Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Equações não lineares – processo iterativo

Sucessão iterativa: x0, x1, x2, x3, …

zx

f(x)ySeja f(x) uma função e considere-se a equação f(x)=0.A solução da equação designa-se por raiz da equação ou por zero da função (z)

k ke z x= −

0 1 2 3

0 1 3 4

, , , ,, , , , 0 0

k

k k

x x x x z x ze e e e e z x

→ ⇔ →→ ⇔ = − →

Pretendemos que a sucessão de valores xk convirja para a solução z, ou seja, que oerro ek tenda para zero

zx

f(x)

x0

e0

x1x2x3 x4

e3

e2e1

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Equações não lineares - multiplicidadeSeja um zero da função ( ). Se ( ) , então tem multipliciade ssemz f x f x C z m∈Propriedade:

( 1) ( )( ) 0 , '( ) 0 , ''( ) 0 , , ( ) 0 , ( ) 0m mf z f z f z f z f z−= = = = ≠

Ex:

zx

f(x)y

zx

f(x)y

zx

f(x)y

m=1zero simples

m=2zero duplo

m=3zero triplo

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Equações não lineares – ordem de convergênciaPara avaliar a rapidez de convergência dum método indicamos a ordem de convergência(e a constante de erro assimptótico)

0 1 1

0 1 1

, , , , ,, , , , , 0

k k

k k

x x x x ze e e e

+

+

→→

k ke z x= −

Se a partir duma certa ordem k,

10 , com 1 ,k

k

em M p

e+< ≤ ≤ < ∞ ≥p então o método tem ordem de convergência p

Se existir o limite , 1lim k

kk

e

ec+

→∞=p , então c é a constante de erro assimptótico

Neste caso é usual escrever-se 1k ke ec+ p

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Equações não lineares – ordem de convergênciaExemplo: Admitamos que e7 = 4x10–3 (erro na iteração 7)

Hipótese 1) c = 1/2

( )3 38 7

1Hipótese 1a) 1 4 10 2 10

2pp e c e − −= → ⋅ = × × = ×

1

1k ke ec+ p

( )38 7

1Hipótese 1b) 4 10 8 10

2pp e c e − −= → ⋅ = × × = ×

2 62

Hipótese 2) p = 1

( )3 38 7

1 1Hipótese 2a) c 4 10 2 10

2 2pe c e − −= → ⋅ = × × = ×

1

( )38 7

11 1Hipótese 2b) c 4 10 1 10

4 4pe c e − −= → ⋅ = × × = × 3

e7= 4x10–3 e8= 2x10–3

e7= 4x10–3 e8= 8x10–6

e7= 4x10–3 e8= 2x10–3

e7= 4x10–3 e8= 1x10–3

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método da falsa posição – ordem de convergência 1

( )( ) ( )

[ , ]

( )

k k

k kk k

k k

k k

a f af b f af a bb a

b f b

−=−

Equação da recta secante (ou seja do polinómio interpolador) – tabela dif. divididas

( )( ) ( )( ) ( ) k k

k kk k

f b f ap x f a x ab a

−= + ⋅ −−

xk+1

f(bk)

akbk

f(ak)

f(x)

( )( ) ( ) [ , ]k k k kp x f a f a b x a= + ⋅ −

• intervalo [ak,bk] que contém raiz• recta secante (interpolação linear)• determinar intersecção da secante com eixo dos xx• escolher novo intervalo [ak+1,bk+1] que contenha a raiz

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método da falsa posição – ordem de convergência 1

Intersecção da recta secante com o eixo dos xx

1 1( ) 0k kx p x+ +→ = ( )1( ) [ , ] 0k k k k kf a f a b x a+ + ⋅ − =

1( )

[ , ]k

k kk k

f ax af a b+ − = −

( )1[ , ] ( )k k k k kf a b x a f a+ ⋅ − = −

1( )

( ) ( )k

k kk k

k k

f ax a f b f ab a

+ = − −−

A expressão anterior pode escrever-se de outro modo,

xk+1

f(bk)

akbk

f(ak)

f(x)

