiendo 48 kPa, pero

σH habrá pasado a 119 kPa, lo que nos lleva al punto 2,

cuyas coordenadas son

p’2 = 95 kPa

q 2 = -71 kPa

En realidad, la trayectoria se aproximará a la línea de

puntos, ya que se generan sobrepresiones intersticiales que

se disipan rápidamente por la proximidad del elemento

drenante que es la columna de grava.

Al levantar el terraplén, la presión inducida a la

profundidad de cinco metros es de 172 kPa, que se suman a

σV, manteniéndose constante σH, por lo que el nuevo estado

es el representado por el punto C, de coordenadas:

p’3 = 153 kPa

q 3 = 101 kPa

Puede verse que, a pesar de la sobrecarga del terraplén,

queda dentro de la zona de estabilidad gracias a la

trayectoria seguida bajo la influencia de la presión

horizontal ejercida por las columnas.

Como puede suponerse, el efecto de las columnas de grava es

bastante más complejo, pero como ejemplo del tema aquí

tratado es suficiente.

TEMA 2º

MODELO HIPERBÓLICO

Nota inicial.- Aunque el método basado en el Modelo Hiperbólico es de aplicación general, se suele reservar su uso para el caso de suelos duros, tales como arcillas sobreconsolidadas y arenas de semidensas a densas.

____________________________________

La experiencia demuestra que, en un ensayo de compresión

triaxial, los gráficos desviador-deformación dibujan unas

líneas cuya curvatura va aumentando progresivamente a

medida que lo hace la deformación, hasta alcanzar un máximo

a partir del cual comienza a disminuir (figura 1).

0 0.05 0.1

Deformación vertical unitaria (ε)

0

50

100

150

200

250

300

σ´1

- σ´

3 (

kPa)

Figura 1

Esto llevó a Kondner (1963) primero, y posteriormente a

Duncan y Chang (1970), a plantear que tales curvas podrían

ser asimiladas a hipérbolas de ecuación:

1 3´ ´a b

εσ −σ =

+ ε (1)

Los parámetros a y b se tienen que determinar para cada

muestra de suelo, cosa que se consigue poniendo la (1) en

la forma:

1 3

a b´ ´

ε= + ε

σ −σ (2)

Dado que tanto los valores del desviador como los de la

deformación unitaria son conocidos, a y b se obtienen como

la ordenada en el origen y la pendiente, respectivamente,

de la recta definida por (2), mediante la representación:

0 0.05 0.1

ε

0

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

ε/(σ´

1 − σ´

3)

a = 5.155 E-0.05

b = 0.003015

a

1

b

Figura 2

El desarrollo operativo puede seguirse en el siguiente

cuadro, tomado de una hoja de Excel en la que se ha

implementado el proceso, y que no requiere explicación,

salvo las filas inferiores que se comentan a continuación.

Probeta 1. σ3 = 300 kPa. Deformación ε σ´1 σ´3 σ´1 - σ´3 ε/(σ1-σ3)

% kPa kPa kPa 0 0.00 300 300 0 1 0.01 367 235 132 7.58E-05 2 0.02 380 200 180 1.11E-04 3 0.03 386 182 204 1.47E-04 4 0.04 400 172 228 1.75E-04 5 0.05 416 168 248 2.02E-04 6 0.06 424 168 256 2.34E-04 7 0.07 435 171 264 2.65E-04 8 0.08 451 175 276 2.90E-04 9 0.09 460 180 280 3.21E-04

10 0.10 469 185 284 3.52E-04 b a R2 E0 σa σr

kPa-1 kPa-1 kPa kPa kPa

3.015E-03 5.155E-05 0.999 19400 332 288

Cuadro 1

Volviendo a la (2), el parámetro a es el límite para la

condición ε = 0, es decir, la pendiente de la tangente en

el origen, por lo que su inversa proporcionará el valor del

módulo inicial:

01

=Ea (3)

Por su parte, b es el límite cuando ε = ∞, o sea, la

ordenada de la asíntota a la hipérbola, y que físicamente

se interpreta como la resistencia máxima teórica a rotura

(σa) de la probeta ensayada.

1σ =a b

(4)

Todo esto queda gráficamente expuesto en la figura

siguiente:

0 0.05 0.1

Deformación vertical unitaria (ε)

0

50

100

150

200

250

300

350

σ´1

- σ´

3 (

kPa)

1

E0

σa

σr

Figura 3

La rama de hipérbola se ha obtenido introduciendo en (1)

los valores de a y de b del Cuadro 1. Puede apreciarse el

aceptable ajuste a los datos experimentales, cosa que era

de esperar viendo que el coeficiente de correlación R2

alcanzaba prácticamente la unidad, lo que puede llevar a

pensar que se ha elegido un ensayo modélico, algo que hasta

cierto punto es verdad, pero esas altas correlaciones no

son raras, de forma que valores de R2 inferiores a 0,97 ya

pueden hacer pensar en que los datos experimentales no son

buenos.

