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Aula 12: Oscilações Eletromagnéticas Curso de Física Geral III F-328 1 o semestre, 2014 1

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Aula 12: Oscilações Eletromagnéticas

Curso de Física Geral III F-328

1o semestre, 2014

1

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Oscilações eletromagnéticas (LC)

ω

Circuitos RC e RL: •  q(t), i(t) e V(t): têm comportamento exponencial

Circuito LC: •  q(t), i(t) e V(t): comportamento senoidal •  Oscilações

•  campo elétrico do capacitor •  campo magnético do indutor

Oscilações eletromagnéticas

Vimos:

Veremos:

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energia totalmente elétrica

energia totalmente elétrica

Oscilações LC

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energia totalmente magnética

energia totalmente magnética

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http://www.walter-fendt.de/ph14br/osccirc_br.htm

Simulação dos estágios

Oscilações eletromagnéticas (LC)

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Osciladores harmônicos simples Circuito LC Sistema massa-mola

cteUUUUU

mvU

kxU

cp

pc

c

p

==+

=

=

2

2

2121Potencial:

Cinética: (do bloco)

(da mola)

Total: cteUUUUU

LiU

CqU

BE

EB

B

E

==+⇔

=

=

2

2

2121Elétrica:

Magnética:

Total:

(do indutor)

(do capacitor)

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No sistema massa-mola , a energia total U é, em qualquer instante:

pc UUU +=Se não houver atrito, U permanece constante, isto é:

0)21

21( 22 =+= kxmv

dtd

dtdU

02

2

=+ xmk

dtxd

)cos( 0 ϕω += tXx mcuja solução é:

Analogia eletromecânica (massa-mola)

mk=0ω : Frequência angular natural

Xm : Amplitude

φ: Constante de fase

Movimento oscilatório

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

dtdxv

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CqLiUUU EB

22

21

21 +=+=

Analogia eletromecânica (oscilador LC)

Como não há resistência no circuito, temos:

022

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=CqLi

dtd

dtdU

012

2

=+ qLCdt

qd⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ =

dtdqi

)cos()( 0 ϕω += tQtqcuja solução é:

LC1

0=ω : Frequência angular natural

Q : Amplitude

φ: Constante de fase

Oscilações eletromagnéticas

Corrente: )(sen)(sen 000 ϕωϕωω +−=+−== tItQdtdqi

Energia total oscilante :

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Correspondências entre os dois

sistemas

xq→

kC

→1mL→

vi→

A amplitude e a constante de fase são determinadas pelas condições iniciais (no circuito LC, i(0) e q(0)).

Analogia eletromecânica Circuito LC Sistema massa-mola

Frequência angular:

Amplitude:

Constante de fase:

LC1

0 =ω

Q

φ

mk=0ω

Xm

φ

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A energia elétrica armazenada no capacitor em qualquer instante t é:

)(sen21

21

0222

02 ϕωω +== tQLLiUB

)(cos22 0

222

ϕω +== tCQ

CqUE

A energia magnética armazenada no indutor é, por sua vez:

Então, a soma (energia total) permanece constante.

CQUU BE 2

2

=+

Energias elétrica e magnética

)(sen2 0

22

ϕω += tCQUB ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=LC1

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Com um resistor R no circuito, a energia eletromagnética total U do sistema não é mais constante, pois diminui com o tempo na medida em que é transformada em energia térmica no resistor .

CqLiU22

1 22 +=

2RidtdU −=

2Ridtdq

Cq

dtdiLi −=+

012

2

=++ qLCdt

dqLR

dtqd ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ =

dtdqi

)0( <dtdU

Oscilações amortecidas (circuito RLC)

Energia eletromagnética

Potência dissipada

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Oscilações amortecidas: amplitude de q(t) decai exponencialmente com o tempo.

onde

Solução geral para o caso de amortecimento fraco : )cos()( 2

max ϕω +′=−

teQtqtLR

220 2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=′LRωω

LC1

0=≅′ ωω

ω’ aproxima-se da frequência angular natural

do sistema

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛<

CLR 4

LCLR 12

2

<<⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Oscilações amortecidas (circuito RLC)

Quando

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Um circuito RLC série possui indutância L = 12 mH, capacitância C = 1,6 µF, e resistência R = 1,5 Ω. a) em que instante t a amplitude das oscilações da carga no circuito será 50% do seu valor original?

b) quantas oscilações foram completadas neste intervalo de tempo?

LCtntnT

π2=⇒=

( )13

10.6,110.122

011,0

21

63≅

×=

−−πn

Neste caso, como , . Ou seja:

0ωω ≅′20

2

2ω<<⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛LR

ou

Queremos que: 5,0ln2

5,0 max2

max =−⇒=−

LRtQeQ

tLR

stRLt 011,05,0ln2 =⇒−=

O tempo para uma oscilação completa é o período . ωπ′

= 2T

daí:

Exemplo 1

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Oscilações forçadas (q(t), i(t) e V(t)) : •  Frequência: Qualquer que seja ω0 (natural), essas grandezas oscilam com ω (frequência propulsora) •  Corrente:

Oscilações forçadas (RLC com fem) Amortecimento

Fornecimento

Oscilações eletromagnéticas

ω ω0

ω’ As oscilações de um circuito RLC não serão totalmente amortecidas se um dispositivo de fem externo fornecer energia suficiente para compensar a energia térmica dissipada no resistor.

Gerador de tensão alternada (fem ca): )(sen tm ωεε =ω : frequência angular propulsora

)(sen)( ϕω −= tIti

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Um resistor ligado ao gerador de fem alternada: )(sen)(sen tVtv RmR ωωεε ===

Corrente iR no resistor: )(sen tRV

Rvi RR

R ω==

Por associação com a forma geral da corrente ac: )(sen ϕω −= tIi RR

0=ϕ

RVI R

R = RIV RR =

•  Corrente e tensão (ddp) estão em fase no resistor:

Circuito resistivo (R)

•  Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no resistor:

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)(sen)(sen tVtv CmC ωωε ==)(sen tVCvCq CCC ω==

)2

(sen)(cos πωωωω +== tCVtCVi CCC

Introduzindo a reatância capacitiva C

XC ω1=

)2

(sen πω += tXViC

CC

CCC XIV =

Carga:

Circuito capacitivo (C) Tensão:

2πϕ −=

•  Corrente está adiantada de em relação à tensão:

•  Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor:

Corrente:

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)cos()(sen tLVdtt

LVi LL

L ωω

ω∫ −==

)2

(sen πω −= tXViL

LL

dtdiLtVtv L

LmL === )(sen)(sen ωωε

Circuito indutivo (L)

LLL XIV =

2πϕ =

•  Corrente está atrasada de em relação à tensão:

•  Relação entre as amplitudes da corrente e da tensão no capacitor:

Introduzindo a reatância indutiva LXL ω=

Tensão:

Corrente:

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http://www.walter-fendt.de/ph14br/accircuit_br.htm

Simulações dos três circuitos simples

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Fonte: fem

Pontos essenciais

Em circuitos RLC com corrente alternada: Conservação da energia

Dissipação: R

Troca de forma entre magnética (L) e elétrica (C)

Impedância Z Grau de oposição à circulação da corrente alternada

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Os exercícios sobre Oscilações Eletromagnéticas estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação ! Disciplinas ! F 328 Física Geral III

Lista de exercícios do capítulo 31

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Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)