Aula 2 Oscilações sistemas simples

5/11/2018 Aula 2 Oscilações sistemas simples - slidepdf.com

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O Sistema Massa-Mola

O sistema massa mola, como vimos, é um

exemplo de sistema oscilante que descreve um

MHS.

Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton) temos que Σ F = m aComo sabemos, no caso massa-mola (e em todos os sistemas com MHS)

F x = -Cx, onde C neste caso é k (constante de elasticidade da mola)

portanto:

ou

Equação diferencial linear ordinária de segunda ordem homogênea com

coeficientes constantes.

Se olhamos para a equação veremos que a solução tem que ser umafunção do tipo seno ou co-seno, ou e±ct ou outra periódica!

Escolhemos a mais simples:

1



Como encontrar as constantes A, φ e ω?Substituindo a solução proposta x(t) na equação obtemos:

k

mω =

A e φ podem ser obtidas a partir da posição inicial xo = A cosφ e da

velocidade inicial vo = -Aω

senφ .


2



Observações


Compliância = 1/k

k

mω = M 0 ω ∞ ????

Combinação de molas em paralelo igual deformação e soma das forças

portanto a constante da mola efetiva (resultante) será a soma das duas!

Do que depende k?

Combinação de molas em série igual força e soma das deformações

portanto a compliância da mola efetiva (resultante) será a soma das

compliâncias das molas individuais!

E em série?

3



Exercícios1. Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola de constante

k=400 N/m. Em um certo instante t a posição (medida a partir da

posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco

são: x = 0,100m, v = -13,6 m/s e a = -123 m/s2. Calcule (a) a frequência

linear de oscilação, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do

movimento.2

2 123 m/s35.07 rad/s .

0.100 m

aa x

xω ω

−= − ⇒ = = =

Portanto , f = ω /2π = 5.58 Hz.

(a)

(b)2

400 N/m= 0.325kg.

(35.07 rad/s)

k m

mω ⇒ = =

(c)

2 2

(0.325 kg / 400 N/m)(13.6 m/s) (0.100 m) 0.400m.m x = + =

4

1

2

= 1

2 +

1

2 → =

+



2. Na figura duas molas são ligadas entre si a um bloco de massa 0,245

kg que oscila em um piso sem atrito. As duas molas possuem uma

constante elástica k = 6430 N/m. Qual é a frequência das oscilações?

Precisamos encontrar a constante efetiva kef da

combinação de molas da figura. Para issodeterminamos a magnitude F da força exercida

sobre a massa m quando a elongação total é ∆ x.

Nesse caso teremos que k ef = F / ∆ x.

Vamos supor que a mola da esquerda sofre uma elongação ∆ xe e a mola

da direita uma elongação ∆ xd .

Então a mola da esquerda exerce uma força k ∆ xe sobre a mola da direita

e a mola da direita exerce uma força k ∆ xd sobre a mola da esquerda.

Pela Terceira Lei de Newton as forças devem ser iguais! portanto ∆ xd =

∆ xe e ∆ x = 2 ∆ xe = 2 ∆ xd .

A mola da esquerda exerce uma força sobre o bloco de magnitude F =

k ∆ xe

Então o k ef = k ∆ xe /2∆ xd = k/2 e a frequência será =

2=

2

2

Exercícios

5



Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (13) (23) (24)Perguntas: (7) (8) (9)

Com m = 0,245 kg e k = 6430 N/m, a frequência será f = 18,2 Hz.

= 1

2

=

1

2

2

Exercícios

6



Fixação

Fio de suspensão

Linha de

referência

τ κθ = −

( ) ( ) cosmt t θ θ ω φ = +

O Pêndulo de Torção

O pêndulo de torção é um exemplo de sistema oscilante.Consiste de um disco com momento de inércia I

suspenso por um fio.

Quando o disco gira teremos um deslocamento angular θ

a partir da posição de equilíbrio.

A torção do fio armazena energia potencial produzindo o

torque restaurador τ = -κθ .

