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Electrónica II © Jorge Guilherme 2008 #115 Osciladores sinusoidais Electrónica II © Jorge Guilherme 2008 #116 Osciladores sinusoidais A β Vi xf xi Vo ( 29 Vi A A Vo Vo Vi A Vo β β β β β β + + + + = - = 1 Para existir Vo com Vi=0 0 1 = + β β β A Equação característica ( 29 ( 29 ( 29 [ ] [ ] ( 29 2929 (( 29 2929 ( 29 2929 ( 29 2929 Bt ke t x Bt Bt ke e e ke t x e e k e e k t x At At jBt iBt At t jB A t jB A t P t P cos 2 ) ( cos cos ) ( ) ( 2 1 - - - - - - + ++ - = + + + + = + ++ = + + + + = + ++ = jB -jB -A Im Re Para termos oscilações constantes A=0 => Pólos em cima do eixo imaginário 0 ação Indetermin =

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Osciladores sinusoidais

Electrónica II

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Osciladores sinusoidais

A

β

Vi

xf

xi Vo

(((( ))))Vi

AA

Vo

VoViAVo

ββββ

ββββ

++++====

−−−−====

1

Para existir Vo com Vi=0

01 ====++++ ββββA

Equação característica

(((( )))) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]][[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))(((( ))))

(((( ))))Btketx

BtBtkeeeketx

eekeektx

At

AtjBtiBtAt

tjBAtjBAtPtP

cos2)(

coscos)(

)( 21

−−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−++++−−−−

====++++====++++====

++++====++++====

jB

-jB

-A

Im

Re

Para termos oscilações constantes A=0=> Pólos em cima do eixo imaginário

0açãoIndetermin ⋅⋅⋅⋅∞∞∞∞====

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Oscilador em ponte de Wien

21212

1

ZZZRR

A

++++====

++++====

ββββ

Z1Z2

sRCR

Z

sCRZ

++++====

++++====

12

11

(((( ))))

−−−−++++====⇒⇒⇒⇒

++++++++====

++++++++====

++++++++++++++++====

++++++++++++====

++++++++++++

++++====

RCRCj

j

sRCsRC

s

sCCsRR

R

RCsRsC

RR

Rs

sCRsRCR

R

sCR

sRCR

sRCR

s

ωωωωωωωω

ωωωωββββββββ

ββββ

ββββ

13

1)(

13

1)(

13

1)(

11

11

1)(

22

Critério de Barkhausen

[[[[ ]]]]

====

====⇒⇒⇒⇒====

1)(

00)(arg

ωωωωββββ

ωωωωββββ

jA

fasejA

ganho

faseRC

oRC

RC1

01 ====⇒⇒⇒⇒====−−−− ωωωω

ωωωωωωωω

212

13

12

1====⇒⇒⇒⇒====

++++

RRR

R

ganho

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Estabilização de amplitude

No arranque do oscilador os pólos estão no semi-plano complexo direito para as oscilações crescerem. Depois de arrancar e atingir a amplitude normal os pólos deslocam-se para cima do eixo imaginário.A amplitude de saída é limitada pelo elemento não linear.

Alteração do ganho

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Exemplo de implementação de osciladores

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Exemplo de implementação de osciladores

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Exemplo de implementação de osciladores

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Oscilador por desvio de fase

(((( )))) (((( ))))

[[[[ ]]]]

29 )(

16

1 )(arg

156

1)( 23

−−−−====⇒⇒⇒⇒====

====⇒⇒⇒⇒====

++++++++++++====

Aj

A

RCoj

sRCsRCsRCs

ωωωωββββ

ωωωωππππωωωωββββ

ββββ

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Exemplo de implementação de osciladores

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Oscilador de Quadratura

(((( )))) RCo

sRCA

112 ====⇒⇒⇒⇒

−−−−==== ωωωωββββVo1

Vo2

Circuito equivalente do amplificador 2

Vo1, Vo2 em quadratura (desfasamento de 90º)

Circuito obtido utilizando 2 integradores

∫∫∫∫====t

dttVoRC

Vo0

)(11

2

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Oscilador em quadratura

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Filtro passa banda

Limitador

Oscilador com circuito ressonante

limitador

C L

R

k

2CRL ====

2====KLC

o1====ωωωω

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Osciladores LC

•Aplicações em rádio frequência (100kHz – centenas de MHz)•Equação característica:

