A30 Fourier
5
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος A30-Fourier σελίδα 1 από 5 ΦΑΣΜΑ ΣΗΜΑΤΩΝ – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ένα ημιτονοειδές σήμα περιγράφεται από την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ϕ ω ϕ π + = + = t cos A t f 2 cos A t y 0 0 . H γραφική παράσταση που έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε για ένα τέτοιο σήμα εκφράζει την μεταβολή του στο χρόνο. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε την αναπαράσταση στο χρόνο ημιτονοειδών σημάτων διαφορετικών συχνοτήτων. Αν το σήμα που μελετούμε είναι πχ μια συνομιλία δυο συνομιλητών Α και Β στον ασύρματο, δεν μας ενδιαφέρει τόσο η μεταβολή του στο χρόνο, όσο το ποια συχνότητα f 1 καταλαμβάνει αυτή η συνομιλία των Α και Β, ώστε να ξέρουν δυο άλλοι συνομιλητές Γ και Δ του ασυρμάτου ότι αυτή η συχνότητα f 1 είναι κατειλημμένη και άρα για την δική τους συνομιλία πρέπει να χρησιμοποιήσουν κάποια άλλη συχνότητα f 2, μη κατειλημμένη. Η παραπάνω γραφική παράσταση στο χρόνο δεν μας το δείχνει αυτό πολύ ξεκάθαρα. Άρα μας ενδιαφέρει να κάνουμε γραφική παράσταση του σήματος, όχι μόνο στο χρόνο, αλλά και στη συχνότητα. Αυτή η γραφική παράσταση μας δείχνει ποιες συχνότητες καταλαμβάνει το σήμα και λέγεται φάσμα συχνοτήτων. Ο τρόπος μετάβασης από τον χρόνο στην συχνότητα (και αντίστροφα) είναι ο μετασχηματισμός Fourier. ΘΕΜΑ 1 Να βρεθεί η έκφραση στην συχνότητα του συνημιτονικού σήματος () ) 3 cos( t t y π = . ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 () ) 5 . 1 2 cos( ) 3 cos( t t t y ⋅ ⋅ = = π π δηλαδή καταλαμβάνει την συχνότητα Hz f 5 . 1 0 = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Ευθύς μετασχηματισμός Fourier: από το χρόνο στη συχνότητα ∫ +∞ ∞ − − = dt e t x f X ft j π 2 ) ( ) ( Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier: από τη συχνότητα στο χρόνο ∫ +∞ ∞ − = df e f X t x ft j π 2 ) ( ) ( Με μικρό x(t) συμβολίζουμε τα σήματα στο χρόνο, με κεφαλαίο X(f) τα σήματα στη συχνότητα. Στην πράξη δεν υπολογίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier (ευθύ ή αντίστροφο) με τα παραπάνω ολοκληρώματα. Εφαρμόζουμε τυπολόγιο και ιδιότητες.
Transcript of A30 Fourier
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος
A30-Fourier σελίδα 1 από 5
ΦΑΣΜΑ ΣΗΜΑΤΩΝ – ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Ένα ημιτονοειδές σήμα περιγράφεται από την εξίσωση ( ) ( ) ( )ϕωϕπ +=+= tcosAtf2cosAty 00 . H γραφική παράσταση που έχουμε συνηθίσει να βλέπουμε για ένα τέτοιο σήμα εκφράζει την μεταβολή του στο χρόνο. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε την αναπαράσταση στο χρόνο ημιτονοειδών σημάτων διαφορετικών συχνοτήτων.
Αν το σήμα που μελετούμε είναι πχ μια συνομιλία δυο συνομιλητών Α και Β στον ασύρματο, δεν μας ενδιαφέρει τόσο η μεταβολή του στο χρόνο, όσο το ποια συχνότητα f1 καταλαμβάνει αυτή η συνομιλία των Α και Β, ώστε να ξέρουν δυο άλλοι συνομιλητές Γ και Δ του ασυρμάτου ότι αυτή η συχνότητα f1 είναι κατειλημμένη και άρα για την δική τους συνομιλία πρέπει να χρησιμοποιήσουν κάποια άλλη συχνότητα f2, μη κατειλημμένη. Η παραπάνω γραφική παράσταση στο χρόνο δεν μας το δείχνει αυτό πολύ ξεκάθαρα. Άρα μας ενδιαφέρει να κάνουμε γραφική παράσταση του σήματος, όχι μόνο στο χρόνο, αλλά και στη συχνότητα. Αυτή η γραφική παράσταση μας δείχνει ποιες συχνότητες καταλαμβάνει το σήμα και λέγεται φάσμα συχνοτήτων. Ο τρόπος μετάβασης από τον χρόνο στην συχνότητα (και αντίστροφα) είναι ο μετασχηματισμός Fourier. ΘΕΜΑ 1 Να βρεθεί η έκφραση στην συχνότητα του συνημιτονικού σήματος ( ) )3cos( tty π= . ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 ( ) )5.12cos()3cos( ttty ⋅⋅== ππ δηλαδή καταλαμβάνει την συχνότητα Hzf 5.10 = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER
Ευθύς μετασχηματισμός Fourier: από το χρόνο στη συχνότητα ∫
+∞
∞−
−= dtetxfX ftj π2)()(
Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier:από τη συχνότητα στο χρόνο ∫
+∞
∞−
= dfefXtx ftj π2)()(
Με μικρό x(t) συμβολίζουμε τα σήματα στο χρόνο, με κεφαλαίο X(f) τα σήματα στη συχνότητα. Στην πράξη δεν υπολογίζουμε τον μετασχηματισμό Fourier (ευθύ ή αντίστροφο) με τα παραπάνω ολοκληρώματα. Εφαρμόζουμε τυπολόγιο και ιδιότητες.
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος
A30-Fourier σελίδα 2 από 5
ΒΑΣΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER
Χρόνος Συχνότητα
1 ( )fδ
tfj ce π2
( )cff −δ
)t(δ 1
)( 0tt −δ ftje 02π−
)tf2cos( cπ ( ) ( )cc ff21ff
21
++− δδ
)tf2sin( cπ ( ) ( )cc ffj21ff
j21
+−− δδ
tttc
ππ )sin()(sin =
⎪⎩
⎪⎨⎧ <<−=Π=
ύ
fffrectαλλο,0
21
21,1)()(
)(sin 2 tc ⎪⎩
⎪⎨
⎧<<−+<<−
=Λ=ύffff
fftriαλλο,0
01,110,1
)()(
( )tΠ )(sin fc
)(tΛ )(sin 2 fc
)t(ue at−, 0a > f2ja
1π+
tae− , 0a > 222 f4aa2π+
)(tute at−, 0>a 2)2(
1fja π+
)t(u ( )f21
f2j1 δπ
+
)()!1(
1
tuent atn
−−
− nfja )2(1π+
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος
A30-Fourier σελίδα 3 από 5
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 1. Γραμμικότητα Αν )f(X)t(x ↔ και )f(Y)t(y ↔ , τότε )f(bY)f(aX)t(by)t(ax +↔+ 2. Χρονική Μετατόπιση / Ολίσθηση στο χρόνο
Αν )f(X)t(x ↔ , τότε 02
0 )()( ftjefXttx π−↔− . 3. Μετατόπιση Συχνότητας / Ολίσθηση στη συχνότητα
Αν )f(X)t(x ↔ τότε )()( 02 0 ffXetx tfj −↔π
4. Κλιμάκωση χρόνου
Αν )f(X)t(x ↔ τότε ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛↔afX
a1)at(x
5. Κλιμάκωση συχνότητας
Αν )f(X)t(x ↔ τότε ( )afXatx
a↔)(1
6. Συνέλιξη στο χρόνο – Πολλαπλασιασμός στη συχνότητα Αν )f(X)t(x ↔ και )f(Y)t(y ↔ τότε )f(Y)f(X)t(y*)t(x ↔ Εφαρμογή στα φίλτρα!! 7. Πολλαπλασιασμός στο χρόνο – Συνέλιξη στη συχνότητα
Αν )f(X)t(x ↔ και )f(Y)t(y ↔ τότε )f(Y*)f(X)t(y)t(x ↔ Εφαρμογή στην ΑΜ διαμόρφωση!! 8. Δυαδικότητα – Δυϊσμός
Αν )f(X)t(x ↔ τότε )f(x)t(X −↔ 9. Παραγώγιση στο χρόνο
Αν )f(X)t(x ↔ τότε )(2)( ffXjdttdx π↔
10. Παραγώγιση στη συχνότητα
Αν )f(X)t(x ↔ τότε dffdXttxj )()(2 ↔− π
Οι ιδιότητες ισχύουν ανεξάρτητα με το τι μεταβλητή έχω. Αν έχω t, πρόκειται για σήμα στο χρόνο. Αν έχω f, πρόκειται για φάσμα στη συχνότητα.
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος
A30-Fourier σελίδα 4 από 5
ΘΕΜΑ 2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier του )(1)5(sin5)( tuetcth t−++= ΑΠΑΝΤΗΣΗ 2
)5
()5
(515)5(sin5
)5
(51)5(sin
)()(sin
fftc
ftc
ftc
Π=Π↔
Π↔
Π↔
και
( )
( )
11
1 2
F
Ft
f
e u tj f
δ
π−
←⎯→
←⎯→+
Άρα fj
fffHπ
δ21
1)()5
()(+
++Π=
ΘΕΜΑ 3 Δίνεται το σήμα ( ) ( )tttx 332 105sin106cos2)( πππ −−= . Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier και να σχεδιαστεί το αμφίπλευρο φάσμα πλάτους του x(t). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3 Πάντα ξεφορτωνόμαστε τα γινόμενα ή τα τετράγωνα συνημιτόνων/ημιτόνων χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ιδιότητες:
)25002sin()60002cos(1)5000sin()12000cos(1)5000sin()212000cos(1
)5000sin())6000(2cos(1)5000sin()6000(cos2)( 2
tttttt
tttttx
πππππππ
ππππππ
−+==−+=−−+=
=−−+=−−=
Έχουμε: )(1 fδ↔ και
)6000(21)6000(
21)60002cos( ++−↔ fft δδπ
και
)2500(21)2500(
21)25002sin( +−−↔ f
jf
jt δδπ
Άρα
)2500(21)2500(
21)6000(
21)6000(
21)()(
)2500(21)2500(
21)6000(
21)6000(
21)()(
++−−++−+=
⇔⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−−++−+=
fj
fj
ffffX
fj
fj
ffffX
δδδδδ
δδδδδ
Τα αρνητικά πρόσημα των συντελεστών της δ και τα j δεν παίζουν ρόλο στο σχεδιασμό του φάσματος πλάτους. Οι συναρτήσεις δ είναι βελάκια κεντραρισμένα στην συχνότητα που μηδενίζει το όρισμά τους (την έκφραση μέσα στην παρένθεση) και έχουν ύψος όσο ο συντελεστής μπροστά τους. Άρα το φάσμα είναι:
0 2.5 6-6 -2.5 kHz
1
0.5
Volt
0 2.5 6-6 -2.5 kHz
1
0.5
Volt
0 2.5 6-6 -2.5 kHz
1
0.5
Volt
0 2.5 6-6 -2.5 kHz
1
0.5
Volt
Αρνός ΠΛΗ22 Ηλίας Τσουκάτος
A30-Fourier σελίδα 5 από 5
ΘΕΜΑ 4
Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier του )3
2()( −Λ=ttx
ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4
)3(sin3)
31(sin
311)
31(
)(sin)(
22
2
fcfct
fct
=↔Λ
↔Λ
Θέτω )31()( ttg Λ= και άρα )3(sin3)( 2 fcfG =
Θέλω το ))2(31()
32( −Λ=
−Λ tt
που ισούται με )2( −tg
)3(sin3)()2( 2422 fcefGetg fjfj ππ −− =↔−
Άρα )3(sin3)( 24 fcefX fj π−= ΘΕΜΑ 5 Να υπολογίσετε τον μετασχηματισμό Fourier του )53(sin)( += tctx ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5
)()())5((sin)5(sin)()(sin
10)5(2 fefetctcftc
fjfj Π=Π↔−−=+
Π↔−− ππ
Θέτω )5(sin)( += tctg και άρα )()( 10 fefG fj Π= π Θέλω το )53(sin +tc που ισούται με )3( tg
)3
(31)
3(
31)
3(
31)3( 3
103
10 fefefGtgfjfjΠ=Π=↔
ππ
Άρα )3
(31)( 3
10 fefXfjΠ=
π