Esta é a forma angular da Lei de Hooke. A constante κ é

chamada constante de torção do fio.

Podemos calcular o período T e a frequência angular ω da oscilação.

Notemos que I é a inércia rotacional do disco em torno do eixo que coincide

com o fio. O ânguloθ

é dado pela equação:7



Fixação

Fio de suspensão

Linha de

referência

τ κθ = −

Vamos obter a equação diferencial e resolver ela.

Como sabemos (aplicando a Segunda Lei de Newton

para a rotação) temos que Στ ττ τ = I α αα α

Neste caso τ = -κθ , onde C neste caso é κ (constante

de torção do fio) portanto:

ou

Como já vimos, a solução mais simples é:

Se chamamos A=θm teremos:

Logo:

Checar!

O Pêndulo de Torção

8



PivôO Pêndulo Simples

O pêndulo simples (matemático) consiste de uma massa m

suspensa por uma corda inextensível de comprimento L.Se deslocamos a massa do seu equilíbrio, a força resultante

atuando sobre ela é tal que o sistema vai descrever um MHS.

Há duas forças atuando sobre m: a força gravitacional e a

tensão da corda.O torque líquido destas forças é τ = -r

⊥F g = - Lmg senθ

Aqui θ é o ângulo entre a corda e o eixo vertical.

Se θ <<1 em radianos! (digamos menor que 5º) podemos

considerar: Sen θ ≈ θ Onde θ está expresso em radianos

A partir desta aproximação o troque é τ = - Lmgθ

Comparando esta expressão com a da força F = -Cx vemosque C = mgL e portanto podemos determinar T e ω da

oscilação

2L

T g

π =

9



No desenvolvimento das equações obtidas nos utilizamos a aproximação θ << 1 o que nos permitiu realizar a substituição sen θ ≅ θ .

Vamos agora decidir o que é um ângulo “pequeno”, ou seja, até que

valores do ângulo θ a aproximação é razoavelmente precisa?

θ θθ θ (graus) θ θθ θ (radianos) senθ θθ θ

5 0,087 0,087

10 0,174 0,174

15 0,262 0,259 (1% erro)

20 0,349 0,342 (2% erro)

Conclusão: se mantemos θ < 10 ° o erro será inferior a 1%

Como em este caso a inércia rotacional I em torno do ponto

de pivô indicado é igual a mL2

, então:

O Pêndulo Simples

10



Vamos agora obter a equação diferencial do movimento e

resolver ela.

O Pêndulo Simples

Como vimos, o torque líquido sobre o pêndulo

é τ = -r ⊥Fg = - Lmg senθ

Aplicando a Segunda Lei de Newton para a

rotação temos que Στ ττ τ = I α αα α

Neste caso τ = - Lmg senθ , onde C neste caso

é Lmg portanto:

Considerando ângulos pequenos teremos senθ ≈ θ e como I = mL2 :

ou

11



O Pêndulo Simples

Como já vimos, a solução mais simples é:

Se chamamos A=θm

teremos:

Logo:

Checar! 12



O Pêndulo FísicoO pêndulo físico é um corpo rígido suspenso de um

ponto O que oscila sob a influência da gravidade.

O torque líquido é τ = -mgh senθ onde h é a distância

entre o ponto O e o centro de massas C do corpo

suspenso.

Se utilizamos a aproximação do ângulo pequeno θ<<1

teremos τ = -mghθ

Novamente, comparando esta expressão com a

equação da força F = -Cx vemos que C = mgh eportanto podemos determinar T e ω da oscilação

2 I

T mgh

π =

Onde I é o momento de inércia respeito do eixo que

passa pelo ponto O (⊥ ao slide) e por um conhecido

teorema: I O = I C + mh 2

13



OUTRA VEZ!!! vamos agora obter a equação diferencial

do movimento e resolver ela.

O torque líquido é τ = -mgh senθ

Aplicando a Segunda Lei de Newton para a rotaçãotemos que Στ ττ τ = I α αα α

Neste caso τ = -mgh senθ , onde C neste caso é mgh

portanto, considerando senθ ≈ θ :

Logo:

Checar!

O Pêndulo Físico

14



Exercícios1. Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro de

comprimento , cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito narégua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é

2,5 s. Determine o valor de d. Lembrar que o momento de inércia

rotacional respeito do seu centro de massa para uma barra de

comprimento L é mL2 /12.

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (39) (49)Perguntas: (11)

I O = I C + mh 2 Temos que Onde h = d o valor desconhecido.

T mL md

mgd

L

gd

d

g=

+= +2

122

12

2 2 2

π π /

.2 I

T mgh

π =Como

d = 0,056 m.

15



Consideremos um objeto descrevendo uma

trajetória circular de raio xm com velocidade

uniforme v.

Se projetamos a posição P’ da partícula em

movimento, sobre o eixo x obteremos o pontoP.

A coordenada de P é descrita pela equação x(t)

= xm

cos(ω t +φ )

Entanto P’ descreve um MCU o ponto P

descreve um MHS.

Vamos ver agora qual é a situação da velocidade e a aceleração para as

projeções do MCU sobre o eixo x

O MHS e o Movimento Circular

16



A velocidade v do ponto P’ é ω xm.

A direção do vetor velocidade v é ao longo

da tangente à trajetória circular.

Se projetamos o vetor velocidade v sobre oeixo x teremos v(t ) = - ω xm sen(ω t +φ )

A vetor aceleração a aponta ao centro O.

Se projetamos ela sobre o eixo x teremos:.a(t ) = - ω 2 xm cos(ω t +φ )


17



Conclusão: Seja como for que olhamos paraas projeções do MCU (velocidade, aceleração

ou posição) todas elas são MHS

Espaço real Espaço de fases

Velocidade

P o s i ç ã o

Orbita

Exercícios para casa (Halliday Volume 2; 8 ed.; cap. 15): (91) (105)


18



CíclotronComo vimos, o movimento

harmônico está relacionado com as

componentes do movimento circular. Um caso

importante é o movimento de uma partículacarregada num campo magnético constante

(movimento cíclotron).


.

.elétron

r

Bv

r

F r

C

r

Uma partícula de massa m e carga q quando

injetada com uma velocidade ν em ângulo reto

a um campo magnético uniforme B, segue

uma órbita circular, com velocidade uniforme.

A força centrípeta requerida para tal

movimento é proveniente da força magnética:

mvr q B

= q Bm

ω =

19




A órbita circular de raio r para um elétron é mostrado na figura. A força magnética:

A frequência correspondente:

A frequência angular:

Nota 1: O período cíclotron não depende da velocidade ν. Todas as partículas demesma massa completam uma órbita circular durante um mesmo tempo T

independentemente da velocidade.

Nota 2: Partículas rápidas se movem em órbita circulares de raios maiores, enquanto

partículas lentas se movem em órbitas de raios menores. Todas as órbitas tem o

mesmo período T .

.

.elétron

r

Bv

r

F r

C

r

Cíclotron

mvr

q B

=q B

m

ω =

20




mvr

q B

⊥=

2 mT

q B

π =

Agora, considerando o

movimento de uma carga em

um campo magnético uniforme

B quando a velocidade inicial v

forma um ângulo ϕ com B.

Decompomos v em duas

componentes:

Uma componente (ν||) paralela e o outra (ν ) perpendicular ao B (veja a figura a) ν|| =

ν cosϕ ν = senϕ . A partícula executa dois movimentos independentes.

Um é o movimento cíclotron que está em um plano perpendicular a B analisado no

slide anterior. O raio O período .

O segundo movimento está ao longo da direção de B e este movimento é linear com

velocidade constante ν||. A combinação dos dois movimentos resultam em uma

trajetória helicoidal (veja a figura b). O passo p da hélice é :

Trajetórias helicoidais

21 = =

||

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