F415–TurmaA

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Prof.AlexandreFontesdaFonseca

afonseca@ifi.unicamp.br

OscilaçõesAcopladas

Introdução

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Osciladorforçado:forçaexternaagesobreoosciladormas nãoocontrário

Oscilações acopladas: dois ou vários osciladores conectados de tal maneira que a energia pode ser transferida de um para outro.

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Forçasemm1em2:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Equaçãodemovimento:

Solução:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

5

Sistemaacopladoem1D:

Equaçãodemovimento:

Ou:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Soluçãonãotrivial:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Deverdecasa:mostrarque:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Soluçãogeral:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Masasamplitudesnãosãoindependentes:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Definiçãodevariáveis:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Deverdecasa,mostrarque:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

ModossimétricoeanQsimétricodeoscilação:

Doisosciladoresharmônicosacoplados

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Sistemaacopladoem1D:

Efeitodoacoplamento:

Acoplamentofraco

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Quando

ω1setorna:

com:

Acoplamentofraco

15

Quando

ω1setorna:

AfrequêncianaturaldeumdososciladoresquandoooutroémanQdofixo:

Acoplamentofraco

16

Quando

Deverdecasa:mostrar

Acoplamentofraco

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Equaçãogeralparax(t):

Supor:

Acoplamentofraco

18

Mas:

FenômenodebaQmento!

Acoplamentofraco

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Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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ConsidereumsistemaconservaQvodescritoporumconjuntodevariáveisgeneralizadasqkeotempot.

ngrausdeliberdade:k=1,2,...,n.

Suporexisteumaconfiguraçãodeequilíbrioestávelrepresentadoporcoordenadasgeneralizadasqk0.Nessaconfiguração:

Eqs.deLagrange:

Cadatermonãonulode: temqueserproporcionala:

e

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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ConsidereumsistemaconservaQvodescritoporumconjuntodevariáveisgeneralizadasqkeotempot.

Eqs.deLagrange:

Cadatermonãonulode: temqueserproporcionala:

e

Então:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Assumaqueasequaçõesqueconectamascoordenadasgeneralizadas,qk,eascoordenadasretangulares,xαi,nãocontémexplicitamenteo

tempo:

DocursodeMecG1(cap.7doMarion)temosque:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Assumaqueasequaçõesqueconectamascoordenadasgeneralizadas,qk,eascoordenadasretangulares,xαi,nãocontémexplicitamenteo

tempo:

Edaequação:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Podemosespecificarasvariáveisgeneralizadasdemodoquenoequilíbrio,elasvalem0:qk0=0.Expandindoaenergiapotencialemtornodosprodutosdasvariáveisnaconfiguraçãodeequilíbrio:

Podemostrocaraordemdasderivadas:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Assim,navizinhançadaconfiguraçãodeequilíbrio:

Ajksãonúmeros,masmjkpodemserfunçõesdascoordenadas:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Semjkforumamatrizdiagonal,aexpressãodeTacimafica:

Se,alémdisso,Ajksãodiagonais,oproblemasetornaequivalenteanosciladoresharmônicossimplesedesacoplados.

AcharumatransformaçãodecoordenadasquediagonalizesimultaneamentemjkeAjktornaosistemadescricvelemtermos

+simpleseessesistemaéchamado:coordenadasnormais.

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Asequaçõesdemovimentocomenergiasfornecidaspor:

obQdaspelasequaçõesdeLagrange:

ficam:

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Comooproblemaéestudaromov.oscilatório:

nraízesωr2,ounauto-

frequênciasdosistema

Problemageraldeoscilaçõesacopladas

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Soluçãogeral–somasobretodososnvaloresder:

Ou,melhor,apartereal:

Coordenadasnormais

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Soluçãogeral–somasobretodososnvaloresder:

Comoépossívelnormalizarosautovetorespodemosintroduzirumfatordeescalaαrquedependerádascondiçõesiniciais:

Essaequaçãopodeserrescritademodoqueofatordeescalaincorporeasfasesδr:

Coordenadasnormais

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Definiçãodeηr(t):

Demodoqueaequaçãoanteriorparaasoscilaçõesnascoordenadasgeneralizadasqj(t):

Fica:

Ondeηr(t) que são funções que oscilam comumaúnica frequênciaωr,saQsfazem:

Coordenadasnormais

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Resumindo:

1.EscolhacoordenadasgeneralizadaseencontreTeUcomosefazaousarométodolagrangeano.

2. Represente Ajk e mjk como tensores/matrizes n x n e ache osautovalores ωr, e autovetores correspondentes as equações demovimento:

3.Determineosfatoresdeescalaβr,pelascondiçõesiniciais.

4.Determineηporcombinaçõeslinearesapropriadasdascoordenadasqj ,queexibemoscilaçõesnaautofrequênciaωr.ηréchamadadeummodonormal.Omov.geraléumasobreposiçãodemodosnormais.

Vibraçõesmoleculares

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Umamoléculadenátomos: Possui3ngrausdeliberdade;

Possui3grausdeliberdadeparadescrevertranslação;

Possui3grausdeliberdadeparadescreverrotação;

Restam3n–6grausdeliberdadeparaoscilações.

Emmoléculaslineares,arotaçãoemtornodadireçãodeligaçãoentreelesédesprezível:restam3n–5grausdeliberdadeparaoscilações.

Seapenasconsiderarmosasvibraçõesnumplano,de2ngrausdeliberdade,temos2detranslaçãoeumderotaçãodemodoquesobram2n–3grausdeliberdadadeparaoscilaçõesnoplano.

(3n–6)–(2n–3)=n–3éonúmerodegrausdeliberdadedevibraçõesforadoplano.

Vibraçõesmoleculares

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Moléculaslineares:

Podemtervibraçõestransversaisoulongitudinais;

Fiocarregado

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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:

L=(n+1)d Desejamostratarocasodeoscilaçõestransversais

Fiocarregado

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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:

senθ≅tanθ =(qj–qj-1)/d

Fiocarregado

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FioelásQco(ouumamola)comnparcculasidênQcasemintervalosregulares:

Essaéumaequaçãoparaaj-ésimaparcculaacopladaàsparcculasj-1ej+1

Fiocarregado

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EnergiapotencialelásQca(comq0eqn+1iguaisa0):

Testando:

Fiocarregado

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EnergiacinéQca:

EaLagrangeana:

ondeasomatóriaaténemTfoiextendidaatén+1porque

Fiocarregado

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Explicitandoostemosproporcionaisaqjedqj/dtnalagrangianaacima:

Deverdecasa:Mostreaplicandoaseqs.deLagrangeque:

Fiocarregado

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Pararesolveraseqs.:

ondeajpodemsercomplexos.SubsQtuindonaprimeiraeq.:

coma0 =an+1 = 0.A soluçãonão-trivial daeq. acima leva ao seguintedeterminante:

Fiocarregado

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Determinantesecular:

Fiocarregado

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Cason=1(mov.tranversal):

Cason=1(mov.longitudinal):

Cason=2comτ/dsubsQtuidoporκ,obtemos:

Deverdecasa:estudaradeduçãodolivroemostrarqueparanqualquer:

Fiocarregado

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Cason=3: