05 Equacoes Nao Lineares Metodos Iterativos Newton

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Método interativo de newton

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  • Clculo Numrico

    Equaes no Lineares Mtodos Iterativos

  • MTODOSITERATIVOS

    Definio:Ummtodonumricoditoiterativosegerauma

    sequnciadeaproximaes xk apartirdeuma equaode

    iterao xk+1=(xk) eumaaproximaoinicial x0 .

    Exemplo: O mtodo iterativo xk+1=xk

    2+c2xk

    calcula c a

    partirde x00 .

  • Considerando c=2 e x0=1 ,temos:

    x1=x0

    2+22x0

    =12+221

    =32=1.5

    x2=x1

    2+22x1

    =1.52+2

    21.5=4.25

    3=1.417

    x3=x2

    2+22x2

    =1.4172+2

    21.417= 4.008

    2.834=1.414

    x4=x3

    2+22x3

    =1.4142+2

    21.414=3.999

    2.828=1.414

    Questo:Quandodevopararummtodoiterativo?

  • CRITRIOSDEPARADA

    Sejaummtodoiterativo xk+1=(xk)

    Dizemosqueaaproximao xk+1 temerrorelativo >0

    se:

    xk+1xkxk+1

  • Exemplo: Considerando os valores do exemplo anterior,temos:

    x1x0x1

    =1.511.5

    =0.3333

    x2x1x2

    =1.4171.51.417

    =0.05857

    x3x2x3

    =1.4141.417

    1.414=0.002122

    x4x3x4

    =1.4141.414

    1.414=0.0

    sendo que o erro zero ocorreu apenas devido aoarredondamentoem4casas.

  • Obs. 1) Critrio de parada do tipo f (xk)
  • Obs.2)Emalgunscasospodeseconsideraroerroabsoluto,

    na forma xk+1xk

  • Clculo Numrico

    Equaes no Lineares Mtodos Iterativos Lineares

  • MTODOSITERATIVOSLINEARES

    Definio:Ummtodonumricoiterativo xk+1=(xk) dito

    iterativolinearse f (x)=0 se,esomentese, x=(x) .

    Exemplo: O mtodo xk+1=xk

    2+c2xk

    um mtodo iterativo

    linearparacalcular c

    Defato:Seja f (x)=x2c ,cujasrazesso c .

  • Almdisso,

    f (x)=0 x2c=0

    x2c2

    =0

    x2=x2 x2c2

    x=x x2c2 x

    x=(x)

    Logoummtodoiterativolinear.

  • Obs. 1) H muitas formas de se transformar o problema

    f (x)=0 noproblemadepontofixo x=(x) .Porexemplo,

    dada uma funo qualquer A (x)0 , podemos considerar

    (x)=x+A (x) f (x) .

    Obs. 2) Nem todo mtodo iterativo linear converge. Por

    exemplo, f (x)=x2c=0 x2=c x= cx, se x0 . Assim

    temosomtodoiterativolinear xk+1=cxk

    .

    Mas, tomando c=2 e x0=1 , a sequncia obtida x1=2 ,

    x2=1 , x3=2 ,...noconverge.

  • Teorema:Seja (x) umafunocomderivadadesegunda

    ordem contnua num intervalo fechado I=[xh , x+h] ,

    sendo x=(x) . Seja x0I e 0

  • Exemplo 1) No mtodo iterativo linear xk+1=cxk

    temos

    (x)= cx.Logo, ' (x)= c

    x2.

    Assim, ' (x)= cx2c xc

    No podemos garantir ' (x)M

  • Exemplo2)Nomtodoiterativolinear xk+1=xk

    2+c2xk

    temos

    (x)= x2+c2x

    .

    Logo, ' (x)=2x2x(x2+c)2

    4x2= x

    2c2x2

    =12 c

    2x2

    Assim, ' (x)

  • Temosduasdesigualdades:

    1< cx2x2 c

    3 x c3

    Como c> c3c> c3 e, portanto, ' (x)M

  • ORDEMDECONVERGNCIA

    Indica a velocidade com que as aproximaes de ummtodoiterativoseaproximamdasoluocorreta.

    Definio:Seja xk asequnciadeaproximaesgeradaspelomtodo iterativo e x a soluo correta. Se existirem umnmero p1 eumaconstante c>0 talque

    limk

    xk+1x

    xkxp =c

    entopaordemdeconvergnciadomtodo.

  • Obs.: Podemos determinar numericamente a ordem de

    convergnciaobservandoque,paraksuficientementegrande:

    xk+1xcxkxp

    Almdisso xkxxkxk1=ek .Logo

    ek+1c ekp e ekc ek1

    p

    Assim,ek+1ek

    ekp

    ek1p p

    log( ek+1ek )log( ekek1 )

  • Exemplo:Paraencontrararaizdafuno f (x)=x2x2 ,

    consideremosomtodoiterativolinear xk+1=xk+2k xk xk+1 ek p0 2.5 2.1213203436 0.37867965641 2.1213203436 2.0301035303 0.09121681332 2.0301035303 2.0075117759 0.0225917544 0.98047201963 2.0075117759 2.0018770631 0.0056347127 0.99497337794 2.0018770631 2.0004692107 0.0014078524 0.99873396685 2.0004692107 2.0001172992 0.0003519115 0.99968290016 2.0001172992 2.0000293246 8.7974e-005 0.9999206887 2.0000293246 2.0000073311 2.1993E-005 0.99998016978 2.0000073311 2.0000018328 5.4983E-006 0.9999950422

  • Clculo Numrico

    Equaes no Lineares Mtodos Iterativos Lineares

    Mtodo de Newton

  • MTODODENEWTON

    Seja um mtodo iterativo linear da forma

    (x)=x+A (x) f (x) com A (x)0

    Paragarantir aconvergnciadomtodo,vamosencontrar

    A (x) demodoque ' (x)=0 para x raizde f (x) .

    Assim,

    ' (x)=1+A ' (x) f (x)+A (x) f ' (x)

    ' (x)=1+A ' (x) f (x)+A (x) f ' (x)

    Mas f (x)=0 e ' (x)=0

  • Logo, 0=1+A (x) f ' (x) A (x)= 1f ' (x)

    Vamosconsiderarento A (x)= 1f ' (x)

    Assim (x)=xf (x)f ' (x)

    eomtodoiterativolineardado

    por xk+1=xkf (xk)f ' (xk)

    EstemtodoconhecidocomoMtododeNewton.

    Obs.: Aordemdeconvergncia domtododeNewton 2

    (convergnciaquadrtica).

  • Exemplo 1: Encontre uma aproximao para a raiz de

    f (x)=cos xsen x ,comerro

  • Exemplo 2: Usando o mtodo de Newton, encontre um

    mtodoiterativoparacalcular c

    Soluo:Sabemosque c raizde f (x)=x2c .

    Como f ' (x)=2x ,omtododeNewtonfica:

    xk+1=xkf (xk)f ' (xk)

    =xkxk

    2c2xk

    =xk

    2+c2xk

    Portanto xk+1=xk

    2+c2xk

    omtodoiterativolinearparacalcular

    c .

  • EXERCCIOS

    1. Usando o mtodo de Newton, encontre um mtodo

    iterativoparacalcular 3c .

    2. Usandoomtododoexerccio1,calcule 35 ,comerro

    de 104 ,pontoflutuantecom6casasearredondamento.

    ExercciosAdicionais:Franco,ex.3.3 3.6e3.8,pg.75e

    76,ex.3.9e3.10,pg.79e80.