1( )

[ , ]k

k kk k

f ax af a b+ = −

Explicitando a diferença dividida resulta,

1( ) ( )

( ) ( )k k k k

kk k

f b a f a bxf b f a+

⋅ − ⋅=−

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método da falsa posição – ordem de convergência 1

a0b0=b1

f(x)

a1=a2 a3

y

b2=b3

+ = −1( )

[ , ]k

k kk k

f ax af a b

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Majorante do erro – critério de paragem

Expansão de f(x) em série de Taylor em torno de z (série de ordem 0 com resto de ordem 1)

II0

( ) ( ) ( ) ( ) , inter( , )'k k kf z f x f z x z xξ ξ= + ⋅ − ∈

Ou seja, na iteração k, o erro é limitado por

( ) ( )'k kf x f z xξ = ⋅ −( )( )'k

k

f xz x

f ξ − =

minorante majoranteprimeira primeiraderivada derivada

( ) ( )| | , ( )'

k

k kk

e

f x f xz x m f M

M mξ

↑ ↑

≤ − ≤ ≤ ≤

( ) ( )k kk

f x f xe

M m≤ ≤

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Majorante do erro – critério de paragem

O resultado anterior pode ser utilizado num critério de paragem.Se pretendermos um erro inferior a uma tolerância ε,

( )kk k

f xe e

mε ε< ≤ < ( )kf x m ε < ×

ou seja, paramos de iterar quando o valor dafunção for inferior ao produto da tolerância (ε )com o minorante da primeira derivada (m)

f(x)

xk

f(xk)z

ek

Este critério de paragem pode ser aplicado à generalidade dos métodos que abordam aequação na forma f(x)=0

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Métodos da falsa posição modificado e da secante

Se no intervalo [ak,bk] a função não alterara sua concavidade (se for côncava ou se forconvexa) o método da falsa posição tende aimobilizar um dos extremos e a convergirlentamente para a raiz

Possíveis alterações ao método da falsa posição:

y

ak-1bk

f(x)

ak ak+1

• método da falsa posição modificado (algoritmo de Illinois)

• método da secante

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método da falsa posição modificado (algoritmo de Illinois)

→ Se um dos extremos se mantiverem duas iterações seguidas, entãodividir (sucessivamente) o valor dafunção desse extremo por 2

1

( ) ( )( ) ( )

k k k kk

k k

f b a f a bx

f b f a+⋅ − ⋅

=−

12

12

ak-1bk

f(x)

ak xk+1

f(bk)

f(bk)/2

1( ) ( )

( ) ( )k k k k

kk k

f b a f a bxf b f a+

⋅ − ⋅=−

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método da secante

• os pontos utilizados para traçar a secante são as duas últimas estimativas

11

( )[ , ]

kk k

k k

f xx xf x x+

−

= −

1 11

1

( ) ( )( ) ( )

k k k kk

k k

f x x f x xxf x f x

− −+

−

⋅ − ⋅=−

−−

−

−=−

11

1

( ) ( )c/ [ , ] k k

k kk k

f x f xf x xx x

Modo alternativo de escrita

Formula de iteração

• o método pode não convergir

• o intervalo pode não conter a raiz

• se convergir a ordem de convergência é de (1 5) / 2 1.618+ = (para zeros simples)

x–1x3

f(x)

x1 x2

y

x0

x4

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Ordem de convergência supralinear (>1)Exercício: a) Demonstre que se {xk} for uma sucessão que converge supralinearmente para z,

então +

→ ∞

−=

−1lim 1k k

kk

x xz x

b) Qual é a importância deste resultado do ponto de vista dum critério de paragens de iterações?