•Denominador da função de rede = 0•Determinante da matriz de impedância ou da matriz de admitância = 0

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

0)(

0)(

====

====

⋅⋅⋅⋅====

ωωωω

ωωωω

jZ

jY

VYI

Método dos nós

Método das malhas

RL Z2

Z3

Z1

21

X3X1X1

positiva çãoRealimenta

0321aRessonânci

XX

XXX

jXZ

−−−−====

++++⇒⇒⇒⇒

====++++++++⇒⇒⇒⇒

====

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Oscilador Colpitts Oscilador Hartley

++++⋅⋅⋅⋅

====

2121

1

CCCC

L

oωωωω

(((( ))))CLLo

21

1

++++====ωωωω

Electrónica II

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Modelo incremental do oscilador Colpitts

[[[[ ]]]]

====

⋅⋅⋅⋅

++++++++++++−−−−

−−−−++++

2

1

2

111

11

112

)(

I

I

V

V

RsLsCgm

sL

sLsLsC

sY44444 344444 21

V1 V2

gmRCC ====

12

I2 I1

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Esquema completo do oscilador Colpitts

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Oscilador de cristal

Cristal de quartzo

53 10 10 0 L====≈≈≈≈ Qr

LCsCpCsCp

s

LCss

sCp

sCssL

sCpsZ ++++++++

++++⋅⋅⋅⋅====

++++++++

====2

2 11

11

1)(

++++⋅⋅⋅⋅

====

====

CpCsCpCs

L

p

LCss

1

1

ωωωω

ωωωωFrequência sérieFrequência paralelo

rL

Qωωωω====

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Oscilador com inversor CMOSOscilador com BJT

Oscilador Pierce

1M 2k2

100p25p

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Oscilador controlado por tensão VCO

varicap

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Filtros

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Filtros

)()(

)(sVisVo

sT ==== Função de transferência

)()()()()( ωωωωφφφφωωωωααααωωωωφφφφωωωωωωωω jj eejTjT ++++======== Resposta de frequência

ωωωωωωωωφφφφωωωωττττ

ωωωωωωωωωωωωωωωω

∂∂∂∂∂∂∂∂−−−−====

−−−−====

====

)()(

)(log20)(

)(log20)(

10

10

jTA

jTG GanhoAtenuaçãoAtraso

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Tipos de resposta:

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Especificação para um filtro passa baixo

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Especificação para um filtro passa banda

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Posição dos pólos e zeros num filtro passa baixo

Posição dos pólos e zeros num filtro passa banda

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Resposta de um filtro passa baixo de 5 ordem

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Projecto de um filtro

EspecificaçõesT(jω)

Função de Transferência

T(s)

Circuitoou

Sistema

aproximação realização

)()(

)()2)(1()()2)(1(

)(sDsN

pnspspszmszszs

ksT ====−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−====

L

L

++++====

============

)()(

)(

)(

)(

22

2

zsksN

kssN

kssN

ksN

ωωωω

Funções de 2º ordem:D(s) polinómio 2º grauN(s) caso particular do polinómio

determina o tipo de resposta

Passa-baixoPassa-bandaPassa-altoZeros de transmissão

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22

22

2

22

)(

)(

1)(

PP

P

PP

P

PP

P

sQ

s

sksT

sQ

s

sksT

sQ

sksT

ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

++++++++====

++++++++====

++++++++====

Filtros de segunda ordemPosição dos pólos

Passa baixo

Passa alto

Passa banda

s1

s2

2

2

2

−−−−

P

OO Q

ωωωωωωωω

2

22222

22

22

2

22,1

)()(

)(.