El parámetro σr es la resistencia real medida en el ensayo,

que evidentemente siempre será menor que σa, definiéndose

el cociente de aquella respecto a esta mediante lo que se

conoce como relación de rotura, y que suele citarse en la

literatura como Rf. Normalmente, los valores para esta

relación suelen oscilar entre 0,75 y casi la unidad.

En el ejemplo que aquí se está tratando se han utilizado

tres probetas, ensayadas a presiones de confinamiento (σ3)

de 300, 150 y 50 kPa. Los resultados a que se llega tras

extender el proceso anterior a las probetas de 150 y 50 kPa

queda reflejado en el Cuadro 2.

σ´3 b a R2 E0 σa σr Rf kPa kPa-1 kPa-1 kPa kPa kPa

300 3.015E-03 5.155E-05 0.999 19400 332 288 0.868

150 3.971E-03 8.445E-05 0.999 11841 252 216 0.858

50 5.209E-03 1.559E-04 0.993 6414 192 160 0.833

Cuadro 2

Como era de esperar, el valor de E0 depende de σ´3,

aumentando cuanto mayor es la presión de confinamiento.

Existe una relación empírica entre ambos parámetros dada

por:

30

n

aa

´E kp

p

⎛ ⎞σ= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (5)

k y n son parámetros adimensionales característicos del

suelo que se está estudiando, y pa es la presión

atmosférica en las mismas unidades que E0 y σ´3. Ahora bien,

puesto que los vamos a obtener a partir de valores de estos

últimos expresados en unidades SI, se prescinde de la

normalización a pa.

Con esta salvedad, la (5) se puede escribir de la forma:

0 3log E log k n log ´= + σ (6)

cuya representación gráfica es una recta de pendiente n y

ordenada en el origen log k.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Log σ´3

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

Log

E0

log k

1

n

Figura 4

En este caso, la variación de E0 con σ´3, ambos expresados

en kPa, queda de la forma:

( )0 6120 3575 .E ´= σ (7)

Por otra parte, la relación entre σa y σ´3 puede obtenerse

también mediante un ajuste lineal:

0 50 100 150 200 250 300

σ´3 (kPa)

150

200

250

300

350

σ a (

kPa)

Figura 5

Para este ejemplo, la relación queda:

( ) 3166 0 56a kPa . ´σ = + σ (8)

En estas condiciones, si se conoce el estado tensional de

la zona de procedencia de la muestra ensayada, es posible

construir la rama de hipérbola que define su respuesta ante

la aplicación de un desviador, por ejemplo, una carga en la

superficie del terreno.

Suponiendo un valor para σ´3 de 100 kPa, se tendría:

E0 = 9631 kPa

σa = 222 kPa

Por lo que aplicando (3) y (4)

a = 0.000104

b = 0.00451

resultando la curva de la figura 6

0 0.05 0.1

ε

0

50

100

150

200

σ´1

- σ´

3 (

kPa) 1

E0

1

Es

A

Figura 6

En la misma figura se han representado el módulo tangente

(E0) y un módulo secante (Es). Se ha comprobado que para

sucesivos ciclos de carga y descarga, la secante a los

lazos de histéresis mantiene la misma pendiente que E0

(figura 7), por lo que este módulo puede ser utilizado para

el cálculo de cimentaciones sometidas a cargas dinámicas,

tales como las generadas por máquinas vibratorias.

0 0.05 0.1

ε

0

50

100

150

200

σ´1

- σ´

3 (

kPa) 1

E0

Figura 7

Ahora bien, para el caso más general de una carga estática,

y volviendo a la figura 6, un aumento en el desviador dará

lugar a un incremento en deformación, siguiendo la

trayectoria de la rama hiperbólica, por lo que el módulo

irá disminuyendo progresivamente. Así, un desviador de 120

kPa llevará hasta el punto A, con un módulo secante, que es

el que deberá utilizarse en los cálculos, de valor inferior

a E0, y cuyo valor puede deducirse para llegar a la

siguiente expresión:

1 30 1s

a

´ ´E E

⎛ ⎞σ −σ= −⎜ ⎟σ⎝ ⎠

(9)

En una primera lectura de todo lo anterior, puede parecer

que el proceso es complicado, pero una vez implementado en

una hoja de cálculo los resultados salen de inmediato, sin

más que introducir los valores de σ´1 y σ´3 obtenidos en el

ensayo triaxial.