+

→ ∞

−−1lim k k

kk

x xz x

a)

+

→ ∞

− + −=

−1lim k k

kk

x z z xz x

+

→ ∞

− ± −=

−1lim k k

kk

z x z xz x

+

→ ∞

−= ±

−1lim 1 k

kk

z xz x

+

→ ∞

−= ±

−11 lim k

kk

z xz x

Pela definição de ordem de convergência, 1, 0 k

k

ek N m M

e+∀ > < ≤ ≤ < ∞p

1 1k k

k k

e z xM M

e z x+ +−

≤ ⇔ ≤−p pEntão, 1k

kk

z xM z x

z x+−

≤ × −−

1p−

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Ordem de convergência supralinear (>1)

b)

Para convergência supralinear (p>1),

1lim lim 0 porque e 1 (logo 1 0)kk kk k

k

z xM z x x z p p

z x+

→ ∞ → ∞

−≤ × − = → > − >

−1p−

Resumindo, + +

→ ∞ → ∞

− −= ± = ± =

− −1 1lim 1 lim 1 0 1k k k

k kk k

x x x zz x z x

ou seja, assimptoticamente (i.e., no limite) 1k k ke x x+ −∼

pelo que |xk+1 – xk| representa uma estimativa do erro |ek|

logo se pretendermos um erro inferior a ε (i.e., |ek|< ε )

poderemos terminar o processo iterativo quando a diferença entre duas iterações seguidasfor inferior a ε , ou seja, quando |xk+1 – xk| < ε

Nota: efectuamos o cálculo de xk+1 para que o erro de xk seja inferior a ε (|ek|=|z – xk|)

11lim 1k k

k k k kkk

x xx x z x e

z x+

+→ ∞

−= → − − =

−∼

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Newton

=( )

[ , ] ( )( )

'k k

k k k

k k

x f xf x x f x

x f x

• estimativa inicial x0• recta tangente (interpolação linear de Hermite)

• determinar intersecção da tangente com eixo dos xx

Equação da recta tangente (ou seja do polinómio interpolador de Hermite) – tabela dif. div.

( )= + ⋅ −( ) ( ) ( )'k k kp x f x f x x x

x0

x1

yf(x)

x2

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Newton

Intersecção da recta tangente com o eixo dos xx

1 1( ) 0k kx p x+ +→ = ( )+ + ⋅ − =1( ) ( ) 0'k k k kf x f x x x

+ − = −1( )( )'

kk k

k

f xx xf x

( )+ ⋅ − = −1( ) ( )' k k k kf x x x f x

A expressão anterior pode ser escrita na forma,

+ = −1( )( )'

kk k

k

f xx xf x

x0

x1

yf(x)

x2

+ = + = −1( )

,( )'

kk k k k

k

f xx x h hf x

(Se convergir,) A ordem de convergência do método de Newton é de 2 (para zeros simples)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Newton – ordem e condições de convergênciaProb:

b) Aproveite para estabelecer uma condição que garanta a convergência.

a,b)

{ }0Seja [ , ], [ , ], considere a sequência gerada pelo método de Newtonkz a b x a b x∈ ∈

a) Demonstre que, se ( ) 0, [ , ], se a sequência convergir para , então aordem de convergência é de 2 (quadrática).

'f x x a b z≠ ∈

Método de Newton 1( )( )'

kk k

k

f xx xf x+ = −

x0

x1

yf(x)

x2

Expansão de f(z) em série de Taylor em torno de xk(série de ordem 1 com resto de ordem 2)

I

2

I0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

inter( , ) [ , ]

'''k k k k

k

ff z f x f x z x z x

z x a b

ξ

ξ

= + ⋅ − + ⋅ −

∈ ⊂

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Para haver convergência o erro têm de diminuir (duma iteração para a outra), pelo que

II0

2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2'''k k k kff z f x f x z x z xξ= + ⋅ − + ⋅ − 2( )( ) ( ) ( ) ( )

2''' k k k kff x z x f x z xξ

⋅ − = − − ⋅ −

2( ) ( ) ( )( ) 2 ( )

''' '

kk k

k k

f x fz x z xf x f x

ξ − = − − ⋅ −

⋅1

2( ) ( ) ( )( ) 2 ( )

''' '

k

k kk k

x

kf x fz x z xf x f x

ξ

+

= − − ⋅ −⋅

21

( ) ( )2 ( )

'''k k

k

fz x z xf x

ξ+ = − ⋅ −

⋅ 21

21

( ) ( )2 ( )

'''

k ke e

k kk

fz x z xf x

ξ

+

+ − = − ⋅ −⋅

21

( )2 ( )

'''k k

k

fe ef x

ξ+ = − ⋅

⋅

221

12k kMe em+ ≤ ⋅

⋅

Tomando o minorante para a primeira derivada e o majorante para a segunda derivada

1

2

0 ( )

( )

'

''

km f x

f Mξ

< ≤

≤

20

1

12M em

≤⋅

(*)

21

12 kk ke eM em+ ⋅

⋅⇔ ≤ ⋅

Condição de convergência (do método de Newton)

Método de Newton – ordem e condições de convergência

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

1( )

2 ( )'''k k

k

fe ef x

ξ+ = − ⋅

⋅2

Retomando a equação (*), se existir convergência, então

Método de Newton – ordem e condições de convergência

1 ( )lim lim

2 ( )'''

k

k kkk

e ff xe

ξ+

→ ∞ → ∞ =

⋅21 ( )

lim2 ( )

'''

k

kk

e f zf ze

+

→ ∞ =

⋅2

pelo que, para zeros simples, a ordem de convergência do método de Newton é quadrática

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Muller – interpolação quadrática

• utilizar as 3 últimas aproximações para efectuar interpolar quadrática (xk–2, xk–1, xk)

• novo ponto é a intersecção da parábola com o eixo dos xx

2 1

1 2 1

( ) ( ) [ , ] ( )[ , , ] ( ) ( )k k k k

k k k k k

p x f x f x x x xf x x x x x x x

−

− − −

= + ⋅ −+ ⋅ − ⋅ −

1 2

1 2 1 2

c/ [ , , ][ , ] [ , ] [ , ]( )

k k k k

k k k k k k k

k k

A f x x xB f x x f x x f x xC f x

− −

− − − −

== + +=

Polinómio interpolador

22( ) ( ) ( )k k k k kp x A x x B x x C= ⋅ − + ⋅ − +

que pode escrever na forma

xk–1xk–2

f(x)

xk

y

p(x)

xk+1

Nota: Para iniciar o processo, terão de ser fornecidas 3 estimativas iniciais (x–2, x–1, x0)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Muller – interpolação quadrática

• das duas intersecções existentes, escolher a mais próxima da última aproximação(ou seja, o sinal ± é escolhido de modo a maximizar o denominador, para que |xk+1–xk| seja mínimo)

• o método permite obter raízes complexas

Nova aproximação (intersecção com xx)

( )1 1

2 2

2

4k

k k

k k k k

Cx xB B A C

+⋅= −

± − ⋅ ⋅

(Se convergir,) A ordem de convergência do método de Muller é de 1.84 (para zeros simples)

xk–1xk–2

f(x)

xk

y

p(x)

xk+1

que se pode escrever na forma

( )+

− ± − ⋅ ⋅= +

⋅

12 2

1

4

2k k k k

k kk

B B A Cx x

A

1 2

1 2 1 2

c/ [ , , ][ , ] [ , ] [ , ]( )

k k k k

k k k k k k k

k k

A f x x xB f x x f x x f x xC f x

− −

− − − −

== + +=

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Interpolação quadrática inversa

• utilizar as 3 últimas aproximações para efectuar interpolar quadrática (xk–2, xk–1, xk)

• novo ponto (xk+1) é o valor do polinómio interpolador inverso em y=0

Nota: Para iniciar o processo, terão de ser fornecidas 3 estimativas iniciais (x–2, x–1, x0)