)(

42

P

PP

P

P

P

PP

P

P

PP

P

P

QQ

Qarctg

Qj

Qs

ωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωωωωωωωωωωττττ

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωφφφφ

ωωωωωωωωωωωω

++++−−−−

++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−−−−−====

−−−−±±±±−−−−==== Passa baixo

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Aproximação de ButterworthN

P

jT2

21

1)(

++++

====

ωωωωωωωωεεεε

ωωωω

N – ordem do filtro

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para

110

1log20max

max1

1)(

10max

210

2

−−−−====

++++====

⇒⇒⇒⇒++++

====⇒⇒⇒⇒====

A

P

A

AjT

εεεε

εεεεεεεε

ωωωωωωωωωωωω

para

−−−−

====⇒⇒⇒⇒

++++====

++++

−−−−====

====

2

10

2

10

102

2102

2

10

log

110log

1log10

1

1log20min

min

P

S

A

N

P

S

N

P

S

s

NA

ωωωωωωωω

εεεε

ωωωωωωωωεεεε

ωωωωωωωωεεεε

ωωωωωωωωN – ordem do filtro

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Posição dos polosFiltro de Butterworth

N

P

N

N

pspspsk

sT

1

0

21

0

1

)())(()(

====

−−−−−−−−−−−−====

εεεεωωωωωωωω

ωωωωL

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Factores normalizados àfrequência de 1rad/s.Para obtemos a função T(s) è necessário desnormalizar:

P

N sS

sDsT

ωωωωεεεε

1

)(1

)(====

====

D(s)

D(s)

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Filtro com ordem par Filtro com ordem impar

Aproximação de Chebyshev

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] 1 para )(coshcosh)(

1 para )(coscos)(

)(1

1)(

1

1

22

>>>>====

≤≤≤≤====

++++====

−−−−

−−−−

ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω

ωωωωεεεεωωωω

nC

nC

CjT

n

n

n

Pólos situados em cima de uma elipse no plano complexo. O numero de pinos na banda passante é de N-1

11

)())((2)(

211

NN

NP

pspspsk

sT−−−−−−−−−−−−

==== −−−− Lεεεεωωωω

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2P

122

122

1

1)(

coshcosh1

1)(

coscos1

1)(

εεεεωωωωωωωωωωωω

ωωωωωωωω

ωωωωωωωωεεεε

ωωωω

ωωωωωωωω

ωωωωωωωωεεεε

ωωωω

++++====⇒⇒⇒⇒====

≥≥≥≥

++++

====

≤≤≤≤

++++

====

−−−−

−−−−

jTpara

para

N

jT

para

N

jT

P

P

P

P

++++==== −−−−

P

SS NA

ωωωωωωωωεεεεωωωω 122

10 coshcosh1log10)(

)())((2)(

211

NN

NP

pspspsk

sT−−−−−−−−−−−−

==== −−−− Lεεεεωωωω

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(((( ))))110

1log10max

10max

210

−−−−====

++++====A

A

εεεε

εεεε

N é numero inteiro (ordem do filtro)

−−−−++++

−−−−

−−−−

≥≥≥≥

1ln

1101104ln

2

2

10max

10min

P

S

P

S

AA

N

ωωωωωωωω

ωωωωωωωωΩΩΩΩ−−−−ΩΩΩΩ−−−−ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

++++ΩΩΩΩ−−−−ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ−−−−ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

−−−−ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ

ΩΩΩΩ−−−−ΩΩΩΩΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ −−−−++++

52016)(

188)(

34)(

12)(

)(

1)(

)()(2)(

355

244

33

22

1

0

11

C

C

C

C

C

C

CCC nnn

Polinóminos de Chebyshev

[[[[ ]]]][[[[ ]]]]

P

SS

SnSS

nP

ACA

ACA

ωωωωωωωω

εεεεωωωωωωωωεεεεωωωωωωωω

====ΩΩΩΩ

≥≥≥≥ΩΩΩΩ++++====ΩΩΩΩ⇒⇒⇒⇒====

====++++====⇒⇒⇒⇒====

min22

max22

)(1log10)(

)1(1log10)1(

P

sS

SHsT

ωωωω====

====)(

1)(

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Aproximação inversa de Chebyshev Aproximação Eliptica (Cauer)

)(1

1)(

22 ωωωωεεεεωωωω

nRjT

++++====

++++

====

ωωωωεεεε

ωωωωεεεε

ωωωω1

1

1

)(22

22

n

n

C

C

jTRn – função racional de Chebyshev110 10

max

−−−−====A

εεεε

[[[[ ]]]])(1log10min 2210 SnRA ωωωωεεεε++++====

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P

Ssωωωωωωωω====ΩΩΩΩ

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Aproximação Bessel Thomson

)()(

sDk

sT ====

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