• Se a função tiver inversa, podemos utilizar interpolação inversa, x= f –1(y) x= g(y)

x= f –1(y) x= g(y)

yk–1yk–2

g(y)

yky

p(y)xk

xk–1

xk+1

xk–2

f(x)

x

y

xk–1xk xk–2

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Interpolação quadrática inversa

yk–1yk–2

g(y)

yky

p(y)xk

xk–1

xk+1

xk–2

2 1 1 2 1( ) ( ) [ , ] ( ) [ , , ] ( ) ( )k

k k k k k k k k k

x

p y g y g y y y y g y y y y y y y− − − −= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ −

1 11

1 1 1

1 1 21 2

2 2 1 1 2

( ) ( ) 1[ , ]

[ , ]

[ , ] [ , ] 1 1 1[ , , ]

[ , ] [ , ]

k k k kk k

k k k k k k

k k k kk k k

k k k k k k k k

g y g y x xg y yy y y y f x x

g y y g y yg y y yy y y y f x x f x x

− −−

− − −

− − −− −

− − − − −

− −= = =− −

−= = − − −

Polinómio interpolador

Atendendo a que

1 2 1 1 2 1(0) [ , ] [ , , ]k k k k k k k k k kx p x g y y y g y y y y y+ − − − −= = − ⋅ + ⋅ ⋅

A nova aproximação é o valor do polinómio em y=0

(Se convergir,) A ordem de convergência da interpolação quadrática inversa é 1.84

A formula iterativa da interpolação quadrática inversa pode escrever-se

1 21

1

1

2 1[1 1

[ [ , ], ] , ]k

k kk k

k k

k k k k k k

y yy y f x x f x x

yx xf x x

−

− − −+

− −

⋅+ − −

= −

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – condição e ordem de convergência

1

II II

( ) ( ) ( ) ( ) , inter( , ) [ , ]'

kx

k k k

z

g z g x g z x z x a bξ ξ

+

= + ⋅ − ∈ ⊂

1 ( ) ( )'k kz x g z xξ+ = + ⋅ −1

1 ( ) ( )'k k

k

e e

kz x g z xξ+

+ − = ⋅ − 1 ( )'k ke g eξ+ = ⋅

Considerando ( ) , [ , ]'g M x a bξ ≤ ∈

1 ( )'k

k

e ge

ξ+ =

1k

k

eM

e+ ≤podemos escrever

A condição para o processo ser convergente é M < 1 (ou seja, se g(x) for contractiva).

Além disso constatamos que a ordem de convergência é 1 (linear).

Teorema: Se [ , ], ( )I a b g I I= ⊂ e se g(x) for contractiva em I (i.e., se |g’(x)|<1 em I), então

a solução do problema x=g(x) é única e o processo xk+1=g(xk) converge para z seja qual for a

estimativa inicial 0 [ , ]x I a b∈ =

Expansão de g(z) em série de Taylor em torno de xk (expansão de ordem 0 com resto de ordem 1)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – condição e ordem de convergência

|g’(x)|>1 – processo divergente

x0

y=xy=g(x)

z

x1 =g(x0)

x1

x2 =g(x1)

x2

|g’(x)|<1 – processo convergente

x0

y=xy=g(x)

z

x1 =g(x0)

x1

x2 =g(x1)

x2

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – condição e ordem de convergência

x0

y=x

y=g(x)

z

x1 =g(x0)

x1

x2 =g(x1)

x2 x0

y=x

y=g(x)

z

x2 =g(x2)

x2

x1 =g(x0)

x1

|g’(x)|>1 – processo divergente|g’(x)|<1 – processo convergente

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – majorante do erro, critério de paragemExercício:

1 1 / ( ) 1 , [ , ]1

'k k kMe x x c g x M x a bM+ +≤ − ≤ < ∈

−

1

II II

( ) ( ) ( ) ( ) , inter( , ) [ , ]'

kx

k k k

z

g z g x g z x z x a bξ ξ

+

= + ⋅ − ∈ ⊂

1 ( ) ( )'k kz x g z xξ+ = + ⋅ −1

1 ( ) ( )'k k

k

e e

kz x g z xξ+

+ − = ⋅ − 1 11 ( ) ( )' kk kkz x g z x x xξ+ + + − = ⋅ −− +

1 1 1( ) ( ) ( ) ( )' 'k k k kz x g z x g x xξ ξ+ + + − = ⋅ − + ⋅ − [ ] 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )' 'k k kg z x g x xξ ξ+ + − ⋅ − = ⋅ −

1 11 ( ) ( )' 'k k kg z x g x xξ ξ+ +− − = −

Considerando ( ) 1 , [ , ]'g M x a bξ ≤ < ∈

1 1(1 ) k k kM z x M x x+ + − − ≤ −

1

1 11ke

k k kMz x x xM

+

+ + − ≤ −−

pode ser utilizado num critério de paragem do método ponto fixo.

Se pretendermos |ek+1|< ε, então paramos quando

Mostre que no método iterativo de ponto fixo

1 11k k kMe x xM+ +≤ −

−

1 11

1 k k k kM Mx x x xM M

ε ε+ +−− < − <

−

Expansão de g(z) em série de Taylor em torno de xk (expansão de ordem 0 com resto de ordem 1)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – ordem de convergência

1

II II

( ) ( ) ( ) ( ) , inter( , ) [ , ]'

kx

k k k

z

g z g x g z x z x a bξ ξ

+

= + ⋅ − ∈ ⊂

1 ( ) ( )'k kz x g z xξ+ = + ⋅ −1

1 ( ) ( )'k k

k

e e

kz x g z xξ+

+ − = ⋅ − 1 ( )'k ke g eξ+ = ⋅ 1 ( )'k

k

e ge

ξ+ =

A ordem de convergência é linear (p=1) e

a constante de erro assimptótico é C=|g’(z)|

Quanto mais pequena for a constante de erro assimptótico, mais rápida é a convergência

Uma forma de melhorar a rapidez de convergência é utilizar aceleração de Aitken

1lim lim ( ) ( )' 'k

k kk

eg g z

eξ+

→∞ →∞ = =

1lim k

kkp

eC

e+

→∞=

Expansão de g(z) em série de Taylor em torno de xk (expansão de ordem 0 com resto de ordem 1)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – aceleração de AitkenTomando o anterior resultado 1 ( ) ( ) , inter( , )'k k k k kz x g z x z xξ ξ+− = ⋅ − ∈

1 ( )'k kz x z x+− ≅ ⋅ −G1Considerando ( ) ( )' ' 'k kg gξ ξ +≅ ≅ G

2 1 1 1 1( ) ( ) , inter( , )'k k k k kz x g z x z xξ ξ+ + + + +− = ⋅ − ∈

2 1( )'k kz x z x+ +− ≅ ⋅ −G

2 1 1( )'k k k kx x x x+ + +− ≅ ⋅ −G

–

2 1

1

' k k

k k

x xx x

+ +

+

−

−≅G

(*)

1 ( )'k kz x z x+− ≅ ⋅ −G ( ) 11 ' 'k kz x x+ ⋅ − ≅ − ⋅G G 1

1''

k kx xz + − ⋅ ≅

−GG

Desenvolvendo a equação (*)

Tendo em conta a aproximação para G’

21 1k k kx x x

z

+ +− ⋅

≅

2 1k k k kx x x x+ +− ⋅ + ⋅

1k kx x+ −

1 2 1

1

k k k k

k k

x x x xx x

+ + +

+

− − +−

+ +

+

+

+

+

+

− ⋅ ≅

−−−−−

2 1

1

2 1

1

1

1

k k

k k

k k

k k

k kx xx xx xx

x x

x

z+ − ⋅≅−

1

1''

k kx xz GG

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Iterativo ponto fixo – aceleração de Aitken

Contudo

21 2

2 12k k k

k k k

x x xzx x x

+ +

+ +

− ⋅ ≅

− + −

22 1

2 12k k k

k k k

x x xzx x x

+ +

+ +

⋅ − ≅

− +

12 2 2

2 1 12

2 12 2k k k kk k k k kk kkx x x xxx xxx x x x + ++ + + +− ⋅ + +⋅ −−⋅ − = ⋅

( ) ( )2 22 11

212 2k k kk kk k kk x xxx x x x xx+ ++ += ⋅ + + ⋅−+ −− ⋅

( ) ( )22 1 12k k k k k kx x x x x x+ + += − + ⋅ − −

pelo que2

2 1

2 12k k k

k k k

x x xzx x x

+ +

+ +

⋅ −≅− +

( )21

2 12k k

kk k k

x xz x

x x x+

+ +

− ≅ −

− +

Aceleração de Aitken – gerar uma nova sequência x’k (a partirde sequência obtida por iterativo ponto fixo)

( )21

2 1

'2

k kk k

k k k

x xx x

x x x+

+ +

−= −

− +

A nova sequência x’k tem na mesma ordem de convergência 1,mas possui melhor constante de erro assimptótico C=|g’(z)|2

x’3

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x’0x’1x’2

… …

sequ

ênci

a po

r pon

to fi

xo

Aitken

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Stefensen

As iterações geradas por ponto fixo são efectuadas sobre a aproximação gerada por Aitken

x0

g(x0)

pont

o fix

o

Aitken

g(g(x0))

x1

g(x1)

g(g(x1))

Aitkenx2

g(x2)

g(g(x2))

Aitkenx3

g(x3)

g(g(x3))

Aitkenx4

…

…

A formula de iteração resultante é[ ]

( )

2

1

( )( ) 2 ( )

k kk k

k k k

g x xx x

g g x g x x+

−= −

− ⋅ +

O método de Steffensen pode ser apresentado como um método iterativo de ponto fixo

[ ]( )

2

1

( )( ) c/ ( )

( ) 2 ( )k k

k k k kk k k

g x xx G x G x x

g g x g x x+

−= = −

− ⋅ +

iteração 1 iteração 2 iteração 3

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Método de Stefensen

O método de Steffensen também pode ser obtido através da intersecção da recta y=x com arecta secante que passa por 2 pontos gerados pelo método iterativo de ponto fixo

xk

y=xy=g(x)

z

g(xk)

g(xk)

g(g(xk))

xk+1

Pode mostrar-se que:1) Se g’(z)≠1, então z é um ponto fixo atractivo de G(x) e G’(z)=02) Não é necessário que z seja ponto fixo atractivo de g(x) para haver convergência3) Se existir convergência, esta é supralinear (quadrática)

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Determinação de todos os zeros de polinómiosSeja uma equação polinomial pn(x)=0.

grau grau

1

1

1( ) ( ) ( )

n n

n np x x z q x↑ ↑

−

−= − ⋅

Uma alternativa é considerar a forma implícita de qn–1(x), i.e. considerar

o problema pode passar a ser expresso na forma qn–1(x)=0 (deflação).

Por vezes é vantajoso desenvolver esta forma implícita – é o caso do método de Newton

11

( )( ) ( ) nn

p xf x q xx z−= =

−

11

( )( ) ( ) nn

p xf x q xx z−= =

−

II

1( )( )'

k

kk k k k

k

h

f xx x x hf x+ = − = +

II

1( )( )'

k

kk k k k

k

h

q xx x x hq x+ = − = +

( )c/( )'

kk

k

q xhq x

= −

Contudo, o cálculo dos coeficientes de qn–1(x) está sujeito a erros de arredondamento.

Após obtermos um primeiro zero z1 ,

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Determinação de todos os zeros de polinómios

( )( )'

q xhq x

= −

1

( )( ) p xq xx z

=−

1 ( )( )'q x

h q x = −

21 1

1

( ) ( )( )

( )

'p x p xx z x z

p xx z

−− −= −

−1

( ) 1( )'p xp x x z

= − +−

ou seja, após conhecermos z1, o processo iterativo do método de Newton é1

1 1

1 ( ) 1 ( ) 1c/( ) ( )' 'k k

kk k k k k

p x p xhh p x x z p x x z

−

= − + = − + − − 1k k kx x h+ = +

É possível generalizar o processo e, após conhecermos z1, z2, z3, … , zm

1k k kx x h+ = +1

1 2

( ) 1 1 1c/( )' k

kk k k k m

p xhp x x z x z x z

−

= − + + + + − − −

Nota: É vantajoso determinar os zeros por ordem crescente do seu valor absoluto(devido à extrema sensibilidade dos zeros dos polinómios de grau elevado a pequenas perturbações nos coeficientes)

12 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

' '' p x x z p x p x p xq xx z x z x z

⋅ − −= = −− − −

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Determinação de todos os zeros de polinómios

Cálculo de z1:

= − + − = − +3 2 2( ) 6 11 6 '( ) 3 12 11p x x x x p x x x

+ = +1k k kx x h

Exemplo: Obter o zeros reais de p(x) = x3 – 6 x2 + 11 x – 6 pelo método de Newton conjugadocom a técnica de deflação. Sugestão: partir sempre da origem, x0 = 0

= − ( )( )'

kk

k

p xhxp

=0 0x 0 0 0( ) ( ) 0,54(54( (0) )0)' 'ph p x xp p= −= − =

= + =1 0 0 0,54(54)x x h = − =1 1 1( ) ( ) 0,3034986652'h p x xp

= + =2 1 1 0,8489532106x x h = − =2 2 2( ) ( ) 0,1257208604'h p x xp

= + =4 3 3 0,9990915481x x h

= + =3 2 2 0,974674071x x h −= − = × 23 3 3( ) ( ) 2,441747706 10'h p x xp

−= − = × 44 4 4( ) ( ) 9,072166289 10'h p x xp

= + =5 4 4 0,9999987647x x h −= − = × 65 5 5( ) ( ) 1,235290422 10'h p x xp

= + =6 5 5 1x x h = = → =6 1( ) (1) 0 1p x p z

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Determinação de todos os zeros de polinómiosCálculo de z2:

+ = +1k k kx x h

=0 0x1

0

1

00 0 1

'( ) 1 1,2( )

'(0) 1(0) 0 1

p xhx x z

ppp

−− = − + −

= − + =

−

1 0 0 1,2x x h= + =

2 1 1 1,753846154x x h= + =

4 3 3 1,99847524x x h= + =

3 2 2 1,959397304x x h= + = 23 3,907793615 10h −= ×

34 1,52244232 10h −= ×

5 4 4 1,999997682x x h= + = 65 2,317894627 10h −= ×

6 5 5 2x x h= + = 6 2( ) (2) 0 2p x p z= = → =

2

1

3( )Usar deflação, 11

) 1 6( 6p xq xx

x x xz x

− + −=−

=−

( )'( )

kk

k

q xhq x

= −1

( )( )' k

k

xq xq

−

= −

1

1

( ) 1( )' k

k k

p xp x x z

−

= − + −

1

11

1 1 1

'( ) 10,5538461538

( )p xhx x zp

−

= − + = −

1 1z =

1

22

2 2 1

'( ) 10,2055511499

( )p xhx x zp

−

= − + = −

Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer

Determinação de todos os zeros de polinómios

Cálculo de z3:

+ = +1k k kx x h

=0 0x1

00

0 0 1 2

1'( ) 1 1 3( )

'(0) 1 1(0) 0 1 0 2k

pp xhx x z x zp p

−−

= − + + = = − + + − − − −

1 0 0 3x x h= + = 1 3( ) (3) 0 3p x p z= = → =

1

3

2

2( )Usar deflação, ( )( )(

6 11 6( 1)( 2) )

p xq x x xx

xx z xx z

= −−−

+ −=−−

( )'( )

kk

k

q xhq x

= −1

( )( )' k

k

xq xq

−

= −

1

1 2

( ) 1 1( )' k

k k k

p xp x x z x z

−

= − + + − −

1 21, 2z z= =

1 2 31, 2, 3z z z→ = = =